DROITES REMARQUABLES D’UN TRIANGLE - Des Pliages a) Découpe un grand triangle ABC dont les trois angles sont aigus. Replie le côté [AC] sur lui-même de façon que le pli passe par le sommet B. Quel est le nom de la droite que ce pli matérialise ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plie de la même façon selon les deux autres côtés. Que peux-tu constater ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Découpe un autre grand triangle ABC et replie le côté [AC] sur lui-même pour que le point A coïncide avec le point C. Quel est le nom de la droite que ce pli matérialise ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plie de la même façon selon les deux autres côtés. Que peux-tu constater ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Découpe un troisième triangle ABC et marque le milieu de chacun des côtés (par pliage). Plie la feuille pour que le pli passe par le milieu de [AC] et par le sommet B. Quel est le nom de la droite que ce pli matérialise ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plie de la même façon selon les deux autres côtés. Que peux-tu constater ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) Découpe un quatrième triangle ABC et plie la feuille pour que le côté [AB] et le côté [AC] coïncident. Quel est le nom de la droite que ce pli matérialise ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Recommence cette opération pour les deux autres angles. Que peux-tu constater ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- Le partage d’un terrain triangulaire Un pauvre laboureur sentant sa mort prochaine fit venir ses deux enfants et leur parla sans témoin : « Partagez, leur dit-il, en deux aires égales mon terrain triangulaire. Je ne sais quel segment vous prendrez pour le faire; tâchez de le trouver, vous en viendrez à bout! » Le père mort, les deux fils hésitent entre trois segments : L’aîné désirait, en partant d’un sommet, tracer une bissectrice. Le second, lui, préférait la médiatrice d’un côté. Un de leurs amis leur conseilla plutôt de choisir une médiane. Lequel avait raison ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LES DROITES REMARQUABLES D’UN TRIANGLE

- Les médiatrices (Rappel)

Le point d’intersection des médiatrices d’un triangle est le centre du cercle circonscrit au triangle.

A

B

C

O

O, point d’intersection des médiatrices des côtés du triangle ABC, est à égale distance des sommets A, B, C, du triangle. (Chaque point de la médiatrice d’un segment est à égale distance des extrémités du segment)

OA OB OC= =

O est donc le centre du cercle passant par A, B, C.

- Les hauteurs d’un triangle

A B

C

H

K

LEF

G

O

Les hauteurs [AK], [BL] et [CH] du triangle ABC sont les médiatrices du triangle EFG. (A, B, C étant les milieux respectifs des côtés [GF], [EG] et [EF] du triangle EFG. Ces hauteurs sont donc concourantes. Le point d’intersection des hauteurs d’un triangle est appelé orthocentre du triangle

Remarque : L’orthocentre n’est pas nécessairement à l’intérieur du triangle ; c’est le cas lorsque le triangle a un angle obtus :

A B

KL

O

C

H L’angle C est obtus (supérieur à 90°) Les hauteurs [AK] et [BL] sont extérieures au triangle ABC ; l’orthocentre O est donc extérieur au triangle. Application : Deux droites ∆ et ∆’ se coupent en un point A situé en dehors de cette page donc invisible. Un point M étant donné, il s’agit de tracer quand même la droite (MA).

M

∆

∆'

B

C

Les perpendiculaires à ∆ et ∆’, passant par

M, définissent les points B et C ; Ces deux

perpendiculaires sont des hauteurs du t

ABC dont M est l’orthocentre.

riangle

La perpendiculaire à [BC], passant par M, est

la troisième hauteur de ce triangle ABC.

C’est donc la droite (MA) cherchée.

- Les médianes Définition : La droite joignant un sommet du triangle au milieu du côté opposé est appelée médiane de ce triangle.

Recherche : On donne un triangle ABC et deux de ses médianes : (BB’) et (CC’).

On propose de localiser l’intersection G de ces deux médianes et de prouver que la troisième médiane (AA’)

passe par ce point G.

On construit le symétrique D du point A par rapport au point G.

La droite (AD) coupe le côté [BC] en M.

A

B C

D

C' B'G

Μ

Considérons le triangle ABD : C’ est le milieu de [AB] et G est le milieu de [AD] :

La droite (C’G), c’est-à-dire la droite (CG), est parallèle à la droite (BD) (propriété de la droite des milieux)

BDC 'G2

= (1)

Considérons le triangle ACD : Pour la même raison : La droite (B’G), c’est-à-dire la droite (BG), est parallèle à la droite (CD).

CDB'G2

= (2)

Le quadrilatère BGCD, ayant ses côtés parallèles deux à deux, est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent en leur milieu M. M est le milieu du côté [BC] ; (AM) est la troisième médiane du triangle. Des égalités (1) et (2), on en déduit, que :

car CG (côtés opposés d’un parallélogramme) ou : BD=CGC'G2

=2CG CC'3

=

Et que :

car : CD BG= ou : BGB'G2

=2BG BB'3

=

Remarque : pour la même raison, G a la même position sur la troisième médiane Conclusions : Les médianes d’un triangle sont concourantes Ce point d’intersection est appelé le centre de gravité du triangle.

Ce centre de gravité est situé au 23

de chaque médiane à partir de chaque sommet du triangle.

Application : Le centre de gravité d’un triangle détermine le partage du triangle en trois triangles de même aire. L’aire du triangle ABA’ est égale à l’aire du triangle ACA’ puis que les deux triangles ont la même hauteur (non tracée) et les côtés correspondants égaux ( BA ' A 'C= )

L’aire du triangle GBA’ est égale à l’aire du triangle GCA’ puis que les deux triangles ont la même hauteur (non tracée) et les côtés correspondants égaux ( BA ' A 'C= )

A

B C

B'C'

A'

G

ar conséquent et par soustraction d’aires égales : P

L’aire du triangle AGB est égale à l’aire du triangle AGC

our la même raison : P L’aire du triangle AGB est égale à l’aire du triangle BGC

es trois triangles ont bien la même aire.

- Les bissectrices

L

Rappel :

La bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie de cet angle.

Elle partage donc l’angle en deux angles égaux.

Remarque : =

Les et

O

x

y

z12

M

H

K

OH OK (segments symétriques)

angles 1O 2O sont symétriques par rapport à la bissectrice [Oz) de l’angle xOy .

1 2

côtés de l’ang

O O=

Un point M, de la bissectrice, est équidistant des le xOy car les segments [MH] et [MK] sont symétriques.

MH MK= Recherche :

Les bissectrices des angles B et C d’un triangle ABC se coupent en I.

Il s’agit de prouver que la droite (AI) est la bissectrice de l’angle .

A

B C

I

H

K

L

A

B , est équidistant de [BA] et de [BC] ; soit : I, appartenant à la bissectrice de l’angle

IH IL=

C I, appartenant à la bissectrice de l’angle , est équidistant de [CA] et de [CB] ; soit :

IK IH=

IL IK= Par conséquent : I est équidistant des côtés de l’angle l’axe de symétrie de cet angle.

La droite (AI) est la bissectrice de l’angle

Puisque : , c’est que I est équidistant des trois côtés du triangle ABC ; I est le centre du cercle és du triangle.

st appelé cerc

onclusion :

es bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre du cercle inscrit dans le triangle.

- Les droites remarquables dans les triangles particuliers

A ; il est un point de A .

Remarque :

IH IK IL= =tangent aux trois côt

Ce cercle e le inscrit dans le triangle. C L

Le triangle rectangle

Rappel :

e coupent au milieu de l’hypoténuse.

O, milieu de l’hypoténuse est le centre du cercle circonscrit au ectangle.

La médiane relative à l’hypoténuse mesure la moitié de l’hypoténuse.

Le sommet A de l’angle droit est l’orthocentre du triangle.

Le centre de gravité et le centre du cercle inscrit n’ont pas de position

B CO

A

Les médiatrices s

triangle r

Conséquence : OA OB OC= =

particulière au triangle rectangle.

appel : il a un axe de symétrie (la médiatrice(AH) de

’axe de symétrie du triangle isocèle est à la fois eur, médiane et bissectrice du triangle.

e centre du cercle circonscrit, l’orthocentre, le centre le centre du cercle inscrit sont alignés sur

axe de symétrie du triangle.

Rappel : Il a trois axes de symétrie et ses trois angles sont égaux à 60°.

Ses trois axes de symétrie sont à la fois médiatrice, hauteur, médiane et

ntre crit sont confondus.

ALe triangle isocèle

B CH

Rsa base [BC]) Conséquence : Lmédiatrice, haut Remarque : Lde gravité et l’

Le triangle équilatéral B

A C

O

bissectrice.

Le centre du cercle circonscrit, l’orthocentre, le centre de gravité et le cedu cercle ins

Exercices 1 DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE

Dessine dans chacun des cas suivants un triangle ABC tel que : ∆1 est une hauteur de ABC ∆2 est une médiane de ABC ∆3 est une médiatrice de

ABC

∆3

∆4 est une bissectrice de ABC

∆4

∆5 est la hauteur relative au côté [AB]

∆5

C

∆6 est la médiane issue du point C

∆6 C

∆7 est la médiatrice de [AB]

∆7 + B

∆8 est la bissectrice de l’angle BÂC

∆8 A

∆9 est la hauteur relative au côté [AB]

∆9 A

∆10 est la médiane issue du point A

∆10

C +

∆11 est la médiatrice de [AB]

∆11 + C

∆12 est la bissectrice de l’angle BÂC

+ B ∆12

∆1

∆2

Exercices 2 -A, I et O sont 3 points non alignés.

On appelle B le symétrique de A par rapport à O, et C le symétrique de B par rapport à I. a. Fais une figure soignée. b. Que représente la droite (AI) pour le triangle ABC ? Justifie la réponse. c. Que représente la droite (CO) pour le triangle ABC ? Justifie la réponse. On appelle G le point d’intersection des droites (AI) et (OC). d. Démontre que la droite (BG) coupe le segment [AC] en son milieu.

- ABCD est un parallélogramme tel que l’angle BA soit obtus. D La droite (d) perpendiculaire à (AB) passant par A coupe (CD) en A’, et la droite (d’) perpendiculaire à (BC) passant par C coupe (AD) en C’.

a. Fais une figure soignée. b. Que représente la droite (d) pour le triangle ADC ? Justifie la réponse. c. Que représente la droite (d’) pour le triangle ADC ? Justifie la réponse. Les droites (d) et (d’) se coupent en H. d. Démontre que la droite (DH) est perpendiculaire à (AC).

- IJKL et KLMN sont deux losanges disposés comme sur le croquis. L M On appelle (d) la médiatrice de [IM]. a. Fais une figure soignée sur le cahier. b. Démontre que (d) passe par L. I

N K J

- ABCD est un parallélogramme de centre O. On appelle I et J les milieux respectifs de [AD] et [CD]. a. Fais une figure soignée. b. Démontre que les droites (AJ), (CI) et (BD) sont concourantes. On appelle G ce point de concours. c. En supposant que la diagonale [BD] mesure 54 cm, calcule la distance OG.

- ABC est un triangle dont l’orthocentre est H et tel que HB = 5 cm, HA = 3 cm, et l’angle BHA = 110° a. Rédige le programme de construction. b Construis le triangle ABC.

- On considère un cercle de centre O sur lequel sont placés trois points A, B et C. Tu appelles (d) la perpendiculaire à (BC) passant par O. a. Que représente la droite (d) pour le triangle ABC ? Justifie la réponse. b. Que représente la droite (d) pour le triangle OBC ? Justifie la réponse.

Devoir 1

- Un terrain a la forme d’un triangle ABC de dimensions : AB = 45 m ; BC = 75 m ; AC = 6O m. a) Fais le schéma de ce terrain à l’échelle 1/400. b) Prouve que ce terrain a la forme d’un triangle rectangle. c) Calcule ses angles . B C et Tu donneras les résultats arrondis à 0,1 près. d) La médiane issue de B coupe le côté [AC] en D. Calcule BD. Tu donneras le résultat arrondi à 0,1 m près. e) La bissectrice de l’angle du triangle ABC coupe le côté [AB] en I. C Calcule AI. Tu donneras un résultat approché à 0,1 m près. - Le dodécagone Sur un quadrillage régulier on a tracé un cercle de rayon OA. Ce cercle coupe les droites du quadrillage en 12 points A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L. Le dodécagone ainsi formé est-il régulier ? Conseil : ce dessin comporte des médiatrices.

Les droites remarquables

H (orthocentre) hauteurs

I (Centre du cercle inscrit) bissectrices

G(centre de gravité) médianes

O (centre du cercle circon crit) médiatrices

A

B

C

H

GO

I

s

DROITES REMARQUABLES D’UN TRIANGLE - Des Pliages a) Découpe un grand triangle ABC dont les trois angles sont aigus. Replie le côté [AC] sur lui-même de façon que le pli passe par le sommet B. Quel est le nom de la droite que ce pli matérialise ? La hauteur relative au côté [AC]

Plie de la même façon selon les deux autres côtés. Que peux-tu constater ? Les trois hauteurs semblent concourantes b) Découpe un autre grand triangle ABC et replie le côté [AC] sur lui-même pour que le point A coïncide avec le point C. Quel est le nom de la droite que ce pli matérialise ? La médiatrice du côté [AC] Plie de la même façon selon les deux autres côtés. Que peux-tu constater ? Les trois médiatrices sont concourantes (on le sait déjà) c) Découpe un troisième triangle ABC et marque le milieu de chacun des côtés (par pliage). Plie la feuille pour que le pli passe par le milieu de [AC] et par le sommet B. Quel est le nom de la droite que ce pli matérialise ? La médiane issue du sommet B. Plie de la même façon selon les deux autres côtés. Que peux-tu constater ? Les trois médianes semblent concourantes d) Découpe un quatrième triangle ABC et plie la feuille pour que le côté [AB] et le côté [AC] coïncident. Quel est le nom de la droite que ce pli matérialise ? La bissectrice de l’angle A Recommence cette opération pour les deux autres angles. Que peux-tu constater ? Les trois bissectrices semblent concourantes

- Le partage d’un terrain triangulaire Un pauvre laboureur sentant sa mort prochaine fit venir ses deux enfants et leur parla sans témoin : « Partagez, leur dit-il, en deux aires égales mon terrain triangulaire. Je ne sais quel segment vous prendrez pour le faire; tâchez de le trouver, vous en viendrez à bout! » Le père mort, les deux fils hésitent entre trois segments : L’aîné désirait, en partant d’un sommet, tracer une bissectrice. Le second, lui, préférait la médiatrice d’un côté. Un de leurs amis leur conseilla plutôt de choisir une médiane. Lequel avait raison ? Les surfaces 1 et 2, d’une part ; 3 et 4 d’autre part, n’ont manifestement pas la même aire. Le partage 5-6 est équitable car les deux triangles ont la même hauteur (h) et le même côté

correspondant (la moitié de la « base » du triangle) donc la même aire.

C’est donc leur ami qui avait raison.

1 2 3 4 5 6

h

Exercices 1 DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE

Dessine dans chacun des cas suivants un triangle ABC tel que :

∆3

A

B

C

A

B

C∆4∆1

A

B

C

A

B

C

∆2

A

B

C

∆6

A

B

C

∆7

A

B

C

∆8A

B

C

∆5

A

BC

∆9

A ∆10

B

C

A

B

C

∆11

AC

∆12

∆1 est une hauteur de ABC ∆2 est une médiane de ABC ∆3 est une médiatrice de ABC

∆4 est une bissectrice de ABC

∆5 est la hauteur relative au côté [AB]

point C

l’angle BÂC

∆6 est la médiane issue du ∆7 est la médiatrice de [AB]

∆8 est la bissectrice de

B

∆9 est la hauteur relative au côté [AB]

∆10 est la issue du point A

∆11 est la médiatrice de [AB]

∆12 est la bissectrice de l’angle BÂC

médiane

Exercices 2 (Corrigé)

A BO

C

G

-

b. La droite (AI) est une médiane du triangle ABC car I est le milieu de [BC]. c. La droite (CO) est une médiane du triangle ABC car O est le milieu de [AB]. d. La droite (BG), passant par le centre de gravité G du triangle ABC est donc la troisième médiane du triangle.

- b. (d) est perpendiculaire à (AB) ; elle est donc perpendiculaire à sa parallèle (DC) (les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles). (d) est une hauteur du triangle ADC.

A B

CD

(d')

(d)

H

c. (d’) est, pour la même raison, une hauteur du triangle ADC. d. H est l’orthocentre du triangle ADC. La droite (DH) est la troisième hauteur de ce triangle.

I

LM

NK

J

(d)

- b. Les deux losanges ont un côté commun : [KL]. Tous leurs côtés sont donc égaux, en particulier :

LI .LM=

Le point L, équidistant des points I et M, appartient à la médiatrice (d) de [IM].

- b. O, centre du parallélogramme ABCD est le milieu de [AC]. A B

CD

I

J

O

G

Les droites (AJ), (CI) et (DO) sont les médianes du triangle ADC. Elles sont concourantes en G, centre de gravité du triangle.

c. Si : alors : BD 54 cm= BD 54DO 27 cm2 2

= = =

[DO] étant une médiane : 1 1 27OG DO 27 9 cm3 3 3

= = × = =

-

110°

H

B

A

C

3 cm

5 cm

Je construis d’abord le triangle ABH dont je connais un angle ( BHA 110= ° ) et les deux côtés de cet angle ( ). HA 3 cm et HB 5 cm= = Le point C est l’intersection de la perpendiculaire à la droite (BH), passant par A, et de la perpendiculaire à la droite (AH), passant par B.

-

O

B

C

A

a. OB = OC = rayon du cercle O est équidistant de B et de C ; O appartient à la médiatrice de [BC]. La droite (d) est donc une médiatrice du triangle ABC. b. Le triangle OBC est isocèle de base [BC]. O est donc l’axe de symétrie de ce triangle.

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