dr. ruben rodriguez herrera agrégé en mathématiques...

Enseignement de la mathématique

Dr. Ruben Rodriguez HerreraAgrégé en Mathématiques

[email protected], ESPE, Ifé, CEMU

Université de Caen Normandie France

IREM de Basse - Normandie

Année 2014-2015

http://www.math.unicaen.fr/irem

Les outils de la didactique de la mathématique

Module 3

Les « situations-problèmes »

Les obstacles épistémologiques

Les obstacles didactiques

Les obstacles psychomorphiques

Situation-problème : caractéristiques

Voici une première approche assez générale. C’est une situation d’enseignement qui s’appuie

sur une conception socio-constructiviste de l’apprentissage et qui cherche à favoriser

l'acquisition d'une connaissance : savoir, savoir-faire et des attitudes d'attention (de dialogue, d'entraide à l'intérieur de la mini communauté

scientifique de la classe en cours de mathématiques).

Voir : Théorie des situations didactiqueshttp://gric.univ-lyon2.fr/Equipe2/master/.../Theorie_des_situations_2.pdf

http://gric.univ-lyon2.fr/Equipe2/master/.../Theorie_des_situations_2.pdf


Elle trouve son sens épistémologique quand on repère un obstacle chez les élèves, obstacle qui se manifeste par une connaissance incomplète par rapport à la progression

des apprentissages.La situation-problème doit permettre aux élèves de se rendre

compte des insuffisances de leurs procédures. Dans un premier temps, les élèves doivent pouvoir s’engager facilement dans

des tâches suscitées par les questions de la situation.




Les connaissances des élèves sontinsuffisantes ou leurs procédures peu économiques.

Cette insuffisance donne sens à une nouvelle connaissance qui permet de dépasser l'obstacle.

Les élèves ont les moyens d'auto-contrôlerleurs productions et aussi de les confronter

en favorisant les conflits socio-cognitifs au sein de la communauté de la classe.




L'objet mathématique que l’on désire voir acquérir doit être d'abord l’outil le plus adapté au niveau des élèves pour résoudre

le problème posé.La situation-problème doit comporter des transpositions

didactiques externes dans des univers expérimentables (voir modules 1 et 2).

Il faut au moins deux univers expérimentables afin de susciter des psychomorphismes, ce qui donne à la situation-

problème le caractère de « situation ouverte ». Cette ouverture sera présente dans le contrat didactique

lors de la transposition didactique interne.La situation-problème doit comporter le choix de bonnes

variables didactiques et de leurs valeurs afin de contrôler les phases incontournables :

1) phase d'entrée dans la situation2) phase de rupture avec l’émergence de l'obstacle.

Situation-problème, un exemple classique : « Le puzzle de Brousseau »

Extraits de Nadine et Guy Brousseau DAEST Janvier-février 2006Université Victor Segalen Bordeaux 2

L’apprentissage est une réorganisation, consciente ou non, des moyens d’action du

sujet

Exemple d’une situation a-didactique

Proportionnalité ou agrandissement linéaire?

L’agrandissement du puzzle

L’enseignant :« Vous devez découper un puzzle pour l’école maternelle. Il doit être

semblable à celui-là mais plus grand. Le côté de cette pièce du modèle mesure 4 centimètres. Il doit mesurer 7 centimètres sur la reproduction. Chaque groupe n’agrandit qu’une seule pièce.Vous les assemblerez après. »

Toute collection de situations qui caractérisent une même connaissance mathématique, possède au moins une

situation fondamentale qui les génère toutes par la détermination des valeurs de ses

variables. (Il s’agit de l’hypothèse de Brousseau de

l’existence de situations fondamentales).

6 5

6

5

2

7

2

7

9

4 2 5

7

Figure 1

A

L’enseignant :

« Vous devez découper un puzzle pour

l’école maternelle. Il

doit être semblable à celui-là mais plus grand

Le côté de cette pièce du modèle

mesure 4 centimètres

Il doit mesurer 7 centimètres

sur la reproduction.

Chaque groupe n’agrandit

qu’une seule pièce.

Vous les assemblerez

après.. » Extraits de Extraits de Nadine et Guy Brousseau DAEST Janvier-Nadine et Guy Brousseau DAEST Janvier-février 2006février 2006

Université Victor Segalen Bordeaux 2 Université Victor Segalen Bordeaux 2

Première idéePremière idée

• 2 2 + 3 = 5• 4 4 + 3 = 7• 6 6 + 3 = 9

• Et ce qui en résulte…Extraits de Extraits de Nadine et Guy Brousseau DAEST Janvier-Nadine et Guy Brousseau DAEST Janvier-

février 2006février 2006Université Victor Segalen Bordeaux 2 Université Victor Segalen Bordeaux 2

D

E

C

B

F

A

Figure 2

Résultat

Extraits de Extraits de Nadine et Guy Brousseau DAEST Janvier-Nadine et Guy Brousseau DAEST Janvier-février 2006février 2006


Autres idées Autres idées • 4 --> 7, donc 8 -->14 et aussi 12 --> 21(la proportionnalité, comme unique modèlefamilier, mais empirique, sans justification)

• 4 --> 2 x 4 – 1 = 7• 6 --> 2 x 6 – 1 = 11• 2 --> 2 x 2 – 1 = 3 Qui parait satisfaisantComme aussi des découpages « à l’œil »



b

B

Figure 3cExtraits de Extraits de Nadine et Guy Brousseau DAEST Janvier-Nadine et Guy Brousseau DAEST Janvier-

février 2006février 2006Université Victor Segalen Bordeaux 2 Université Victor Segalen Bordeaux 2

cC

Figure 3d



Modèle

Figure 4

Image

La somme des images doit être l’image de la somme !



•Le calcul final

•4 7•1 7/4•7/4 = 7x25/100 = 175/100 = 1.75



Proposition d'un parcours d’apprentissage-enseignement à partir de l'obstacle du « Puzzle de Nadine et Guy

Brousseau »

Voir Ruben Rodriguez Herrera dans AGRANDISSEMENT, REDUCTION DES FIGURES GEOMETRIQUES

www.math.unicaen.fr/irem/IMG/doc/Agrandissement.doc

La presque totalité de nos élèves de la fin du CM2 et du début de la sixième pensent que pour agrandir une figure polygonale et conserver sa forme, le bon modèle mathématique est celui qui consiste à ajouter à la longueur de chaque côté du contour, une longueur fixe. Il s'agit d'un "théorème en acte" qui «désigne les propriétés des relations saisies et utilisées par l'élève en situation de solution de problème, étant entendu que cela ne signifie qu'il n'est pas pour autant capable de les expliciter ou de les justifier. » Gérard VERGNAUD, Recherches en DIDACTIQUE DES MATHÉMATIQUES n°2.2, page 220

Ceci est un exemple d’obstacle épistémologique, c'est-à-dire que la presque totalité des élèves du CM2 ou du début de la sixième qui n’avait jamais travaillé cette notion d’agrandissement en gardant la « même forme » propose cette modélisation, erronée pour certaines figures, du fait de sa structure géométrique.Nous considérons que tout « obstacle » nécessite un apprentissage spécifique pour le dépasser et arriver ainsi au bon modèle. Voici une proposition de parcours didactique pour surmonter cet obstacle.

Proposition d'un parcours d’apprentissage-enseignement à partir de l'obstacle du « Puzzle de Nadine et Guy

Brousseau »

Voir Ruben Rodriguez Herrera dans AGRANDISSEMENT, REDUCTION DES FIGURES GEOMETRIQUES

http://www.math.unicaen.fr/irem/IMG/doc/Agrandissement.doc

Un parcours d'apprentissage-enseignement sur l'agrandissement-réduction des figures

http://www.math.unicaen.fr/irem/IMG/doc/Agrandissement.doc

On part de figures dans un Univers familier de figures planes. Ces figures ont des propriétés géométriques connues des élèves.Exemple : à partir des triangles rectangles.

On donne aux élèves des triangles rectangles de deux types : 3,4,5 et 6,8,et 10 mesurés en cm, découpés dans du papier cartonné.Dans une première étape, les élèves constatent par des perceptions visuelles et par des manipulations que les triangles ont la même forme. Ils arrivent même à constater et énoncer que le plus grand est le « double » ou « deux fois plus grand » que le petit.

Les élèves constatent avec l’équerre que les deux triangles sont rectangles et que les mesures des côtés sont 3,4,5 et 6,8, et 10 (en cm).

Les élèves manipulent les deux triangles et visualisent la « même forme » à partir des mesures doubles des longueurs

mais aussi avec la superposition des angles.

Ensuite on leur demande d’ajouter 1cm à chaque mesure et de construire deux autres triangles de mesures 4,5,6 et 7,9,11 (en cm). On se pose alors la question de savoir si ces deux triangles sont encore de la même forme et s’ils sont encore rectangles.

Les élèves constatent visuellement avec l’équerre que les angles droits ne sont pas conservés, et que la « forme » n’est plus la même que celle des deux triangles donnés au départ.

En particulier par superposition, avec leur rapporteur et avec un logiciel de géométrie dynamique,les élèves constatent que les angles ne sont pas superposableset qu'ils n'ont pas les mêmes mesures.

Phase 2

On ajoute 5 cm aux mesures du triangle initial 3, 4 et 5 (en cm) ; soit 5 cm à chaque mesure pour obtenir 8, 9,et 10 (en cm).

On obtient des triangles qui ont de plus en plus une allure de triangles isocèles, voire équilatéral.

Par exemple si on ajoute 10 à chaque mesure, on obtient un triangle de 13,14,15 (en cm) qui se rapproche de la forme équilatérale.

Par un simple raisonnement sur les calculs des quotients 13/14 ; 14/15 et 13/15, on peut affirmer que les rapports entre les côtés deviennent proches de 1. Bien entendu, seuls les professeurs ou les étudiants du second cycle du secondaire peuvent prouver facilement que si k, h et r sont trois nombres fixes, la limite à l’infini en n des quotients (n+k)/(n+h), (n+k)/(n+r) et (n+h)/(n+r) vaut 1 .

S'offre ici une belle occasion de raisonner au collège sur le fait qu'à partir du triangle rectangle 3 ; 4 ; 5, si on ajoute par exemple 1000 pour obtenir un triangle de 1003 ; 1004 et 1005 (en cm), ce grand triangle sera proche de la forme « triangle équilatéral » et 1003/1004 ; 1004/1005 et 1003/1005 sont de plus en plus proches de 1.

Les élèves travaillent sur le fait que si un triangle donné est équilatéral au départ, par exemple de mesures 4, 4, 4 (en cm), alors si on ajoute une

même mesure on obtiendra toujours des triangles équilatéraux. Ceci peut donner espoir aux élèves que sur certains triangles comme

l’équilatéral l’ajout d’une même mesure conduit à un agrandissement qui garde la même forme. On fait alors le bilan des triangles travaillés et on

conclut que seuls sur les triangles équilatéraux l’ajout d’une même mesure donne encore des triangles de même forme, c'est-à-dire

équilatéraux. Les élèves argumentent que le nouveau triangle aura les trois côtés de même mesure de longueur et alors il sera encore un

triangle équilatéral.

Pour les quadrilatères comme le carré, l'ajout d'une même longueur à chaque côté est résolu par la construction d'un

nouveau carré. Ceci est naturel car les élèves cherchent à garder la forme !

C'est ici qu'on peut lancer dans ce parcours une phase de rupture, (indispensable dans toute situation-problème).

On voit que les élèves ne sont pas conscients que les quadrilatères ne sont pas déterminés que par les quatre longueurs comme c'était le cas

pour tous les triangles ; ceci est un obstacle épistémologique.On peut leur proposer de construire d’autres formes non carrées de

quadrilatères ayant par exemple les quatre côtés de 5cm.

Les élèves trouvent des losanges comme celui-ci.Et alors on leur propose de l'agrandir en gardant exactement la même forme

C'est ainsi que les élèves trouvent que pour agrandir ou réduire et garder la même forme avec les quadrilatères, il faut

garder les mêmes angles et la proportionnalité des longueurs de ses côtés. Ils trouvent qu'on peut obtenir un losange ayant tous ses côtés aussi de

5cm mais ayant des angles différents, donc de formes différentes.

Résumé de l'agrandissement-réduction

Dans la situation-problème « puzzle de Brousseau », face à laquestion à traiter « Il doit être semblable à celui-là mais plus grand », les élèves ont trouvé qu'il faut multiplier par un même nombretoutes les longueurs au lieu de les additionner.Mais ceci est seulement une condition nécessaire,(elle n'est suffisante que pour les triangles).Donc il faut une deuxième situation-problèmetelle que celle que nous avons conçue avec des quadrilatèrespour qu'ils apprennent à agrandir et réduire d'autres figures en conservant la proportionnalité des côtés etles mêmes mesures de tous les angles respectifs.L'équipe de Didactique de l'IREM de Basse-Normandie a élaboré un parcours riche sur l'agrandissement-réduction,(voir aussi Ifé équipe PERMES et la présentation de R. Rodriguez et C. Plourdeaudans les Actes des journées mathématiques de l’Institut Français de l’Éducation Ifé de juin 2012)..

Situation-problème, un deuxième exemple

« 64 = 65 »Sur un des objectifs majeurs

de la géométrie au collège, « passer de la géométrie

perceptive des dessins à celle du raisonnement sur des

figures », voici ici une situation-problème que nous avons élaborée il y a un certain

nombre d'années.

La figure proposée au départ est un rectangle d’aire 65 unités d’aire. Cette unité peut, par exemple, être le cm²,

comme dans la figure initiale ci-dessous. Les élèves sont placés dans l'Univers des figures sur quadrillage

et dans l'Univers des puzzles.

D

B

C

A

H

E

G

F4

11 22

33

Voici quelques assemblages de puzzle proposés par les élèves (les retournements de pièces sont autorisés).

4

23 1

4

23

1

4 2

3 1

Les élèves affirment que c'est un carré de côté 8

La figure proposée au départ est un rectangle et les élèves pour démontrer, relèvent des propriétés, car à ce stade des apprentissages, ils éprouvent le besoin de travailler dans l'Univers des propriétés des figures et la démonstration.

HD

B

C

A

E

G

F

8 5

5

85

5 2

3

4

1

Les élèves « démontrent » qu'il s'agit bien d'un carré de côté 8 unités.

4 2

3 1

GE

D A

BC

H

E ’

B ’

D ’H ’

F’

F

G ’

Toute situation-problème doit comporter une phase

de rupture face à un obstacle pour inciter les

élèves à travailler dans un autre univers ou à élargir les univers présents dans

la situation.

Voici maintenant la phase de rupture

4 2

3 1

GE

D A

BC

H

E ’

B ’

D ’H ’

F’

F

G ’

HD

B

C

A

E

G

F

8 5

5

85

5 2

3

4

1

65 petits carrés

64 petits carrés

La contradiction entre la valeur de l’aire du rectangle 65 « petits carrés » et celle d’un carré (64 « petits carrés ») dans l'Univers des figures

et quadrillage, et le fait que les élèves, dans l'Univers des figures et démonstration, aient démontré que c'est un carré ayant pour côté 8 les

incitent à se poser la question du calcul des mesures exactes des segments,

en particulier de [FH] et [EG]. Ils calculent ces mesures à l’aide du théorème de THALÈS,

dans le rectangle initial :Dans le triangle ABD on a, puisque (GE) est parallèle à (AD).

Par hypothèse de construction on a AD = 5 ; AB = 13 ; GB = 8. Ils arrivent à :

EG = 51 3

EG

8

4 01 3

Soit 3, 08 au centième près et non 3

HD

B

C

A

E

G

F

8 5

5

85

5 2

3

4

1

L ’ a ire d u r e c ta n g le G E ’ H ’ F ’ fo r m é d e s p iè c e s 1 e t 3 d a n s le c a r r é

r e c o n s t itu é e s t d o n c : 8 4 01 3

.

L ’ a i r e d u re c ta n g le A G C H fo r m é d e s p iè c e s 2 e t 4 d a n s le c a r r é r e c o n s t it u é

e s t (5 + 4 01 3

) 5 . L ’ a ir e t o ta le d e s p iè c e s c o n s t it u a n t le “ c a r r é ” e s t d o n c :

8 4 01 3

+ (5 + 4 01 3

) 5 = 6 5 e t n o n 6 4 .

U n e v a r ia b le d id a c t iq u e i m p o r ta n te d e c e t te a c t iv ité e s t c e l le d e la ta i l le a b s o lu e ( s u r le d e s s in p r é s e n té a u x é lè v e s ) d e la f ig u r e e t l’é p a is s e u r d e s tr a its . E n e f f e t , u n d e s s in s o ig n é d e g ra n d e s d im e n s io n s , e n t r a it s f in s , p e r m e t d e d is t in g u e r a is é m e n t le s c h e v a u c h e m e n ts

Voir l'ouvrage Du dessin perçu à la figure construite, éd. Ellipses, R.R. Herrera (auteur), D. Salles-Le Gac (auteur) - Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 08/2005.

4 2

3 1

GE

D A

BC

H

E ’

B ’

D ’H ’

F’

F

G ’

http://recherche.fnac.com/ia560908/R-R-Herrera

http://recherche.fnac.com/ia560909/D-Salles-Le-Gac

La situation-problème selon Philippe Meirieu

« Un sujet, en effectuant une tâche, s'affronte à un obstacle».

Le sujet est orienté par la tâche, le formateur par l'obstacle.

Le franchissement de l'obstacle doit représenter un palier dans le développement cognitif du sujet.

L'obstacle est franchi si les matériaux fournis et les consignes données suscitent l'opération mentale requise.

Pour effectuer une même opération mentale, chacun doit pouvoir utiliser une stratégie différente.

La conception et la mise en œuvre de la situation-problème doivent être régulées par un ensemble de dispositifs d'évaluation.

La situation-problème selon Jean-Pierre Astolfi

Une situation-problème est organisée autour du franchissement d'un obstacle par la classe, obstacle préalablement bien identifié. L'étude s'organise autour d'une situation à caractère concret, qui permette effectivement à l'élève de formuler hypothèses et conjectures. Il ne s'agit donc pas d'une étude épurée, ni d'un exemple ad hoc, à caractère illustratif, comme on en rencontre dans les situations classiques d'enseignement (y compris en travaux pratiques). Les élèves perçoivent la situation qui leur est proposée comme une véritable énigme à résoudre, dans laquelle ils sont en mesure de s'investir. C'est la condition pour que fonctionne la dévolution : le problème, bien qu'initialement proposé par le maître, devient alors "leur affaire". Les élèves ne disposent pas, au départ, des moyens de la solution recherchée, en raison de l'existence de l'obstacle qu'ils doivent franchir pour y parvenir. C'est le besoin de résoudre qui conduit l'élève à élaborer ou à s'approprier collectivement les instruments intellectuels qui seront nécessaires à la construction d'une solution. La situation doit offrir une résistance suffisante, amenant l'élève à y investir ses connaissances antérieures disponibles ainsi que ses représentations, de façon à ce qu'elle conduise à leur remise en cause et à l'élaboration de nouvelles idées.

La situation-problème selon Jean-Pierre Astolfi

Pour autant, la solution ne doit pourtant pas être perçue comme hors d'atteinte pour les élèves, la situation-problème n'étant pas une situation à caractère problématique. L'activité doit travailler dans une zone proximale, propice au défi intellectuel à relever et à l'intériorisation des "règles du jeu". L'anticipation des résultats et son expression collective précèdent la recherche effective de la solution, le "risque" pris par chacun faisant partie du "jeu". Le travail de la situation-problème fonctionne ainsi sur le mode du débat scientifique à l'intérieur de la classe, stimulant les conflits socio-cognitifs potentiels. La validation de la solution et sa sanction ne sont pas apportées de façon externe par l'enseignant, mais résultent du mode de structuration de la situation elle-même. Le réexamen collectif du cheminement parcouru est l'occasion d'un retour réflexif, à caractère métacognitif ; il aide les élèves à conscientiser les stratégies qu'ils ont mises en œuvre de façon heuristique, et à les stabiliser en procédures disponibles pour de nouvelles situations-problèmes.

La remise en cause se fait par un déséquilibre, voire une régression qui permet l’accès à un nouvel équilibre ( l’apprentissage procède par rupture). Deux principes d’après PIAGET permettent cela : - L’assimilation : intégration des données du milieu aux connaissances antérieures (centré sur soi) - L’accommodation : transformation des connaissances sous la pression du milieu. La connaissance doit apparaître d’abord comme un outil permettant de résoudre un problème avant d’être un objet de connaissance étudié pour lui-même (ex : le nombre) ( Régine DOUADY) La notion de dévolution du problème de Guy Brousseau est primordiale. La notion de zone proximale de développement de Lev Semyónovich VYGOTSKY est également fondamentale. Ces phénomènes permettent les interactions sociales entre les élèves, interactions qui vont favoriser l’apprentissage dans du travail en groupes ou en ateliers, sous la forme de débats scientifiques à partir des conflits socio-cognitifs.Lors des interactions, l'Univers de la langue permet la mise en mots des actions, des procédures et ouvre la voie à une prise de conscience de la notion nouvelle. “ On apprend en prenant conscience et non en suivant une voie toute tracée, la meilleure fût-elle.” (Jean PIAGET)

Voir : article «En route pour le SOCIO-CONSTRUCTIVISME ! ! » de ECOLE MATERNELLE D’APPLICATION DE LA VALBARELLE, Section des grands M . RAYMONDhttp://yvan.raymond.pedagog.free.fr/.../3 conceptions de l'apprentissage .doc

http://yvan.raymond.pedagog.free.fr/.../3%20conceptions%20de%20l'apprentissage%20.doc

Apprendre, c’est donc passer d’une conception ancienne à une conception nouvelle plus performante après une phase de remise en cause de la conception ancienne qui est donc tout à la fois un point d’appui et un obstacle à la connaissance nouvelle. L’enfant construit son savoir dans une relation sociale d’où le nom de socio-constructivisme.

La stratégie consiste à créer un conflit cognitif interne en plaçant l’élève face à un problème. Ce conflit est provoqué par une contradiction entre une anticipation (élaborée à partir de la conception ancienne) et un démenti. Ce démenti peut être apporté par le problème lui-même (on parle de contradiction apportée par le milieu) ou par les autres (on parle alors de conflit socio-cognitif).

Voir : article «En route pour le SOCIO-CONSTRUCTIVISME ! ! » de ECOLE MATERNELLE D’APPLICATION DE LA VALBARELLE, Section des grands M . RAYMONDhttp://yvan.raymond.pedagog.free.fr/.../3 conceptions de l'apprentissage .doc

http://yvan.raymond.pedagog.free.fr/.../3%20conceptions%20de%20l'apprentissage%20.doc

Ce choix didactique permet aux élèves et à l’enseignant de travailler sur le statut

de « l’erreur » dans le processus d’apprentissage.

C’est par les interactions entre les différents univers de connaissance que l'élève choisit que s’effectue

le dépassement de l'obstacle, et que ainsi la nouvelle notion prend du sens.

Ce choix d'enseignement est celui qui

s'appuie sur les représentations et procédures de l'élève afin que ce

dernier donne du sens à l’apprentissage.

Jean Piaget :

« "Toute acquisition est une

construction" et nous oublions cette évidence parce que le

savoir une fois acquis prend alors la forme d'un

"donné" qui éclipse le construit. »

En didactique, le phénomène d'«objectif-obstacle » a été mis en évidence par Jean-

Louis MARTINAND dans sa thèse de doctorat (1982).

MARTINAND dit : « Une tentative pour faire rejoindre deux courants, celui des

pédagogues qui cherchent, à travers les objectifs, à rendre plus efficaces les actions didactiques, et celui des épistémologues qui

s’intéressent aux difficultés qu’affronte la pensée scientifique »

Objectif-obstacle

Voir l'article : « OBSTACLES ET CONSTRUCTION DE SITUATIONS DIDACTIQUES EN SCIENCES EXPÉRIMENTALES »de Jean-Pierre Astolfi et Brigitte Peterfaivi.http://documents.irevues.inist.fr/.../2042/.../ASTER_1993_16_103.pdf?...

http://documents.irevues.inist.fr/.../2042/.../ASTER_1993_16_103.pdf?...

La notion d’ « obstacle épistémologique » a été introduite par Gaston BACHELARD (1938), qui considérait ces obstacles épistémologiques comme le moteur de l’évolution de la connaissance, puisqu’ils produisent la rupture qui motive le progrès de la connaissance.

Guy Brousseau a mis en avant la notion d'« obstacle didactique » qui se produit sous l'effet des choix pédagogiques de l’enseignant ou du système éducatif. Un obstacle didactique est induit par un apprentissage antérieur, et fait obstacle à un apprentissage nouveau.

Selon Jean Piaget, l'obstacle relève de l'épistémologie génétique. Il est déterminé par le stade de développement psychologique du sujet. C'est ce que Guy Brousseau appelle « l'obstacle ontogénétique ».

Obstacles

Un obstacle se manifeste par les erreurs généralisées et persistantes d'élèves d'un même niveau. Ces erreurs sont dues à une connaissance incomplète ou inappropriée dans un univers qui devient alors insuffisant. L'obstacle implique la nécessité d'un véritable parcours d'apprentissage. L'origine des obstacles peut être ontogénétique, didactique, épistémologique ou psychomorphique. Cette origine est souvent multifactorielle, c'est-à-dire que les quatre facteurs ontogénétique, didactique, épistémologique ou psychomorphique sont présents éventuellement avec une plus forte contribution de l'un d'entre eux. Parmi les obstacles que l'analyse permet d'identifier, la recherche actuelle distingue :

- les obstacles ontogénétiques : ce sont des connaissances spontanées apparaissant «naturellement » au cours du développement neurophysiologique du sujet (Piaget). Par exemple, à un âge donné, on ne peut admettre que la collection B, dont on a un peu modifié l’apparence en écartant les jetons, a bien le même nombre de jetons que la collection A, alors qu’on l’admettait lorsque les deux collections étaient présentées à l’identique. Pour cette erreur, le spatial l'emporte sur le numérique.

- les obstacles épistémologiques : ils sont attestés dans la genèse historique d’un concept et constitutifs du savoir actuel. « On connaît contre une connaissance antérieure ». Bachelard ayant mis en évidence cette notion, un certain nombre de travaux qui s'appuient sur l'histoire des sciences poursuivent la recherche entreprise par Bachelard et l’étendent à d’autres sciences que les sciences physiques. Les obstacles épistémologiques ont joué un rôle dans le développement historique des connaissances et ont dû être intégrés explicitement dans le savoir transmis.

- les obstacles didactiques : ils résultent d'une transposition didactique antérieure, non susceptible de renégociation par le maître dans le cadre restreint de sa classe du moins. Le franchissement d'obstacles implique très souvent à la fois une restructuration des modèles d’action, du langage et des systèmes de preuve.

- les obstacles psychomorphiques : nous avons trouvé ce type d'obstacle lors de nos recherches et nous allons lui consacrer une place à part dans la suite de ce module 3.

Voir l'article de Guy Brousseau : « Les erreurs des élèves en mathématiques », 9/12/2011.

http://www-irem.ujf-grenoble.fr/revues/revue_x/fic/57/57x1.pdf

http://www-irem.ujf-grenoble.fr/revues/revue_x/fic/57/57x1.pdf

Pour Gérard De Vecchi et Nicole Carmona-Magnaldi (2002),

une situation-problème devrait :

Avoir du sens (interpeller, concerner l'apprenant qui ne se contente pas d'obéir, d'exécuter) ;

Être liée à un obstacle repéré, défini, considéré comme surmontable, et dont les élèves doivent prendre conscience à travers l'émergence de leurs conceptions (représentations mentales) ;

Faire naître un questionnement chez les apprenants (qui ne répondent plus aux seules questions du maître) ;

Créer une ou des ruptures amenant à déconstruire le ou les modèles explicatifs initiaux, s'ils sont inadaptés ou erronés ;

Correspondre à une situation complexe, pouvant ouvrir sur différentes réponses acceptables et différentes stratégies utilisables ;

Déboucher sur un savoir d'ordre général (notion, concept, loi, règle, compétence, savoir être, savoir devenir...) ;

Faire l'objet d'un ou plusieurs moments de métacognition (analyse a posteriori de la manière dont les activités ont été vécues et du savoir qui a pu être intégré).

Une situation-problème ne peut être considérée comme telle que pour un niveau d'apprenants donné et à la condition qu'elle soit exploitée par le maître ou le formateur comme une réelle situation de recherche. De ce fait, plus qu'un ensemble de critères rigides, c'est surtout la mise en œuvre d'un état d'esprit qui la définit.

Obstacle psychomorphique(voir module 1 de la série « La didactique des mathématiques : les fondamentaux » Canal U)

Nous avons observé un autre type d'obstacle qui se produit pendant le phénomène de psychomorphisme entre deux univers U et U' quand il y a une contradiction entre U et U'. C'est le « psychomorphisme contrarié ».

Obstacle psychomorphiqueIl surgit quand le résultat trouvé dans un Univers U contreditle résultat que l'élève devrait trouver psychomorphiquement dans l'autre Univers U'. Le psychomorphisme entre U et U' est alors contrarié.Voici un exemple trouvé lors de notre thèse (*).Au début du collège, les élèves sont persuadés que dans l'Univers des tracés aux instruments, une droite (t) tangente à un cercle ( Ω ) a en commun plusieurs points avec celui-ci.Ceci contredit le fait que l'on trouve dans l'Univers des figures et propriétés,où l'on démontre qu'une droite tangente à un cercle a un seul point en commun avec celui-ci.Ici l'obstacle psychomorphique est fort, car d'une part on a le point perçu dansl'univers des tracés avec sa matérialisation due au trait du crayon et d'autre part le point conçu avec son immatérialité dans l'Univers des figures et propriétés.

(*) Ruben Rodriguez Herrera, « La pédagogie des mathématiques est-elle moderne ?», thèse dirigée par Gaston MIALARET en Sciences de l'Éducation, Caen 1978, 692 pages.

Obstacle psychomorphique(voir module 1 de la série « La didactique des mathématiques : les fondamentaux » Canal U)

En géométrie, le point pose obstacle aux élèves et doit donc faire l'objet d'un parcours d’apprentissage-enseignement.Nous avons développé des recherches didactiques sur cet obstacle, nous vous proposons maintenant un exemple de parcours d'apprentissage. Et pour aller plus loin, nous vous conseillons la lecture : - de l'ouvrage Du dessin perçu à la figure construite, éd. Ellipses, R.R. Herrera (auteur), D. Salles-Le Gac (auteur) - Scolaire / Universitaire (broché), paru en 08/2005 ; - de l'article de Ruben Rodriguez Herrera «Un conflit socio-cognitif en didactique à propos de différentes médiations sémiotiques en géométrie », en ligne : http://www.math.unicaen.fr/irem/IMG/pdf/conflitSC_01_09.pdf



http://www.math.unicaen.fr/irem/IMG/pdf/conflitSC_01_09.pdf

Obstacle psychomorphique :un autre exemple

( voir module 1 de la série « La didactique des mathématiques : les fondamentaux » Canal U)

Un exemple de psychomorphisme contrarié : confusion entre droite et segment

Vers la fin de l'école primaire et en sixième, les élèves ont à distinguer les notions géométriques de droite et de segment. Quelques élèves confondent ces deux objets de la géométrie plane. Une partie de l'obstacle est due à un « psychomorphisme contrarié ». Pourquoi ? (voir un exposé sur cet exemple dans l'article à partir du lien en bas de page)

Dans certains manuels, l’univers formalisé mathématique conçu pour représenter les droites et les segments par des figures est en contradiction avec le principe naturel du psychomorphisme dans tout apprentissage : deux notions x et y, différentes dans un univers U ne peuvent pas se représenter identiquement dans l’univers U' qui est en correspondance avec U dans cette représentation. Segment _________________

Droite _________C’est ainsi que les élèves, confrontés à des représentations identiques dans U' vont croire par le « psychomorphisme réciproque » de U' vers U que : comme les segments et les droites sont visuellement identiques alors ils doivent être les mêmes objets géométriques.http://www.math.unicaen.fr/irem/IMG/doc/psychomorphisme_contrarie_Segments_droites.doc

http://www.math.unicaen.fr/irem/IMG/doc/psychomorphisme_contrarie_Segments_droites.doc%20

Obstacle psychomorphique Un exemple utilisant l'Univers lexical

géométrique, l'Univers des figures planes usuelles, l'Univers des longueurs

et l'Univers d'aires( voir module 1 de la série « La didactique des mathématiques : les fondamentaux » Canal U)

rayon de 4cmrayon [OA]

aire du disque : 14,16cm²« aire du cercle »

aire du carré : 25cm²« intérieur du cercle »

intérieur du disquehypoténuse de 5cm

hypoténuse [BC]hauteur

...

4cm

5cm...

14,16cm²25cm²

...

Si deux notions x et y, différentes dans un univers U correspondent identiquement à un même élément de l’univers U', alors va se produire un obstacle psychomorphique.

Obstacle psychomorphiqueUn exemple utilisant l'Univers des figures

tracées sur un cube en perspective, l'Univers des figures tracées sur un vrai cube et

l'absence de mise en correspondance avec l'Univers des figures planes usuelles

Un étrange triangle équilatéral ayant ses trois angles droits !

Pour certains élèves, un triangle comme BDC, vu sur un cube en perspective, possède à la foistrois côtés de même longueur et trois angles de 90°. Ces élèves en viennent à le qualifier de « triangle équilatéral ayant trois angles de 90° ».

Ils ne pensent pas à la propriété suivante, vraie pour tout trianglede la géométrie classique : « la somme des trois angles d'un triangle est un angle plat »ou« la somme des trois mesures en degrés des angles d'un trianglevaut 180° »

Obstacle psychomorphique par enfermement dans un seul univers

Il se produit lorsque les élèves s'enferment dans un seul univers. Alors il n'y a pas de psychomorphisme avec un autre univers, ce qui empêche

les élèves de se rendre compte des erreurs commises.

Quelques erreurs classiques :

« 1/2 + 1/3 = 2/5 » « Ö9 + Ö16 = Ö(9+16) » « 12x+3y =15xy »

« (a+b)² = a² + b² » x + 5 « donne » x « (a-b)²=a²-b² » « ( Öa -Öb)²=a-b » 3x +5 3x

2 qui est « égal » à 2+4 « 6x18 qui est égal à 6 x 18 » 5 5+4 2 2 2

« 2(4x) =(2x4)x(2xx) » « 3²+4²=7²» « 1/3 =1,3 »

« 10+2+3 = 12 = 12+3 = 15 » Les élèves valident ces propriétés fausses en restant enfermés dans un seul univers qui est ici l'univers numérique et algébrique. Dans leur parcours scolaire antérieur, ces élèves n'ont pas sûrement appris l'algèbre par psychomorphismes avec d'autres univers et donc ils n'ont pas le moyen de se rendre compte que leur calcul est faux.

Obstacle psychomorphiqueIl se produit lorsque les élèves n'ont pas fait dans leur

parcours scolaire antérieur un apprentissage psychomorphique utilisant tous les univers

nécessairement présents dans les grandeurs et mesures.

Dans l'enseignement-apprentissage des grandeurs et mesures, il faut nécessairement faire vivre aux élèves des situations où les psychomorphismes entre l'Univers des objets, l'Univers des grandeurs et l'Univers des mesures sont présents.

Voici quelques exemples de confusions chez des élèves qui n'ont pas appris par correspondances psychomorphiques entre les univers nécessairement présents dans les grandeurs et mesures des objets.

« [AB] = 5cm » « 4x5 =20cm »

« [AB] = [CD] = 8cm » « 10x3,5 = 35 euros »

Voir l'article : Autour du thème de la mesure de Joël Briand, François Colmez, Guy Brousseau.http://www.arpeme.fr/documents/5AFD6641A833AF55E2ED.pdf

http://www.arpeme.fr/documents/5AFD6641A833AF55E2ED.pdf

Analogie et Psychomorphisme

Table ronde, « L 'ANALOGIE : COEUR DE LA PENSÉE », YouTube, 11 avr. 2013 ...Table ronde organisée à l'occasion de la sortie de l'ouvrage L'analogie : cœur de la pensée, Université Paris 8.http://www.youtube.com/watch?v=ifaEfw2tW3Y

Faux calcul élève : 6x18 qui est « égal » à 6 x 18 2 2 2Simple analogie avec

6 + 18 qui est égal à 6 + 18 2 2 2 ou psychomorphisme avec l'Univers numérique d'additions des fractions ?

Récemment, en février 2013, les chercheurs Douglas Hofstadter (Indiana University, Bloomington) et Emmanuel Sander (Paris 8) ont publié chez Odile Jacob un excellent ouvrage intitulé L'analogie, cœur de la pensée ... Lors de la présentation de l'ouvrage, nous avons eu l’honneur de participer à la table ronde et nous y avons exposé nos résultats sur les psychomorphismes. Nous avons notamment expliqué pourquoi - pour nous - l'analogie est une forme condensée de psychomorphisme et pourquoi le phénomène de psychomorphisme est plus puissant que l'analogie pour rendre compte de la question « comment apprend-t-on ? »

http://www.youtube.com/watch?v=ifaEfw2tW3Y

Voici quelques pistes pour réaliser une situation-problème.

L'objectif est de faire émerger les représentations des élèves, représentations qui posent obstacle pour l'apprentissage de la nouvelle connaissance.

Pour cela, vous pouvez regarder et vous approprier les « situations-problèmes » de n'importe quel manuel scolaire, situations qui sont parfois simplifiées pour éviter l'obstacle !

Vous pouvez …

- Exploiter en classe des arguments d'élèves contredits par d'autres élèves, ce qui donne lieu à un conflit socio-cognitif.

- Exploiter un résultat d'expérience qui surprend les élèves. - Exploiter les contradictions ou incomplétudes des élèves. - Ouvrir les problèmes, même les problèmes sans questions !

…

Les problèmes "ouverts" : définition

Un "problème ouvert" est un problème dont la résolution n'a pas pourbut d'introduire une notion nouvelle

ou uniquement d'appliquer ou réinvestir des connaissances mais dedévelopper chez les élèves les attitudes de recherche et les capacités

pour chercher.

Voici les caractéristiques d'un "problème ouvert"à partir d'une définition donnée par l'IREM de Lyon :

- l'énoncé est court et concerne un univers familier pour l'élève. Ceci facilite l'appropriation des questions et l'engagement

dans des essais, des conjectures, etc. La difficulté ne doit pas se situer dans la compréhension

des questions de la situation, mais dans les moyens d'y répondre.

- l'énoncé n'induit ni la méthode ni la solution. Il ne s'agit donc ni d'une utilisation ni de l'application très fermée des connaissances

acquises en cours.

Les "problèmes ouverts" : quelles finalités ?

Développer la capacité de l'élève à faire face à des situations inédites.

Permettre, au niveau méthodologique, de valoriser des méthodes et comportements essentiels.

Prendre des initiatives, être critique vis-à-vis de son travail, s'organiser, être méthodique, communiquer…

Développer des capacités d'argumentation.

Offrir une occasion de prendre en compte et même de valoriser les différences entre élèves (c'est la diversité des stratégies qui permet l'échange, la

confrontation et le débat).

Contribuer à l'éducation civique des élèves (entraide, écoute, prise en compte et respect de l'autre,...)

Permettre à l'enseignant de faire connaître aux élèves ses attentes en matière de résolution de problèmes : « Ce n'est pas facile, il s'agit de chercher, de prendre

des initiatives, on peut essayer pour voir ». L'originalité est encouragée et retenue... On encourage à se servir de l'analyse des erreurs pour améliorer la

recherche.Voir l'article de Dominique Pernoux : Les problèmes "ouverts"http://pernoux.pagesperso-orange.fr/Problemes/doc10.pdf

http://pernoux.pagesperso-orange.fr/Problemes/doc10.pdf

Exemples de problèmes ouverts

Problème ouvert en situation ouverte en classe de fin d'école primaire.

Exemple : les carrés et les triangles dessinés sur des cartes.

Phase 1. Les élèves par petits groupes reçoivent un tas de cartes où l'on distingue soit un carré soit un triangle équilatéral. Ils comptent le nombre de carrés et de triangles et calculent le nombre total des côtés.

Phase 2. L'enseignant montre un tas de cartes et dit qu'il y a 18 cartes en tout et qu'il a compté le nombre total des côtés : 60 côtés en tout. Il sollicite les élèves pour qu'ils cherchent combien de triangles et combien de carrés.


Quelqu’un a une bouteille de 8 litres d’eau et veut donner à son ami 4 litres de cette quantité. Pour la mesurer, il dispose seulement de deux récipients vides : un de 5 litres et un de 3 litres. Quelles sont les actions à faire pour verser les 4 litres d’eau dans le récipient de 5 litres ?


Un cube avec une arête de 10 cm est peint en rouge. Il est ensuite découpé en 1000 petits cubes d’une arête de 1 cm. Pouvez-vous prévoir combien de petits cubes sont colorés en rouge sur 6 faces, combien sur 5, 4, 3, 2, 1 ou aucune ?


Comment peux-tu plus efficacement remplir une boîte d’objets de la même forme ?


Avec 9 allumettes, on a construit 4 triangles équilatéraux. Peux-tu avec 6 allumettes, construire 4 triangles équilatéraux ? (CM 2)

Si le problème ouvert proposé est séparé du vécu des enfants, il ferme les horizons de la recherche.


Les quadrilatères tronqués

Le cas du carré ABCD tronqué.Le sommet C n'est pas accessible.En réalisant les constructions, seulement dans le carré tronqué, tracer la partie de la diagonale [AC] contenuedans ce carré tronqué. On dispose des instruments de géométrie.




Une solution à partir du centre du carré

Une solution à partir de la perpendicularité des diagonales

Exemple de problème ouvertPartage d'un terrain polygonal en deux terrains ayant la même aire.

Soit un terrain polygonal ayant un de ses côtés bordé par un canal.On souhaite tracer une clôture afin de partager ce terrain en deux terrains ayant la même aire.

Énoncé plus ouvert :On a un carré avec un côté de 2 centimètres et nous voulons en construire un autre avec une aire double.

Peux-tu trouver une méthode de construction ?

Énoncé plus fermé :On a un carré avec un côté de 2 centimètres et nous voulons en construire un autre avec une aire double.

Peux-tu constater (ou prouver) que lasolution est trouvée si nous prenons comme

côté du deuxième carré demandé ladiagonale du premier ?

Exemple de fermeture ou d'ouverture de problème

Problème ouvert en mathématiques et en didactique des mathématiques

En mathématiques, l'expression « problème ouvert » se réfère habituellement aux problèmes qui pendant des années restaient sans solution. Par exemple le dernier Théorème de Fermat - qui a été résolu en 1993 -, ou la Conjecture de Goldbach - qui reste encore non résolue.

En didactique des mathématiques, l'expression « problème ouvert » est un problème qui encourage l'activité de recherche des élèves et qui n'impose pas une méthode déterminée pour trouver une solution. Ce n’est pas un problème de réinvestissement. C’est un problème nouveau pour lequel l’élève ne dispose d’aucune procédure experte de résolution.

Lettre de Goldbach à Euler dans laquelle il introduit sa conjecture (7 juin 1742).

"Tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers." Pierre de Fermat :

« Au contraire, il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré : j'en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir »

Trois siècles plus tard, une preuve a été publiée et validée par le mathématicien britannique Andrew Wiles en 1994 .

La démonstration de Wiles est liée aux travaux de Jean-Pierre Serre, d'Yves Hellegouarch et de Robert Langlands sur la représentation des courbes elliptiques par les fonctions modulaires.

xn + yn = zn

Le théorème de Fermat-Wiles établit que pour n > 2, cette équation n'a pas de solution en entiers non nuls

La situation d'apprentissage et d'évaluation, simplement appelée « SAÉ »

Une SAÉ se définit comme un ensemble constitué d’une ou plusieurs tâches à réaliser par l’élève en vue d’atteindre le but fixé. Elle permet :

- à l’élève, de développer et d’exercer une ou plusieurs compétences disciplinaires et transversales; - à l’enseignant, d’assurer le suivi du développement des compétences dans une perspective d’aide à l’apprentissage.

Elle est donc centrée sur l'élève et nécessite une approche socio-constructiviste.

Au cours de la réalisation d'une SAÉ et des activités qu'elle implique, l'élève devra résoudre un ou des problèmes et accomplir une série de tâches visant une production qui contient sa démarche et ses résultats et qui met en évidence le développement de compétences spécifiques.

Une compétence est un savoir-agir fondé sur la mobilisation et l'utilisation d'un ensemble de ressources constitué de savoirs (connaissances déclaratives et procédurales), de savoir-faire (habiletés), et enfin de savoir-être (comportements, attitudes).

Exemple : activités autour de la médiatrice d'un segmentVoir l'article : « Situations d'apprentissage et d'évaluation (SAÉ) » de Robert Bibeau, http://www.robertbibeau.ca/sae.html

Voir l'article : « Situation d'apprentissage et d'évaluation » http://fr.wikipedia.org/wiki/Situation_d'apprentissage_et_d'évaluation

Pour une banque de SAÉ mathématiques primaire : http://srp.csrs.qc.ca/Mathprim/Situations.htm

http://www.robertbibeau.ca/sae.html

http://fr.wikipedia.org/wiki/Situation_d'apprentissage_et_d'%C3%A9valuation

http://srp.csrs.qc.ca/Mathprim/Situations.htm

Exemple de SAÉ :« Destination Québec »


Situation-problème créée par Brigitte Busque, enseignante à la commission scolaire de St-Hyacinthe et Brigitte Provençal, conseillère pédagogique.

Détermine la tâche à accomplir et dégage les données utiles à ta démarche.

Vérifie si tu as besoin d’informations complémentaires et s’il y a des données manquantes.

Représente la situation par un dessin, un schéma, un tableau, une équation, etc.

Identifie les concepts et processus qui te seraient utiles.

Si nécessaire, fais un plan de travail en nommant les étapes de ta démarche.

Trouve une

stratégie pour

vérifier ce que tu

fais.

Est-ce que les éléments

clés de ta démarche

sont présents?


L'activation des connaissances antérieures

Cette phase consiste à partir d'un univers familier expérimentable pour l'élève et à se diriger vers

des notions inconnues. La première phase permet de réinvestir des connaissances, tout en

tentant d'engager une procédure de résolution du problème donné. Elle permet à l'enseignant de

mesurer les connaissances déjà acquises par les élèves afin d'adapter sa SAÉ et sa gestion. Au

départ, les élèves peuvent trouver des solutions à une partie du problème en s'appuyant sur leurs premiers essais. Dans cette phase, on favorise la

curiosité des élèves.

La recherche

Lors de cette phase, les élèves devraient réaliser que les connaissances qu'ils ont acquises

jusqu'à présent ne sont pas suffisantes pour résoudre le problème donné. C'est-à-dire qu'ils font face à un conflit ou obstacle. Les élèves se

mettent à chercher d'autres procédures ou d'autres solutions mieux adaptées au problème.

Lors de cette phase, les élèves sont dans l'action. L'enseignant se doit de les laisser

chercher, il accompagne les élèves dans leur réflexion. Il endosse alors le rôle de régulateur.

L'explicitation

Lors de cette phase, les élèves sont amenés à verbaliser leurs explications ou leurs hypothèses

qui seront validées progressivement par l'enseignant. Celui-ci se doit toutefois de

respecter la liberté de proposition des élèves. Le retour en grand groupe est primordial lors de

cette étape.

L'institutionnalisation

Cette phase permet de revenir sur les points d'apprentissage importants. C'est lors de cette

phase que les élèves prennent des notes. L'enseignant intervient donc de manière directe

(le plus souvent) et c'est à ce moment qu'il explicite les définitions, les modélisations...,

conjointement avec les élèves.

La familiarisation et le réinvestissement

À ce stade, les élèves mettent à profit ces nouvelles connaissances par le biais d'exercices

et de problèmes pertinents à résoudre. Il y a donc réinvestissement pour développer ces connaissances. La plupart du temps, une

évaluation (un bilan des acquis) trouve sa place lors de cette étape.

Complexification

Cette phase se veut le moment idéal pour vérifier l'application des connaissances dans une situation différente (décontextualisation et

récontextualisation). Lors de cette phase, la situation ou le problème sont généralement plus

complexes et vont au-delà du contenu d'apprentissage de la SAÉ. Soumettre aux

élèves des questions réflexives en lien avec l'objet de la SAÉ ou créer une ouverture vers une

nouvelle SAÉ sont deux méthodes pertinentes d'opérer une complexification.

La diversité des SAÉ

Les SAÉ sont très diverses puisque, d'une SAÉ à l'autre, la même phase peut se vivre de manière complètement différente bien que les caractéristiques de base restent les mêmes. Ces variations et cette diversité sont souhaitables puisque le développement d’une compétence ou son évaluation ne peuvent se faire à partir d’une seule situation.

Voici quelques paramètres qui peuvent varier d'une SAÉ à l'autre :

-la nature et la complexité de la problématique au cœur de la situation ; -le nombre de tâches qui composent la situation ; -le caractère plus ou moins familier des tâches proposées ; -la nature des productions attendues ; -les contraintes de temps et les modalités de réalisation ; -la nature, l’ampleur et la complexité des ressources internes à mobiliser ; -le type, la variété ou l’accessibilité des ressources externes à exploiter ; -les attentes relatives à l’explicitation des démarches et des processus utilisés.

Contextualisation

Une situation est contextualisée dans la mesure où elle s’inspire de phénomènes

naturels, de questions d’actualité, de problèmes du quotidien ou des grands

enjeux du moment.C'est dans des univers expérimentables *

que se déroulent les SAÉ.(*voir module 1 CanalU)

Ouverture

Une situation est ouverte lorsqu’elle présente des données de départ

susceptibles de fournir différentes pistes de solution.

Diversification

Une situation peut générer des activités d’apprentissage diversifiées dans la mesure où l’élève est appelé à jouer

plusieurs rôles.

Les SAÉ et les Tâches complexesCes dernières années, on a vu en mathématiques et ailleurs se développer

un enseignement à partir de tâches complexes.Les tâches complexes sont largement inspirées des SAÉ.

Une tâche complexe n’est pas une somme de tâches simples. Traiter une tâche complexe appelle une analyse de la situation donnée pour envisager des étapes possibles en vue de répondre à ce qui est

demandé. Son traitement combine diverses connaissances souvent référées

à plusieurs disciplines, divers savoir-faire et divers savoir-être que l’élève doit mobiliser à bon escient.

La mise en situation d’une tâche complexe peut conduire l’élève à exploiter diverses ressources

(outils scolaires, supports documentaires papier ou numériques, logiciels, personnes ressources,...)

et à se référer à des savoirs non spécifiquement scolaires.

Comme on peut le remarquer, il existe une grande proximité entre tâche complexe, problème, problème ouvert et situation-problème.

La caractéristique principale commune est l’émergence d'obstacles et leur gestion didactique. Un autre élément fondamental en didactique des mathématiques est le

« parcours d'étude et recherche » qui ouvre aussi une place principale aux obstacles. Pour cela nous vous invitons à lire l’article de l'Ifé :

« De "la situation des bandes" aux fractions et décimaux » de Loïc Coulombel - Jacques Duval - Claudine Plourdeau - Ruben Rodriguez Herrera.

Groupe Ifé de Caen - Groupe Didactique l'IREM de Basse-Normandie. Lyon 2012.http://educmath.ens-lyon.fr/.../contribution-caen-_inrp_19mai.pdf

http://educmath.ens-lyon.fr/.../contribution-caen-_inrp_19mai.pdf

Banque de situations d'apprentissage et d'évaluation pour la compétence 3. Éduscol, Ministère de l'Éducation nationale, de l'Enseignement supérieur et de la Recherche

Présentation des fiches

« Conçue pour les professeurs, chaque fiche proposée : décrit la situation et les consignes données aux élèves, précise les objectifs pédagogiques (variables selon le niveau de la classe), propose des modalités de mise en œuvre (travail individuel ou en groupes, devoir de contrôle ou à la maison, activité introductive d'une notion...), signale le degré de familiarisation du professeur avec la mise en œuvre d'une tâche complexe, repère dans la grille de références, dans le document d'aide au suivi de l'acquisition des connaissances et des capacités tout au long de la scolarité au collège, mais aussi dans les programmes, les connaissances et les capacités mises en jeu, explicite des aides possibles pour ceux des élèves qui ne parviendraient pas à résoudre en autonomie le problème posé, suggère des pistes d'approfondissement dont certaines font appel à des notions qui ne figurent pas dans le socle. »

Notons au passage que la banque proposée par Éduscol est une transposition didactique externe (*). Mais pour que la situation puisse devenir une vraie tâche complexe, c'est dans sa transposition didactique interne (*) que l’enseignant doit construire un contrat didactique (*) qui fera émerger les principales caractéristiques de la tâche complexe.

(*) voir modules 2 et 5 de la série « La didactique des mathématiques : les fondamentaux » Canal U

Tâche complexe et compétenceToute compétence comporte quelques composantes constitutives.

Elle se manifeste dans des Univers précis où l'élève agit. Par exemple, un élève peut être très compétent dans L'Univers du langage géométrique mais peut être qualifié de « non compétent » dans l'Univers des tracés avec les instruments.

Elle est la résultante des actions psychomorphiques (*) entre plusieurs univers afin d'anticiper dans un univers le résultat correspondant dans un autre univers. Par exemple, un élève peut anticiper dans l'Univers des doigts des mains et comptage le résultat à trouver dans l'Univers chiffré des nombres.

Elle a besoin d'un recul adaptatif dans l'action afin de construire rapidement un Univers formalisant métacognitif qui permet de structurer les psychomorphismes entre les différents univers reconnus comme fonctionnels selon le but recherché. Par exemple l'Univers des segments tracés sur une feuille formalise les actions de traçage possibles dans l'Univers haptique avec les instruments, ce qui permet à l'élève d’anticiper un tracé pour trouver une solution à un problème de construction.

Elle s’enrichit dans sa formalisation dans l'Univers de la langue grâce à l’interaction

sociale psychomorphique avec les autres élèves et l'enseignant. Par exemple, quand un élève explique à un autre la procédure qu'il a employée, il améliore sa compétence ainsi que celle de son camarade.

(*) voir module 1 de la série « La didactique des mathématiques : les fondamentaux » Canal U

Exemple extrait de la banque de ÉduscolLa chèvre

Niveaux et objectifs pédagogiques 6e et 5e : Consolidation du lien entre distance et cercle.

4e et 3e : Réinvestissement des connaissances en géométrie plane pour résoudre un problème de la vie courante.

SituationUne chèvre vit dans un enclos rectangulaire. Elle est attachée à un piquet au pied de sa

cabane, elle aussi de forme rectangulaire. L’enclos est entouré d’une barrière assez basse qui permet à la chèvre de manger les savoureuses fleurs plantées au bord du chemin.Le propriétaire souhaite renforcer la clôture pour empêcher la chèvre de tout dévorer.

Supports et ressources de travail :

Document : Un plan détaillé et commenté de l’enclos de la chèvre.Le schéma ci-dessous représente l’enclos et la zone hachurée correspond au parterre de

fleurs le long du chemin. La chaîne de la chèvre est attachée à un piquet au point P. Les distances sont exprimées en mètres.

chemin

chèvre

cabane

enclos

2

2

1

4

Sachant que la chèvre est attachée à une chaîne de 8 m, détermine la partie de la clôture que le propriétaire doit renforcer et la longueur de celle-ci. Tu expliqueras clairement ta démarche.

http://eduscol.education.fr/soclecommun

Cet élève travaille dans la correspondance entrel'Univers des figures à l’échelle sur papier millimétré et l'Univers des longueurs des segments mesurées à la règle.



Cet élève travaille dans la correspondance entre l'Univers des figures schématisées et l'Univers métrique des longueurs calculées.


La démarche d’investigationYves Matheron commente ainsi la démarche d'investigation selon le Ministère de l’Éducation nationale : «Cette démarche [...] s’appuie sur le questionnement des élèves sur le monde réel (en sciences expérimentales et en technologie) et sur la résolution de problèmes (en mathématiques)». Dans ce texte du programme, la partie qui suit explicite une proposition de «canevas d’une séquence d’investigation », courant donc sur plusieurs séances, articulée autour de sept moments : choix d’une situation – problème ; appropriation du problème par les élèves ; formulation de conjectures, d’hypothèses explicatives, de protocoles possibles ; investigation ou résolution du problème conduite par les élèves ; échange argumenté autour des propositions élaborées ; acquisition et structuration des connaissances ; mobilisation des connaissances. » *

L’Apprentissage par investigation

||1|| Mettre en situation (Observations initiales)

||2|| Hypothèse(s) vérifiable(s)

||3|| Protocole expérimental

||4|| Collecte de données > Expérimentation

||5|| Vérification des hypothèses

||6|| Expérimentations complémentaires

* Voir « "Démarche d'investigation" et Parcours d'Étude et de Recherche en mathématiques : entre injonctions institutionnelles et étude raisonnée des conditions et contraintes de viabilité au sein du système », Yves Matheron, UMRP3-ADEF, INRP & Aix-Marseille Université.

http://iremlp.irem.univ-mrs.fr/site/.../YMDémarche d'investigation.pdfEn cachePages similaires

http://iremlp.irem.univ-mrs.fr/site/.../YMD%C3%A9marche%20d'investigation.pdf%E2%80%8EEn%20cachePages%20similaires

La démarche d’investigationProgramme de l’école primaire de 2008, extrait de la partie consacrée aux sciences expérimentales et à la technologie : « Observation, questionnement, expérimentation et argumentation pratiqués, par exemple, selon l’esprit de la Main à la pâte sont essentiels pour atteindre ces buts ; c’est pourquoi les connaissances et les compétences sont acquises dans le cadre d’une démarche d’investigation qui développe la curiosité, la créativité, l’esprit critique et l’intérêt pour le progrès scientifique et technique.»

L’expérimental et l'expérimentable (*)Il y a une différence épistémologique fondamentale et - par conséquent – didactique, entre l’expérimental et l'expérimentable tel que nous l'entendons.

L’expérimental est basé sur les données de l’expérience qui vont valider de façon approchée les affirmations des élèves. Par exemple, supposons qu'on donne aux élèves des bandes prédécoupées, qu'ils les mesurent puis qu'ils disent que deux petites bandes juxtaposées font la même longueur qu'une bande unité (qui aura été donnée aussi à l'avance), ils ne feront aucune anticipation, ils le constateront expérimentalement.

L'expérimentable est basé sur des anticipations qui valident l'expérience, même si les mesures ne sont pas exactement les mêmes. Par exemple, quand les élèves par pliage construisent deux bandes telles que juxtaposées elles aient la même longueur qu'une bande unité, ils anticipent le fait expérimental par le choix du pliage. Ce n'est pas l'expérience qui détermine le fait, c'est l'anticipation qui permet de le réaliser.

(*) voir module 1 de la série « La didactique des mathématiques : les fondamentaux » Canal U

Les grandes étapes de la démarche d'investigation

Les diapositives qui suivent sont extraites de l'article « Les grandes étapes de la démarche d'investigation », sur le site de l'académie de Nantes *.

Le choix d'une situation problème par le professeur

L'appropriation du problème par les élèves

La formulation de conjectures, d'hypothèses explicatives, de protocoles possibles

L'investigation ou la résolution du problème conduite par les élèves

L'échange argumenté autour des propositions élaborées

L'acquisition et la structuration des connaissances

L'opérationnalisation des connaissances

Depuis 1990 « investigation » ou « inquiry » apparaît dans différents curriculums et standards d’enseignement scientifique, dans des projets tels que Science for All Americans (AAAS 1989, NRC 1996), Science in the New Zealand Curriculum (Ministry of Education 1993), English National Science Curriculum, Pan Canadian Science Project (Council of Ministers of Education 1997), National Science Education standards(Etats-Unis 1996), Programme for International Student Assessment, PISA (OCDE 2001)

* Voir l'article : « Les grandes étapes de la démarche d'investigation » http://www.ac-nantes.fr/47226171/0/fiche___pagelibre/&RH=PER

http://www.pedagogie.ac-nantes.fr/97586062/0/fiche___pagelibre/&RH=1208937860421







http://www.ac-nantes.fr/47226171/0/fiche___pagelibre/&RH=PER

Le choix d'une situation problème par le professeur

Les objectifs de cette accroche sont de faire émerger les représentations des élèves et de repérer leurs acquis initiaux : il est donc important de choisir une situation initiale concrète, qui a du sens pour les élèves.

Suivre les étapes à travers une même séquence : la masse de l'air (4ème)

Le professeur énonce l'accroche en présentant un ballon de foot (aucun autre matériel n'est visible) ; il demande aux élèves de réfléchir individuellement et de rédiger au brouillon une réponse argumentée.

Voir l'article : « Les grandes étapes de la démarche d'investigation » http://www.ac-nantes.fr/47226171/0/fiche___pagelibre/&RH=PER


L'appropriation du problème par les élèves

La compétence travaillée est ici "Comment passer d'une question de la vie de tous les jours à une question scientifique ?". Le travail de reformulation est important car il doit permettre au problème ou à l'objet d'étude d'être compris par tous.

Le professeur arrête le travail et anime les échanges au sein de la classe : des élèves exposent à la classe leur point de vue et leurs arguments, et le notent au tableau.

Le professeur propose que l'on réalise une expérience pour se mettre d'accord : les élèves réfléchissent un instant puis la classe propose une expérience qu'un élève vient réaliser. Il pèse un ballon gonflé puis le même ballon vidé d'un peu d'air et inscrit les deux masses au tableau : 425,3 g et 423,3 g

La question est alors reformulée : L'air, ça pèse combien ?



La formulation de conjectures, d'hypothèses, de protocoles

En groupes, les élèves formulent des hypothèses (par écrit ou oralement) et élaborent des expériences pour valider ces hypothèses : ils communiquent ensuite leurs propositions à la classe.

Seuls le ballon, la balance et la pompe utilisée lors de la séance précédente sont visibles.

Le professeur regroupe les élèves par 4 ou 5 et demande aux élèves de se distribuer les rôles (magasinier / expérimentateur/ secrétaire / chef d'équipe), puis il énonce l'accroche modifiée



Le professeur demande aux élèves en groupes le protocole d'une expérience (accompagné de schéma) permettant de

répondre à la question : il aide chaque groupe en circulant dans la classe et suivant l'avancement et les idées des élèves, le

professeur aborde la question du volume, ou suggère de peser 1,5L d'air ce qui est facilement réalisable avec une bouteille

d'eau.



L'investigation ou la résolution du problème conduite par les élèves

Ce travail en groupe s'articule autour de la description et la réalisation de l'expérience, du contrôle de l'isolement des

paramètres et de leur variation, de la description et l'exploitation des méthodes et résultats, de la confrontation avec les

hypothèses formulées. L'objectif de cette phase est la recherche d'éléments de justification et de preuve.



L'échange argumenté autour des propositions élaborées

A partir des communications faites à la classe par les groupes sur les solutions élaborées, les résultats obtenus et les interrogations

qui demeurent, le but est de confronter les propositions et de rechercher des arguments.



L'acquisition et la structuration des connaissances

L'objectif est la reformulation écrite par les élèves des connaissances nouvelles acquises en fin de séquence :

il est donc important que la séquence ait permis la mise en évidence de nouveaux éléments de connaissance,

la confrontation avec le savoir établi, la recherche des causes d'un éventuel désaccord.



L'opérationnalisation des connaissances

Il faut enfin évaluer l'acquisition des connaissances et compétences méthodologiques de la séquence par des

exercices permettant d'automatiser certaines procédures, de maîtriser les formes d'expression liées aux connaissances

travaillées ou par de nouveaux problèmes permettant la mise œuvre des connaissances acquises dans de nouveaux

contextes.



L'évaluation dans la démarche d'investigation

Ce qui change : l'objectif n'est plus d'évaluer si l'élève donne la réponse attendue par le professeur (surtout pas !) mais plutôt

d'évaluer la démarche effectuée durant la recherche (exemples : capacité à communiquer ou travailler en équipe, savoir écouter,

faire valoir son point de vue, respecter des consignes...).

L'autre question : s'agira-t-il d'une évaluation sommative (donc avec une note) ou d'une évaluation formative (sans doute à

privilégier) qui permettra à l'élève de savoir où il en est dans son apprentissage.

Enfin, le professeur peut évaluer l'élève (ou le groupe) mais l'élève peut aussi s'auto-évaluer (évaluation formatrice, ce qui contribue à le rendre encore plus acteur). La co-évaluation est

aussi une possibilité.Voir l'article : « Les grandes étapes de la démarche d'investigation » http://www.ac-nantes.fr/47226171/0/fiche___pagelibre/&RH=PER


Bilan de la comparaison entre la démarche d'investigation en sciences expérimentales et en mathématiques sur des univers expérimentables (*).En sciences expérimentales, c'est l’expérience qui est au premier plan pour acquérir des connaissances par la démarche d'investigation, mais en mathématiques l'élève doit anticiper le résultat de l'action par des psychomorphismes entre univers. C'est cette anticipation des résultats des actions qui constitue la base épistémologique des mathématiques et qui lui donne sa particularité.

Par exemple, l'élève qui dit « on peut toujours obtenir le milieu de chaque segment de la suite et il aura toujours un segment et son milieu, même si on ne le voit plus » a construit une anticipation qui dépasse l’expérience visuelle grâce aux psychomorphismes entre l'Univers des longueurs des segments et l'Univers des segments et points. On peut remarquer que ces deux univers sont expérimentables pour un élève du début du collège.

Ici on a AB = 10 AC = 5 AD = 2,5 AE = 1,25 AF = 0,625 AG = 0,3125 …

(*) Voir «Démarche d’investigation» et Parcours d’Étude et de Recherche en mathématiques : entre injonctions institutionnelles et étude raisonnée des conditions et contraintes de viabilité au sein du système », Yves Matheron UMRP3 – ADEF INRP & Aix-Marseille Universitéhttp://iremlp.irem.univ-mrs.fr/site/.../YMDémarche d'investigation.pdf

http://iremlp.irem.univ-mrs.fr/site/.../YMD%C3%A9marche%20d'investigation.pdf

Une autre épistémologie de « la preuve en mathématiques à l'aide de vérifications faites par ordinateur »

La communauté des mathématiciens accepte de plus en plus des preuves validées à l'aide d'ordinateurs.

Voici quelques conjectures fameuses, devenues aujourd’hui théorèmes mathématiques :

- Le premier grand théorème dont la preuve a utilisé un ordinateur est le théorème des quatre couleurs : «Quatre couleurs suffisent pour colorier n’importe quelle carte sans que deux régions voisines ne soient de la même couleur. »Il a été démontré en 1976 par Kenneth Appel et Wolfgang Haken.

- Voici une autre conjecture à propos de la question :« Quel est l’empilement de sphères le plus dense ? » Kepler a conjecturé que c’est celui des oranges empilées que l’on peut observer sur les étals des magasins de fruits et légumes, et qui est appelé « empilement cubique à faces centrées ». C'est le « 18ème problème de Hilbert » énoncé en 1900 lors du Congrès International de Mathématiques.La preuve fournie par Thomas Hales n'est apparue qu’en 2005 dans les Annals of Mathematics, mais la communauté mathématique cherchera une preuve plus “mathématique”, preuve dans laquelle il est possible de vérifier chaque étape logique par ordinateur. Le 1er janvier 2003, Thomas Hales a lancé le projet Flyspeck, acronyme créé pour l'occasion sur les mots « Formal Proof of Kepler's Conjecture » et qui signifie « examiner minutieusement ». L'objectif est de fournir une « preuve de la preuve ». À partir d'un univers de langage informatique conçu pour vérifier qu'un raisonnement donné est logiquement valide, on valide ainsi, par ordinateur, l'ensemble de la démonstration.

Yves Chevallard : « La théorie anthropologique du didactique est aujourd’hui un champ de recherche sur l’enseignement des mathématiques en plein essor, avec quelque 200 chercheurs francophones et hispanophones de quatre continents ».

Activités d’Étude et de Recherche (AER) et Parcours d’Étude et de Recherche (PER)

Pour que l’École puisse faire vivre ces questions comme génératrices de la connaissance, il faut agir suivant deux directions : la première est celle de l’épistémologie de ces savoirs, la seconde est celle de leur didactique proprement dite. Le souci indéfectible d’Yves Chevallard de vouloir répondre aux besoins des professeurs et de la société le conduit alors à explorer chacune de ces deux voies. La première consiste à développer un abord fonctionnel des savoirs qu’Yves Chevallard structure en Activités d’Étude et de Recherche (AER) et plus récemment en Parcours d’Étude et de Recherche (PER). Ce faisant, il rejoint une préoccupation centrale de la TSD développée par Guy Brousseau, celle de la conception de situations fondamentales. De son côté, l’étude des systèmes didactiques va conduire à l’émergence de la notion de moments de l’étude dont chacun remplit une fonction didactique spécifique dans le processus d’étude. Les moments didactiques apparaissent alors eux-mêmes comme des types de tâches d’étude.

PERMES : Parcours d’Étude et de Recherche en Mathématiques dans l’Enseignement SecondaireADIREM : Assemblée des Directeurs d’IREM IREM : Institut de Recherche pour l’Enseignement des MathématiquesPER : Parcours d’Étude et de Recherche AER : Activité d’Étude et de Recherche

Depuis 2006, le groupe de recherche qui a donné naissance à PERMES , associant l’ADIREM et l’INRP puis l’IFE, travaille à la conception et à l’expérimentation dans des classes du secondaire de PER en mathématiques.

« Enseignement du programme sous forme d’AER et de PER : il s’agit de faire vivre par les élèves les mathématiques comme réponses à des questions qui en valent la peine et qu’ils instruisent par eux-mêmes, sous la direction du professeur. Celles-ci sont reprises en plusieurs moments du cursus de manière à lutter contre un émiettement de l’enseignement découpé en chapitres dont on perd le sens global. Pour cela, la recherche de réponses est dévolue aux élèves à travers le collectif de la classe. Ces réponses sont identifiées et reconnues comme savoir mathématique qui peut être alors vu par les élèves comme une création de mathématiques dont ils sont en grande partie auteurs ».

(*) Voir «"Démarche d’investigation" et Parcours d’Étude et de Recherche en mathématiques : entre injonctions institutionnelles et étude raisonnée des conditions et contraintes de viabilité au sein du système », Yves Matheron, UMRP3 – ADEF INRP & Aix-Marseille Université.http://iremlp.irem.univ-mrs.fr/site/.../YMDémarche d'investigation.pdf

Yves Matheron (*)

http://iremlp.irem.univ-mrs.fr/site/.../YMD%C3%A9marche%20d'investigation.pdf

Exemple de question qui permet de démarrer un PER

Partages des surfaces polygonales en deux surfacesayant exactement la même aire.

Soit un terrain polygonal ayant un de ses côtés bordé par un canal.On souhaite tracer une clôtureafin de partager ce terrain endeux terrains ayant la même aire.

Partages des surfaces polygonales en deux surfacesayant exactement la même aire.

La question est suffisamment ouverte pour permettre l’émergence de « sous-questions » pour réaliser un PER (parcours d’étude et de recherche).

Soit un terrain polygonal ayant un de ses côtés bordé par un canal. On souhaite tracer une clôture afin de partager ce terrain en deux terrains ayant la même aire.

Les élèves peuvent choisir :

- la forme polygonale

- la méthode de partage

- la forme de la ligne de clôture

- de consulter des publications sur cette question…

Notre équipe de didactique de l'IREM de Basse-Normandie rattachée à PERMES (Ifé) travaille actuellement à la réalisation d'un PER sur cette question : « partage d'une surface en deux surfaces ayant la même aire ».

Enseignement de la mathématique

Dr. Ruben Rodriguez HerreraAgrégé en Mathématiques

[email protected], ESPE, Ifé, CEMU

Université de Caen Normandie France

IREM de Basse - Normandie

Année 2014-2015

http://www.math.unicaen.fr/irem

dr. ruben rodriguez herrera agrégé en mathématiques...

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