dr marko petkovi´c dexterofnis@gmail -...
TRANSCRIPT
![Page 1: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/1.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Numericka matematika
dr Marko [email protected]
Departman za racunarske nauke,Prirodno-Matematicki fakultet u Nisu
SciComp, Petnica, 2013
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 2: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/2.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Uvod
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 3: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/3.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Uvod
MAT ∩ RAC ∩ ELE ∩ PHY ∩AST ⊃ Modeliranje
Problem → Konstrukcija modela → Odabir metoda → Resavanje → Zakljucak
U oznacenim fazama na scenu stupa numericka matematika!!
Specijalizovani softver za numericka i simbolicka (naucna) izracunavanja:
1. Mathematica, Matlab, Maple, MuPad, itd.
2. LAPACK, LINPACK, EISPACK, DEPAC, PDEPAC, itd.
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 4: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/4.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Analiza gresaka
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 5: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/5.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Analiza gresaka
V1
V2
P = 101.325 kPa ∆P = 0.1 kPa
V = 0.100 dm3 ∆V = 0.001 dm3
R = 8.314Jmol−1K−1 ∆R = 0.001Jmol−1K−1
n = 0.00420 mol ∆n = 10−6 mol
Da li vazi jednacina idealnog gasa?
T =PV
nR= 290.173 K = 17.02◦C.
∆T =
(∆P
P+
∆V
V+
∆n
n+
∆R
R
)
T
= 3.91 K.
T = 17◦C± 4◦C
Izmerene vrednosti za zapremine gasaV i V /2: T1 = 15◦C i T2 = 19◦C
Zakljucak: Merenja ”upadaju” u opseg,pa ne mozemo zakljuciti da T zavisi odV !!
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 6: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/6.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
”Nezgodan” primer
Aritmetika u pokretnom zarezu: A = (−1)z · 1.f · 2e .
Jednostruka prec. (single, float):
◮ 1 bit za z
◮ 8 bita za E = e + 127
◮ 23 bita za f
Dvostruka prec. (double):
◮ 1 bit za z
◮ 11 bita za E = e + 1023
◮ 52 bita za f
Zadatak: Izracunati
f = 333.75y6 + x2(11x2y2 − y6 − 121y4 − 2) + 5.5y8 + x/(2y)
za x = 77617 i y = 33096.
f = 1.172603 . . . jednostruka prec.f = 1.1726039400531 . . . dvostruka prec.
...dok je stvarna vrednost f = −0.8273960599!!!
Resenje: Simbolicko izracunavanje (Mathematica, Maple, itd.)
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 7: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/7.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Nelinearne jednacine
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 8: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/8.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Nelinearne jednacine
Primer: Nelinearno elektricno kolo.
Struja kroz diodu: I = Is(eV/VT − 1).
Jednacina kola: I = Is(e(E−RI )/VT − 1)
Nelinearna jednacina po I koju resavamo nu-mericki.
Opsti oblik:
f(x) = 0
gde je f : [a, b] → R data funkcija.
C[a, b] - skup neprekidnih funkcija na[a, b].
Teorema o meduvrednosti: Ako je f ∈C[a, b] i f (a)f (b) < 0 onda f (x) = 0ima bar jedno resenje x∗ ∈ [a, b].
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 9: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/9.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Metod polovljenja intervala
Pretpostavka: f ∈ C[a, b] i f (a)f (b) <0. Sledi da postoji p ∈ [a, b] za koje jef (p) = 0.
pk =ak + bk
2
[a0, b0] ⊆ [a1, b1] ⊆ · · ·
bk − ak =b0 − a0
2k→ 0, k → +∞
pk → p, k → +∞
1. f (ak )f (pk ) < 0 ⇒ x∗ ∈ [ak , pk ] ⇒ ak+1 = ak , bk+1 = pk
2. f (bk )f (pk ) < 0 ⇒ x∗ ∈ [pk , bk ] ⇒ ak+1 = pk , bk+1 = bk
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 10: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/10.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Algorithm 1 Metod polovljenja intervala
Input: Funkcija f , tacke a0 i b0 takve da jef (a0)f (b0) < 0 i tacnost ǫ.
1: k := 02: while |bk − ak | < ǫ do
3: sk := (ak + bk )/24: if f (sk ) = 0 then
5: return sk6: else if f (sk)f (ak ) < 0 then
7: ak+1 := ak , bk+1 := sk8: else
9: bk+1 := bk , ak+1 := sk10: end if
11: k := k + 112: end while
13: return sk
Primer:
f (x) = cos x − 2x = 0
na segmentu [a, b] = [−0.5, 0.5] za ǫ =10−3
k ak bk pk2 −0.5 0.5 03 0 0.5 0.254 0.25 0.5 0.3755 0.375 0.5 0.43756 0.4375 0.5 0.468757 0.4375 0.46875 0.4531258 0.4375 0.453125 0.4453139 0.445313 0.453125 0.44921910 0.449219 0.453125 0.45117211 0.449219 0.451172 0.450195
Resenje: p = 0.450.
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 11: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/11.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Opsti iterativni metodi
Niz xn koji tezi resenju x∗.
f (x) = 0 ⇔ x = g(x)
Metod proste iteracije: xn+1 = g(xn). Vrednost x0 se zadaje na pocetku.
Teorema. Ako je g : [a, b] → [a, b] i |g(x)− g(y)| ≤ q|x − y | za neko q ∈ [0, 1), ondaxn → x∗.
Posledica. Ako je g : [a, b] → [a, b] i |g ′(x)| ≤ q < 1 za svako x ∈ [a, b] i nekoq ∈ [0, 1), onda xn → x∗.
Neka je en = |xn − x∗|. Akoen+1
ern→ C 6= 0 onda je metod xn ima red konvergencije
jednak r .
Za metod polovljenja intervala je r = 1 i C = 1/2.
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 12: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/12.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Newtonov metod (metod secice)
Jednacina tangente: y − f (x0) ≈ f ′(x0)(x − x0)
Ako je y = 0, onda je x = x0 −f (x0)
f ′(x0). Odavde dobijamo metod:
xn+1 = xn −f (xn)
f ′(xn)dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 13: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/13.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Konvergencija i ”nezgodni” slucajevi
Teorema. Ako je f ′′ ∈ C(a, b), f (x) = 0 ima jedinstveno resenje na [a, b] i f ′(x) 6= 0za svako x ∈ [a, b], onda postoji ǫ > 0 takvo da xn → x∗ za svako x0 ∈ [x∗ − ǫ, x∗ + ǫ].
Startnu vrednost x0 biramo da bude ”blizu” resenja x∗. Metod je reda r = 2.
Dva ”nezgodna” slucaja:
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 14: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/14.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Primer
Jednacina f (x) = (cos x)/2− x = 0. Metod:
xn+1 = xn −f (xn)
f ′(xn)= xn +
(cos xn)/2− xn
(sin xn)/2 + 1.
Primenom metoda za startnu vrednost x0 = 0.5 dobijamo sledece iteracije:
n xn0 0.5000000000000000000000001 0.5000000000000000000000002 0.4506266930772430465675173 0.4501836475777747425007334 0.4501836112948738164089685 0.450183611294873573036539
Izlazni kriterijumi: |xn+1 − xn| < ǫ ili|xn+1 − xn|
|xn|< ǫ ili |f (xn)| < ǫ.
Zakljucak: Newtonov metod konvergira kada je x0 dovoljno blizu tacnog resenja x∗.
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 15: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/15.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Sistemi jednacina (metod Newton-Kantorovica)
Sistem dve nelinearne jednacine:
f1(x , y) = 0 f2(x , y) = 0
U tacki (x0, y0) je
f1(x , y) ≈ f1(x0, y0) +∂f1
∂x(x − x0) +
∂f1
∂y(y − y0)
f2(x , y) ≈ f2(x0, y0) +∂f2
∂x(x − x0) +
∂f2
∂y(y − y0)
odnosno u vektorskom obliku
[f1(x , y)f2(x , y)
]
≈
[f1(x0, y0)f2(x0, y0)
]
+
∂f1
∂x
∂f1
∂y∂f2
∂x
∂f2
∂y
·
[x − x0y − y0
]
.
Parcijalne izvode racunamo u (x0, y0). Tako dobijamo metod:
[xn+1
yn+1
]
=
[xnyn
]
−
∂f1
∂x(xn, yn)
∂f1
∂y(xn, yn)
∂f2
∂x(xn, yn)
∂f2
∂y(xn, yn)
−1[f1(xn, yn)f2(xn, yn)
]
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 16: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/16.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Opsti slucaj
Sistem n jednacina sa n nepoznatih:
f1(x1, x2, . . . , xn) = 0
f2(x1, x2, . . . , xn) = 0
.
.
.
fn(x1, x2, . . . , xn) = 0
Metod: x(k+1) = x(k) −W (x(k))−1f (x(k)) , W (x) =
[∂fi
∂xj(x)
]
je Jacobijeva mat.
Ekvivalentno:
1. Resiti sistem linearnih jednacina: W (x(k))δ(k) = f (x(k)).2. x(k+1) = x(k) − δ(k).
Red konvergencije je r = 2. Metod konvergira kada je (x0, y0) dovoljno blizu (x∗, y∗).
Izlazni kriterijumi: ‖x(k+1) − x(k)‖ < ǫ ili‖x(k+1) − x(k)‖
‖x(k)‖< ǫ ili ‖f (x(k))‖ < ǫ.
Norma (intenzitet) vektora: ‖x‖ =√
x21 + x22 + . . .+ x2n
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 17: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/17.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Sistemi linearnih jednacina
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 18: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/18.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Sistemi linearnih jednacina
Elektricno kolo:
Kirchhoffovi zakoni:
5i1 + 5i2 = V
i3 − i4 − i5 = 0
2i4 − 3i5 = 0
i1 − i2 − i3 = V
5i2 − 7i3 − 2i4 = 0
Opsti slucaj:
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2
.
.
.
am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 19: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/19.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Matricni oblik
U matricnom obliku: Ax = b gde je
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 a2n...
. . ....
am1 am2 · · · amn
, b =
b1b2...bm
, x =
x1x2...xn
.
Metodi:
1. Direktni (Gaussov, LU faktorizacija, itd.)
2. Iterativni (Jacobijev, Gauss-Seidelov, itd.)
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 20: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/20.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Gaussov metod
a(1)11 x1 + a
(1)12 x2 + . . .+ a
(1)1n xn = b
(1)1
a(1)21 x1 + a
(1)22 x2 + . . .+ a
(1)2n xn = b
(1)2
.
.
.
a(1)n1 x1 + a
(1)m2x2 + . . .+ a
(1)nn xn = b
(1)n
→
a(1)11 x1 + a
(1)12 x2 + . . .+ a
(1)1n xn = b
(1)1
a(2)22 x2 + . . .+ a
(2)2n xn = b
(2)2
.
.
.
a(2)n2 x2 + . . .+ a
(2)nn xn = b
(2)n
Prvu vrstu mnozimo sa mi1 =a(1)i1
a(1)11
i oduzimamo od i-te.
Pozeljno je zameniti vrste i kolone tako da element a11 bude sto veci po apsolutnojvrednosti!!
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 21: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/21.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Gaussov metod
Na kraju dobijamo trougaoni sistem:
a(1)11 x1 + a
(1)12 x2 + a
(1)13 x3 + . . .+ a
(1)1n xn = b
(1)1
a(2)22 x2 + a
(2)23 x3 + . . .+ a
(2)2n xn = b
(2)2
a(3)33 x3 + . . .+ a
(3)3n xn = b
(3)3
. . ....
a(n)nn xn = b
(n)n
koji se lako resava:
xn =b(n)n
a(n)nn
, xk =1
a(k)kk
b(k)k
−n∑
i=k+1
a(k)ki
xi
, k = n − 1, . . . , 1.
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 22: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/22.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Algorithm 2 Gaussov metod za resavanje sistema linearnih jednacina
Input: Matrica sistema A = [aij ] ∈ Rn×n i vektor desne strane b ∈ R
n.1: var(i) := i , za i = 1, 2, . . . , n.2: for k := 1 to n do
3: (r∗, s∗) := argmaxk≤r,s≤n|ars |4: Zameni k-tu i r∗-tu vrstu matrice A
5: Zameni k-tu i s∗-tu kolonu matrice A
6: Zameni vrednosti var(l) i var(s∗)7: for i := k + 1 to n do
8: bi := bi −aik
akkbk
9: for j := k to n do
10: aij := aij −aik
akkakj
11: end for
12: end for
13: end for
14: for i := n downto 1 do
15: xvar(i) :=
1
aii
bi −n∑
j=i+1
aijxvar(j)
16: end for
17: return x = (x1, x2, . . . , xn)
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 23: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/23.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
[Ne]stabilnost resenja
Posmatrajmo sledeci sistem linearnih jednacina:
0.130x + 0.270y = 0.390
0.858x + 1.781y = 2.574
Resenje ovog sistema je x = 3 i y = 0. Ako umesto 2.574 stavimo 2.575, dobijamoresenja x = 5.076923 i y = −1!
Ovakvi sistem su lose uslovljeni (eng. ill-conditioned).
Kondicioni broj: cond(A) = ‖A‖ · ‖A−1‖.
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 24: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/24.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Numericka integracija
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 25: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/25.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Pojam integrala
∫ b
a
f (x)dx = limδτ→0
R(ξ, τ), R(ξ, τ) =
Nτ∑
i=1
f (ξi )∆i .
Veliki broj integrala nije analiticki resiv. Npr:
∫ 1
0e−x2dx .
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 26: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/26.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Trapezna formula
∫ b
a
f (x)dx ≈ h
[1
2f (x0) + f (x1) + . . .+ f (xn−1) +
1
2f (xn)
]
.
Greska: R2(f , h) = (b − a)h2
12maxx∈[a,b] |f
′′(x)|
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 27: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/27.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Simpsonova formula
Vazi za n parno. Provlacimo parabolu kroz tacke (x2i , f (x2i )), (x2i+1, f (x2i+1)) i(x2i+2, f (x2i+2)).
∫ b
a
f (x)dx ≈h
3
[
f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) + 4f (x3) + . . .+ 2f (xn−2) + 4f (xn−1) + f (xn)]
Greska: R3(f , h) = (b − a)h4
180maxx∈[a,b] |f
(4)(x)|.
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 28: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/28.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Poredjenje...
Izracunajmo integral∫ 1
0esin xdx
primenom trapezne i Simpsonove formule sa tacnoscu ǫ = 10−5.
Trapezna formula:
|f ′′(x)| =∣∣∣e
sin x cos2 x − esin x sin x∣∣∣
≤ 2∣∣∣e
sin x∣∣∣ ≤ 2e.
n ≥
⌈√e
6ǫ
⌉
= 213
Rezultat: 1.6318700446821Greska: 4.36 · 10−7
Simpsonova formula:
|f (4)(x)| ≤ 15e.
n ≥
⌈
3
√e
192ǫ
⌉
= 12
Rezultat: 1.6318696084181Greska: 8.8 · 10−9
Rezultat bolji dva reda velicine za 11x manje tacaka!!!
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 29: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/29.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Richardsonova ekstrapolacija
Trapezna formula:
F (h) = h
(1
2f (x0) + f (x1) + . . .+ f (xn−1) +
1
2f (xn)
)
= a0 + a1h2 + a2h
4 + a3h6 + . . .
Zadatak: eliminisati a1h2 pomocu F (h) i F (h/2):
F1(h) = F (h/2) +F (h/2)− F (h)
41 − 1= a0 + a′2h
4 + . . . , a′2 = −3
4a2.
Ovu ideju i dalje primenjujemo i racunamo
F2(h) = F1(h/2) +F1(h/2)− F1(h)
42 − 1= a0 + a′′6 h
6 + . . .
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 30: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/30.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Algorithm 3 Rombergov metod za numericku integraciju
Input: Funkcija f (x), interval integracije [a, b], pocetni broj cvorova n i broj primenaRichardsonove ekstrapolacije N.
1: Izracunati Tm,1 = F (h/2m−1), m = 1, 2, . . . ,N + 1 na osnovu Trapezne formule.2: for m := 2 to N + 1 do
3: for k := 1 to m − 1 do
4: Tm,k+1 := Tm,k +Tm,k − Tm−1,k
4k − 1.
5: end for
6: end for
7: return TN+1,N+1
Tm,1 = F (h/2m−1) =h
2m−1
1
2f (a) +
2m−1n−1∑
i=1
f (a+ ih/2m−1) +1
2f (b)
Rekurentna formula:
Tm+1,1 =1
2
Tm,1 +
2m−1n−1∑
i=0
f (a+ (2i + 1)h/2m)
.
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 31: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/31.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Primer
Izracunajmo vrednost integrala
I =
10∫
0
e−xdx .
primenom Rombergovog metoda.
h Tm,1 Tm,2 Tm,3 Tm,4 Tm,5 Tm,6
10/20 5.0002270
10/21 2.5338032 1.7116620
10/22 1.4734968 1.1200613 1.0806213
10/23 1.1268877 1.0113514 1.0041040 1.0028895
10/24 1.0322952 1.0007644 1.0000586 1.9999944 0.9999830
10/25 1.0080790 1.0000070 0.9999565 0.9999549 0.9999547 0.9999547
Primetimo da je vrednost T6,6 za 5 reda velicine tacnija od T6,1 (bez ekstrapolacije)sa istim skupom podataka.
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 32: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/32.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Diferencijalne jednacine
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 33: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/33.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Primer
Matematicko klatno:
θ′′ = −g
lsin θ, θ′(0) = 0, θ(0) = θ0.
Opsti slucaj:y ′ = f (t, y), t ∈ [a, b], y(a) = α.
Sistemi:
y ′1 = f1(t, y1, y2, . . . , yn)
y ′2 = f2(t, y1, y2, . . . , yn)
..
.
y ′n = fn(t, y1, y2, . . . , yn)
Vecina diferencijalnih jednacina je analiticki neresiva.
Numericko resavanje: dobiti skup vrednosti (ti , yi ), i = 1, 2, . . . ,N koje priblizno lezena grafiku y(t).
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 34: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/34.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Eulerov metod
Zadatak: Na osnovu poznate (aproksimativne) vrednosti za y(t), proceniti y(t + h).
Najjednostavnije:
y(t + h) ≈ y(t) + hy ′(t) = y(t) + hf (t, y(t)).
Neka je ti = a+ ih, gde je h =b − a
Nkorak. Neka je yi = y(ti ):
yi+1 = y(ti + h) ≈ yi + hf (ti , yi ).
Eulerov metod:
w0 = α
wi+1 = wi + hf (ti ,wi )
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 35: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/35.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Greska Eulerovog metoda
Teorema. Ako je |f (t, y1)− f (t, y2)| ≤ L|y1 − y2| i |y′′(t)| ≤ M, onda je
|y(ti )− wi | ≤hM
2L
[
eL(ti−a) − a]
.
Zakljucak: Greska linearno opada sa h, ali eksponencijalno raste po i , tj. po t.
Greska odsecanja τi+1(h) =yi+1−hf (ti ,yi )
h= O(h2).
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 36: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/36.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Metodi viseg reda
Taylorova formula:
y(t + h) = y(t) + hy ′(t) +h2
2!y (2)(t) + . . .+
hn
n!y (n)(t) +
=Rn+1(t)︷ ︸︸ ︷
hn+1
(n + 1)!y (n+1)(ξ)
Clan y (k)(t) = f (k−1)(t, y(t)) moze da se izrazi preko t i y(t), jer je y ′(t) = f (t, y(t)).
Taylorov metod:
w0 = α
wi+1 = wi + hf (ti ,wi ) +h2
2!f ′(ti ,wi ) + . . .+
hn
n!f (n−1)(ti ,wi )
Nedostatak: Treba naci komplikovane izraze za f (k)(ti ,wi )!!
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 37: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/37.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Runge-Kutta metod
Taylorov metod drugog reda:
w0 = α
wi+1 = wi + hφ(ti ,wi ), φ(t, y) = f (t, y) +h
2f ′(t, y)
Ideja: Umesto φ(t, y) staviti a1f (t + α1, y + β1).
a1f (t + α1, y + β1) ≈ a1f (t, y) + a1∂f
∂tα1 + a1
∂f
∂yf (t, y)β1
f (t, y) +h
2f ′(t, y) = f (t, y) +
h
2
∂f
∂t+
h
2
∂f
∂yf (t, y)
Izjednacavanjem dobijamo a1 = 1, α1 =h
2, β1 =
h
2f (t, y).
Midpoint metod (Runge-Kutta metod reda 2):
k1 =h
2f (ti ,wi ), k2 = f
(
ti +h
2,wi + k1
)
wi+1 = wi + hk2
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 38: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/38.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Runge-Kutta metod reda 4
Slicna ideja:
w0 = α,
k1 = hf (ti ,wi )
k2 = hf
(
ti +h
2,wi +
1
2k1
)
k3 = hf
(
ti +h
2,wi +
1
2k2
)
k4 = hf (ti+1,wi + k3)
wi+1 = wi +1
6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4).
Najcesce koriscen metod!! Greska odsecanja τi+1(h) = O(h4)!
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika
![Page 39: dr Marko Petkovi´c dexterofnis@gmail - Dobrodošlitesla.pmf.ni.ac.rs/people/DeXteR/popular/13PSCSciComp.pdf · Uvod Analiza greˇsaka Nelinearne jednaˇcine Sistemi linearnih jednaˇcina](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042506/5a750fcd7f8b9a9c548c2fd5/html5/thumbnails/39.jpg)
Uvod Analiza gresaka Nelinearne jednacine Sistemi linearnih jednacina Numericka integracija Diferencijalne jednacine
Hvala na paznji!!!
dr Marko Petkovic ISP
Numericka matematika