dr.-ing. rené marklein - eft i - ws 06/07 - lecture 9 / vorlesung 9 1 elektromagnetische...
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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 1
Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) /
Electromagnetic Field Theory I (EFT I)
9th Lecture / 9. Vorlesung
University of KasselDept. Electrical Engineering /
Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71
Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel
Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /
Informatik (FB 16)
Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115
D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René [email protected]
http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 2
Electrostatic Volume Charge Density / Elektrostatisches Raumladungsdichte
ES Fields – Potential of a Point Charge / ES Felder – Potential einer Punktladung
with / mi t R e e e R e e ex y z x y zx y z x y z
e e( ) ( )R RRQ
3ee
0
3e
0
e
0
( )1( ) d
4 | |
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4 | |
1
4 | |
s
s
V
V
Q
Q
Q
RR
RR
R
R
R
RR
R
R
R
R
z
:Source Volume / QuellvolumensV
y
x
e ( ) RR
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| |R R e ( ) ReQ
R
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0
1( )
4 | |RR
R
Q
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 3
ee
0
1( )
4
Q
R
R R
Field of an Electrostatic Point Charge / Feld einer elektrostatischen Punktladung
Electrostatic Potential of a Point Charge / Elektrostatisches Potential einer Punktladung
3 3 3 / 22 2 22 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
x y z x y zx x y y z z x x y y z z
x x y y z zx x y y z z
e e e e e eR R
R R
1/ 22 2 2 2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x y y z z x x y y z z
R R
e3
0( )
4
Q
R RE R
R R
Electrostatic Field Strength of a Point Charge / Elektrostatische Feldstärke einer Punktladung
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
with x y z
x y z
x y z
x y z
R e e e
R e e e
e e( ) ( )R RRQ
3e ee
0 0
( )1 1( ) d
4 4 | || |sV
Q Q
RRR
R R
RR
R
3
3 3ee e
0 0
( )1 1 1( ) ( ) d ( ) d
4 4| | | |s sV V
R
R
R
R
R
RE R R
RRRR R
R R R
3 ee3 3
0 0
1( ) d
4 4sV
RR R
R
R RR
R R
R
R
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 4
Field of Two Electrostatic Point Charges – Electrostatic Dipole / Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen – Elektrostatischen
Dipol
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Field Lines of the Electric Field Strength of Two Spheres Carrying Charges of Opposite Sign / Feldlinien der elektrischen Feldstärke zweier
ungleich geladener Kugeln
+ +
+-
Electric Field Lines of Two Spheres Carrying Charges of the Same Sign / Feldlinien der elektrischen
Feldstärke zweier gleich geladener Kugeln
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 5
e+ ee
0
1( )
4R
R R R R
Q Q
Field of Two Electrostatic Point Charges – Electrostatic Dipole / Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen – Elektrostatischen
Dipol
Electrostatic Potential / Elektrostatisches Potential
3 32 2 2
3 / 22 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
e e eR R
R R
e e e
x y z
x y z
x x y y z z
x x y y z z
x x y y z z
x x y y z z
2 2 2
1/ 22 2 2
1 1
( ) ( ) ( )1
( ) ( ) ( )
R R x x y y z z
x x y y z z
e
e+ e3 30
( ) ( )
1
4
E R R
R R R R
R R R RQ Q
Electrostatic Field Strength / Elektrostatische Feldstärke
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
with/mit R e e e
R e e e
x y z
x y z
x y z
x y z
with/mit R e e e
R e e e
x y z
x y z
x y z
x y z
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 6
Field of Two Electrostatic Point Charges – Electrostatic Dipole / Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen – Elektrostatischer
Dipol
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 7
Field of Two Electrostatic Point Charges – Electrostatic Dipole / Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen – Elektrostatischer
Dipol
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 8
0
0
0( ) b
a
R R
R R
R
0R Rba
00 zEE e
x
z
y
0
0100a
b
Transition Conditions = ? / Übergangsbedingungen = ?
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 9
Boundary Conditions = ? / Randbedingungen = ?
Point Charge Attracted to a Electrically Charged Sphere /Punktladung angezogen von einer elektrisch geladenen Kugel
http://web.mit.edu/jbelcher/www/att.html
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 10
Boundary Conditions = ? / Randbedingungen = ?
Point Charge Repulsed By A Charged Sphere /Punktladung zurück gestoßen von einer elektrisch geladenen Kugel
http://web.mit.edu/jbelcher/www/rep.html
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 11
(2) (1)
(2) (1) e
=
( ) ws / mq=
0 sf / qf
n× E R E R 0
Rn D R D R
e
= pec / iel
= ( ) pec / iel
n×E R 0
n D R R
Governing Equations in Integral Form /Grundgleichungen in Integralform
nMedium
(2)Medium
(1)
Medium
nTransition Conditions / Übergangsbedingungen Boundary Conditions / Randbedingungen
ws: with sources; sf = source-free / mq = mit Quellen; qf = quellenfrei
pec = perfectly electric conducting; pmc = perfectly magnetic conducting / iel = ideal elektrisch leitend; iml =
ideal magnetisch leitend
e
( ) 0
( , ) ( )d
C S
S V Vt V
E R dR
D R dS R
ES Fields: Transition and Boundary Conditions / ES-Felder: Übergangs- und Randbedingungen
I(nterface)S B(oundary)S
ISRFor / Für
BSRFor / Für
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 12
(2) (1)
(2) (1) e ( ) ws / mq
0 sf / qf
n× E R E R 0
Rn D R D R
e
pec / iel
( ) pec / iel
n×E R 0
n D R R
nMedium
(2)Medium
(1)
Medium
n
Transition Conditions / Übergangsbedingungen
Boundary Conditions / Randbedingungen
ws: with sources; sf = source-free / mq = mit Quellen; qf = quellenfrei
pec = perfectly electric conducting / iel = ideal elektrisch leitend
I(nterface)SR B(oundary)SR
( )
( )tan
tan tanE
n×E R E R
R e ( )nDn D R R
( ) : (Vector Tangential Component of
Vektorielle Tangentialkomponente von
Scalar Tangential Component of Skalare Tangentialkomponente vo
)
( ) :n
( )
tan
tanE
E R E R
R E R
Scalar Normal Component of
Skalare Normalkomponente vo( ) : ( )
nnD R D R
(2) (1)
e(2) (1)
0
( ) ws / mq
0 sf / qf
tan tan
n n
E E
D D
R R
RR R
e
0 pec / iel
( ) pec / iel
tan
n
E
D
R
R R
e ( )
pec/iel
R
ES Fields: Transition and Boundary Conditions / ES-Felder: Übergangs- und Randbedingungen
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 13
nMedium
(2)Medium
(1)
Medium
nTransition Conditions /
ÜbergangsbedingungenBoundary Conditions / Randbedingungen
ws: with sources; sf = source-free / mq = mit Quellen; qf = quellenfrei
pec = perfectly electric conducting / iel = ideal elektrisch leitend
( ) ( )i i E R R
(2) (1)e e
(2) (1)e e e0
e(2) (2) (1) (1)
0r e r e
e(1)(2) (1) (2)re e 0 r(2)
r
( )ws / mq
0 sf / qf
( )ws / mq
0 sf / qf
n
n n
n× R R 0
R R
R
n R R
R
R R
e
e e0
0 r e e
ee
0 r
( )
( )
n
n
n× R 0
R
n R R
RR
( ) ( )( )0 r
( ) ( )0 r e
1, 2
i ii
i i
i
D R E R
R
I(nterface)SR B(oundary)SR
(2) (1)
e(2) (1)
0
( ) ws / mq
0 sf / qf
tan tan
n n
E E
D D
R R
RR R
e
0 pec / iel
( ) pec / iel
tan
n
E
D
R
R R
e ( )
pec/iel
R
ES Fields: Transition and Boundary Conditions / ES-Felder: Übergangs- und Randbedingungen
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 14
nMedium
(2)Medium
(1)
Medium
n
Transition Conditions / Übergangsbedingungen
Boundary Conditions / Randbedingungen
(2) (1)
(2) (1)e e e0
0
const.
tan tanE E
R R
R R
e e0
0
const.
tanE
R
R
I(nterface)SR B(oundary)SR
(2) (1)
e(2) (1)
0
( ) ws / mq
0 sf / qf
tan tan
n n
E E
D D
R R
RR R
e
0 pec / iel
( ) pec / iel
tan
n
E
D
R
R R
e ( )
pec/iel
R
ES Fields: Transition and Boundary Conditions / ES-Felder: Übergangs- und Randbedingungen
e(2) (1)
(1)e(2) (1) (2)r
e e 0 r(2)r
( ) ws / mq
0 sf / qf
1( ) ws / mq
0 sf / qf
n nD D
n n
RR R
RR R
e
e e0 r
( )
1( )
nD
n
R R
R R
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 15
Boundary Conditions / Randbedingungen
e e 0 e 0
e e0 r
const. ( 0 V)
1( )
n
R
R R
Medium
nB(oundary)SR
e, , ( )E R D R R
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
e ( ) R
e ( )
pec/iel
R
Dirichlet Boundary Conditions for Фe /
Dirichlet-Randbedingung für Фe
Neumann Boundary Conditions for Фe /
Neumann-Randbedingung für Фe
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 16
e2 2 2 e
0e2 2 2
e
for / Poisson Equation / für Poisson-Gleichung
for / Laplace Equation / fü
( , , )( , , ) 0
( , , )
0 ( , , )r Laplace-Gle0 ichung
x y zx y z
x y zx y z
x y z
ES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (2)
Electrostatic (ES) Fields – Poisson and Laplace Equation / Elektrostatische (ES) Felder – Poisson- und Laplace-
Gleichung (3)Laplace Operator in Cartesian Coordinates / Laplace-Operator in Kartesischen Koordinaten
Example: pn Junction – pn Diode / Beispiel: pn-Übergang – pn Diode
2
e2
for /für
for /für
0 d( )
d 0
e n
e p
n d xe
xx n x d
nd pd0 x
Example: / Beispiel:
2 2
e2 2( , ) 0x y
x y
x
y e 10 V
e 0 V e 0 V
e 0 V
Separation of Variables / Separation der Variablen!
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 17
e2 2 2 e
0e2 2 2
e
for / Poisson Equation / für Poisson-Gleichung
for / Laplace Equation / fü
( , , )( , , ) 0
( , , )
0 ( , , )r Laplace-Gle0 ichung
x y zx y z
x y zx y z
x y z
Electrostatic (ES) Fields – Boundary Value Problem (BVP) / Elektrostatische (ES) Felder – Randwertproblem (RWP)
Examples: / Beispiele:
2 2
e2 2( , ) 0x y
x y
x
y e 10 V
e 0 V e 0 V
e 0 V
Separation of Variables / Separation der Variablen!
x
y
z
e
e
e
( ) 0
( ) 0
( ) 0
R
R
R
Between the Plates:Vacuum /
Zwischen den Platten:Vakuum
e
n×E 0
e
n×E 0
0
0
Boundary Conditions (BC) / Randbedingungen (RB)
e e 0 0
x d
e
0
0
x
e ( ) 0
( )
R
E R 0
e ( ) 0
( )
R
E R 0
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 18
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /
ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL PlattenBoundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation /
Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
e
0
0
x
x
y
z
e
0 0 ( ) 0
co
for /für
for /fürnst.
R
x d
x
x d
e
e
e
( ) 0
( ) 0
( ) 0
R
R
R
e e 0 0
x d
Between the Plates:Vacuum /
Zwischen den Platten:Vakuum
e
n×E 0
e
n×E 0
e ( ) 0R
2 2 2
e2 2 2( , , ) 0x y z
x y z
2
e2
d( ) 0
dx
x
0
0
e
e
( ) 0
( ) 0
R
R
... Cartesian Coordinates /
... Kartesische Koordinaten
... Because of the Symmetry: 1-D Problem / ... wegen der Symmetrie: 1D-Problem
Between the Plates: Laplace Equation: Zwischen den Platten: Laplace-Gleichung
Boundary Conditions (BC) / Randbedingungen (RB)
e
e e 0
0 : 0
: 0
x
x d
Boundary Conditions (BC) /Randbedingungen (RB)
Partial Differential Equation / Partielle Differentialgleichung
e ( ) 0
( )
R
E R 0
e ( ) 0
( )
R
E R 0
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 19
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /
ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten
e
0
0
x
x
y
z
e
e
e
( ) 0
( ) 0
( ) 0
R
R
R
e e 0 0
x d
Between the Plates:Vacuum /
Zwischen den Platten:Vakuum
e
n×E 0
e
n×E 0
2
e2
d( ) 0 0
dx x d
x
0
0
e
e
( ) 0
( ) 0
R
R
Boundary Condition (BC) / Randbedingung (RB)
Integrating once / Integriere einmal
Integrating twice / Zweifache Integration ergibt
2
e e2
d d( ) d ( ) const
ddx x x a
xx
ed
( ) constd
x ax
e ( )x ax b
e ed
( ) =const d ( )d
x a x x ax bx
Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
e ( ) 0
( )
R
E R 0
e ( ) 0
( )
R
E R 0
e ( ) 0x ax b x d
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 20
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /
ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten
e
0
0
x
x
y
z
e
e
e
( ) 0
( ) 0
( ) 0
R
R
R
e e 0 0
x d
Between the Plates:Vacuum /
Zwischen den Platten:Vakuum
e
n×E 0
e
n×E 0
0
0
e
e
( ) 0
( ) 0
R
R
Boundary Condition (BC) / Randbedingung (RB)
e ( )x ax b
e
e e 0
0 : 0
: 0
x
x d
Boundary Conditions (BC) / Randbedingungen (RB)
e ( 0) ( 0)
0
x a x b
0b
e ( )x ax
e
e0
( ) ( )
x d a x d
e0ad
e0e ( ) 0x x x d
d
Solution for the Electrostatic Potential / Lösung für das elektrostatische Potential
Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
e ( ) 0
( )
R
E R 0
e ( ) 0
( )
R
E R 0
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 21
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /
ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten
e
0
0
x
x
y
z
e
e
e
( ) 0
( ) 0
( ) 0
R
R
R
e e 0 0
x d
Between the Plates:Vacuum /
Zwischen den Platten:Vakuum
e
n×E 0
e
n×E 0
0
0
e
e
( ) 0
( ) 0
R
R
Boundary Condition (BC) / Randbedingung (RB)
e0
e0
( )0 else / sonst
x x dx d
2
e2
d( ) 0 0
dx x d
x
e
e e 0
0 : 0
: 0
x
x d
Boundary Conditions (BC) / Randbedingungen (RB)
Partial Differential Equation (PDE) / Partielle Differentialgleichung (DGL)
Solution for the Electrostatic Potential / Lösung für das elektrostatische Potential
x
e ( )x
Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
e ( ) 0
( )
R
E R 0
e ( ) 0
( )
R
E R 0
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 22
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /
ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten
e
0
0
x
x
y
z
e
e
e
( ) 0
( ) 0
( ) 0
R
R
R
e e 0 0
x d
Between the Plates:Vacuum /
Zwischen den Platten:Vakuum
e
n×E 0
e
n×E 0
0
0
e
e
( ) 0
( ) 0
R
R
Boundary Condition (BC) / Randbedingung (RB)
e0
e0
( )0 else / sonst
x x dx d
Electrostatic Potential / Elektrostatisches Potential
e
e
e0
e0
( ) ( )
d( ) ( )
d
d0
d
0 else / sonst
0
0 else / sonst
E R R
E e
e
e
x
x
x
x x xx
x x dx d
x dd
The Electrostatic Potential and Electrostatic Field Strenth are Discontinuous at the Plates /
Das elektrostatisches Potential und die elektrostatische Feldstärke sind unstetig an den Platten
e ( ) 0
( )
R
E R 0
e ( ) 0
( )
R
E R 0
Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 23
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /
ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten
e0 0( )
0 else / sonst
eE x x dx d
Representation of the Electrostatic Field Strenth using the Unit Step Functions: /
Darstellung der elektrostatischen Feldstärke durch Einheitssprungfunktionen:
x
( )xE x
e0( ) u( ) u( ) E exx x x d xd
1 0u( )
0 0
xx
x
x
u( )x
x
u( )x
x
u( )x d
x d
x d
1
x
u( ) u( )x x d
x d
Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
Step Functions / Einheitssprungfunktionen
1
1
1
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 24
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /
ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL PlattenBoundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation /
Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
e0
e0
( ) ( )
e0
e
0
d d( ) u( ) u( )
d d
d du( ) u( )
d d
( ) ( )
( )
x
x x d
E x x x dx d x
x x dd x x
x x ddx
e
e
0 e
e
0
( ) ( )
d( ) ( )
dd
( ) ( )d
( )d( )
d
x
x
x
D x xx
E x xx
xE xx
D R R
u ( )
du( ) ( )
dx
x xx
01 0
( ) 0
0
( )
u ( ) ( )d u( ) ( ) u( ) ( )d
u( ) ( ) u( ) ( ) ( )d
( ) ( )
( ) ( ) (0)
(0)
u ( ) ( )d (0)
u ( ) ( )
f
x
x f x x x f x x f x x
f f f x x
f f x
f f f
f
x f x x f
x x
Auxiliary Calculation / Nebenrechnung
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 25
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /
ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL PlattenBoundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation /
Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
x
e0e 0
e0 e0
e0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x x x dd
x x d
x d
e ( )x
e0
e0
Electric Surface Charge Density / Elektrische Flächenladungsdichte
e0 ( )x e0 ( )x d
e
0
0
x
x
y
z
e
e
e
( ) 0
( ) 0
( ) 0
R
R
R
e e 0 0
x d
Between the Plates:Vacuum /
Zwischen den Platten:Vakuum
e
n×E 0
e
n×E 0
0
0
e
e
( ) 0
( ) 0
R
R
Boundary Condition (BC) / Randbedingung (RB)
e ( ) 0
( )
R
E R 0
e ( ) 0
( )
R
E R 0
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 26
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ...
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Arbitrary Point Charge / Beliebige
Punktsladungsverteilungen
z
y
x
e ( ) R
ES 3e e e
0
3e
0
1( ) ( ) d
1 1( ) d
4 | |
G
R
R
R R R R R
R RR R
Expansion of in a Taylor Series for yields :
Entwicklung von in eine Taylor-Reihe für ergi
bt
1
| |
R 0
R R
3 5
1 1 1 1 13
2| |
Higher Order Terms / Terme höherer Ordnung:
R R R
R R R R R R R I RR R
HOT
HOT
ee
0
( )( )
R
R
A I I A A
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x x y y z z
I e e e e e e
Property of the Unit Dyadic / Eigenschaft der Einheitsdyade
Unit Dyadic in Cartesian Coordinates/ Einheitsdyade im Kartesischen Koordinatensystem
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 27
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ...
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
1
3 3
3
3
3
3
R
R R :I
R R R R R I R R R :RR R R R I R
R R :RR R R R R
R R :RR R R
R R :RR R R : I
R R : RR I
3e e2 3
0
1 1 1 1 1( ) 3 ( ) d
4 2R R R
R
R R R R R R R R I R R R HOT
3e e2 3
0
1 1 1 1 1( ) 3 ( ) d
4 2R R R
R
R R R R R : RR I R R HOT
A
A B AB : I
A I B
A I B
A B
In general it holds / Allgemein gilt
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 28
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ...
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
e
e
e
3e e
0
3e2
3e3
1 1( ) ( ) d
4
1 ( ) d
1 1 ( ) d 3
2
Q
R
R
R
R
R
p
R
q
R R R
R R R R
R R R R : RR I
HOT
e e 2 3e e0
1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ( ) 34 2
Higher Order Terms / Terme höherer Ordnung :
QR R R
R p R q : RR I HOT
HOT
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 29
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ...
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Arbitrary Point Charge / Beliebige Punktsladungsverteilungen
z
y
x
e ( ) R
3e e ( ) dQ
R
R RMonopole Moment / Monopolmoment
Dipole Moment / Dipolmoment
Quadrupole Moment / Quadrupolmoment
3ee( ) d
R
p R R R
3ee( ) d
R
q R R R R
3e e
0
1 1( ) ( )d
4 | |
R
R R RR R
Expansion of in a Taylor Series for yields :
Entwicklung von in eine Taylor-Reihe für ergi
bt
1
| |
R 0
R R
e e 2 3e e0
1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ( ) 34 2
Higher Order Terms / Terme höherer Ordnung :
QR R R
R p R q : RR I HOT
HOT
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 30
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
e e e0, , Q p 0 q 0
z
y
x
Monopole Moment / Monopolmoment
z
y
x
Dipole Moment / Dipolmoment
z
y
x
Quadrupole Moment/ Quadrupolmoment
eQ
d
d
eQ
eQ
d
eQ
eQ
eQ
eQ
e e e0, , Q p 0 q 0
e e e0, , Q p 0 q 0
Two Point Charges /Zwei Punktladungen
One Point Charge /Eine Punktladung
Four Point Charges /Vier Punktladungen
3e e ( ) dQ
R
R R
3ee( ) d
R
p R R R
3ee( ) d
R
q R R R R
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 31
Electrostatic Dipole / Elektrostatischer Dipol
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
e e e
e e
( ) ( ) ( )
( ) ( )2 2z z
Q Q
d dQ Q
R R R R R
R e R e
z
y
x
with 2
2
z
z
d
d
R e
R e
ee
0
1 1( )
4
Q
RR R R R
Electrostatic Dipole Moment / Elektrische Dipolmoment
Distance Vector / Abstandsvektor 2 2z z z
d dd d R R e e e
3 3e e ee
3 3e e e e e e
( ) d ( ) ( ) d
( ) d ( ) d ( )
Q Q
Q Q Q Q Q Q
R R
R R
R R
p R R R R R R R R R
R R R R R R R R R R R R d
Electrostatic Volume Charge Density / Elektrostatische Raumladungsdichte
Electrostatic Potential / Elektrostatisches Potential
e3 3
0
( )4
Q
R R R RE R
R R R R
Electrostatic Field Strength / Elektrostatische Feldstärke
d
eQ
eQ
R
R
zdd e
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 32
Electrostatic Dipole / Elektrostatischer Dipol
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
z
y
x
d
eQ
eQ
R
R
zdd e3
ee
3e e
3 3e e
e e
e
( ) d
( ) ( ) d
( ) d ( ) d
2 2z z
Q Q
Q Q
Q Q
d dQ
R
R
R R
R R R R
q R R R R
R R R R R R R
R R R R R R R R R R
R R R R
e e
e
2 2z z
z z z z
d d
Q d d
0
e e
e e e e
0
Electrostatic Dipole Moment / Elektrostatisches Dipolmoment
e ee eˆQ p p d p
e
eˆ
e ep Q Q
d R R
p d R R
with / mit
Electrostatic Quadrupole Moment / Elektrostatisches Quadrupolmoment
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 33
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) FelderPoint Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … /
Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ... (2)
Application: Numerical Solution of Unbounded Static Problems / Anwendung: Numerische Lösung von unbegrenzten statischen
Problemen
ee
0
( )( )
R
R
e e
With Dirichlet Boundary Condition / Mit Dirichlet Randbedingung
With Open Boundary Condition (OBC) / Mit offener Randbedingung (ORB)
e e+ e( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )R y z x x y z x x
x
y
z
e0e+
e
( , )
0 else / sonst
( , )
y y y
y z z z z
y z
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 34
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ... (2)
With Dirichlet Boundary Condition / Mit Dirichlet Randbedingung
With Open Boundary Condition (OBC) / Mit offener Randbedingung (ORB)
e+ e e+ e
e 0V
e 0V
e
0V
e
0V
offene e
offene e
e
offene
e
offene
offen/opene e
e 2 3e e0
( )
1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ34 2
QR R R
R
p R q : RR I
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 9 / Vorlesung 9 35
End of Lecture 9 /Ende der 9. Vorlesung