Rand 5, Heft 1 Februar 1935 Kleine Mitteilungen 79

lieu (das alaiiiiesiiiaiin-Sclirigwa3z\~erk). Die Imle .4niiilieruiig dcr \Valzgescliwindiglteil an (1, so wie die 1teil)uiig sic erzeugt, ergibt jetzt r in Itleiiies positives !I und iiegalives x , c l . 11. die \Valze zicht ctwa von C bis U das \\'alegut cin iind tlic Slrecltc A-C liemint das Walz- gut. Die \\'alegcscl~wiiidiglteit bei . l ist >)deni gezogcnen \\'alzgute zu Itleincc I).

Zu erwarten i s t eiue Wirknug nach Abb. 31).

Quanlilaliv wird die Fragc deshalb wohl iiicht rechnerisch zu Idsen sein. Qualitativ IiiBL sich nocli I'olgcndes feststellen:

1;. Im Gebiete d-C ist die resultierende IIorimi~lalliral't, ffir den normalen Fall x> 1 chin U 11 1 e r s c h i e d zwischeii zwei Termen (Dluck - Ikibung). I m Gebiete C--0 ist die resiilliercnde Kreft die S u in m e zwekr Ter- men. Ein Zuwachs des Reibungsternies ha t ini Gebiete .I-C also gr6Beren EinfluR und

Abb. 2.

1V. Rechnerisch etwas iiber die Lagc des l'unlitcs C aoszufindcn, scheitert an der Un- sicherhcit betreffend Zusan~menhang zwischcii Walzdiuck, lkibung und Formlnderung. Be- diiigung wird sein, daB ini Beharrungszuslaiid (wobei das Walzgut al s G a i i z e s keine Be- schleuniguug erh i l t ) in horizontaler Richlung Gleichgewiclit bestelit zwischen dzn Konipo- nenlen der Diuck- und Rci1)ungsliriifte mi- schen A-C, den analogen Koinponcnten zwi- sclien C--B und den, rolaliv nur kleinen, Be- sclileu~iib(u~~gslcrllLen zur EPIIBIIIIII~ der Ge- scliwii~digkeil VOII uI auf l ~ ? . Es wird anf die Lsge des Punlttes C bei gegebeneni A und B (und daniit auf die Voreilung bei gegebener lI6heiiabnahme) also EinfluD zu erwarten sein von vielen Falitorell: Teinperatur, welch,e so- wohl die Rcibuiigsverhaltiiisse wie die spezi- fischen Driiclte lndert; Gcscliwindiglteit, wel- clie auch h i d e genaniiten GrBI3en bocinlluDt und ihertlies iiocli die Besclileunigungslirlfto; hlalerial des \Yalzgutes. Wcnn man sich nicht auf Blecliwalzen beschrlnkt, hat natiirlich auch die Querschniltslbrni erhebliclieii EinfluB, weil die seilliclieii L)rilcIic auch Heil)uogeii hervor- rufen, welclie die Lage des Punkles C mil beslininieii. Auch tritt daiiii ail Stelle der ein- fachen Formel p u? = P uI ein L4usdr~~ck, dcr die beiden @ u c r sc 11 n i t t e enthiilt.

'1 Eben diese Erscheinung tritt auch bcim Schriigwalzen nach Man nes m an n auf (vergl. Abb. 2). Das Walzgut wird etwa zwischen C und B gezogen, der Teil A - C der Wulze hat eine erheblieh kleinere Qeschwindigkelt in der Walz- richtung, die B.uOeren Schlchte werden gehemmt und das Material von innen. aus nach C-B ge- zogcn.

n

Abb. 4 .

beim Wachsen des Reibungskoeffizienten riickt C weiter nach A, das Voreilen nimmt zu. Es ist ja (vergl. Abb. 4), wenn rq sicli auf C bezieht :

p'p . a c o s p = p us, \vorans

p'p = p + e R (1 - cosy).

2 R 2 R P, P

uq = a cosg,( l+ - - - cosy) .

(P2 Setzt iiian, bei Itleinem p, COST = 1 --, 80 2

crgibt sich auniiliernd R := +y"-

Teehnische Hochschule Delft.

D. D r e s d e n . 429

ZUT Berechnung der Schubrpannungen Im gebogenen Stab. Bei elementarer Behandlung der Prage fiber d ie Verteilung der Schuhspan- nungen irn Querschnitte eines gebogenen Stabes ist es qblich - bei g e r a d e r Biegung und syminetrischem Querschnitt -, von 2 w 0 i will- kiirlichen Annalimen auszugehen. Es wird - die 2-Aclise rnit der Nullinie, die Y-Achse rnit der Symmetrig-Achse des Quorschnittes und gleichzeitig mi t der Spur der Kraftebene und aer Richtung der Schubkraft eusammenfallend vorausgesetzt -, angenommen:

erst en^, daW die in der Richtung de r Y-Achee gehende Komponente zZy der Schub- spannung z u n a b h h g i g von der Querschnitts- koordinate z sei. Daraus erhalt man den folgenden bekannten Ausdruck fur zzy:

Ztsohr. f. ange#r. no I<leine Mitteilungen M S t 1 1 ~ . t11111 Ale&.

Dabei bedeuten (Abb. 1) : V dio Schubkraft, 0 das TrBgheitsmoment des Querschnittee

6, die jeweilige Ureite des Querschnittes im beziiglich der Nullinie,

Abstande y von der Nullinie, c

S , = / y b , d y . . . . (2);

I

Abb. 1.

Z w ei t e n 6, dab die resultierenden Schub- spannungen 7 auf der Hreite b, alle nach dem Schnittpunkt L, tier beitlen Tangenten niit (let Fymnietrie-Achse 0 I' gerichtrt sintl.

Wir wollen zeigen. daW die beiden Annahmen nicht unabhtingig rind sondrrn daO die zbeite eine iiotwendige Folge der ersten ist. Dabei gebrauchen wir die allgemeine Gleicigewlchts- Gleicliung :

8 , - +---+--=o ar,y a rz* . . (3). o x t ' y 0 s

Wcnn wir niit ,If tias Uiegunmmoment be- zeichnen, so liaben wir bekanntlich :

d M M j'= _. d x ? a Z = @ : ( /

a x @ Y ' a n , 1' --- - und also:

I)a aus (2)

so ergibt Gleichung (1): v v S" d E , - n 72y ~ _ _ _

D u f l y - ob,l a y ' Aus Gleichung (3) folgt nun:

1172. V S y d b u 1 d t , 0 z O by' d II b y d I /

- T Z U _ _ - - -

Daraus erlialten wir durch Integration :

Die willktirliche Funktion 9" (y) sol1 aus dor Randhedingung ermittelt werden. Wenn wir die Entfernungen der Punkte der Umfangs- liurre dee Qnerschnittes von der I'-Achse mit

El und k2 bezeichnen, 80 haben wir als Rand- bedingung die zw6i Gleichungen:

(51

und a 5 (Z),=-:,=-dy . . . . . (6), indem diem Gleichungen die B e d i n g b g aus- driicken, da13 am Querschnittsumtangdie Schub- spannungen tangential gerichtet sein miissen. Die GI. (4) und (5) ergeben leicht:

d a bv = El + & ist. Aua (4) erhalten wir nun:

ZZ. = 7"y [(; + g,, d - a1 - (2 - El ) "3 (8). b y dzi d u

Die zweite Randbedingung (6) ist rlamit gleiohfalls erftillt.

Gleichunp (8) gilt fur jeden Querschnitt, dessen Hauptrgghrits-Achse mit der Y-Achse zusarnmenf&llt. Falls die Y-Achse eine Sym- metrie-Achse des Querschnittes ist, so hab<n a i r :

und Gleichung (8) nimmt folgende Form an: El = i s , b , = 2

Es ist Ieicht zu sehcn, da13 diese Gleichung drn Inhalt der z w e i t r n der ohen getlannten Annahmsn ausdriickt, - was zu beweisen war. -

Moskau. A. W. Sotoff . 425

I

Ueber die Nullstellen dcr Besselscfren Funktionen. Aus tier Multiplikationstortuel der Uenselschen Funktion hahe ich einen Satz iiber ilit e Nullstellen hrrgeleitet, mit dessen Hilfe ich z. R. die rrste hullstelle der BesSb l~c l i en Funktion JO (I) ohne sonderliche bliihe nuf 10 Duzirnalen berechuete:

s = 2,404 825 557 7.

Um die Nullstellen von JIOO (a) und Jlnoo (I) zu finden. hat A i r e y ) schon die Multipli- kationsformel benutzt, g ing dabei aber un- mittelbar ~ o i i der Formel aus; fiir die erEte Nullstells von JIO~O (z) fand e r

x = 1018,62. Auf Grund meines Satzes bekam ich den Wert

z = 1018,660 87. Es 8011 hier gezeigt werden, wie man die

I. Wir kijiinen die Multiplikationsformel so Nullstellen so genau berechnen kann.

schreiben: