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Análise Combinatória
Objetivos da aula
• Princípio Fundamental da Contagem
• Arranjo Simples
• Permutações: simples e com repetição
• Combinação simples
Princípio Fundamental da Contagem
Vamos imaginar o caso de uma montadorade carros que dispõe de 5 cores (preto,vinho, azul, vermelho e prata) para fabricar3 modelos de carros diferentes (Sapoti, Figoe Amora).
Para saber quantos tipos de carrosdiferentes podem ser fabricados, bastacruzar cada cor, com cada tipo de carro.
Usando o esquema a seguir fica mais fácil!
Temos 15 diferentes tipos
de carro.
Análise Combinatória
Princípio Fundamentalda contagem
Evento que depende de evento anterior
Tente fazer sozinho
1) Se jogarmos uma moeda
para o alto 3 vezes, quantas
sequências diferentespodemos obter?
Tente fazer sozinho
1) Se jogarmos uma moeda
para o alto 3 vezes, quantas
sequências diferentespodemos obter?
Solução
Logo, temos 8 resultados diferentes
Fatorial de um número natural
Representamos o fatorial de umnúmero colocando um ponto deexclamação depois desse número (n!)
Exemplos:
4! 7! 20!
Cálculo do Fatorial
O fatorial de um número natural n édado pelo seguinte produto:
n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). ... . 2.1
Exemplos:
• 4! = 4.3.2.1 = 24
• 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1= 3628800
O fatorial de zero é igual a 1
0! = 1
Tente fazer sozinho
2) Calcule:!6!15
!3!17
Solucão
15
34
4.5.6
16.17
!3.4.5.6!.15
!3.15.16.17
!3.4.5.6!.15
!3!.15.16.17
!6!15
!3!17
Tente fazer sozinho
3) (UEMG) Simplificando a expressão
, obtemos: !2
!1!
n
nn
1
1
1
1)
1)
n
nd)
n
nc)
nb
n
na
Solução
Letra D
1
1
!12
2!
!12
2!
!12
11!
!12
!1!
!2
!1!
nnnn
nn
nnn
nn
nnn
nn
nnn
nnn
n
nn
Arranjo Simples
O arranjo simples acontece quandofazemos qualquer agrupamento com todosou alguns elementos de um conjunto, cujaordem dos elementos é considerada.
Exemplo: Quantos números de 3 algarismosdistintos podemos formar com os algarismos2, 3, 4, 5 e 6.
= 60 números
5 4 3
Sendo: n número total de elementos do
conjunto p quantidade de algarismos pedida
!!
pn
nA
p
n
60!3
!3.4.5.6
!3
!6
!36
!63
6
A
Também podemos usar a fórmula dearranjo simples:
Análise Combinatória
Princípio Fundamentalda contagem
ArranjoSimples
Definição
Fórmula
Agrupamento de pelo menos 2 elementos
Importa a ordem
Evento que depende de evento anterior
!!
pn
nA
p
n
Tente fazer sozinho4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 e 9. a)Quantos números de 3 algarismos
distintos podemos escrever?b)Quantos números de 4 algarismos
distintos que terminem com 7 podemos escrever?
c) Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever?
Tente fazer sozinho4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 e 9. a) Quantos números de 3 algarismos
distintos podemos escrever?b) Quantos números de 4 algarismos
distintos que terminem com 7 podemos escrever?
c) Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever?
Solução
a) = 504
b) = 336
c) = 840
9 8 7
8 7 6 1
7 6 5 41 1
7
83
PermutaçãoA permutação é um caso particular do
arranjo simples, pois acontece quandoagrupamos todos os elementos do conjuntodado.
Exemplo: dados 1, 2, 3, 4, 5, se queremosformar números de 3 algarismos, temos umcaso de arranjo. Se queremos formarnúmeros de 5 algarismos, temos um caso dearranjo, particularmente, a permutação.
Permutação Simples
A permutação simples acontece quando
fazemos qualquer agrupamento com todosos elementos de um conjunto.
Exemplo:
A palavra AMOR apresenta 4 letras e comelas, podemos formar alguns anagramas:
ROMA – MORA – ROAM - ARMO
Permutação Simples
Para calcular o número total deanagramas, podemos seguir o seguinteraciocínio:
= 24
Também podemos usar a fórmula de permutação simples: Pn = n!
P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
4 3 2 1
Tente fazer sozinho5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando
como base a palavra UFPEL, resolva as seguintes questões:
a)Quantos anagramas podemos formar?b)Quantos anagramas podemos formar,
de modo que comece e termine com vogal?
c)Quantos anagramas podemos formar, de modo que as letras UF apareçam sempre juntas?
Tente fazer sozinho5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando
como base a palavra UFPEL, resolva as seguintes questões:
a)Quantos anagramas podemos formar?b)Quantos anagramas podemos formar,
de modo que comece e termine com vogal?
c)Quantos anagramas podemos formar, de modo que as letras UF apareçam sempre juntas?
Solução
a) = 120
b) = 12
c) = 6 ; 6 .4 = 24
= 2 ;
2 x 24 = 48
1 3 2 1
4 3 2 15
3 2 1 12
UF
2 1
Tente fazer sozinho6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultose 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3atrás. Sabendo-se que apenas 2 pessoaspodem dirigir e que as crianças devem ir atráse na janela, o número total de maneirasdiferentes através das quais estas 5 pessoaspodem ser posicionadas, não permitindo ascrianças irem no colo de ninguém, é igual a:
a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8
Tente fazer sozinho6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultose 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3atrás. Sabendo-se que apenas 2 pessoaspodem dirigir e que as crianças devem ir atráse na janela, o número total de maneirasdiferentes através das quais estas 5 pessoaspodem ser posicionadas, não permitindo ascrianças irem no colo de ninguém, é igual a:
a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8
Solução
= 82 2 2 1 1bancos
da frentebancosde trás
janelascarona
motorista
Permutação com Repetição
Caso o conjunto dado apresenteelementos repetidos, usaremos a seguintefórmula:
Sendo:n o número total de elementos
α, β, γ número que indica a quantidades de elementos repetidos de cada tipo.
!!!
!,,
n
Pn
Permutação com Repetição
Exemplo: A palavra ARARAQUARA apresenta
um total de 10 letras, sendo 5A, 3R, 1Q e 1U
50402.3!5
!5.6.7.8.9.10
2.3!5
!5.6.7.8.9.10
!3!5
!103,5
10
P
Tente fazer sozinho
7) Apresente a quantidadede anagramas da palavra
MISSISSIPI.
Tente fazer sozinho
7) Apresente a quantidadede anagramas da palavra
MISSISSIPI.
Solução MISSISSIPI: 10 letras, sendo1M, 4I, 4S, 1P
63002.3.4!4
!4.5.6.7.8.9.10
2.3.4!4
!4.5.6.7.8.9.10
!4!4
!104,4
10
P
Análise Combinatória
Princípio Fundamentalda contagem
ArranjoSimples
Definição
Fórmula
Agrupamento de pelo menos 2 elementos
Importa a ordem
CasoParticular Permutação
Evento que depende de evento anterior
!!
pn
nA
p
n
ArranjoSimples
Definição
Fórmula
Agrupamento de pelo menos 2 elementos
Importa a ordem
PermutaçãoDefinição
TiposCom
repetição
simples
Agrupamento de todos elementos dados
P!
CasoParticular
característica
!!
pn
nA
p
n
!!!
!,,
n
Pn
Combinação SimplesA combinação simples acontece
quando agrupamos uma quantidade p deelementos de um conjunto com n elementos,sem importar a ordem que esses elementossão escolhidos. Exemplo: Se devemos sortear 3 pessoasdentre as 5 que se candidataram a umaviagem, não importa a ordem que as 3 serãoescolhidas, pois todas as 3 irão da mesmaforma.
Combinação SimplesPara resolver problemas que ocorrem
a combinação simples, usaremos a fórmula:
Exemplo: Se devemos sortear 3 pessoasdentre 5.
!!
!
pnp
nC
p
n
102!3
!3.4.5
2!3
!3.4.5
!2!3
!5
!35!3
!53
5
C
Tente fazer sozinho
8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas parailustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual doCandidato do Vestibular Estadual de 2007. Umdesses grupos está apresentado a seguir:
Considere que cada grupo de 4 figuras quepoderia ser formado é distinto de outro somentequando pelo menos uma de suas figuras fordiferente. Nesse caso, o número total de gruposdistintos entre si que poderiam ser formados parailustrar o Manual do Candidato é igual a:
Tente fazer sozinho
8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas parailustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual doCandidato do Vestibular Estadual de 2007. Umdesses grupos está apresentado a seguir:
Considere que cada grupo de 4 figuras quepoderia ser formado é distinto de outro somentequando pelo menos uma de suas figuras fordiferente. Nesse caso, o número total de gruposdistintos entre si que poderiam ser formados parailustrar o Manual do Candidato é igual a:
Solução
352.3!4
!4.5.6.7
!3!4
!7
!47!4
!74
7
C
Tente fazer sozinho
9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas,quantos copos de salada, contendo 6espécies diferentes, podem ser feitos?
Tente fazer sozinho
9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas,quantos copos de salada, contendo 6espécies diferentes, podem ser feitos?
Solução
2102.3.4!6
!6.7.8.9.10
!4!6
!10
!610!6
!106
10
C
Análise Combinatória
Princípio Fundamentalda contagem
ArranjoSimples
Definição
Fórmula
CombinaçãoSimples
Definição
Fórmula
Agrupamento de pelo menos 2 elementos
Importa a ordem
!!
pn
nA
p
n
!!
!
pnp
nC
p
n
CasoParticular Permutação
Agrupamento de pelo menos 2 elementos
Importa a ordem
Evento que depende de evento anterior
Bibliografia
• http://www.colegioweb.com.br/matematica/principio-fundamental-da-contagem.html
• http://matematica-online-clc.blogspot.com/2009/07/analise-combinatoria.html
• Dante, Luiz Roberto: Matemática Contexto & Aplicações 2 – Ensino Médio, Editora Ática – 3ª edição. Págs: 308 a 325