![Page 1: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/1.jpg)
Volumeberekening van omwentelingslichamen
![Page 2: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/2.jpg)
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
R
H
![Page 3: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/3.jpg)
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
R
H
![Page 4: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/4.jpg)
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
R
H
![Page 5: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/5.jpg)
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
R
H
![Page 6: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/6.jpg)
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
R
H
![Page 7: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/7.jpg)
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
R
H
![Page 8: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/8.jpg)
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
Volume: …
R
H
![Page 9: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/9.jpg)
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
Volume:
HRV .. 2R
H
![Page 10: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/10.jpg)
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
Volume:
Opmerking:
De inhoud van de cilinder die ontstaat door omwenteling van
de rechthoek om een zijde met lengte R is gelijk aan ...
HRV .. 2R
H
![Page 11: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/11.jpg)
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
Volume:
Opmerking:
De inhoud van de cilinder die ontstaat door omwenteling van
de rechthoek om een zijde met lengte R is gelijk aan
HRV .. 2
RHV .. 2
R
H
![Page 12: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/12.jpg)
2. Volume van omwentelingslichamen
Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen.
Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte:
![Page 13: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/13.jpg)
2. Volume van omwentelingslichamen
Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen.
Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte:
BOL
![Page 14: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/14.jpg)
2. Volume van omwentelingslichamen
Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen.
Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte:
BOL → halve schijf
![Page 15: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/15.jpg)
2. Volume van omwentelingslichamen
Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen.
Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte:
BOL → halve schijf KEGEL
![Page 16: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/16.jpg)
2. Volume van omwentelingslichamen
Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen.
Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte:
BOL → halve schijf KEGEL → rechthoekige driehoek
![Page 17: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/17.jpg)
We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ont-
staan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd
door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de
x-as, met f een continue functie in [a,b].
x
y
z
a
b
)(xfy
![Page 18: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/18.jpg)
We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ont-
staan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd
door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de
x-as, met f een continue functie in [a,b].
x
y
z
a
b
)(xfy
![Page 19: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/19.jpg)
We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ont-
staan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd
door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de
x-as, met f een continue functie in [a,b].
x
y
z
a
b
)(xfy
![Page 20: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/20.jpg)
We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ont-
staan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd
door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de
x-as, met f een continue functie in [a,b].
x
y
z
a
b
)(xfy
![Page 21: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/21.jpg)
We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ont-
staan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd
door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de
x-as, met f een continue functie in [a,b].
x
y
z
a
b
)(xfy
![Page 22: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/22.jpg)
We verdelen [a,b] in n deelintervallen. In elk deelinterval
kiezen we een willekeurig punt en we laten de rechthoek met lengte
en breedte wentelen om de x-as.
x
y
z
a
b
)(xfy
1, ii xx
iz
iii xxh 1)( izf
![Page 23: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/23.jpg)
We verdelen [a,b] in n deelintervallen. In elk deelinterval
kiezen we een willekeurig punt en we laten de rechthoek met lengte
en breedte wentelen om de x-as.
x
y
z
a
b
)(xfy
1, ii xx
iz
iii xxh 1)( izf
![Page 24: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/24.jpg)
We verdelen [a,b] in n deelintervallen. In elk deelinterval
kiezen we een willekeurig punt en we laten de rechthoek met lengte
en breedte wentelen om de x-as.
We krijgen een omwentelingscilinder met volume
x
y
z
a
b
)(xfy
1, ii xx
iz
iii xxh 1)( izf
![Page 25: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/25.jpg)
We verdelen [a,b] in n deelintervallen. In elk deelinterval
kiezen we een willekeurig punt en we laten de rechthoek met lengte
en breedte wentelen om de x-as.
We krijgen een omwentelingscilinder met volume
x
y
z
a
b
)(xfy
1, ii xx
iz
iii xxh 1)( izf
iiiii hzfhzfV .)(..)(. 22
![Page 26: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/26.jpg)
Indien we het beschouwde omwentelingslichaam opvullen met n gelijk-
aardige omwentelingscilinders
x
y
z
a
b
)(xfy
![Page 27: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/27.jpg)
Indien we het beschouwde omwentelingslichaam opvullen met n gelijk-
aardige omwentelingscilinders
x
y
z
a
b
)(xfy
![Page 28: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/28.jpg)
Indien we het beschouwde omwentelingslichaam opvullen met n gelijk-
aardige omwentelingscilinders, wordt het maatgetal van het volume van
dit lichaam benaderd door:
x
y
z
a
b
)(xfy
![Page 29: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/29.jpg)
Indien we het beschouwde omwentelingslichaam opvullen met n gelijk-
aardige omwentelingscilinders, wordt het maatgetal van het volume van
dit lichaam benaderd door:
x
y
z
a
b
)(xfy
n
iii hzf
1
2.)(.
![Page 30: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/30.jpg)
De nauwkeurigheid van de benadering kunnen we verbeteren door de
verdeling van [a,b] te verfijnen. Indien we [a,b] onbeperkt verfijnen, geldt:
x
y
z
a
b
)(xfy
![Page 31: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/31.jpg)
De nauwkeurigheid van de benadering kunnen we verbeteren door de
verdeling van [a,b] te verfijnen. Indien we [a,b] onbeperkt verfijnen, geldt:
x
y
z
a
b
)(xfy
1
2.)(.i
ii hzfV
![Page 32: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/32.jpg)
De nauwkeurigheid van de benadering kunnen we verbeteren door de
verdeling van [a,b] te verfijnen. Indien we [a,b] onbeperkt verfijnen, geldt:
x
y
z
a
b
)(xfy
1
2.)(.i
ii hzfV
![Page 33: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/33.jpg)
Vermits f continu is in [a,b], is ook de functie π.f 2 continu in [a,b].
De vorige som en dus het volume van het beschouwde omwentelings-
lichaam zijn dus gelijk aan:
x
y
z
a
b
)(xfy
![Page 34: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/34.jpg)
Vermits f continu is in [a,b], is ook de functie π.f 2 continu in [a,b].
De vorige som en dus het volume van het beschouwde omwentelings-
lichaam zijn dus gelijk aan:
x
y
z
a
b
)(xfy
b
a
dxxfV 2)(.
![Page 35: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/35.jpg)
Voorbeeld:
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het
vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale
rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.
![Page 36: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/36.jpg)
Voorbeeld:
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het
vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale
rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.
Oplossing:
x
y
![Page 37: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/37.jpg)
Voorbeeld:
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het
vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale
rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.
Oplossing:
2
0
2)(. dxxfV
x
y
![Page 38: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/38.jpg)
Voorbeeld:
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het
vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale
rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.
Oplossing:
2
0
2)(. dxxfV
x
yz
![Page 39: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/39.jpg)
Voorbeeld:
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het
vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale
rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.
Oplossing:
2
0
2)(. dxxfV
2
0
2 )(sin dxx x
yz
![Page 40: Volumeberekening van omwentelingslichamen. 1. Volume van een (omwentelings)cilinder Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061616/5551a0ed4979591f3c8b6188/html5/thumbnails/40.jpg)
Voorbeeld:
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het
vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale
rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.
Oplossing:
2
0
2)(. dxxfV
2
0
2
0
2
2
)2cos(1)(sin dx
xdxx
2
2
0
2
00002
22
)2sin(
2
xx
x
yz