1)Sia y=f(x) una funzione definita in un intervallo A e xo un punto di accumulazione di A.Quale ( o quali ) delle seguenti proprietà non esprime la continuità di f(x) in xo?
a) limx→ xo
−¿ f (x)= limx→ xo
+ ¿f (x) ¿¿ ¿
¿ (entrambi finiti)
b) lim∆ x→ 0
(f ( xo+∆ x )−f ( xo ))=0
c) Per ogni ε>0 esiste un δ>0 tale che |f(x)-f(x0)|<ε per ogni x ∈ A con |x-x0|<δ
d) comunque si prende un intervallo aperto I contenente f(x0) , esiste in corrispondenza un intervallo aperto J contente x0 e tale che tutte le immagini f(x) , con x appartenete a J intersecato con A , cadono in I .
Soluzione1
2) Dovendo calcolare il limitelimx→ ∞
sin xx
tre studenti ( A ,B e C) hanno fornito le seguenti risposte
A: Il limite richiesto è un noto limite fondamentale ed è uguale ad 1B: il limite richiesto vale 0 in quanto è il prodotto di una quantità che si mantiene limitata (sen x) per una quantità che diventa infinitesima (1/x)C: il limite richiesto non esiste . Infatti applicando la regola di de l'Hôpital si ottiene
limx→ ∞
sin xx
= limx →∞
cos x1
Poiché il secondo limite non esiste , allora non esiste neanche il primo
Quale dei tre ha fornito una risposta sostanzialmente corretta?
Soluzione2
3)Portare un esempio di funzione f(x) che goda delle seguenti proprietà:
A)1. è definita in [0;2] 2. è discontinua in un solo punto dell’intervallo stesso( precisando il tipo
di discontinuità)3. ammette massimo ma non minimo assoluto
B)1. è definita e continua in [0;2] 2. la sua derivata è discontinua in un solo punto dell’intervallo stesso
( precisando il tipo di discontinuità)
3. ammette all’interno dell’intervallo stesso un minimo relativo
C) 1. è invertibile 2. coincide con la sua inversa
D)
1. è invertibile 2. non è monotona (nell’intervallo)
Soluzione3
4) Completare la tabella seguente e inserire una funzione , nella terza e quarta riga ,in modo che risulti f(g(x))= g(f(x))
f(x) g(x) f(g(x)) g(f(x))ex x2
sin x 2xex
2x
Soluzione4
5)Quale tra i grafici seguenti, corrisponde alla funzione y= arcsen (sen x)?
a b c
Soluzione5
SOLUZIONI
1)la risposta a)
La condizione limx→ xo
−¿ f (x)= limx→ xo
+ ¿f (x) ¿¿ ¿
¿ (entrambi finiti)
esprime solo l’esistenza di un limite finito di f(x) quando x tende a xo.
Affinché la funzione sia continua deve risultare: limx→ xo
−¿ f (x)= limx→ xo
+ ¿f (x)=f ( xo) ¿¿ ¿
¿
La suddetta relazione è equivalente a quelle delle risposte b,c, d ( tendo conto anche della definizione di limite)
2)Risposta esatta :B
La prima è decisamente errata poiché il “noto” limite fondamentale è limx →0
sin xx
=1
La terza applica in maniera erronea il Teorema di de l'Hôpital: l’esistenza del limite limx→ ∞
f ' (x)g ' (x)
È condizione sufficiente ma non necessaria per l’esistenza del limite limx→ ∞
f (x )g (x)
3)A)Esempio N.1
f (x)={−x+1 0 ≤ x<1x 1≤ x≤ 2
La funzione :ha per dominio l’intervallo [0;2] ammette, per x=1 una discontinuità di prima specieha per codominio l’intervallo ]0:2]
Il teorema di Weierstrass non è applicabile, ma si può verificare direttamente l’esistenza di un massimo e la non esistenza di un minimo
Infatti il massimo è il valore 2, in corrispondenza del punto A(2;2), mentre il valore 0 è estremo inferiore ma non minimo in quanto non è un valore effettivamente assunto dalla funzione.
Esempio N.2
f (x)=¿
La funzione :ha per dominio l’intervallo [0;2]
ammette, nel punto P(1,12¿ una discontinuità eliminabile (terza specie)
ha per codominio l’intervallo ]0:1]
Il teorema di Weierstrass non è applicabile, ma si può verificare direttamente l’esistenza di un massimo e la non esistenza di un minimoInfatti il massimo è il valore 1, in corrispondenza dei punti A(0;1) e B(2;1), mentre il valore 0 è estremo inferiore ma non minimo in quanto non è un valore effettivamente assunto dalla funzione.
Esempio N3
f (x)={ln ∨x−1∨0 ≤ x<1∪1< x≤ 20 x=1
La funzione :ha per dominio l’intervallo [0;2] ammette, per x=1una discontinuità di seconda specie ha per codominio l’intervallo ]-∞ , 0]
Il teorema di Weierstrass non è applicabile, ma si può verificare direttamente l’esistenza di un massimo e la non esistenza di un minimoInfatti il massimo è il valore 0, in corrispondenza dei punti O(0;0), P(1;0) , A(2;0), mentre il minimo non esiste in quanto l’ estremo inferiore è -∞
C)E’ richiesta una funzione che sia una corrispondenza biunivoca, tale che ,inoltre, la sua espressione analitica non cambi quando si scambino tra di loro le variabili x ed y.
Esempio
f (x)=1x
La simmetria della curva rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante , fa sì che i grafici di f(x) e di f-1(x) si sovrappongano
D) La funzione richiesta deve essere biiettiva ma non deve essere monotona.Questo può accadere a patto che la funzione
1. non sia continua2. non sia definita in un intervallo
Esempio N.1
Funzione definita in ]-∞;0] ∪ [3;4] ed ha un punto isolato nel punto P(1;4)
f (x)={ x x ≤04 x=1
x−1 3≤ x ≤ 4
Il codominio è ]-∞;0] ∪ [2;3] ∪ {1 }
La funzione non è monotona nell’intorno di P ma è biiettiva e invertibile
f−1(x)={ x x ≤ 01 x=4
x+1 2 ≤ x≤ 3
GRAFICO di f (x) e di f−1(x), simmetrici rispetto alla retta y=x., in parte sovrapposti. Il dominio di f(x) corrisponde al codominio di f-1(x) e viceversa.
Esempio N.2Funzione definita in ]-∞;-2] ed ha un punto di discontinuità di terza specie nel punto P(-1;3)
f (x)={x x←1∪−1<x ≤23 x=−1
Il codominio è ]-∞;2] ∪ {3 }
La funzione non è monotona nell’intorno di P ma è biiettiva e invertibile
f−1(x)={x x←1∪−1<x ≤2−1 x=3
GRAFICO di f (x) e di f−1(x), sovrapposti ad eccezione dei due punti P e P’,simmetrici rispetto alla retta y=x.
Il dominio di f(x) corrisponde al codominio di f-1(x) e viceversa.
Esempio N.3La funzione è costituita da una serie di punti isolati. (-4,-1) (-3,-3) (-2,-2) (0,0) (2,2) (3,3) (4,1)
Dominio {−4 ,−3 ,−2,0,2,3,4 } Codominio {−1 ,−3 ,−2,0,1,2,3 }
La funzione non è monotona ma è biiettiva e invertibile
GRAFICO di f (x) GRAFICO di f−1(x)
4)f(x) g(x) f(g(x)) g(f(x))ex x2 ex2
e2 x
sin x 2x sin 2 x 2 sin xex ln x x xkx 2x 2kx 2kx
5)Grafico a)
Infatti la funzione “arcsen” restituisce un valore sempre compreso fra −π2
e π2 , pertanto
Se −π
2≤ x ≤ π
2 arcsen(sen x) = x
Se π2
≤ x ≤ 32
π arcsen(sen x) = π−¿x
( Si alternano, ogni mezzo periodo, segmenti appartenenti alle rette y=x-2kπ e y = (2k+1)π-x
DERIVE fornisce la seguente espressione analitica equivalente ( Basta applicare lo strumento
SEMPLIFICA-BASE alla funzione
GRAFICO