Download - Vektor dalam Ruang-Tiga
Vektor dalam
Ruang-Tiga
Koordinat Cartesius dalam Ruang Dimensi Tiga
Indikator Pencapaian Hasil Belajar Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam : 1. Menentukan letak titik dalam sistem koordinat Cartesius 2. Menentukan jarak, persamaan bola dan titik tengah pada ruang dimensi tiga 3. Menggambar permukaan pada ruang dimensi tiga Materi Ajar Koordinat Kartesius dalam Ruang Tiga Dimensi
Untuk menyatakan lokasi titik pada ruang, tempatkan tiga garis riil berpotongan
saling tegak lurus dengan titik 0 ( nol ) berimpit di satu titik O. Titik tersebut dinamakan
titik asal dan ketiga garis tersebut masing-masing dinamakan sumbu koordinat
( sumbu- x , sumbu- y dan sumbu- z ).
Biasanya sumbu- x dan sumbu- y ditempatkan horizontal dan sumbu- z vertikal.
Arah sumbu- z biasanya ditentukan dengan aturan tangan kanan, jika jari-jari tangan
kanan mengelilingi sumbu- z dalam arah putaran 090 berlawanan jarum jam dari sumbu-
x positif ke sumbu- y positif maka ibu jari menunjukkan arah positif dari sumbu- z
Ketiga sumbu koordinat menentukan tiga bidang koordinat xy, xz dan yz yang
membagi ruang menjadi delapan oktan.
Setiap titik P di ruang berkaitan dengan triple ),,( zyx yang masing-masing
komponennya mengukur jarak berarah terhadap bidang-bidang koordinat.
Sebagai contoh titik-titik ( 2,-3,4 ) dan ( -3,2,-5 ) di gambarkan pada sistem koordinat
sebagai berikut :
Latihan :
1. Gambarkan titik yang koordinatnya (2,0,3) , (-3,4,5 ), (0,4,0) dan (-2,-6,-1)
2. Apa yang istimewa pada koordinat titik di bidang yz ? Sumbu-z ?
Jarak, persamaan bola dan titik tengah
Tinjau dua titik ),,( 1111 zyxP dan ),,( 2222 zyxP , dengan 212121 ,, zzyyxx .
Pandang kedua titik tersebut sebagai titik sudut – titik sudut dari sebuah balok genjang
yang sisi-sisinya sejajar bidang koordinat, seperti ilustrasi berikut :
Perhatikan ,
Jadi jarak antara dua titik ),,( 1111 zyxP dan ),,( 2222 zyxP dalam ruang dengan (
),, 212121 zzyyxx dapat ditentukan dengan :
Permukaan bola adalah tempat kedudukan titik-titik pada ruang dimensi tiga yang
berjarak sama dari suatu titik tetap.
Jika ),,( zyx adalah titik pada permukaan bola dengan pusat ),,( lkh dan jari-jari r ,
maka :
persamaan dinamakan persamaan standar bola. Jika persamaan diuraikan kita akan
peroleh persamaan dalam bentuk
Tapi perlu diingat bahwa sebaliknya persamaan dalam bentuk tersebut grafiknya tidak
selalu berbentuk bola, bisa jadi berupa titik atau himpunan kosong.
Titik tengah dari dua titik yang diketahui adalah adalah titik yang jaraknya sama
terhadap kedua titik
Selanjutnya titik tengah dari dua titik ),,( 1111 zyxP dan ),,( 2222 zyxP dapat ditentukan
dengan
),,( 2222 zyxP
),,( 1111 zyxP
),,( 321 mmm
Latihan :
1. Cari pusat dan jari-jari dari persamaan bola 0143222 =+−+++ zxzyx
2. Tentukan persamaan bola yang diameternya adalah ruas garis yang menghubungkan
titik (-1,2,3) dan (5,-2,7)
Menggambar grafik permukaan di ruang dimensi tiga
Dalam banyak kasus suatu bidang berpotongan dengan bidang-bidang kordinat .
Jadi pertama kita cari terlebih dahulu kurva perpotongannya dengan bidang-bidang
koordinat yang dinamakan jejak. Dengan sedikit keartistikan , kita dapat menggunakan
jejak tersebut untuk menggambar grafik. Cara yang analog kita terapkan untuk
menggambar grafik dari permukaan-permukaan yang lain. Jika permukaan tidak
berpotongan dengan bidang koordinat, carilah penampang – yakni perpotongan
permukaan dengan bidang yang secara khusus dipilih ( biasanya bidang yang sejajar
dengan bidang koordinat )
a) Bidang
Persamaan dalam bentuk linier
merupakan persamaan bidang dalam ruang dimensi tiga.
Latihan :
Buat sketsa bidang yang persamaannya diberikan sebagai berikut :
1. 63 =−+ zyx
2. 83 =+ yx
b) Tabung
Mestinya anda sudah sangat mengenal permukaan yang berbentuk tabung tegak.
Sekarang kita akan membicarakan pengertian tabung dalam pengertian yang lebih luas.
Misal C suatu kurva dan l adalah garis yang memotong C tapi tidak sebidang dengan C
. Semua garis yang sejajar dengan l dan memotong C akan membentuk permukaan yang
disebut sebagai tabung. Kurva C dinamakan kurva pembangun.
Dalam ruang dimensi tiga tabung muncul jika kita menggambar persamaan yang
diberikan dalam dua variabel
Latihan :
Buat sketsa grafik permukaan yang persamaannya diberikan sebagai
1. 1522 =+ zy
2. 0162 22 =− zx
c) Permukaan Kuadrik
Gambar permukaan dalam ruang dimensi tiga yang persamaannya berderajat dua
dinamakan permukaan kuadrik. Bentuk umum persamaan berderajat dua dalam ruang
dimensi tiga diberikan sebagai
Dapat ditunjukkan bahwa persamaan tersebut melalui rotasi atau translasi sumbu
koordinat dapat direduksi menjadi
atau
Permukaan kuadrik (i) dan (ii) simetri terhadap bidang-bidang koordinat dan titik asal
sehingga disebut sebagai permukaan kuadrik sentral.
Berikut adalah nama dan sketsa dari enam tipe permukaan kuadrik :
Kurva pembangun
tabung
Latihan :
Beri nama dan buat sketsa grafik permukaan yang persamaannya diberikan sebagai :
Koordinat Tabung dan Koordinat Bola
Koordinat Cartesius adalah salah satu cara yang dapat dipakai untuk menunjukkan
posisi titik pada ruang dimensi tiga. Ada dua koordinat lain yang juga digunakan di
kalkulus , yaitu kordinat tabung ),,( zr dan koordianat bola ),,( . Ketiga koordinat
tersebut diilustrasikan seperti pada gambar berikut ,
20 ,0 r 0 ,20 ,0
Jika benda pejal atau permukaan memiliki suatu sumbu simetri, biasanya akan
lebih baik jika kita menempatkan sumbu simetrinya pada sumbu- z dan menggunakan
koordinat tabung. Sebagai contoh tabung dengan alas berbentuk lingkaran dan bidang
yang memuat sumbu- z , seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut
Hubungan koordinat Cartesius dengan koordinat tabung dinyatakan dalam persamaan :
Latihan
1. Cari koordinat Cartesius dari titik yang koordinat tabungnya
5,
3
2,4
2. Tentukan dalam koordinat tabung persamaan permukaan yang persamaannya
dalam koordinat Cartesius xyx 222 =+
3. Tentukan dalam koordinat Cartesius persamaan permukaan yang persamaannya
dalam koordinat tabung 164 22 =+ zr
Jika suatu benda pejal atau permukaan simetris terhadap suatu titik, kita dapat
menempatkannya pada koordinat bola. Sebagai contoh bola dengan pusat titik asal
memiliki persamaan 0 = dan kerucut dengan titik puncak titik asal memiliki
persamaan 0 = , seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut
Hubungan antara koordinat Cartesius dengan koordinat bola dinyatakan dalam
persamaan
Latihan
1. Cari koordinat Cartesius dari titik yang koordinat bolanya
3
2,
3,8
2. Tentukan dalam koordinat Cartesius persamaan permukaan yang persamaannya
dalam koordinat bola cos2=
3. Tentukan dalam koordinat bola persamaan permukaan yang persamaannya dalam
koordinat Cartesius 22 yxz +=
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Indikator Pencapaian Hasil Belajar Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam : 1. Menjelaskan representasi vektor secara geometris dan aljabar dalam ruang dimensi
tiga 2. Menentukan syarat dua vektor saling tegak lurus dan sejajar berdasarkan sifat hasil
kali titik dan hasil kali silang 3. Menentukan vektor proyeksi dan proyeksi skalar 4. Menentukan persamaan bidang 5. Menentukan jarak antara titik dan bidang 6. Mencari volume balok genjang yang ditentukan oleh tiga vektor yang diketahui Materi Ajar
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Istilah vektor digunakan untuk menunjukkan besaran yang memiliki besar dan arah.
Vektor biasanya direpresentasikan dengan anak panah atau ruas garis berarah. Panjang
vektor menunjukkan besar vektor dan arah anak panah menunjukkan arah vektor.
Kita menuliskan vektor dengan huruf yang ditebalkan (u) atau dengan meletakkan
anak panah di atasnya (→
u ) . Jika titik pangkal vektor u adalah A dan titik ujungnya adalah
B, maka ditulis AB=u . Dua vektor u dan v dikatakan sama, ditulis u = v , jika besar dan
arah kedua vektor sama. Vektor 0 adalah vektor yang besarnya 0 dan tidak memiliki arah
yang spesifik. Besar atau panjang vektor dinotasikan dengan u
Operasi pada Vektor
Jumlah dua vektor dapat ditentukan dengan menggunakan aturan segitiga atau jajar
genjang , ilustrasinya dapat dilihat seperti berikut ini
Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa operasi penjumlahan vektor memiliki sifat-sifat
berikut :
Vektor uk adalah vektor yang besarnya adalah k kali besar vektor u dan arahnya
sama dengan arah vektor u jika 0k atau berwanan arah dengan arah vektor u jika
0k . Gambar berikut adalah ilustrasi untuk operasi dengan skalar :
Khususnya, vektor v− ( dibaca negatif dari v ) adalah vektor yang besarnya sama
dengan vektor u , tapi berlawanan arah dengan arah vektor u . Selanjutnya operasi
pengurangan didefinisikan sebagai :
dan kita punyai 0uuuu =+−=−+ )()(
Pendekatan Aljabar Vektor
Vektor = 321 ,, uuuu dalam ruang dimensi tiga direpresentasikan dengan anak
panah yang titik pangkalnya berada di titik asal dan titik ujungnya adalah suatu titik yang
koordinatnya ),,( 321 uuu , gambar berikut adalah ilustrasi untuk hal tersebut :
Dua vektor = 321 ,, uuuu dan = 321 ,, vvvv dikatakan sama jika
332211 ,, vuvuvu === . Vektor nol didefinisikan sebagai = 0,0,00 . Selanjutnya jika k
skalar dan = 321 ,, uuuu didefinisikan :
== 321 ,, kukukukk uu
−−−=−=− 321 ,,)1( uuuuu
dan jika = 321 ,, uuuu dan = 321 ,, vvvv , maka :
Vektor-vekor = 0,0,1i , = 0,1,0j dan = 1,0,0k adalah vektor basis di ruang
dimensi tiga. Ketiga vektor tersebut bebas linier dan setiap vektor = 321 ,, uuuu dapat
dinyatakan sebagai kombinasi linier dari i , j dan k , yakni :
Besar suatu vektor = 321 ,, uuuu menunjukkan panjang ruas garis titik asal ke titik
yang koordinatnya ),,( 321 uuu dapat ditentukan dengan
Vektor yang panjangnya satu disebut vektor satuan Latihan
1. Misal = 1,0,1u dan −= 0,0,5v . Tentukan vu+ , vu − , u dan v3−
2. Cari vektor satuan yang arahnya sama dengan vektor kjiv 432 ++=
Selanjutnya menggunakan interpretasi aljabar dari vektor , aturan berikut dapat
dibuktikan
Teorema
Untuk sebarang vektor vu, dan w dan konstanta a dan b , berlaku
Hasil Kali Titik
Jika = 321 ,, uuuu dan = 321 ,, vvvv , hasil kali titik atau hasil kali skalar dari u
dan v didefinisikan sebagai 332211 vuvuvu ++= vu . Dari pendefinisian tersebut sifat-
sifat hasil kali titik yang berikut dapat dibuktikan
Teorema
Untuk sebarang vektor vu, dan w dan konstanta c , berlaku
Teorema berikut berkaitan dengan tafsiran geometris dari hasil kali titik
Teorema
Jika adalah sudut vektor vu, maka
Teorema
Dua vektor vu, adalah tegak lurus jika dan hanya jika 0=u.v
Vektor-vektor yang tegak lurus disebut ortogonal
Latihan
1. Misal = 1,1,0u , −= 1,1,2v dan −= 3,3,6w . Hitung :
2. Cari besarnya sudut-sudut pada suatu segitiga ABC , jika )3,4(A , )1,1( −B dan
)4,6( −C
Proyeksi
Misal u dan v vektor dan sudut antara kedua vektor tersebut. Asumsikan dulu
2/0 . Misal w adalah vektor yang arahnya sama dengan v dan cosu=w .
Karena w searah dengan v , kita dapat tuliskan vw c= untuk suatu skalar 0c . Jadi
Jika 2/ , kita mendefinisikan w sebagai vektor yang arahnya berlawanan
dengan v dan cosu−=w .
Karena w berlawanan arah dengan v , kita dapat tuliskan vw c−= untuk suatu skalar
0c . Jadi
Vektor w dinamakan vektor proyeksi dari u pada v , dinotasikan dengan uvpr , jadi
sementara , cosu dinamakan proyeksi skalar dari u pada v .
Latihan :
Tentukan vektor proyeksi dan proyeksi skalar dari u pada v , jika kjiu 35 ++−= dan
kjiv −+−=
Sudut dan Cosinus Arah
Sudut antara vektor a dengan vektor basis ji, dan k dinamakan sudut arah dari a
dan dinotasikan dengan , dan .
Tapi terkadang kita bekerja dengan cosinus arah. Misal = 321 ,, aaaa , maka
cosinus arah dari a didefinisikan dengan :
Perhatikan bahwa :
Jadi vektor cos,cos,cos adalah vektor satuan yang arahnya sama dengan vektor
a
Latihan :
1. Cari sudut arah dari vektor kjia 354 +−=
2. Cari suatu vektor yang panjangnya 5 satuan dngan 32= dan 100= sebagai dua
dari ketiga sudut arahnya.
Bidang
Salah satu cara untuk mendeskripsikan bidang adalah dengan menggunakan
vektor. Misal 0n = CBA ,, vektor tetap dan ),,( 1111 zyxP titik tetap. Himpunan semua
titik ),,( zyxP yang memenuhi 01 =nPP adalah bidang yang tegak lurus terhadap
vektor n dan memuat titik 1P .
Tulis vektor PP1 dalam bentuk komponen
maka 01 =nPP ekivalen dengan
Persamaan tersebut ( dengan A,B,C tidak semuanya nol ) dinamakan bentuk baku dari
persamaan bidang. Jika tanda kurung dibuka, maka akan diperoleh persamaan linier
Ini berarti setiap bidang memiliki persamaan linier.
Misal ),,( 111 zyx suatu titik tetap yang memenuhi persamaan linier, maka
Ambil sebarang tititk ),,( zyx yang memenuhi persamaan linier, maka
Dengan mengurangkan kedua persamaan kita peroleh
Dengan demikian sebaliknya berlaku bahwa setiap persamaan linier merepresentasikan
suatu bidang.
Latihan :
1. Cari persamaan bidang yang melalui titik )2,1,5( − dan tegak lurus vektor 3,4,2=n .
Cari sudut antara bidang ini dengan bidang yang persamaannya diberikan sebagai
5743 =+− zyx
2. Tunjukkan bahwa jarak antara bidang DCzByAx =++ dengan titik ),,( 000 zyx
dapat ditentukan dengan menggunakan rumus
3. Cari jarak antara dua bidang sejajar 9543 =+− zyx dan 4543 =+− zyx
Hasil Kali Silang
Hasil kali silang vu dari 321 ,, uuu=u dan 321 ,, vvv=v didefinisikan sebagai
Untuk lebih memudahkan, hasil kali silang tersebut sering dituliskan dalam bentuk
determinan seperti berikut
Dapat ditunjukkan bahwa pada hasil kali silang berlaku sifat anti komutatif ,
Latihan :
Misal 1,2,1 −−=u dan 1,4,2−=v . Hitung vu dan uv dengan menggunakan
definisi.
Tafsiran geometris dari hasil kali silang , diberikan oleh teorema berikut .
Teorema
Jika vu, adalah vektor dan adalah sudut diantara keduanya , maka :
1. 0= v)(uu dan 0= v)(uu , yakni vu tegak lurus terhadap u dan v
2. vu, dan vu membentuk sistem tangan kanan
3. sinvuvu =
Kita memperoleh teorema berikut sebagai akibat dari teorema di atas.
Teorema
Dua vektor u dan v sejajar jika dan hanya jika 0vu =
Latihan :
1. Cari persamaan bidang yang memuat tiga titik )3,2,1(1 −P , )2,1,4(2 −P dan )0,3,2(3 −−P
2. Tunjukkan bahwa luas jajar genjang dengan vektor a dan b sebagai sisi yang
berdampingan adalah ba
3. Tunjukkan bahwa volume dari balok genjang yang ditentukan vektor-vektor a , b dan
c adalah
Selanjutnya dengan menuliskan vektor dalam komponen, dapat ditunjukkan
teorema berikut berlaku
Teorema
Jika u , v dan w vektor-vektor dalam ruang dimensi tiga dan k adalah skalar, maka berlaku
:
Dengan menggunakan sifat di atas dan hasil kali silang vektor-vektor basis berikut
perhitungan hasil kali silang bisa dilakukan tanpa harus menggunakan definisi
Latihan :
Misal k2j3iu +−= dan 3k2j4iv −+= . Hitung vu tanpa menggunakan definisi.
Fungsi Bernilai Vektor
Indikator Pencapaian Hasil Belajar Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam : 1. Menjelaskan pengertian fungsi bernilai vektor 2. Menentukan limit fungsi bernilai vektor 3. Menentukan turunan fungsi bernilai vektor 4. Menentukan integral fungsi bernilai vektor 5. Menentukan kecepatan dan percepatan gerakan sepanjang kurva lintasan 6. Menentukan persamaan garis pada ruang dimensi tiga 7. Menentukan persamaan garis singgung kurva pada ruang dimensi tiga 8. Menentukan kelengkungan dan komponen percepatan Materi Ajar
Ingat kembali bahwa fungsi adalah aturan yang mengaitkan setiap t anggota suatu
himpunan ( daerah asal ) dengan suatu nilai )(tf yang tunggal pada himpunan yang
kedua. Himpunan dari semua nilai yang diperoleh disebut daerah hasil dari fungsi.
Sejauh ini yang kita bicarakan adalah fungsi bernilai riil dari peubah riil, yakni
daerah asal dan daerah hasilnya adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan riil.
Sebagai contoh 2)( ttf = yang mengaitkan setiap bilangan riil t dengan bilangan riil 2t .
Sekarang kita akan membicarakan suatu fungsi yang daerah asalnya adalah
himpunan bagian dari bilangan riil dan daerah hasilnya adalah himpunan vektor
Fungsi bernilai vektor F dari variabel riil t mengaitkan setiap t anggota suatu himpunan
bagian dari himpunan bilangan riil dengan tepat satu vektor )(tF .
dengan gf , dan h fungsi variabel riil bernilai riil. Sebagai cotoh
Biasanya fungsi bernilai vektor dituliskan dengan huruf tebal untuk membedakan fungsi
bernilai vektor dengan fungsi bernilai riil.
Kalkulus Fungsi Bernilai Vektor
Secara intuitif LF =→
)(lim tct
berarti bahwa vektor )(tF mendekati L ketika t
mendekati c . Dengan kata lain vektor LF −)(t mendekati 0 ketika ct →
Definisi
Mengatakan bahwa LF =→
)(lim tct
berarti bahwa untuk setiap 0 ( berapapun kecilnya ),
h terdapat suatu 0 sedemikian sehingga −LF )(t jika − ct0 , yakni
−− LtFct )(0
Teorema
Misal kjiF )()()()( thtgtft ++= , maka F memiliki limit di c jika dan hanya jika gf , dan h
memiliki limit di c , dan
Selanjutnya fungsi F dikatakan kontinu pada c jika )()(lim ctct
FF =→
dan akibat dari
teorema di atas, maka F kontinu pada c jika dan hanya jika gf , dan h kontinu di c
Selanjutnya turunan F' adalah fungsi yang nilainya di sebarang t diberikan oleh
dan jika ijiF )()()()( thtgtft ++= , maka
Latihan :
Jika kjiF 2)1()( 2 +++= tett , cari )(' tF , )(tF" dan sudut antara )0('F dan )0(F"
Berikut adalah aturan pencarian turunan pada fungsi peubah riil bernilai vektor
Teorema
Jika F dan G adalah fungsi bernilai vektor dapat diturunkan, p fungsi bernilai riil dapat
diturunkan dan c adalah skalar , maka :
Karena turunan dari fungsi bernilai vektor dapat ditentukan dengan menghitung
turunan dari komponen-komponennya maka suatu yang masuk akal jika kemudian
integralnya juga dapat ditentukan dengan menghitung integral dari komponennya, yakni
jika kjiF )()()()( thtgtft ++= ,
Latihan :
Jika kjiF 2)( 2 −−= −tett , carilah
Gerak Sepanjang Kurva Lintasan
Kita akan menggunakan teori tentang fungsi bernilai vektor yang telah kita
bicarakan sebelumnya untuk mempelajari gerakan titik pada ruang. Misal t mengukur
waktu dan misal koordinat titik P diberikan secara geometri sebagai )(tfx = , )(tgy =
dan )(thz = , maka vektor kjir )()()()( thtgtft ++= diasumsikan memancar dari titik
asal dan disebut sebagi vektor posisi dari titik P . Seraya t bergerak , ujung )(tr
menelusuri lintasan gerakan dari titik P . Lintasan tersebut berbentuk kurva dan kita
menamakan gerakan titik tersebut sebagai gerak sepanjang kurva lintasan.
Analog dengan gerak lurus , kita mendefinisikan kecepatan )(tv sebagai :
yakni )()( tt r'v = dan percepatan )()( tt v'a = . Interpretasi geometrinya, vektor
kecepatan menentukan arah garis singgung dan percepatan secara mengarah ke dalam
lengkungan kurva seperti yang diilustrasikan berikut ini :
Jika )(tr adalah vektor posisi dari suatu titik, maka panjang lintasan dari at = ke
bt = adalah
Akumulasi dari panjang busur dari at = ke sebarang t diberikan oleh
Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus, kita punyai
Selanjutnya laju dari suatu objek didefinisikan sebagai :
Latihan :
Posisi suatu titik ditentukan secara parametrik oleh persamaan tx cos= , ty sin= , t
z
=
. a. Buat sketsa kurva tersebut
b. Tentukan kecepatan , percepatan dan laju dari gerak sepanjang kurva
Garis dan garis singgung di ruang dimensi tiga
Kurva yang paling sederhana adalah garis. Suatu garis ditentukan oleh suatu titik
0P dan suatu vektor tetap kjiv cba ++= disebut vektor arah dari garis. Garis dilihat
sebagai himpunan semua titik P demikian sehingga PP0 sejajar dengan v , yakni
untuk suatu bilangan riil t .
Jika OP=r dan 00 OP=r adalah vektor posisi dari P dan 0P , sehingga
00 rr −=PP
sehingga persamaan garis dapat ditulis sebagai
Jika ditulis zyx ,,=r dan 0000 ,, zyx=r , dengan menyamakan komponen dari
persamaan di atas, kita peroleh
Persamaan tersebut dinamakan persamaan parametrik garis yang melalui titik
),,( 0000 zyxP dan sejajar cba ,,=v . Vektor cba ,,=v disebut vektor arah dan bilangan
ba, dan c disebut bilangan arah dari garis. Bilangan arah tidak tunggal, karena jika ba,
dan c bilangan arah maka kbka, dan kc juga bilangan arah.
Latihan :
Cari persamaan parametrik garis yang melalui titik-titik )4,2,3( − dan )2,6,5( −
Jika kita menyelesaikan persamaan parametrik untuk t ( asumsikan cba ,, tidak
semuanya nol ) dan dengan menyamakan hasil tersebut kita memperoleh persamaan
simetrik untuk garis yang melalui titik ),,( 000 zyx dengan bilangan arah ba, dan c
Ini adalah irisan dari dua persamaan bidang
dan tentu saja irisan dua bidang adalah garis.
Latihan :
1. Tentukan persamaan simetrik dari garis yang sejajar dengan vektor 2,3,4 − dan
melalui titik )1,5,2( −
2. Cari persamaan simetrik dari perpotongan dua bidang 1452 −=−− zyx dan bidang
28454 =++ zyx
3. Cari persamaan parametrik dari garis yang melalui titik )3,2,1( − dan tegak lurus pada
sumbu- x dan garis 51
3
2
4 zyx=
−
−=
−
Misal
adalah vektor posisi yang menentukan kurva di ruang dimensi tiga. Garis singgung dari
kurva memiliki vektor arah
Latihan :
1. Cari persamaan parametrik dan persamaan simetrik dari garis singgung kurva
pada titik
3
8,2,2P
2. Cari persamaan bidang yang tegak lurus terhadap kurva
pada titik ( )8,0,2P
Kelengkungan
Kelengkungan secara natural bisa kita lihat sebagai ukuran seberapa tajam kurva
melengkung. Garis lurus tentu saja kelengkungannya sama dengan nol dan semakin tajam
kurva melengkung maka semakin besar kelengkungannya.
Misal kjir )()()()( thtgtft ++= menyatakan posisi suatu objek pada saat t.
Asumsikan )(' tr kontinu dan tidak pernah sama dengan vektor nol. Hal ini menjamin
bahwa )(ts bertambah jika t bertambah. Ukuran kelengkungan akan menunjukkan
seberapa cepat vektor singgung berubah. Tapi nantinya kita akan bekerja dengan vektor
singgung satuan.
Tinjau laju perubahan vektor singgung satuan seperti yang dilustrasikan sebagai
berikut.
Ketika objek bergerak dari titik A ke titik B , perubahan sangat sedikit atau panjang
)()( ttt TT −+ kecil , sedangkan ketika objek bergerak dari C ke D perubahan lebih
banyak atau panjang )()( ttt TT −+ lebih besar. Kelengkungan didefinisikan sebagai
besarnya laju perubahan vektor satuan terhadap panjang lintasan s , yakni
Selanjutnya kita bisa menuliskan ,
Latihan :
Cari kelengkungan helix kji cttbta ++ sincos pada sebarang titik
Komponen percepatan
Misal )(tr vektor posisi dan )(tT adalah vektor singgung satuan dari gerak
sepanjang suatu kurva. Mengingat )(tT vektor satuan, maka kita punyai
untuk semua t . Selanjutnya turunkan kedua ruas terhadap t , diperoleh
Dari kesamaan di atas kita bisa simpulkan bahwa
Ini mengatakan pada kita bahwa )(tT dan )(' tT saling tegak lurus untuk semua t . Secara
umum vektor )(' tT bukan vektor satuan , selanjutnya kita definisikan vektor normal
satuan
Selanjutnya kita akan menyatakan percepatan dalam vektor singgung satuan dan vektor dan
vektor normal satuan. Secara lebih spesifik kita akan mencari komponen tangensial Ta dan
komponen Na sedemikian sehingga
Perhatikan ,
Karena v'a = , NTT ''= dan dt
ds='T
Sehingga komponen tangensial dan komponen normal dapat ditentukan dengan
Selanjutnya kita akan menyatakan komponen tangensial dan komponen normal
menggunakan vektor posisi r . Perhatikan yang berikut ini ,
Selanjutnya,
Dengan demikian kelengkungan juga bisa dinyatakan menggunakan vektor posisi,
Latihan :
Pada titik
3
1,1,1 , cari T , N , Ta , Na dan untuk gerakan sepanjang kurva