1
Funções elementares
Vamos definir as funções elementares complexas que correspondem às
funções elementares do cálculo com funções de variáveis reais e que se
reduzem a elas quando z = x + i 0.
Função exponencial
Partimos de que f (x + i 0) = ex para todo x (condição 1)
Visto que (ex)' = ex para todo x real exigimos que f(z) seja inteira e que f '(z)
= f(z) para todo z (condição 2)
Como já vimos a função ex(cos y + i sen y) é inteira (diferençável em todo o
plano complexo) e f '(z) = f(z) (e é a única que cumpre as condições 1 e 2).
f(z) = ex(cos y + i sen y) ez
Quando z é imaginário puro temos a fórmula de Euler:
ei = cos + i sen
2
Funções elementares
Podemos escrever a função exponencial também das seguintes formas:
|ez| = ex e arg(ez) = y+2n (notar que ez 0 para todo z)
ez = ex(cos y + i sen y) = ex eiy = eiy
A pesar de termos obtido a função ez a partir de ex, a função ez apresenta
propriedades que não estão presentes em ex:
1. ez+2i = ez e2i = ez ou seja ez é periódica com período imaginário 2i
2. Há valores de z para os quais ez é negativa!
Por exemplo há valores de z para os quais ez = -1
Para encontrar estes valores escrevemos
ez = ex eiy = 1 ei
Assim , para x = 0 e y = + 2n, ou seja: z = (2n+1) i teremos que ez<0
3
Funções elementares
Exercícios:
1. Demonstrar que:
ziz
i
i
ee
ie
e
ee
)1(2
4
2
232
2. Determinar os valores de z para os quais:
2
1
31
12
z
z
z
e
e
ie
4
Funções elementares
Funções trigonométricas
A fórmula de Euler nos diz que
Portanto é fácil ver que:
eix = cos x + i sen x e-ix = cos x - i sen x
eix - e-ix = 2 i sen x eix + e-ix = 2 cos x
Portanto é natural definir os senos e co-senos complexos como:
2cos
2
iziziziz eez
i
eezsen
Assim definidas mantemos as conhecidas propriedades (entre outras):
(sen z)' = cos z sen (z1+z2) = sen z1 cos z2 + cos z1 sen z2
(cos z)' = -sen z cos (z1+z2) = cos z1 cos z2 - sen z1 sen z2
sen(-z) = -sen z sen2 z + cos2 z = 1
cos(-z) = cos(z) etc.
5
Funções elementares
Exemplo:
Demonstrar que:
)()(cos2 212121 zzsenzzsenzzsen
222cos2
2211
21
izizizizee
i
eezzsen
i
ee
i
eezzizzizzizzi
22
)()()()( 21212121
)()( 2121 zzsenzzsen
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Funções elementares
Lembrando a definição do senh e do cosh (com y sendo real),
2cosh
2
yyyy eey
eeysenh
podemos escrever:
yiyysenhiiysen cosh)(cos)(
e mais, se escrevemos z1 = x e z2 = iy obtemos facilmente as seguintes
relações (utilizando o seno da soma e o co-seno da soma para z=x+iy):
ysenhxiyxsenzsen coscosh)(
ysenhxseniyxz coshcos)(cos
Destas relações segue um número importante de propriedades do sen z e
do cos z, por exemplo a periodicidade (é evidente)
zsenzsen )2(
zsenzsen )(
zz cos)2(cos zz cos)(cos
7
Funções elementares
de onde se observa que estas funções não estão limitadas como no caso
de variáveis reais (1)
ysenhxsenzsen 222
yxz 222coshcoscos
Os zeros destas funções são obtidos lembrando que quando z é real as
funções se transformam nas funções reais conhecidas, assim para valores
reais de z = n para a função seno, teremos os zeros desta função (pode
ser demonstrado que estes zeros são os únicos supondo o sen z=0 e
utilizando a expressão acima para o módulo).
As outras funções trigonométricas são definidas a partir da definição do
seno e do co-seno.
Todas elas são analíticas a não ser pelos zeros dos denominadores.
8
Funções elementares
Exercícios:
1. Demonstrar que:
zz 22 sectan1
2. Verificar as propriedades descritas no slide número 4
zz 22 csccot1
3. Demonstrar que os zeros das funções sen z e cos z são para valores de z
reais.
4. Determinar todas as raízes da equação sen z = cosh 4 (igualar as partes
real e imaginaria do sen z e do cosh 4)
5. Determinar todas as raízes da equação cos z = 2
inR 42
12:
3169,122cosh2: 1 ininR
9
Funções elementares
Funções hiperbólicas
São definidas da mesma forma que para variáveis reais, ou seja:
2cosh
2
zzzz eez
eezsenh
Evidentemente são funções inteiras (pois ez e e-z são funções inteiras)
Quais são as derivadas respeito de z?
zsenhzdz
dzzsenh
dz
d coshcosh
Evidentemente, a partir das definições do sen z e do cos z vemos que:
)cosh(cos)( izzizsenhizsen
)cosh(cos)( zizzsenhizseni
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Funções elementares
Funções hiperbólicas
Devido à periodicidade das funções sen z e cos z, teremos (a partir da
última igualdade) que as funções senh z e cosh z tem periodicidade 2i.
A partir da mesma igualdade teremos que os zeros são:
senh z = 0 z = ni (n=0, 1, ...)
cosh z = 0 z = (1/2+n)i (n=0, 1, ...)
As outras funções hiperbólicas são definidas da forma usual, como com as
variáveis reais.
Exercícios:
1. Verificar as seguintes propriedades:
122121
22
coshcosh)(
1cosh
coshcosh
zzsenhzzsenhzzsenh
zsenhz
zz
zsenhzsenh
zhcozdz
d
ztghzzdz
d
ysenxsenhzsenh
ysenxiyxsenhzsenh
2
222
seccoth
coshcosh
coshcos
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Funções elementares
Funções hiperbólicas
Exercícios:
2. Encontrar as raízes de
izsenh
z
2
1cosh inR
3
12:
inR
2
12:
12
Funções elementares
A função logarítmica e suas bifurcações
Nossa motivação para definir a função logarítmica complexa é o desejo
de resolver a equação:
zew
onde w e z são números complexos diferentes de zero.
Para fazer isto, notemos que se escrevemos z na forma polar e w na forma
cartesiana teremos (pela igualdade de complexos):
iivu reee
reu nv 2Como a equação eu =r é o mesmo que u = ln r teremos que a equação (1)
só será satisfeita se w tiver algum dos valores a seguir:
(1)
w = ln r + i ( + 2n)
13
Funções elementares
A função logarítmica e suas bifurcações
Então se escrevemos
teremos que se cumpre a simples relação:
ze z log
Isto é o que motiva a utilizar a relação (2) como a definição da função
logarítmica (função multivalorada)
(2)log z ln r + i ( + 2n) n=0, 1, 2, 3, ...
Agora, se z é um número complexo z = r ei então pode tomar qualquer
um dos valores = + 2n.
Assim, a equação (2) pode ser escrita:
log z = ln r + i
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Funções elementares
A função logarítmica e suas bifurcações
O valor principal do log z é obtido para n=0 e denominado Log z
irzLog ln
Todos os valores do log z ficam descritos pela equação:
Desta forma a função Log z está bem definida para z0 e é monovalorada.
Evidentemente esta função se reduz ao logaritmo natural quando z é um
número real (checar colocando z=r ei0)
inzLogz 2log
Exemplos:A partir da definição log z = ln r + i ( + 2n) n=0, 1, 2,...
encontramos que:in201log
in )12(01log
Qual o valor do Log 1 e do Log -1?
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Funções elementares
A função logarítmica e suas bifurcações
Se é um número real e restringimos os valores de ao intervalo << +
2 a função log z:
20lnlog rirz
com as componentes u(r,) = ln r e v(r,) =
é monovalorada e contínua no domínio especificado! e é analítica
nesse domínio! pois as derivadas parciais de primeira ordem de u e v são
contínuas e satisfazem as equações de Cauchy Riemann em coordenadas
polares (ur= (1/r) v e (1/r) u = -vr).
Portanto teremos que as derivadas existem!
Como calcular a derivada de log z?
zrei
reivuez
dz
di
i
rr
i 11)0
1()(log
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Funções elementares
A função logarítmica e suas bifurcações
Em particular a expressão
zrei
reivuez
dz
di
i
rr
i 11)0
1()(log
nos diz que
),0(1
)2arg,0(1
log
Argzzz
zLogdz
d
zzz
zdz
d
Uma bifurcação de uma função f multivalorada é qualquer função F
monovalorada que é analítica num determinado domínio para cada
ponto z do qual o valor de F(z) é um dos valores de f(z).
Assim, para cada valor de a função monovalorada F é uma
bifurcação da função multivalorada f, em particular, Log z é a
chamada bifurcação principal.
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Funções elementares
A função logarítmica e suas bifurcações
Propriedades: algumas das propriedades mais comuns dos logaritmos
complexos são apresentadas a seguir
....3,2,1
,...2,1,0
loglog)log(
loglog)log(
log1
log
21
2
1
2121
nez
nez
zzz
z
zzzz
n
z
n
znn
Na última expressão temos que o termo da esquerda apresenta n valores
diferentes que são exatamente as raízes enésimas de z, o que pode ser
demonstrado facilmente escrevendo z= rei logo log z = ln r + i (+2n) e:
n
ki
nn
kir
nn
z
eree 22
ln1log
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Funções elementares
Exercícios:
1. Mostrar que: ieiLog2
1)(
iiLog4
2ln2
1)1(
2. Verificar que quando n=0, 1, 2, ...
ine 21)log( ini
2
2
1)log(
3. Obter as raízes da equação: iz2
log
izR :
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Funções elementares
Exponentes complexos
Quando z0 e o expoente c é um número complexo qualquer, a função zc é
definida por meio da equação:
zcc ez log
onde log z é a função logarítmica multivalorada.
Exemplos:
iii ei log22
As potências de z são geralmente multivaloradas, como ilustrado a seguir:
Vamos calcular i-2i
142
122
nini
eeCalcular o principal valor de :
i
i 22log
eeeii
ii
21
Funções elementaresExemplos:
Calcular a bifurcação principal de : 3
2
z
3
2
3 23
2ln
3
2
3
2
iirzLog
eree
22
Funções elementares
Funções trigonométricas e hiperbólicas inversas
Estas funções podem ser descritas em termos dos logaritmos
Para definir a função inversa do sen z, ou seja sen-1 z, escrevemos:
w= sen-1 z quando z = sen w assim:
Ou da forma:i
eez
iwiw
2
0122
iwiw eize
Que é uma equação quadrática em eiw.
Resolvendo ela (como equação quadrática) teremos:
2
1
2 )1( zizeiw
Tomando o logaritmo a ambos lados teremos:
2
121 1log zizizsen
23
Funções elementares
Funções trigonométricas e hiperbólicas inversas
Da mesma forma obtemos:
)21log()(1 iisen
Exemplo:
2
121 1logcos ziziz
zi
ziiz log
2tan 1
2
121 1log zzzsenh
2
121 1logcosh zzz
zi
ziz log
2
1tanh 1
2
121 1log zizizsen
?)(1 isen