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1
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2
Urti
Quantità di moto
Cinematica rotazionale
La lezione di oggi
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3
! Quantità di moto e impulso
! Urti elastici e anelastici
! Cinematica rotazionale
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4
La quantità di moto
" E’ una grandezza vettoriale
" Unità di misura: kg m s-1
" Dimensionalmente: [M][L][T-1]
vmp =
Se ho un sistema di n oggetti, la quantità di moto totale sarà:
n21totale vm...vmvmp
+++=
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5
La seconda legge di Newton La seconda legge di Newton si scrive, nel caso più generale:
tpFΔ
Δ=∑
Nel caso particolare in cui la massa è costante, ottengo:
=Δ
Δ=∑ tpF
=Δ
Δ
t)vm(
am=Δ
Δ
tvm
Questa forma vale anche se varia la massa.
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6
Impulso
tFI mediaΔ=
Definizione di impulso
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7
Impulso tFI mediaΔ=
" E’ una grandezza vettoriale " Unità di misura: kg m s-1
" Dimensionalmente: [M]L][T-1] " Ha le stesse dimensioni e unità di misura della quantità di moto
Impulso e variazione della quantità di moto sono collegati:
parto dalla 2 legge di Newton
per ottenere
tpFΔ
Δ=
ItFp
=Δ=Δ
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8
Esercizio Una palla da baseball di m = 0.144 kg viaggia con v = 43.0 ms-1,
quando viene colpita con una mazza che esercita una forza media di 6.50 kN per un tempo t = 1.30 ms.
Qual è il modulo della velocità finale della palla ?
ItFp media
=Δ=Δ
Nota: Il moto è unidimensionale
tFvm-vmp mediainizialefinale Δ==Δ
=−
=m
mv Δt Fv inizialemedia
finale
1--1-33
ms 15.7kg 0.144
)ms kg)(43.0 (0.144 - s) 10N)(1.30 10(6.50=
⋅⋅=
tF)(-mv-mv mediainizialefinale Δ=x
viniziale
vfinale
Fmedia
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9
Conservazione della quantità di moto
Se la risultante delle forze che agisce su un oggetto è nulla, la quantità di moto si conserva (rimane costante)
Come la legge di conservazione dell’energia meccanica, questa è una delle leggi di conservazione fondamentali
∑ = 0F
tpFΔ
Δ=∑
0t/p =ΔΔ
inizialefinale pp =
2a legge di Newton
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10
Forze interne e forze esterne ! Sistema: insieme di n oggetti, scelto arbitrariamente
" Le forze interne al sistema non hanno effetto sulla quantità di moto totale di un sistema
" Se la risultante delle forze esterne al sistema è zero, la quantità di moto totale del sistema si conserva
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11
1-
111 ms -0.42t
mF-t-av- ===Canoa 1
Esercizio Una persona della canoa 1 spinge la canoa 2 con una forza di 46 N per un tempo t=1.20 s.
Se m1 = 130 kg e m2 = 250 kg, calcolare la quantità di moto
acquistata da ciascuna canoa
x
Nota: Il problema è unidimensionale
1-
222 ms 0.22t
mFtav ===Canoa 2
-1-1111 ms kg 55)ms kg)(-0.42 (130vmp −===
-1-1222 ms kg 55)ms kg)(0.22 (250vmp ===
Avrei potuto risolvere il probema usando:
Ftp1 =Ftp2 =
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12
1-
111 ms -0.42t
mF-t-av- ===
Esercizio Una persona della canoa 1 spinge il molo con una forza di 46 N per un
tempo t=1.20 s.
Se m1 = 130 kg, calcolare la quantità di moto della canoa dopo la spinta.
x
Nota: Il problema è unidimensionale
vmolo = amolot =F
mmolo
t ≅ 0
perché?
-1-1111 ms kg 55)ms kg)(-0.42 (130vmp −===
F2 Canoa
MOLO
MT=5.9742 × 1024 kg
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13
Esercizio Un’ape atterra su un bastoncino di massa 4.75 g che galleggia
sull’acqua e cammina con velocità 3.80 cm/s. Il bastoncino, di conseguenza,
si muove in verso opposto con velocità di 0.12 cm/s. Calcolare la massa dell’ape.
x
vape
vbastoncino
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14
00m0mp bastoncinoapeiniziale =⋅+⋅=
Soluzione esercizio 1 Problema: Un’ape atterra su un bastoncino di massa 4.75 g e cammina con velocità 3.80 cm/s. Il bastoncino, di conseguenza, si muove in verso opposto con velocità di 0.12 cm/s.
Calcolare la massa dell’ape. Nota: Il problema è unidimensionale
x
vape
vbastoncino
0pvmvmp inizialefinale ,bastoncinobastoncinofinale ape,apefinale ==−=
g 15.0v
vmm
finale ape,
finale ,bastoncinobastoncinoape ==
Sul sistema ape-bastoncino non agiscono forze esterne.
0p =Δ
finale ,bastoncinobastoncinofinale ape,apefinale vmvmp
+=
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15
! Quantità di moto e impulso
! Urti elastici e anelastici
! Cinematica rotazionale
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16
Urti elastici e urti anelastici ! Urto elastico: si conserva p e K
! Urto anelastico: si conserva p e non K
! Urto completamente anelastico: dopo l’urto gli oggetti rimangono attaccati
completamenteanelastico
elastico
p: quantità di moto K: energia cinetica
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17
Esercizio Un’automobile di m1 = 950 kg e v1= 16 m/s si scontra con un angolo di
90o contro un’altra automobile di m2 = 1300 kg e v2 = 21 m/s. Nell’ipotesi che i due veicoli rimangano attaccati e che le forze esterne siano trascurabili, calcolare modulo e velocità dei veicoli dopo l’urto.
Sul sistema non agiscono forze esterne
0p =Δ
m1 ,v1
m2 ,v2
x
y
Prima dell’urto
x
y
m1+m2, ,vfinale
θ"
Vfinale cosθ
Vfinale senθ
Dopo l’urto
I due oggetti rimangono attaccati dopo l’urto !
Urto completamente anelastico Kin ≈ 3 ×105J
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18
Esercizio
Asse x cosθv)m(mvm finale2111 +=
m1 ,v1
m2 ,v2
x
y
Prima dell’urto
x
y
m1+m2, ,vfinale
θ"
Vfinale cosθ
Vfinale senθ
Dopo l’urto
Asse y senθv)m(mvm finale2122 +=
o61vmvm
arctanθ11
22 ==
Kfin ≈ 2×105J < Kin
11finale21 vmcosθ)vm(m =+ 1
21
11finale ms 14
)cosθm(mvm
v −=+
=
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19
Esercizio Due pietre da curling di m = 7.0 kg si urtano. Il disco 1 si muove con v1i = 1.5 m/s e il disco 2 è fermo. Dopo l’urto, il disco 1 si muove con
v1f = 0.61m/s e angolo di 66o rispetto alla direzione iniziale. Calcolare modulo e velocità del disco 2.
Sul sistema non agiscono forze esterne
0p =Δ
Urto elastico
0K =Δ
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20
Esercizio
Asse x θcosvmcos66vmvm f 2,2o
f 1,1i 1,1 +=
Asse y senθvmsen66vm0 f 2,2o
f 1,1 −=
o
f 2,2
of 1,1i 1,1
230.92 acos
92.0vm
cos66vmvmcosθ
=
=−
= 1o
2
of 1,1
f 2, 1.4mssen23m
sen66vmv −==
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21
Esercizio Per verificare che questo è davvero un urto elastico,
calcolo la variazione di energia cinetica
J 7.9 )5ms(7.0kg)(1.21vm
21K 212
i1,1iniziale === −
=+= 2f2,2
2f1,1finale vm
21 vm
21K
J 7.9 )4ms(7.0kg)(1.21 )61ms(7.0kg)(0.
21 2121 =+= −−
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22
! Quantità di moto e impulso
! Urti elastici e anelastici
! Il centro di massa
! Cinematica angolare
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23
Posizione angolare
Convenzione
θ > 0: verso antiorario
θ < 0: verso orario
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24
Radiante Radiante
Angolo che sottende
un arco di circonferenza
uguale al raggio
s = r θ , θ = 1 radiante
1 giro
(o rivoluzione)
θ = 360o s = 2πr
θ = 360o=2π radianti" 1 radiante = 57.3o"
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25
Velocità angolare e periodo
! Unità di misura: radianti/s (rad/s)
! ω>0 ! rotazioni antiorarie
! ω<0 ! rotazioni orarie
Δtθθ
ΔtΔθ ω inizialefinale −==
Periodo (T) = tempo necessario ad effettuare un giro intero
ω2πT
T2π ω =→=
Ripendiamo qui nozioni già introdotte nella lezione III (moto circolare e armonico)
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26
Velocità angolare come vettore
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27
Accelerazione angolare
ΔtΔω α =
! Unità di misura: radianti/s2 (rad.s -2)
! Per il segno, devo fare attenzione:
in modulo in modulo in modulo in modulo
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28
Cinematica rotazionale Dalle definizioni di θ, ω, α posso ricavare
le equazioni della cinematica rotazionale
nel caso di a costante
200 αt
21tωθθ ++=
αtωω 0 +=
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29
Grandezze lineari e rotazionali
θ"
vtangenziale
Velocità tangenziale:
velocità del punto sulla circonferenza
v =ω ⋅ rPosizione
posizione del punto sulla circonferenza
P
s =θ ⋅ rθ in radianti!
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30
Il moto circolare La palla percorre una traiettoria circolare perché è sottoposta a un’accelerazione:
! Modulo costante
! Direzione radiale
! Verso: verso il centro
Punto per punto, cambiano direzione e verso della velocità (tangenziale);
non cambia il modulo
Accelerazione centripeta
rv a
2
c =r
vm maT2
c ==
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31
Accelerazione tangenziale e centripeta
Il bambino si muove sulla circonferenza e
la sua velocità angolare varia
Accelerazionetangenziale ! ω varia αra etangenzial ⋅=
Accelerazionecentripeta ! Si muove su una circonferenza rω
rva 22
centripeta ⋅==
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32
Esercizio Una ruota gira con velocità angolare uguale a 3.40 rad/s.
Al tempo t0 comincia a rallentare e si ferma dopo 1 giro e un quarto. Calcolare: 1. L’accelerazione angolare, assumendo che sia costante 2. Il tempo necessario alla ruota per fermarsi.
10 srad 3.40ω −⋅=
Condizioni a contorno
π252π
412πθ finale =+=0θ0 =
0ωfinale =
200 αt
21tωθθ ++=
αtωω 0 +=
-2srad 0.736- α ⋅= s 4.62 t =ricavo t dalla (b) e sostituisco nella (a) per ricavare α"
21- αt21t)srad (3.40 rad 0π
25
+⋅⋅+=(a)
αt)srad 3.40(0 1 +⋅= −(b)
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33
Il microematocrito (= Ultracentrifuga) In una ultracentrifuga per microematocrito, piccole quantità di sangue sono poste in provette con eparina. Le provette ruotano a 11500 giri/minuto con il fondo a 9.0 cm dall’asse di rotazione.
Calcolare:
1. Il modulo della velocità tangenziale delle cellule al fondo della provetta
2. L’accelerazione centripeta nello stesso punto
3. L’accelerazione centripeta in unità di g
1-1-
-1-1
srad 1200)minutos (60
)girorad π2()minutogiri (11500 ω ⋅=
⋅
⋅⋅⋅=
v = ωr = 110 ms-1
-25-22centripeta ms 101.3 ms 130000 r ω a ⋅===
acentripeta (in unità di g) = 1.3⋅105 ms-2
9.81 ms-2 = 1.3⋅104 g
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Una nuova legge di conservazione: la conservazione della quantità di moto
Cinematica rotazionale è analoga allacinematica traslazionale
Prossima lezione: La biomeccanica
Riassumendo