UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOAINSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO
Modelação Ambiental Aula #8
Balanço de MassaEstado estacionárioVolume de controlo
R Neves | M Mateus | G Riflet2009-2010
Como desenvolver um modelo de qualidade da águaPrimeiros passos
As duas questões mais frequentes que os modelos de qualidade da água tentam responder:
• “Quanto” irá variar o estado de uma massa de água (concentrações de poluentes, nutrientes, oxigénio, etc.)
• Quanto tempo será necessário para essa variação acontecer
-12 26 mol O 32gO/mol O2.67gO gC
6 mol C 12gC/mol Cocr
“Quanto” varia um sistemaExemplo
1. Calcular a massa de oxigénio consumida por massa de carbono decomposta (roc)
Quanto oxigénio é consumido na reacção de degradação de 40 gC m-3
2. Determinar a quantidade utilizando a razão calculada
-33 3
40 40 2.67 106.67gO moc
gC gC gOr
m m gC
Tempo necessário para esta mudança ocorrer?
Balanço de MassaCorpo de água bem misturado
Assumindo um corpo de água completamente misturado (Continuously Mixed Tank Reactor – CMTR) o balanço de massa para o sistema é dado por:
Acumulação = entrada – saída – reacções - sedimentação
• Este balanço é meramente descritivo
• Para ter valor preditivo cada termo tem de ser expresso como uma função de variáveis e parâmetros quantificáveis
Acumulação
1( )M
Acumulação MTt
Variação de massa (M) no sistema ao longo do tempo
Mc
VRelação entre Massa, concentração (ML-3) e Volume (L3):
M VcLogo:
Assim, Vc
Acumulaçãot
Acumulação
cAcumulação V
t
Assumindo um volume constante:
com 0 temos: dc
t Acumulação Vdt
0
0
0
dc
dtdc
dtdc
dt
Massa acumula (aumento da concentração no tempo)
Massa diminui (diminuição da concentração no tempo)
Equilíbrio
Entrada
• Fontes pontuais (emissários, ribeiras, tributários, etc.)
• Fontes difusas (escorrências de terra, entradas na interface ar-água, água-sedimento, etc.)
Para o estudo do balanço de massa passamos a considerar ambos os tipos de entradas no sistema ao assumir uma distribuição instantânea no volume de água
( )Entrada W t W(t): taxa de entrada de massa em função do tempo (MT-1)
( )inEntrada Qc t Q: caudal de entrada (somatório de todas as fontes no sistema (L3T-1)
cin(t): concentração média de entrada (ML-3)
Entrada
Pressupostos
1.Caudal constante
2.Variação temporal na entrada deve-se apenas a variação temporal da concentração
( )( )in
W tc t
Q
Relacionando a concentração média do caudal de entrada com a carga temos então:
Saída
Saída Qc
A massa sai do sistema através de um caudal de saída
c = cout (pressuposto de mistura completa)
Q = Qin = Qout (pressuposto de volume constante)
A taxa de transporte da massa pode ser quantificada por:
Reacções
reacção kMForma mais comum (1ª ordem):
k – coeficiente de primeira ordem (T-1)
Expressa em termos de concentração: reacção kVc
Sedimentação
sedimentação sA c
Fluxo de massa através de uma área de superfície na interface água-sedimento
O termo de sedimentação no balanço de massa é:
Dado que V = H As, podemos transformar este termo em algo semelhante a uma reacção de 1ª ordem:
ν – velocidade aparente de sedimentação (LT-1)As – Área da superfície dos sedimentos (L2)
sedimentação sk Vc
Em que a taxa constante de sedimentação (ordem 1) é (T-1): sk H
Balanço global
( ) - - - s
dcV W t Qc kVc A cdt
Balanço de massa para um sistema bem misturado
Acumulação = entrada – saída – reacções - sedimentação
Nomenclatura
Concentração, c : variável dependente
Tempo, t : variável independente
O modelo calcula a concentração em função do tempo
W(t)Função forçadora / forçamento: traduz o modo como o “mundo exterior” influencia (força) o sistema(ex: vento, radiação solar, temperatura atmosférica, etc.)
V, Q, k, As
Parâmetros (ou coeficientes): quando especificados permitem aplicar o modelo a casos (sistemas) particulares
Solução do Estado Estacionário
Se o sistema estiver sujeito a uma entrada constante W durante um intervalo de tempo suficiente, atingirá uma condição de equilíbrio dinâmico designada de Estado Estacionário.
Em termos matemáticos isto significa que a acumulação é zero (dc/dt = 0)
( ) - - - s
dcV W t Qc kVc A cdt
Partindo de obtemos s
WcQ kV A
Podemos reescrever como:1
c Wa
Em que o termo de assimilação é: sa Q kV A
• A solução de estado estacionário fornece uma primeira ilustração dos benefícios da aproximação mecanicista.
• Dá-nos uma formula que define o factor de assimilação em termos de variáveis quantificáveis que reflectem a física, biologia e química do sistema
Volume de controlo
• Método que consiste na divisão da massa de água em segmentos finitos ou volumes de controlo
• Permite resolver as equações do modelo ecológico/qualidade da água independentemente do esquema de transporte e geometria do sistema
1 2 ... i - 1 i i +1 ... n-1 n0 n+1
i i-1 i+1
Advecção
Difusão
Advecção
Difusão
Entrada
Reacção
Volume de controloEsquemas 1D
Vertical
Horizontal
Volume de controloEsquemas 2D
vertical / horizontal
transversal / longitudinal
Volume de controloEsquemas 3D
Volume de controlo
Radiação solar
Propriedades• temperatura• nutrientes• produtores• oxigénio• ....