UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
DISCIPLINA: Matematica B
PROFESSOR: Gilson Carvalho
4a LISTA DE EXERCICIOS
1. Em cada um dos itens abaixo calcule as derivadas parciais de primeira ordem da funcao.
a)f(x, y) = ex2y. b)f(x, y) = xcos(y − x).
c)f(x, y) = xy2 + xy + x2y. d)f(x, y) = y2ln(x2 + y2).
e)f(x, y) =√a2 − x2 − y2. f)f(x, y) =
√x2 + y2.
g)f(x, y) = 2xy + sen2(xy). h)f(x, y) =√x2 + y2 − 1.
i)f(x, y) =√xy − xy. j)f(w, t) = w2t− 1
t.
k)f(x, y) = ex2
(x2 + y2). l)f(x, y) =
xy
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0).
m)f(x, y, z) = x2y + xyz2 + x2z. n)f(x, y, z) =1
zln(x2 + y2).
o)f(x, y, z) =x2 + y2
z. p)f(x, y, z) = xsen(yz) + ysen(xz).
2. Encontre a inclinacao da reta tangente a curva resultante da intersecao de z = f(x, y) com o plano
x = x0 no ponto P = (x0, y0, z0).
a) z = 5x− 2y; P = (3,−1, 17).b) z =
√x2 + y2 − 1; p = (1,−1, 1).
3. Encontre a inclinacao da reta tangente a curva resultante da intersecao de z = 3x2 − 2y2 − 5x+ 2y + 3
com o plano y = x2 no ponto P = (1, 2,−3).
4. Use a definicao para mostrar se as funcoes f(x, y) = 2x2 − y2 e g(x, y) = 2xy sao diferenciaveis em R2.
5. Use a definicao para verificar se as funcoes abaixo sao diferenciaveis na origem.
a) f(x, y) = x+ y. b) f(x, y) =
2x5
x2 + y2; (x, y) 6= (0, 0)
0;(x, y) = (0, 0).
6. Indique as regioes de R2 onde f e diferenciavel.
a)f(x, y) = x2y + xy2. b)f(x, y) = exy2
.
c)f(x, y) =x2y
x2 + y2. d)f(x, y) = ln(xy).
1
2
7. Considere
f(x, y) =
2x+ y − 3; se x = 1 ou y = 1
3; se x 6= 1 e y 6= 1.
Calcule∂f
∂x(1, 1) e
∂f
∂y(1, 1). f e diferenciavel em (1, 1)?
8. Se possıvel, determine a equacao do plano tangente ao grafico das funcoes dadas, nos pontos indicados:
a) f(x, y) =√
1− x2 − y2; P1 = (0, 0, 1) e P2 =(
12 ,
12 ,√22
).
b) f(x, y) = xy; P1 = (0, 0, 0) e P2 = (1, 1, 1).
c) f(x, y) =√(x− 1)2 + (y − 1)2 P1 = (1, 1, 0) e P2 = (1, 2, 1)
d) f(x, y) = 2x2 − 3y2 P1 = (0, 0, 0) e P2 = (1, 1,−1)
9. Determine o vetor gradiente das funcoes dadas nos pontos indicados. Em seguida, determine a taxa de
variacao de f em P na direcao do vetor u.
a)z = x√x2 + y2; P = (1, 1); u(1, 1). b)z = x2y + 3xy + y2, P = (0, 3); u = (1, 0).
c)z = sen(3x+ y);P = (0, π/2); u = (0π/3). d)z =√4− x2 − y2; P = (0, 0); u = (1/2,−2).
10. Determine a derivada direcional das funcoes nos pontos indicados na direcao do vetor u.
a)f(x, y) = 1 + 2x√y; P = (3, 4); u = (4,−3). b)f(x, y) = ln(x2 + y2); P = (2, 1); u = (−1, 2).
11. Determine a taxa de variacao maxima de fno ponto P e a direcao em que isso ocorre.
a)f(x, y) =y2
x; P = (2, 4). b)f(x, y) = ye−x + xe−y; P = (0, 0).
12. Em cada um dos itens abaixo, use a regra da cadeia para determinardz
dt.
a)z = tg(x2 + y); x(t) = 2t e y(t) = t2. b)z = xcos(y); x(t) = sen(t) e y(t) = t.
c)z = ex(cosx+ cosy); x(t) = t3 e y(t) = t2. d)z =x
y; x(t) = e−t e y(t) = ln(t).
13. Considere f(x, y) = (x/y) + exy, onde x(t) = 1/t e y(t) =√t, determine
df
dt.
14. Seja h(t) = f(e2t, cost), onde f : R2 → R e uma funcao diferenciavel.
a) Determinar h′(t) em funcao das derivadas parciais de f .
b) Sabendo que∂f
∂x(e2π,−1) = 1
e2π, determine h′(π).
15. Use a Regra da Cadeia para determinar∂z
∂ue∂z
∂v, nos casos abaixo.
a)z =√x3 + y2; x = u2 e v =
3√v2. b)z = ln(x2 + y2); x = cos(u)cos(v) e y = sen(u)cos(v).
c)z = xey; x = uv e y = u− v. d)z = x2 − y2; x = u− 3v e y = u+ 2v.
16. Se z = f(x, y), x = rcos(θ) e y = rsen(θ), onde f e uma funcao diferenciavel. Expresse∂z
∂xe∂z
∂ycomo
funcoes de r e θ.
Bons Estudos!!!