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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
MOVIMIENTO ARMONICO
SIMPLE
MOVIMIENTO ARMONICO
SIMPLE
Ing. JORGE COSCO GRIMANEYIng. JORGE COSCO GRIMANEY
CEPRE UNI
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Son muchos los sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturaleza
La partícula se desplaza entre dos posiciones extremas siguiendo la misma trayectoria en torno a un punto de equilibrio
MOVIMIENTO OSCILATORIO
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MOVIMIENTO OSCILATORIO
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MOVIMIENTO OSCILATORIO
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MOVIMIENTO OSCILATORIO
x
y
0
PE
N
mg
Fek
x
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Es aquel movimiento que a intervalos
regulares de tiempo se repiten los
valores de las magnitudes que lo
caracterizan, El tiempo regular se
denomina periodo.
MOVIMIENTO PERIODICO
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MOVIMIENTO PERIODICO
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Es el movimiento en que la posición, velocidad y aceleración se pueden describir mediante funciones senoidales o cosenoidales. De todos los movimientos armónicos, el más sencillo es el Movimiento Armónico Simple
MOVIMIENTO ARMONICO
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CAUSAS DE LA OSCILACION
La causa del movimiento oscilatorio es la fuerza restauradora que aparece cuando se saca el cuerpo de su posición de equilibrio
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TIPOS DE EQUILIBRIO
El equilibrio es estable si el cuerpo, al apartarse de su posición de equilibrio, vuelve al puesto que antes tenía, por efecto de la fuerza de recuperadora. Ejemplo: El péndulo, la plomada, una campana colgada.
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-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
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MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLEEs un movimiento rectilíneo, periódico y oscilante de unapartícula que ocurre debido a la acción de una fuerzarecuperadora, de la forma -Kx en donde su posición varía con el tiempo y se representa con una función seno o coseno
Función seno
t
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POSICIÓN DE EQUILIBRIO AAMPLITUD
x=-A x=0 x=Ax(t)
x(t)Elongación
Elongación Es la posición de la partícula medida desde la PE. Amplitud de oscilación (A) Es la máxima elongación, es decir: xmax= A
PARAMETROS EN EL MAS
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PARAMETROS EN EL MAS
Periodo (T) Es el tiempo que tarda la partícula en dar una oscilación completa
Frecuencia () Es el número de vibraciones por unidad de tiempo =1/T
Frecuencia angular ()Es el número de periodos comprendidos en 2 π segundos. En el S.I. se mide en rad/s .
Se expresa : = 2 / T = 2
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Fase del movimiento (t + )Es el argumento de la función seno o coseno
Fase inicial ()Esta relacionada con las condiciones iníciales del movimientoes decir nos da información sobre la posición y velocidad en el instante t0 = 0
t=0
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Fase inicial de la función Seno ()
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MAS y MCU
Podemos imaginar un M.A.S. como una proyección de un Movimiento Circular Uniforme. El desfase nos indica la posición del cuerpo en el instante inicial.
Cuando un objeto gira con movimiento circular uniforme sobre una circunferencia, su proyección sobre el diámetro coincide con la posición de un objeto que describe un MAS sobre ella.
t=0
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Cada revolución en el MCU se convierte en una oscilación en el MAS
La proyección del vector velocidad del MCU sobre el diámetro da lugar al vector velocidad del MAS
La proyección del vector aceleración normal del MCU sobre el diámetro da lugar al vector aceleración del MAS
MAS y MCU
v
na
v
a
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CINEMATICA DEL MAS
Consideremos una partícula que se mueve con un MAS en el eje X, como se muestra en la figura.
0+A-A
v=0 v=0v máx.
-X +X
P.EZona de movim iento
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Se mide desde el centro (0), que corresponde a la posición de equilibrio (PE). Alcanza sus máximos (amplitud) en los extremos de la trayectoria. Donde A y –A es la amplitud máxima
X(t) = A Sen (wt + φ1) o
X(t) = A Cos (wt + φ2)
POSICION DE LA PARTICULA
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La posición de una partícula que describe un movimiento armónico simple puede ser determinada por una ecuación de movimiento
La partícula describe un movimiento armónico simple
POSICION DE LA PARTICULA
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(t + ) : Es el argumento de la función armónica (en radianes) y
: Fase inicial, es un ángulo que nos indica el punto (xo) donde se empieza a medir el tiempo (to = 0).
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VELOCIDAD DE LA PARTICULA
v
v(t) = ωA Cos (ωt + φ)
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ACELERACION DE LA PARTICULA
Siempre señala hacia la PE. Su magnitud es proporcional a la posición del móvil.
a(t) = - ω2A Sen (ωt + φ)
a(t) = - ω2 X(t)
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Ecuaciones cinématicas
Posición:
Velocidad :
Aceleración :
( ) ( )x t Asen wt
( ) cos( )v t wA wt
2 2( ) ( )a t w Asen wt w x
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Gráficas de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo, para el caso ( = 0 )
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x=-A x=0 x=A x(t)
Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
v
sen(t+) = cos(t+ - /2)
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Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
x=-A x=0 x=A x(t)
0 T/4 T/2 3T/4 T
x(t)
t-A
A
GRÁFICA posición - tiempo
sen(t+) = cos(t+ - /2)
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x=-A x=0 x=A x(t)
v
Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
A/2
sen(t+150) = cos(t+150 -/2)
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x=-A x=0 x=A x(t)
v
Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
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x=-A x=0 x=A x(t)
v
Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
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Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
x=-A x=0 x=A x(t)
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x=-A x=0 x=A x(t)
Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
v
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x=-A x=0 x=A x(t)
Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
v
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El Movimiento Armónico Simple es un movimiento periódico en el que la posición varía según una ecuación de tipo senoidal o cosenoidal
La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo máxima en el centro de la trayectoria y nula en los extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento.
El M.A.S. es un movimiento acelerado no uniformemente. Su aceleración es proporcional al desplazamiento y de signo opuesto a este. Toma su valor máximo en los extremos de la trayectoria, mientras que es mínimo en el centro.
RESUMEN de CINEMATIVA DEL MAS
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DINAMICA DEL MAS
La fuerza recuperadora sobre el móvil es proporcional a su desplazamiento respecto de la posición de equilibrio
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Sistema Masa- Resorte Horizontal
Estudiemos la oscilación de un cuerpo de masa m, unido a un resorte de constante elástica k y masa despreciable denominado oscilador armonico simple.
x
y
0
PE
N
mg
Fek
x
El sistema cuerpo-resorte realiza oscilaciones armónicassimples sobre una superficie horizontal sin fricción.La fuerza restauradora es elástica,
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Como la masa se mueve con MAS, entonces:
ax = - 2x
Planteando la segunda Ley de Newton para el movimiento del cuerpo:
Fres = Felást = -kx = m ax = m(-2x)= -m 2x
Comparando: k x = m 2 x
kw
m
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PE
y
y
A
-A
PE
mg
-k(+y)
-k
mg
SISTEMA MASA - RESORTE VERTICAL
k
wm
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CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICAEN EL MAS
Consideremos el sistema masa-resorte y la fuerza del tipo conservativo
0
yk
x
PEx
v
2 21 1
2 2m c peE E E mv kx
2 2 21 1
2 2 mE kA m A
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T
21
2peE kx
21
2kE mv
21
2kA
=0
21
2peE kx
21
2kE mv
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2 2 21 1
2 2 mE kA m A
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24
1
2
1Ep
2
1
2
1
2
1EcEp la que para ¿?x
4
3
2
1
4
3
4
3
2
1)
4(
2
1)(
2
1
4
1
2
1
4
1
42
1
2
1 Ep
2
222
222
222
22
2
AxkAkxkAEm
EmkAA
kA
AkxAkEc
EmkAA
kkxA
x
-A ¿? -A/2 0 A/2 ¿? A x(t)
Energías E. POTENCIAL
E. CINÉTICA
E. MECÁNICA
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ALGUNAS FORMULAS IMPORTANTES EN EL MAS
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La fuerza elástica que origina un M.A.S. es conservativa. La energía potencial elástica que lleva asociada es nula en el centro de la trayectoria y máxima en sus extremos.
La energía cinética en el M.A.S. varía continuamente, siendo máxima en el centro de la trayectoria y nula en sus extremos.
Dado el carácter conservativo de la fuerza elástica, la energía mecánica total del cuerpo permanece constante a lo largo de toda la trayectoria.
RESUMEN de ENERGIA del MAS
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Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.
PENDULO SIMPLE
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Fres = - mgsen
2( )res
mgF x ma m w x
l
Para oscilaciones pequeñas
22
lT
w g
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x
L
El periodo de oscilación no depende de la masa ni del Angulo α
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( ) ( )At sen wt
( ) cos( )At w wt
2( ) ( )At w sen wt
ECUACIONES DEL PENDULO SIMPLE