Download - Unitatea de Invatare 16
-
8/15/2019 Unitatea de Invatare 16
1/21
-
8/15/2019 Unitatea de Invatare 16
2/21
Formule de speţa a II-a
156 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii
OBIECTIVELE unităţii de învăţare nr. 16
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 16 sunt: Cunoaşterea şi aplicarea formulelor care leagă funcţiile
trigonometrice (sin, cos, tg, ctg) de semiunghiurile sisemilaturile unui triunghi sferic în rezolvareaproblemelor
Cunoaşterea şi aplicarea formulelor lui Delambre şianalogiilor lui Neper în rezolvarea exerciţiilor
16.1 Formula sinusului semiunghiului.
Formula cosinusului semiunghiului.
Formula tangentelor semiunghiurilor.
Formulele sinusului, cosinusului şi tangentei semilaturilor.
1.1. Formula sinusului semiunghiului
În formula fundamentală a cosinusului unghiului:
înlocuim şi obţinem:
de unde
Deoarece
rezultă
Deoarece diferenţa cosinusurilor este egală cu produsul dublu al sinusului semisumei cusinusul semidiferentei luată în ordine inversă,
Notăm . Prin urmare , .Făcând subtituţia, obţinem:
-
8/15/2019 Unitatea de Invatare 16
3/21
Formule de speţa a II-a
157 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii
Analog, obținem grupul de formule:(IX)
Observaţie. În faţa radicalului avem numai semnul plus, deoarece se consider ă triunghiurisferice ale căror unghiuri şi laturi sunt mai mici de .
1.2. Formula cosinusului semiunghiului
În acelaşi mod, din formula cosinusului laturii:
deoarece
obţinem:
Dar.
Rezultă
sau
Deoarece diferenţa cosinusurilor este egală cu dublul produs al sinusului semisumei cusinusul semidiferenței luate în ordine inversă,
Cum , se obţine:
Analog, obţinem grupul de formule:
(X)
-
8/15/2019 Unitatea de Invatare 16
4/21
Formule de speţa a II-a
158 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii
1.3. Formula tangentelor semiunghiurilor
Raportul dintre formulele (IX) şi (X) ne dă un alt grup de formule:
(XI)
După cum am ar ătat, în faţa radicalului se ia întotdeauna semnul deoarece jumătateaunghiului trigonometric sferic este întotdeauna .
1.4. Formulele sinusului, cosinusului şi tangentei semilaturilor
Consider ăm triunghiul polar corespunzător triunghiului sferic . Formulele (IX),(X) şi(XI) aplicate triunghiului polar ne dau:
(8)
Ştim că , , , , ,.
Notăm , şi avem şi:
-
8/15/2019 Unitatea de Invatare 16
5/21
Formule de speţa a II-a
159 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii
Înlocuind aceste relaţii în (8), obţinem, prin analogie, următoarele grupuri de formule:
(9)
sau
(9’)
Analog avem formulele şi pentru celelalte două laturi:(10)
(11)
-
8/15/2019 Unitatea de Invatare 16
6/21
Formule de speţa a II-a
160 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii
Suma unghiurilor sferice este întotdeauna mai mare de , deci P este întotdeauna maimare de şi expresia de sub radical este totdeauna pozitivă.
Ştim că sau , sau .Deci
Substituind valorile aflate în formulele sinusurilor, cosinusurilor şi tangentelor jumătăţilor deunghi, obţinem formulele:(XII)
(XIII)
(XIV)
-
8/15/2019 Unitatea de Invatare 16
7/21
Formule de speţa a II-a
161 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii
De reţinut!
Formula sinusului semiunghiului.
Formula cosinusului semiunghiului.
Formula tangentelor semiunghiurilor.
Formulele sinusului, cosinusului şi tangentei
semilaturilor
Test de autoevaluare 16.1
Să se arate că dacă , atunci:
-
8/15/2019 Unitatea de Invatare 16
8/21
Formule de speţa a II-a
162 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii
16.2 Formulele lui Delambre
Consider ăm identităţile:
Înlocuind în aceste relaţii pe cu expresiile lor obţinute în (IX) şi
(X):
Obţinem formulele lui Delambre:(XV)
sau
-
8/15/2019 Unitatea de Invatare 16
9/21
Formule de speţa a II-a
163 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii
Prin permutări circulare se obţin şi celelalte formule.
De reţinut!
Formulele lui Delambre pentru un triunghi sfericoarecare
Test de autoevaluare 16.2
Stabiliţi formula:
-
8/15/2019 Unitatea de Invatare 16
10/21
Formule de speţa a II-a
164 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii
16.3 Analogiile lui Neper
Împăr ţim formulele lui Delambre (XV) şi obţinem:
Analog avem:
(XVI)
În mod asemănător se demonstrează:
(XVII)
-
8/15/2019 Unitatea de Invatare 16
11/21
Formule de speţa a II-a
165 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii
Formulele excesului sferic a. Din formulele lui Delambrie:
înlocuind şi rezultă:
Aplicăm proprietăţi ale propor ţiilor, formulele se rescriu:
Transformăm sumele şi diferenţele de sinusuri şi cosinusuri şi, după reducerea termenilorasemenea şi simplificare, obţinem:
-
8/15/2019 Unitatea de Invatare 16
12/21
Formule de speţa a II-a
166 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii
Înmulţim relaţiile, membru cu membru:
.
Astfel, avem formula lui Simon L’Huilier :(10)
b. Din formulele (XII) şi (XIII), facem produsul sinusurilor a două semilaturi şi îl impăr ţimla cosinusul semilaturii a treia:
deci
de unde(11)
De reţinut!
Analogiile lui Neper
Formulele excesului sferic pentru un triunghioarecare
-
8/15/2019 Unitatea de Invatare 16
13/21
Formule de speţa a II-a
167 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii
Test de autoevaluare 16.3
Fiind dat un triunghi sferic în care se cunosc:
Să se determine .
Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare nr. 16
1. Să se arate că în orice triunghi sferic avem relaţia:
.
2. Să se arate că într-un triunghi sferic dreptunghic avem relaţiile:
a. .
b. .
Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare
Test de autoevaluare 16.1
Cum vom avea:sau sau
de unde
Folosind formulele care exprimă laturile în funcţie de unghiuri:
-
8/15/2019 Unitatea de Invatare 16
14/21
Formule de speţa a II-a
168 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii
relaţia din enunţ se rescrie:
Împăr ţind la , eliminăm numitorii şi luăm în considerare faptulcă şi obţinem:
. Înmulţim relatia cu 2 şi folosim formula:
şi ajungem la:
deoarece .
Cum obţinem egalitatea dorită.
Test de autoevaluare 16.2Cu formulele lui Delambrie scrise sub forma:
înmulțim prima relaţie cu şi pe a doua cu şi le adunăm:
În primul membru avem
În membrul doi înlocuim:
și obținem
Transformând suma şi diferenţa de cosinusuri în produse:
-
8/15/2019 Unitatea de Invatare 16
15/21
Formule de speţa a II-a
169 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii
Înmulțim cu :
de unde
sau
Cum Avem
Test de autoevaluare 16.3Cum
Din formulele lui Neper:
de unde
Rezultă
Analog
de unde
-
8/15/2019 Unitatea de Invatare 16
16/21
Formule de speţa a II-a
170 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii
Prin adunare şi scădere avem:
Pentru calcului lui avem relaţia:
Prin logaritmare,
de unde
Recapitulare
Formula sinusului semiunghiului (IX)
Formula cosinusului semiunghiului
(X)
-
8/15/2019 Unitatea de Invatare 16
17/21
Formule de speţa a II-a
171 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii
Formula tangentelor semiunghiurilor
(XI)
Formulele sinusului, cosinusului şi tangentei semilaturilor
-
8/15/2019 Unitatea de Invatare 16
18/21
Formule de speţa a II-a
172 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii
(XII)
(XIII)
(XIV)
-
8/15/2019 Unitatea de Invatare 16
19/21
Formule de speţa a II-a
173 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii
Formulele lui Delambre:(XV)
sau
Prin permutări circulare se obţin şi celelalte formule. Analogiile lui Neper:
Analog
(XVI)
-
8/15/2019 Unitatea de Invatare 16
20/21
Formule de speţa a II-a
174 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii
În mod asemănător ,
(XVII)
Formulele excesului sferic Formula lui Simon L’Huilier :
-
8/15/2019 Unitatea de Invatare 16
21/21
Formule de speţa a II-a
175 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii
Bibliografie1. F.F. Pavlov, V.P. Maşkevici, Trigonometrie
sferic ă, Editura Tehnică, Bucureşti, 19542. E. Bălăbănescu, C. Chiriac, Trigonometrie
sferic ă şi aplicaţ iile ei în astronomia nautic ă,Editura Militar ă a Ministerului For ţelor Armate aleR.P.R., Bucureşti, 1964
3. Gh.D. Simionescu, Trigonometrie sferic ă, EdituraTehnică, Bucureşti, 1965