Download - Unit Pelajaran 10 Penggunaan Pengamiran
Kalkulus Asas|274
UNIT PELAJARAN 10
PENGGUNAAN PENGAMIRAN
HASIL PEMBELAJARAN
Di akhir unit ini, anda diharap dapat:
1. Mengira luas di bawah graf yang dibatasi oleh x a dan x b sebagai
b
aydx .
2. Mengira luas di bawah graf yang dibatasi oleh y a dan y b sebagai
b
axdy .
3. Mengira isipadu kisaran pada paksi–x sebagai 2b
ay dx
4. Mengira isipadu kisaran pada paksi–y sebagai 2b
ax dy
Unit 10 Penggunaan Pengamiran |275
PENGENALAN
amiran telah diguna pakai sejak zaman Mesir purba lagi ca. 1800 BC, dimana Papirus
Matematik Moscow (Moscow Mathematical Papyrus) telah menunjukkan formula untuk
menyelesaikan masalah berkaitan piramid. Teknik pertama yang sistematik dan
tersusun dalam menyelesaikan masalah kamiran adalah kaedah penyusutan (exhaustion method)
oleh Eudoxus ca. 370 BC. Kaedah ini digunakan untuk mencari luas kawasan dengan
memecahkan kawasan itu kepada kawasan-kawasan kecil yang luasnya diketahui. Kaedah ini juga
boleh digunakan untuk mencari isipadu. Kaedah yang hampir sama digunakan oleh Archimedes
dan ahli matematik cina seperti Liu Hui, Zu Chongzhi dan Zu Geng serta ahli matematik India
bernama Aryabhata.
Langkah seterusnya dalam perkembangan kamiran adalah di Iraq apabila ahli matematik Islam
abad ke-11, Ibn Al-Haitham merancang satu masalah yang kini dikenali sebagai "masalah Al-
Haitham" dalam buku fiziknya "Kitab Al-Manazir" (Book of Optics atau Buku tentang Penglihatan).
Masalah ini membawa kepada persamaan darjah keempat (iaitu persamaan yang melibatkan
kuasa 4 atau x4). Semasa menyelesaikan permasalahan ini, beliau telah menggunakan kamiran
untuk mencari isipadu paraboloid. Menggunakan induksi matematik melalui pengiraan, beliau telah
mengasaskan kamiran untuk polinomial darjah keempat.
Di dalam unit sebelum ini, kita telah membincangkan pelbagai kaedah untuk mencari kamiran
suatu fungsi. Perbincangan diteruskan di dalam unit ini yang mana pelajar akan didedahkan
dengan penggunaan pengamiran untuk mengira luas permukaan dan isipadu suatu bongkah.
K
Layari Laman Web untuk mengetahui sejarah mengenai penggunaan pengamiran:
http://ms.wikipedia.org/wiki/Kamiran
Kalkulus Asas|276
10.1 Luas di bawah graf
Rajah 10.1 di bawah menunjukkan bahagian suatu graf ( )y f x , paksi-x serta garis-garis
ax dan x = b. Rantau ini terletak di sebelah atas paksi-x. Luas rantau tersebut dapat
ditentukan menggunakan rumus berikut:
b
aydxA
Rajah 10.1
.
Rajah 10.2 pula menunjukkan rantau yang dibatasi oleh graf )(xgy , paksi-x serta garis-garis
ax dan x = b. Rantau ini terletak di sebelah bawah paksi-x. Dalam kes ini, kamiran tentu
b
adxxg )( , bernilai negatif. Oleh kerana luas adalah kuantiti yang positif, maka luas rantau
tersebut ditulis sebagai
b
aydxA .
y = f(x)
Unit 10 Penggunaan Pengamiran |277
Rajah 10.2
Dengan menggunakan hujah yang sama, luas rantau yang dibatasi oleh graf )(yhx , paksi –y
serta garis-garis cy dan dy seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 10.3 dapat ditentukan
menggunakan rumus berikut:
d
cxdyA
Rajah 10.3
y = g(x)
x = h(y)
Kalkulus Asas|278
Contoh 10.1
Cari luas rantau yang dibatasi oleh lengkungan 2
1y
x , paksi- x , garis 1x dan garis 4x .
Penyelesaian:
Rantau yang dikehendaki merupakan rantau berlorek yang ditunjukkan dalam Rajah 10.4
Rajah 10.4
A 4
1ydx
4
21
1dx
x
4
1
1
x
1
14
3
4 unit persegi.
2
1y
x
Unit 10 Penggunaan Pengamiran |279
Contoh 10.2
Cari luas rantau yang dibatasi oleh lengkungan 862 xxy dengan paksi-x .
Penyelesaian:
Rantau yang dikehendaki merupakan rantau berlorek yang ditunjukkan dalam Rajah 10.5.
Rajah 10.5
persegi.unit 3
4
16123
83248
3
64
833
)86(
4
2
23
4
2
2
xxx
dxxxA
862 xxy
Kalkulus Asas|280
Contoh 10.3
Cari luas rantau yang dibatasi oleh lengkunganx
y2
dengan paksi-y serta garis-garis 2y dan
garis 4y .
Penyelesaian:
Rantau yang dikehendaki merupakan rantau berlorek yang ditunjukkan dalam Rajah 10.6.
Rajah 10.6
386.1
)2ln4(ln2
ln2
2
4
2
4
2
y
dyy
A
xy
2
Unit 10 Penggunaan Pengamiran |281
1. Cari luas rantau yang dibatasi oleh graf 22 xy dalam selang ]1,0[ .
2. Cari luas rantau yang dibatasi oleh graf 232 xxy dan paksi-x.
3. Cari luas rantau yang dibatasi oleh graf 4xy , paksi-y serta garis-garis 1y dan
4y .
10.2 Luas di bawah graf secara hasil tambah
Jika suatu rantau mempunyai beberapa bahagian di atas dan di bawah paksi-x, kamiran hendaklah
dinilai secara berasingan mengikut selang kamiran yang sesuai.
Contoh 10.4
Dapatkan luas rantau yang dibatasi oleh graf 3xy dengan paksi-x serta garis-garis 1x dan
1x .
Penyelesaian
Rantau yang dikehendaki merupakan rantau berlorek yang ditunjukkan dalam Rajah 10.7. Untuk
01 x , rantau terletak di bawah paksi- x, manakala untuk 10 x , rantau terletak di atas
paksi- x.
Latihan Formatif 10.1
Kalkulus Asas|282
Rajah 10.7
Luas rantau-rantau itu masing-masing ialah
persegi.unit 2
1
4
1
4
1
04
1
4
10
44
1
0
40
1
4
1
0
30
1
3
xx
dxxdxxA
1. Cari luas rantau yang dibatasi oleh graf-graf f (x) = x2 – 1, x = – 2, x = 2 dan paksi-
x.
2. Cari luas rantau yang dibatasi oleh graf 13
2
xy dengan paksi-x serta garis-garis
x = 1, dan x = 2.
Latihan Formatif 10.2
3xy
Unit 10 Penggunaan Pengamiran |283
10.3 Luas di antara dua graf
Andaikan diberi graf-graf )(xfy dan )(xgy dan seterusnya kita perlu mengira luas rantau
yang terletak di antara dua graf ini di dalam selang ],[ da . Andaikan juga )()( xfxg untuk
],[ ca seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 10.8. Luas rantau tersebut diberikan oleh:
dxxfxgdxxgxfAd
c
c
a )]()([)]()([ .
Rajah 10.8
(Nota: dxAd
a )bawahsebelah graf atassebelah graf( ).
Contoh 10.5
Cari luas rantau yang dibatasi oleh graf-graf 102 2 xy dan 164 xy serta garis-garis
2x dan 5x .
Kalkulus Asas|284
Penyelesaian:
Rantau yang dikehendaki dilakarkan dalam Rajah 10.9. Oleh kerana bahagian bawah rantau terdiri
daripada tiga bahagian graf berlainan, maka luasnya tidak dapat dibuat menggunakan satu
kamiran sahaja. Luas rantau adalah hasil tambah dari luas-luas subrantau 1R , 2R dan 3R .
Rajah 10.9
Mula-mula cari titik-titik persilangan graf-graf 102 2 xy dan 164 xy , iaitu dengan
menyelesaikan persamaan
0)3)(1(2
0642
164102
2
2
xx
xx
xx
iaitu
1x atau 3x .
R1
R3
R2
102 2 xy
164 xy
Unit 10 Penggunaan Pengamiran |285
Dengan demikian
A = luas 1R + luas 2R + luas 3R
persegi.unit 3
142
3
64
3
64
3
14
623
262
3
262
3
2
)642()642()642(
)]164(102[])102(164[)]164(102[
5
3
23
3
1
23
1
2
23
5
3
23
1
21
2
2
5
3
23
1
21
2
2
xxxxxxxxx
dxxxdxxxdxxx
dxxxdxxxdxxxA
1. Dapatkan luas rantau yang dibatasi oleh graf 12 xy dan garis 12 xy . Dapatkan
luas rantau yang dibatasi oleh graf 3xy dan xy .
2. Cari luas rantau yang dibatasi oleh bahagian graf-graf 2xy , xy 2 dan 0y .
Latihan Formatif 10.3
Kalkulus Asas|286
10.4 Isipadu bongkah kisaran
Jika suatu rantau diputarkan melalui satu pusingan yang lengkap sekitar satu garis, maka akan
terhasil suatu bongkah seprti yang ditunjukkan dalam Rajah 10.9. Bongkah tersebut dinamakan
bongkah kisaran yang dijanakan oleh rantau dan garis tersebut dinamakan paksi kisaran.
Rajah 10.9
Katakan luas di bawah graf )(xfy di antara ax dan bx diputarkan terhadap paksi-x.
Andaikan isipadu bongkah kisaran dibahagikan kepada cakera-cakera nipis oleh satah-satah yang
dilukis bersudut tegak dengan paksi-x. Cakera-cakera ini merupakan hampir satu cakera silinder
nipis yang isipadunya hampir bersamaan dengan xxf 2)]([ dengan )(xf adalah jejari cakera
itu. Isipadu kisaran adalah hasil tambah isipadu semua cakera ini dari ax hingga bx . Ini
diberikan oleh
xxfVb
ax
2)]([
Unit 10 Penggunaan Pengamiran |287
Takrif 8.3 (kamiran tentu)
Kamiran tentu ditakrifkan sebagai berikut,
dengan dan ialah pemalar. disebut sebagai had bawah kamiran manakala disebut
had atas kamiran.
Takrif 10.1 (Isipadu bongkah kisaran pada paksi-x)
Andaikan )(xf ialah fungsi tak negatif dan selanjar pada ],[ ba dikisarkan o360 terhadap
paksi-x. Maka, isipadu bongkah diberikan oleh
dxxfxxfhadVb
a
b
axx
22
0)()]([
Takrif 10.2 (Isipadu bongkah kisaran pada paksi-y)
Dengan cara yang sama, andaikan )(yu ialah fungsi tak negatif dan selanjar pada ],[ dc
dikisarkan o360 terhadap paksi-y. Maka, isipadu bongkah diberikan oleh
dyyuVd
c
2
)(
Contoh 10.6
1. Cari isipadu bongkah kisaran yang dijanakan oleh bahagian graf 22)( xxxf yang
terletak di atas paksi-x diputarkan terhadap paksi-x.
Penyelesaian:
Rantau yang dikehendaki merupakan rantau berlorek yang ditunjukkan dalam Rajah 10.10.
Rajah 10.10
22 xxy
Kalkulus Asas|288
padu.unit 15
16
5
21
3
216
5
3216
3
32
5
1
3
4
)44
)2(
)(
2
0
543
2
0
432
22
0
2
22
0
xxx
dxxxx
dxxx
dxxfV
2. Cari isipadu bongkah kisaran yang dijanakan oleh bahagian graf xy 42 yang terletak
di sebelah kanan paksi-x diputarkan terhadap paksi-y.
Penyelesaian:
Rantau yang dikehendaki merupakan rantau berlorek yang ditunjukkan dalam Rajah 10.11.
Rajah 10.11
xy 42
Unit 10 Penggunaan Pengamiran |289
padu.unit 15
234
5
1
3
2164
5
64
3
12864
5
32
3
6432
5
32
3
6432
5
1
3
816
)816
)4(
)]([
2
2
53
2
2
42
2
2
22
22
2
yyy
dyyy
dyy
dyyuV
3. Cari isipadu bongkah kisaran yang dijanakan oleh bahagian graf 2xy dengan garis
2 xy serta paksi-y yang diputarkan terhadap paksi-x.
Penyelesaian:
Rantau yang dikehendaki merupakan rantau berlorek yang ditunjukkan dalam Rajah 10.12.
Rajah 10.12
P 2xy 2 xy
Kalkulus Asas|290
Mula-mula cari titik-titik persilangan graf-graf 2xy dan 2 xy , iaitu dengan menyelesaikan
persamaan
0)1)(2(
02
2
2
2
xx
xx
xx
iaitu
2x atau 1x .
Oleh kerana titik persilangan P yang dikehendaki terletak pada sukuan I, maka, kita pilih 2x .
padu.unit 5
412
5
4
3
78
5
32
3
56
3
8
5
32
3
64
53
)2(
])()2[(
2
0
2
0
53
2
0
222
xx
dxxxV
Unit 10 Penggunaan Pengamiran |291
1. Cari isipadu bongkah kisaran yang dijanakan oleh bahagian graf 2xy dengan
garis 5x serta paksi-y yang diputarkan terhadap paksi-x.
2. Cari isipadu bongkah kisaran yang dijanakan oleh bahagian graf 12 xy
dengan garis-garis 1x dan 2x serta paksi-x yang diputarkan terhadap paksi-
y.
RUMUSAN
Kamiran adalah satu asas kalkulus. Ia memainkan peranan penting dalam banyak hukum fizik dan
banyak digunakan dalam pelbagai bidang sains dan kejuruteraan. Dalam unit ini kita telah
membincangkan beberapa penggunaan pengamiran. Antaranya adalah mencari luas suatu rantau
dan isipadu bongkah kisaran. Adalah diharapkan agar pelajar mengukuhkan lagi kefahaman
dengan bacaan dan latihan-latihan yang banyak daripada buku-buku teks.
KATA KUNCI
Luas di bawah graf, Luas antara dua graf, Bongkah kisaran, Paksi kisaran.
Latihan Formatif 10.4
Kalkulus Asas|292
1. Dapatkan luas rantau yang dibatasi oleh graf xy 42 dan garis 4x .
2. Dapatkan luas rantau yang dibatasi oleh graf 2
1
xy dan garis-garis xy , 0x dan
4y .
3. Dapatkan luas rantau yang dibatasi oleh graf-graf 24xy dan xy 22 .
4. Cari luas rantau yang dibatasi oleh bahagian graf-graf |1| xy dan xxy 22 ,
dengan garis-garis 0x dan 2x .
5. Cari luas rantau yang dibatasi oleh bahagian graf-graf 2yx dan 22 yx .
6. Cari isipadu bongkah kisaran yang dijanakan oleh bahagian graf 4
2xy , 0x dan
1y yang dikisarkan terhadap paksi-y.
7. Cari isipadu bongkah kisaran yang dijanakan oleh bahagian graf 21 xy dengan garis-
garis 0y , 1x dan 1x yang dikisarkan terhadap paksi-x.
8. Cari isipadu bongkah kisaran yang dijanakan oleh bahagian graf-graf 2yx dan
2 xy dikisarkan terhadap paksi-y.
Latihan Sumatif
Unit 10 Penggunaan Pengamiran |293
RUJUKAN
Majid, M. (2002). Kalkulus Asas Untuk Pelajar Kejuruteraan dan Sains. DBP: Kuala Lumpur.
Md.Raji, A.W., Rahmat, H., Kamis, I., Mohamad, M.N. & Ong, C.T. (2000). Kalkulus. UTM.
Smith, R.T., & Minton, R.B. (2007). Calculus: Early Transcendental Functions (3rd Ed.). Mc. Graw
Hill: New York.
Steward, J. (2003). Calculus (5th Ed.). Brooks/Cole: Belmont.
Layari Laman Web
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/AreaBetweenCurves.aspx
http://www.education.com/study-help/article/area-curves/
JAWAPAN LATIHAN FORMATIF
Latihan Formatif 10.1
1. persegiunit 3
7
2. persegiunit 27
4
3. persegiunit ln28
Kalkulus Asas|294
Latihan Formatif 10.2
1. persegiunit 4
2. persegiunit .5720
Latihan Formatif 10.3
1. persegiunit 3
4
2. persegiunit 2
1
3. persegiunit 6
5
Latihan Formatif 10.4
1. paduunit 5002
2. persegiunit 2
9
JAWAPAN LATIHAN SUMATIF
1. persegiunit 3
64 2. persegiunit
2
5
3. persegiunit 6
1 4. persegiunit
3
7
4. persegiunit 3
8 6. persegiunit 2
7. persegiunit 15
56 8. persegiunit
5
72