Hochschule MünchenFakultät 03
ÜbungsaufgabenHöhere Festigkeitslehre
Übungsaufgaben
Höhere Festigkeitslehre
Wintersemester 2014/15
Dr. C. Katzenschwanz
festigkeit.userweb.mwn.de
Die mit (∗) gekennzeichneten Aufgaben sind ehemalige Prüfungsaufgaben.
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1 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014
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ÜbungsaufgabenHöhere Festigkeitslehre
Inhaltsverzeichnis
1 Schnittgrößenverläufe 3
1.1 Fachwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Ermittlung des Grades der statischen Unbestimmtheit I (∗) . . . . . . . . . . . 4
1.3 Ersatzmodelle für einen Tragflügel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Abgestrebter Flugzeugflügel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Flügel mit Querruder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Flügel mit symmetrischer und antimetrischer Belastung . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 Flügel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.8 Flugzeugrumpf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.9 Fahrwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.10 Tragflügel unter Torsionslast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.11 Flugzeugspant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.12 Schnittgrößen an einem 3-dimensionalen Balken (∗) . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Energiemethoden 11
2.1 Kragbalken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Kragträger unter Einzellast (Einfluss der Schubverformung) . . . . . . . . . . . 11
2.3 Biegung eines Kragträgers mit unterschiedlicher Steifigkeit . . . . . . . . . . . 12
2.4 Verdrehung eines symmetrisch belasteten Balkens . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Verschiebungen an einem Fachwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6 Tragwerk 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7 Tragwerk 2 (∗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.8 Tragwerk 3 (∗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.9 Balken mit Gelenk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.10 Flügel mit Querruder (statisch unbestimmt) (∗) . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.11 Castigliano 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.12 Castigliano 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.13 Castigliano 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.14 Castigliano 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.15 Rahmen 1 (∗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.16 Rahmen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.17 Balken mit Feder (∗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.18 Menabrea 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.19 Menabrea 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.20 Verschiebungsberechnung Rahmen 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.21 Verschiebungsberechnung an einem statisch unbestimmten Balken . . . . . . . 21
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2 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014
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1 Schnittgrößenverläufe
1.1 Fachwerk
Bestimmen Sie die
Kräfte in dem neben-
stehend skizzierten
Fachwerk.
a
FA
aa
B
aa
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3 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014
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1.2 Ermittlung des Grades der statischen Unbestimmtheit I (∗)
Bestimmen Sie für die nachfolgend skizzierten Tragwerke den Grad der statischen Unbestimmt-
heit und die kinematische Verschieblichkeit.
e)
d)
c)
starre
Scheibe
b)
starre
Scheibe
a)
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4 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014
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1.3 Ersatzmodelle für einen Tragflügel
Für die drei nachfolgend skizzierten ebenen Ersatzmodelle für einen Flugzeugflügel sollen für
die gegebene Belastung
1. die Lage der Resultierenden der äußeren Last,
2. die Auflagerreaktionen beim Punkt A und
3. die Schnittgrößen N, Qz und My über der Spannweite bestimmt werden.
Der Gesamtauftrieb ist in allen Fällen gleich A.
Geg.: A, l
Modell 1 (Einzellast):
xz
l2
l2
A
A
Modell 2 (konstante Streckenlast):
xz
l
q2
A
Modell 3 (elliptische Auftriebsverteilung):
xz
A
q3 q(x) =−q3
√
1− x2
l2
l
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5 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014
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1.4 Abgestrebter Flugzeugflügel
Ein abgestrebter Flugzeugflügel werde durch eine Kraft F belastet. Gesucht sind die Auflager-
kräfte und die Schnittgrößen im gesamten Tragwerk.
xz
x
z
a aa
F
B
A
1.5 Flügel mit Querruder
Ein Flugzeugflügel mit angeschlossenem Querruder werde durch eine Kraft F belastet. Gesucht
sind die Auflagerreaktionen bei A und die Schnittgrößen im Tragwerk.
F
l2
l4
l4
a
a
A
B C
xz
xz
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6 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014
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1.6 Flügel mit symmetrischer und antimetrischer Belastung
Ein Flugzeugflügel werde durch zwei Kräfte F belastet. Der erste Lastfall sei symmetrisch, der
zweite antimetrisch. Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen und Schnittgrößen im Flügel.
Symmetrische Belastung:
a b ax
z
A BF F
Antimetrische Belastung:
a b ax
z
A BF F
1.7 Flügel
Zwei Varianten eines Flugzeugflügels werden jeweils durch eine Kraft F belastet. Bestimmen
Sie die Auflagerreaktionen und Schnittgrößen im Flügel für beide Flügel.
α l2
l2
xy
A
F
α
b
l2
l2
xy
A
F
xy
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7 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014
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1.8 Flugzeugrumpf
Ein Flugzeugrumpf werde durch das Eigengewicht q0 und die Auftriebskraft A des Flügels im
Gleichgewicht gehalten. Bestimmen Sie
• die erforderliche Auftriebskraft A und
• die Schnittgrößenverläufe.
xz
lR2
lR2
q0
A
1.9 Fahrwerk
Ein Fahrwerk werde durch die Kräfte F1 und F2 sowie durch das Moment M0 belastet.
Berechnen Sie die Auflagerreaktionen bei A und B und die Schnittgrößenverläufe im gesamten
Fahrwerk.
xz
x
z
A B
aa
a
F1
a) Radandrehkraft
A B
F2
b) Landestoß
A B
M0
c) Moment
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8 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014
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1.10 Tragflügel unter Torsionslast
Für den skizzierten Tragflügel soll der Torsionsmomentenverlauf bestimmt werden. Belastet sei
er durch eine konstante Streckenlast q0, die einen Abstand e zum Schubmittelpunkt besitzt.
xz
l
q0
A
Schub-
mittel-punkt
e
q0
1.11 Flugzeugspant
Ein Flugzeugspant sei durch einen rechteckigen Rahmen idealisiert. Der Spant ist bei A und B
wie skizziert gelagert. Bei C sei der Spant geschlitzt. Die eingezeichneten Koordinatensystem
sind zu verwenden.
A B
C
h
b2
b2
xz
xz
xz
xz
Bestimmen Sie für die 4 Lastfälle die Schnittgrößen N(x), Qz(x) und My(x).
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9 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014
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Lastfall 1:M0 M0
Lastfall 2:
F1 F1
Lastfall 3:
F2 F2
Lastfall 4:
M1 M1
1.12 Schnittgrößen an einem 3-dimensionalen Balken (∗)
Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen bei A und die Schnittgrößen für den abgebildeten, räum-
lichen Balken. Am Punkt B greife nacheinander die äußere Last FBx , FB
y , FBz , MB
x , MBy und MB
z
an. Die Richtung der äußeren Last und der Auflagerreaktionen ist in positiver Koordinatenrich-
tung anzunehmen.
xz a
xy x
y
A
B
b
FBx
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10 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014
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2 Energiemethoden
2.1 Kragbalken
Bestimmen Sie die Verschiebungen w1 und w2 nach der Methode der virtuellen Arbeit und
Castigliano.
Geg.: l, F , EI, GA → ∞
F
l/2
l
x
z
w2 w1
2.2 Kragträger unter Einzellast (Einfluss der Schubverformung)
Für den schubweichen Kragträger soll die Gesamtverformung wges bestimmt werden. Der Quer-
schnitt des Balkens beträgt b ·h und sei entlang der Balkenachse konstant. Stellen Sie den Ein-
fluss der Schubverformung wS zur Biegeverformung wB dar.
x
z
l
F
wges = wB +wS
y
z
h
b
Geg.: l, F , E, ν , Iy, A
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11 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014
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2.3 Biegung eines Kragträgers mit unterschiedlicher Steifigkeit
Bestimmen Sie die Durchbiegung des Kragträgers an der Stelle der Kraft F .
F
wl2
l2
A1,(EIY )1
A2,(EIY )2
2.4 Verdrehung eines symmetrisch belasteten Balkens
Für den nachfolgend skizzierten gelenkig gelagerten Balken soll die Verdrehung aufgrund der
Last F bestimmt werden.
xz
F
β
l2
l2
2.5 Verschiebungen an einem Fachwerk
Das nachfolgend skizzierte Fachwerk ist durch eine Kraft F belastet. Bestimmen Sie die Ver-
schiebung w.
Geg.: l, F , EA = konst. für alle Stäbe
F
l
A
1
3
1
2
3
4
5
6
30o
w
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12 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014
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2.6 Tragwerk 1
Das unten skizzierte Tragwerk in Mischbauweise (Balkentragwerk und Fachwerk) wird durch
eine konstante Streckenlast f0 =F2a
belastet.
Geg.: κ , GA, EA, EIy
Bestimmen Sie:
1. die Auflagerreaktionen,
2. die Schnittgrößen (Normalkraft-, Querkraft- und Biegemomentenverlauf) sowie
3. die vertikale Verschiebung im Punkt C.
a
B
a aa
x
z
C
Af0
Lösung: wc =Fa(12+6
√2)
EA+ Fa3
8EI+ Fa
2κGA
2.7 Tragwerk 2 (∗)
Ein Gerüst sei entsprechend der Skizze als masseloses, ebenes Tragwerk idealisiert. Es ist durch
zwei Einzelkräfte und eine Streckenlast beansprucht.
Geg.: F , q0 =2Fl
, EI, EI1 =EI6
, EI2 =EI2
, EI3 =EI5
, GA → ∞, EA → ∞
Bestimmen Sie
1. die vertikale Verschiebung w an der Stelle A und
2. die Neigung ϕ des oberen Trägers an der Stelle B.
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13 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014
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2l
2F
q0
l 3ll
AB
C
D
FEI2
EI3
EI1
Lösung: wA = 17014
Fl3
EI;ϕB = 93Fl2
EI
2.8 Tragwerk 3 (∗)
Das dargestellte Tragwerk besteht aus einem eingespannten dehnstarren Balken mit der Biege-
steifigkeit EIBalken und zwei Stäben gleicher Dehnsteifigkeit EAStab.
Geg.: a, F , EIBalken, EABalken → ∞, GABalken → ∞, EAStab
Wie groß sind die Vertikal- und Horizontalverschiebung des Kraftangriffspunktes?
a
F
a
a
EI
EA
Lösung: wH = Fa3
2EI− Fa
EA,wv =
4Fa3
3EI+
(1+2√
2)Fa
EA
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14 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014
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2.9 Balken mit Gelenk
Ein gemäß untenstehender Skizze gelagerter Balken mit einem Gelenk sei durch eine Einzel-
kraft F und eine konstante Streckenlast f belastet.
B
A G
Ff
a a a
xz
xz
w
Geg: a, F , f = Fa
, EI = konst. (GA → ∞,EA → ∞).
Hinweis: Verwenden Sie das eingezeichnete Koordinatensystem!
Bestimmen Sie:
1. Die Lagerreaktionen,
2. den Querkraft- und Biegemomentenverlauf infolge von f und F und
3. die Verschiebung w an der Angriffsstelle von F nach dem Prinzip der virtuellen Arbeit.
Stellen sie dabei den Biegemomentenverlauf infolge der virtuellen Einheitsbelastung dar.
2.10 Flügel mit Querruder (statisch unbestimmt) (∗)
Die Lagerung des Querruders am Flügel soll untersucht werden.
F
l4
l4
a
aB CD
xz (EA)i (EA)a(EA)a
Gegeben: EIy,QR, EAQR → ∞, GAQR → ∞, F , a, l
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15 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014
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2.11 Castigliano 1
Für den dargestellten Balken ist die Absenkung
an der Krafteinleitungsstelle zu berechnen
(EI=konst.).
Lösung: f = FR3
EI
[
7π2−10
]
F
R
R
A
B
II
I
2.12 Castigliano 2
Der skizzierte Träger wird durch eine Kraft F
normal zur Zeichenebene belastet. Bestimmen
Sie die Verschiebung des Kraftangriffspunktes.
Geg.: F , r, EI, GIT
Lösung: w = Fr3[
3π4EI
+ 9π+84GIt
]
F
2r
F
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16 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014
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2.13 Castigliano 3
Zwei Blattfedern gleicher und konstanter Biegesteifigkeit
sind jeweils fest eingespannt und stützen sich bei B momen-
tenfrei aufeinander ab. Es sind nur die Biegesteifigkeiten zu
berücksichtigen.
1. Welche Berührkraft FB ist zwischen den Federn wirk-
sam?
2. Welche Neigung α gegen die Vertikale hat der gerade
Balkenteil?
3. Welche horizontale Auslenkung fC erfährt der Punkt
C?
Lösung: FB = F2,α = FR3
2EI, fC = FR3
EI
[
12+ π
8
]
F
R
R
A
B
CD
2.14 Castigliano 4
Bestimmen Sie
1. die Absenkung der Kraftangriffsstelle und
2. die Verdrehung an der Stelle B.
Hinweis: Betrachten Sie nur die Biegeanteile in den Balken.
Die Biegesteifigkeit beträgt konstant für alle Balken EI.
Lösung: f =R3(F+M
R)
EI
[
13+ π
4
]
,
αB = R3
EI
[
FR
(
13+ π
4
)
+ MR2
(
13+ π
2
)
]
F
MA
B
R
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17 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014
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2.15 Rahmen 1 (∗)
Für den skizzierten Rahmen ist der
Verlauf des Biegemomentes zu er-
mitteln.
Geg.: f , l, EI, GA → ∞,
EA → ∞
l
l
f
x
z
x
z
x
z
2.16 Rahmen 2
Für den dargestellten Rahmen ist der Momen-
tenverlauf zu bestimmen.
Geg.: a, f , EI, GA → ∞, EA → ∞
a
2a
f
a
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18 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014
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2.17 Balken mit Feder (∗)
Der unten dargestellte Träger ist in der Mitte durch eine Feder gestützt und durch die Strecken-
lasten f belastet. Im unbelasteten Zustand ist die Feder nicht vorgespannt.
l
c
l
f C BA
xz
Geg: l, f , c, EI (EA → ∞,GA → ∞)
Hinweis: Verwenden Sie das eingezeichnete Koordinatensystem!
1. Bestimmen Sie die Lagerreaktionen, den Querkraft- und Biegemomentenverlauf im Trä-
ger und die Verschiebung des Punktes C für den Fall c = 0.
2. Schneiden Sie zwischen dem Balken und der Feder frei.
a) Zeichnen Sie die Federkraft FC ein.
b) Um wieviel verschiebt sich der Balken, wenn die Federkraft FC wirkt?
c) Wie lautet die Verträglichkeitsbeziehung der Verschiebungen für den Punkt C? Be-
stimmen Sie die Federkraft FC. Wie groß ist die Verschiebung an der Stelle C?
3. Für die nachfolgenden Aufgabenteile wird die Feder durch ein Lager ersetzt, es gilt c →∞.
a) Bestimmen Sie die Lagerkraft bei C.
b) Bestimmen Sie den Biegemomentenverlauf im Träger.
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19 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014
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2.18 Menabrea 1
Für das skizzierte statisch unbestimmte System
sind die Auflagerreaktionen zu bestimmen. Es
sind nur die Biegeanteile zu berücksichtigen.
Lösung: FB = F 2π+89π+8
,FA = F 7π9π+8
,
MA = FR2π+89π+8
F
RB
A
2.19 Menabrea 2
Für den skizzierten Balken sind die Auflagerreaktionen zu bestimmen (EI=konst.) Berechnen
Sie nach dem Verfahren von Menabrea und virtueller Energie.
Lösung: MA =−18Fl
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20 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014
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2.20 Verschiebungsberechnung Rahmen 1
Bestimmen Sie die Verschiebung und Verdrehung in der Mitte des horizontalen Balkens.
Geg.: l = 500mm, p = 1000 Nm
, E = 200000 MPa, Iy = 2500mm4, EA → ∞, GA → ∞
xz
xz x
z
ll
p
ϕu
2.21 Verschiebungsberechnung an einem statisch unbestimmten
Balken
Bestimmen Sie die Verschiebung u und Verdrehung ϕ in der Mitte des Balkens.
Geg.: l = 500mm, M = 20Nm, E = 200000 MPa, Iy = 2500mm, EA → ∞, GA → ∞
M
l
l2
u
ϕ
xz
c© Dr. C. KatzenschwanzVersion 1.05
21 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014