![Page 1: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/1.jpg)
100%COMPLETE
WAITLOADING...
![Page 2: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/2.jpg)
Fakultas Ilmu komputerUNIVERSITAS INDO GLOBAL
MANDIRI2013
Home
Materi
Latihan
Referensi
Selesai
![Page 3: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/3.jpg)
Matriks
Sistem Persamaan Linier
Determinan
Vektor
Exit Home
![Page 5: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/5.jpg)
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan - bilangan. Bilangan - bilangan tersebut dinamakan Entri.
![Page 6: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/6.jpg)
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
Contoh :
• Selanjutnya ukuran suatu matriks dinyatakan sebagai banyaknya baris dan kolom, contoh 1. matriks A di atas berukuran 3 × 3
2. matriks B berukuran 2 x 3
3. matriks C berukuran 2 x 2.
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23 = [aij]3x3
a31 a32 a33b11 b12
B = b21 b22 = [aij]2x3
b31 b32c11 c12
C = c21 c22 = [aij]2x2
![Page 7: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/7.jpg)
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
Suatu matriks yang memiliki kolom dan baris yang banyaknya sama dinamakan matriks persegi.Contoh :
7 4 9 2
D = 5 9 3 7 3 8 1 6 4 2 5 3
Matriks Persegi 4 x 4
15 36 12K = 57 62 31
82 10 41
Matriks Persegi 3 x 3
Matriks Persegi 2 x 2
![Page 8: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/8.jpg)
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
Matriks D dikatakan matriks diagonal jika matriks tersebut merupakan matriks persegi dengan entri-entri dij = 0 untuk setiap i ≠ j.Contoh :
3 0 0D = 0 6 0
0 0 9
2 0 0D = 0 3 0
0 0 8
10 0 0D = 0 15 0
0 0 60
![Page 9: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/9.jpg)
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
Matriks I dikatakan matriks satuan jika matriks I merupakan matriks diagonal dengan entri-entri Iii = 1 untuk setiap i (entri diagonalnya = 1).
Contoh : 1 0 0D = 0 1 0
0 0 1
7 0 0D = 0 7 0
0 0 7
3 0 0D = 0 3 0
0 0 3
= 7 untuk setiap I (entri diagonalnya = 7) = 3 untuk setiap I (entri diagonalnya = 3)
![Page 10: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/10.jpg)
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
1.Penjumlahan2.Perkalian3.Perkalian Scalar4.Transpose
![Page 16: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/16.jpg)
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
3. Diketahui Matriks L dan Q
=
L x Q = x
L Q
=
![Page 17: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/17.jpg)
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
1. Diketahui Matriks R dan K = 3
R
=
K x R = 3
![Page 18: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/18.jpg)
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
2. Diketahui Matriks Z dan K = 2
Z
=
K x Z = 2
![Page 19: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/19.jpg)
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
3. Diketahui Matriks N dan K =4
N
=
K x N = 4
![Page 21: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/21.jpg)
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
Berikut beberapa sifat yang berlaku pada operasi matriks :1. A+ B = B + A ( komutatif terhadap penjumlahan)2. A + (B + C) = (A+B) + C ( assosiatif terhadap
penjumlahan)3. A(BC) = (AB) C ( assosiatif terhadap perkalian)4. A(B+C) = AB + AC ( distributif)
![Page 22: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/22.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
![Page 23: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/23.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Persamaan Linear Satu Variabel adalah Kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah
ax + b = c, dengan a,b,c R dan a 0Persamaan Linear Dua Variabel adalah
Persamaan yang mengandung dua variabel dengan pangkat masing-masing variabel sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah
ax + by = c, dengan a,b,c R dan a 0, b 0
![Page 24: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/24.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Suatu persamaan linear yang mengandung n peubah x1, x2 ,…,xn dinyatakan dalam bentuk a1x1 + a2x2 + … + anxn = b dengan a1, a2, …, a n , b adalah konstanta riil.
Contoh• a. x + y = 4 persamaan linear dengan 2
peubah• b. 2x – 3y = 2z +1 persamaan linear
dengan 3 peubah• c. 2 log x + log y = 2 bukan persamaan
linear• d. 2ex = 2x + 3 bukan persamaan linear
![Page 25: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/25.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Prosedur untuk mendapatkan matriks eselon baris tereduksi biasa disebut sebagai eliminasi Gauss– Jordan . Pada proses eliminasi tersebut operasi – operasi yang digunakan disebut operasi baris elementer (OBE), caranya;• Mengalikan suatu baris dengan konstanta
tak nol• Mempertukarkan dua buah baris• Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris
lainnya.
Operasi Baris Elementer
![Page 26: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/26.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Eliminasi Gauss adalah suatu metode
untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam
matriks sehingga menjadi matriks yang
lebih sederhana lagi. Dengan melakukan
operasi baris sehingga matriks tersebut
menjadi matriks yang baris.
![Page 27: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/27.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Contoh Soal :Diketahui persamaan linear
x + 2y + z = 6x + 3y + 2z = 92x + y + 2z = 12Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
1 2 1 | 61 3 2 | 92 1 2 | 12
![Page 28: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/28.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Operasikan Matriks nya:1 2 1 | 60 1 1 | 32 1 2 | 1 Baris ke-2 dikurangi baris ke-1
1 2 1 | 60 1 1 | 30 -3 0 | 0 Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-1
1 1 1 | 60 1 1 | 30 0 3 | 9 Baris ke-3 ditambah 3 kali baris ke-2
1 2 1 | 60 1 1 | 30 0 1 | 3 Baris ke-3 dibagi dengan 3
![Page 29: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/29.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitux + 2y + z = 6y + z = 3z = 3
Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:y + z = 3y + 3 = 3y = 0
x + 2y + z = 6x + 0 + 3 = 6x = 3Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3
![Page 30: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/30.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhanalagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.
![Page 31: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/31.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Contoh soal:1. Diketahui persamaan linear
x + 2y + 3z = 32x + 3y + 2z = 32x + y + 2z = 5Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
1 2 3 | 30 -1 -4 | -30 -3 -4 | -1 Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris
ke-1
1 2 3∨¿2 3 2∨¿2 1 ¿
![Page 32: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/32.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
1 2 3 | 30 -1 -4 | -40 0 8 | 8 Baris ke-3 dikurangi 3 kali baris ke-2
1 2 3 | 30 1 4 | 30 0 1 | 1 Baris ke-3 dibagi 8 dan baris ke-2
dibagi -1
1 2 3 | 30 1 0 | -10 0 1 | 1 Baris ke-2 dikurangi 4 kali baris ke-3
![Page 33: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/33.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
1 2 0 | 00 1 0 | -10 0 1 | 1 Baris ke-1 dikurangi 3 kali baris
ke-3
1 0 0 20 1 0 -10 0 1 1 Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris
ke2
Maka didapatkan nilai dari x =2 , y = −1 ,dan z= 1
![Page 34: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/34.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Contoh soal:2. Diketahui persamaan linear
x + y + 2z = 10 2x + 3y + 3z = 4 2x + 4y + 6z = 4Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
1 1 2 | 100 1 -1 | -160 2 2 | -16 Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris
ke-1
1 1 2∨¿2 3 3∨¿2 4 ¿
![Page 35: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/35.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
1 1 2 | 100 -1 -1 | -160 0 4 | 16 Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-2
1 1 2 | 100 1 1 | 160 0 1 | 4 Baris ke-3 dibagi 4 dan baris ke-2
dibagi -1
1 1 2 | 100 1 0 | 120 0 1 | 4 Baris ke-2 dikurangi 1 kali baris ke-3
![Page 36: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/36.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
1 1 0 | 20 1 0 | 120 0 1 | 1 Baris ke-1 dikurangi 2 kali baris
ke-3
1 0 0 | 30 1 0 |120 0 1 | 1 Baris ke 1 dikurangi 1 kali baris
ke 2
Maka didapatkan nilai dari x =3 , y = 12 ,dan z= 1
![Page 37: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/37.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Contoh soal:3. Diketahui persamaan linear
x + y + z = 2x + 3y + 2z = 42x + 2y + z = 4Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:Baris ke 2 dikurangi baris ke 1
1 1 1 | 20 2 1 | 20 -4 -3 | -8 Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris
ke-1
1 1 1∨¿1 3 2∨¿2 2 ¿
![Page 38: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/38.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
1 1 1 | 20 2 1 | 20 4 3 | 8 Baris ke-3 dibagi -1
1 1 1 | 20 2 1 | 20 0 1 | 4 Baris ke-3 kurangi 2 kali baris ke-2
1 1 1 | 20 2 0 | -20 0 1 | 4 Baris ke-2 dikurangi 1 kali baris ke-3
![Page 39: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/39.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
1 1 0 | -20 1 0 | -10 0 1 | 4 Baris ke-1 dikurangi 1 kali baris
ke-3 dan Baris ke-2 dibagi 2
1 0 0 | -10 1 0 | -10 0 1 | 4 Baris ke 1 dikurangi 1 kali baris
ke 2
Maka didapatkan nilai dari x =-1 , y = −1 ,dan z= 4
![Page 40: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/40.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Subtitusi
Eliminasi
Gabunga
n Subtitusi
& Elimnasi
Grafik
![Page 41: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/41.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Adalah metode penyelesaian SPLDV
dengan cara menggantikan satu variabel
dengan variabel dari persamaan yang lain
Langkah-langkah
1. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana kemudian
nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x
2. Substitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang
lainnya
![Page 42: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/42.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
1). Tentukan HP dari persamaan linear berikut dg metode substitusi !3x + 4y = 11 … pers.(1)x + 7y = 15 … pers.(2)Jawab :Dari pers.(2) didapat : x = 15 – 7y … pers.(3)Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(1) :3x + 4y = 11 Harga y = 2 kmd
⇔ 3(15 – 7y) + 4y = 11 substitusikan ke pers(3) :
⇔ 45 – 21y + 4y = 11 x = 15 – 7y⇔ - 21y + 4y = 11 – 45 x = 15 – 7(2)⇔ - 17y = - 34 ⇔ x = 15 – 14
x = 1
Jd, HP = { 1, 2 }
217
34
y
![Page 43: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/43.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
2). Selesaikan sistem persamaan linier berikut:
3x – 2y =7 (1)2x + 4y =10 (2)
Misalkan variabel x yang dipilih pada persamaan (2), maka akan menjadi
2x + 4y = 10 2x = 10 – 4y x = 5 – 2y
Kemudian substitusikan x ke dalam persamaan yang lain yaitu (1)
![Page 44: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/44.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
x = 5 – 2y3(5 – 2y) – 2y =7 15 – 6y – 2y = 7– 8y = – 8y = 1
Substitusikan y = 1 ke dalam salah satu persamaan awal misal persamaan (2)
x = 5 – 2(1) = 3Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan adalah (3,1)
![Page 45: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/45.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
3. Tentukan HP dari SPL berikut ini dg menggunakan metode substitusi
2x – y = 2 … pers.(1)
3x – 2y = 1 … pers.(2)
Dari pers.(1) didapat : Harga x = 3 kmd disubstitusikan
- y = 2 – 2x ⇔ y = - 2 + 2x … pers.(3) ke pers.(1) :
Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(2) : 2x – y = 2
⇔ 3x – 2y = 1 ⇔ 2(3) – y = 2
⇔ 3x – 2(-2 + 2x) = 1 ⇔ 6 – y = 2
⇔ 3x + 4 – 4x = 1 ⇔ - y = 2 – 6
⇔ 3x – 4x = 1 – 4 ⇔ - y = - 4
⇔ - x = - 3 ⇔ y = 4
⇔ x = 3
Jd, HP = { 3, 4}
![Page 46: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/46.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menghilangkan salah satu variabel atau pada kedua persamaan untuk mendapatkan suatu penyelesaian.
Langkah-langkah1. Perhatikan koefisien ( x atau y )
a) Jika koefisiennya sama:i. Lakukan operasi pengurangan untuk tanda yang sama
ii. Lakukan operasi penjumlahan untuk tanda yang berbeda
b) Jika koefisiennya berbeda, samakan koefisiennya dengan cara mengalikan persamaan-persamaan dengan konstanta yang sesuai, lalu lakukan seperti langkah a)
2. Lakukan kembali langkah 1 untuk mengeliminasi variabel lainnya.
x y
![Page 47: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/47.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
1) Carilah nilai – nilai dari variabel X dan Y yang dapat memenuhi kedua persamaan berikut:
3x – 2y = 7 (3)2x + 4y = 10 (4)PenyelesaianMisal variabel yang akan dieliminasi adalah y,
maka pers (3) dikalikan 2 dan pers (4) dikalikan 1.3x – 2y = 7 dikalikan 2 6x – 4y = 142x + 4y = 10 dikalikan 1 2x + 4y = 10 +
8x + 0 = 24
x = 3
![Page 48: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/48.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Substitusikan variabel x = 3 ke dalam salah satu persamaan awal, misal pers (3)
3x – 2y = 73(3) – 2y = 7 – 2y = 7 – 9 = – 2y = 1
Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah (3,1)
![Page 49: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/49.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
2)Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan dan dengan menggunakan metode eliminasi.Penyelesaian :
Jika kita ingin mencari nilai terlebih dahulu, maka hilangkanlah nilai pada kedua persamaanBagaimana caranya menghilangkan nilai pada kedua persamaan?
623 yx632 yx
xy
y
![Page 50: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/50.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Samakan koefisien pada kedua persamaan dengan cara mengalikannya dengan suatu konstanta
Cara menghilangkan nilai pada kedua persamaan
y
y
632 yx623 yx
X ...X ...
.......... = ...
.......... = ...-
.... = ... = ...x
23
6
![Page 51: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/51.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Dengan cara yang sama, kita hilangkan nilai pada kedua persamaan untuk mendapatkan nilai
x
y
632 yx
623 yx
X ...X ...
.......... = ...
.......... = ...- .... = ...
= ...y
3
2
6
![Page 52: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/52.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Dari perhitungan tadi, diperoleh dan
Jadi himpunan penyelesaian persamaan dan adalah
{( , )}
6x 6y
632 yx 623 yx
6 6
![Page 53: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/53.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
3) Tentukan HP dari SPL berikut dg menggunakan metode eliminasi !1) 2x – y = 2
3x – 2y = 1
* Mengeliminasi variabel y
2x – y = 2 x 2 4x – 2y = 4
3x – 2y = 1 x 1 3x – 2y = 1 -
x = 3
* Mengeliminasi variabel x
2x – y = 2 x 3 6x – 3y = 6
3x – 2y = 1 x 2 6x – 4y = 2 -
y = 4
Jd, HP = { 3, 4}
![Page 54: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/54.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Pada metode ini, merupakan gabungan dari cara eliminasi dan substitusi.Contoh :1). Tentukan HP dari persamaan linear berikut dg metode campuran !
3x + 4y = 11 … pers.(1)x + 7y = 15 … pers.(2)
Jawab :3x + 4y = 11 x 1 3x + 4y = 11x + 7y = 15 x 3 3x + 21y = 45 -
- 17y = - 34 ⇔ y = 2
Harga y = 2 kmd substitusikan ke pers(2) :
x + 7y = 15⇔ x + 7(2) = 15⇔ x + 14 = 15⇔ x = 15 – 14 ⇔ x = 1 Jd, HP = { 1, 2 }
![Page 55: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/55.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
2).Tentukan HP Dari Persamaan Linear Berikut Dg Metode Campuran!
2x + 3y = 1 … pers.(1)4x – 3y = 11 … pers.(2)
Jawab :2x + 3y = 14x – 3y = 11 +⇔ 6x = 12⇔ x = 2
Harga x = 2 kmd substitusikan ke pers.(1) :2x + 3y = 1⇔ 2(2) + 3y = 1⇔ 4 + 3y = 1⇔ 3y = 1 – 4⇔ 3y = - 3⇔ y = - 1 Jd, HP = { 2, -1 }
![Page 56: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/56.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
3). Dari SPL Berikut Ini dg Metode Campuran2p – 3q = 4 … pers.(1)7p + 2q = 39 … pers(2)
2p – 3q = 4 x 7 14p – 21q = 287p + 2q = 39 x 2 14p + 4q = 78 -
- 25q = - 50
2p – 3q = 4⇔ 2p – 3(2) = 4⇔ 2p – 6 = 4⇔ 2p = 4 + 6⇔ 2p = 10⇔ p = 5
Jd, HP = { 5, 2 }
225
50
q
![Page 57: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/57.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
• Adalah metode penyelesaian SPLDV yang dilakukan dengan cara menggambar grafik dari kedua persamaan tersebut yang kemudian menentukan titik potongnya.
![Page 58: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/58.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Perhatikan dua sistem persamaan dua variabel
Solusi dari sistem ini adalah himpunan pasangan terurut yang merupakan solusi dari kedua persamaan.
Grafik garis menunjukkan himpunan penyelesaian dari masing-masing persamaan dalam sistem. Oleh karena itu, perpotongan kedua garis adalah gambar dari penyelesaian sistem.
Solusi dari sistem adalah
![Page 59: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/59.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Grafik mungkin sejajar atau mungkin berimpit.
![Page 60: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/60.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Hubungan yang mungkin diantara sebuah sistem, kemiringan dari masing masing grafik, dan penyelesaian persamaan ditunjukkan pada table berikut.
Sistem Kemiringan
Grafik Penyelesaian
Konsisten dan bebas Berbeda Garis berpotongan di
satu titik
Satu
Inkonsistent dan bebas atau berlawanan
Sama Garis sejajar Tidak ada
Konsisten dan bergantungan
Sama Garis berimpit Tak terhingga
Dengan a,b,c,d,p,q, R dan a,b,c,d ≠0
![Page 61: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/61.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Tim MGMP Matematika SMA/SMKBontang-Kalimantan Timuremail: [email protected]
Langkah – langkah untuk menetukan himpunan penyelesaian sistem persamaan dua peubah dengan memakai metode grafik adalah sebagai berikut
Langkah IGambarkan grafik masing – masing persamaan pada bidang Cartesius.
Langkah 2a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik maka
himpunan penyelesaiannya tepat memiliki satu anggotab. Jika kedua garis sejajar, maka himpunan
penyelesaiaannya tidak memilki anggota. Dikatakan himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong
c. Jika kedua garis berimpit maka himpunan penyelesaiaannya memiliki anggota yang tak hingga banyaknya
![Page 62: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/62.jpg)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Tim MGMP Matematika SMA/SMKBontang-Kalimantan Timuremail: [email protected]
Contoh
x + y = 1x – y = 3
1
0 1 3
– 1
– 3
P (2, -1)
x – y = 3
x + y = 1
x + y = 1x 0
y 1
x – y = 3
x 0
y 3
y 0
x 1
y 0
x 3
![Page 63: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/63.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
Determinan
![Page 64: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/64.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
3 1
4 2
1 2
2 4
2 1 3
3 1 2
3 2 2
1 2 3
4 4 5
1 5 0
2 4 1
20 40 10
Det(A) = (3 . (-2) – (1.4) ( =-10
Det(B) = (1.4) – (2.2) = 0
Det(C) = tidak didefinisikan
Det(D) = (3.2.5)+(2.3.4)+(2.1.4)-(2.2.4)-(2.1.5)-(3.3.4)
= 0
Det(E) = (1.4.-10)+(5.-1.20)+(0.2.40)- (0.4.20)-(5.2.-10)-(1.-1.40)
= 0
A =
B =
C =
D =
E =
Hitunglah determinan matriks berikut ini:
![Page 65: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/65.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
A1 =
Det(A1) = (a11.a22) – (a12.a21)
• A2 =
Det(A2) = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 –
(a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33)
2221
1211
aa
aa
Aturan Sarrus
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
2221
1211
aa
aa
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
a11 a12
a21 a22
a31 a32
+-
+++- - -
![Page 66: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/66.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
1. B =
2. S =
3. L
- - - + ++
3 12 35 6
3 1 72 3 45 6 2
Contoh Aturan Sarrus (lanjt)Det(B) = 3.8 – (5.4) = 4
Det(S) = (3.3.2+1.4.5+7.2.6)-(1.2.2+ 3.4.6 + 7.3.5) = 18 + 20 +84 – (4+72+105)
= 122 – 181 = -59
Det(L) = (1.1.3 + 4.4.1 + 9.3.2)-(4.3.3 + 1.4.2 + 9.1.1) = (3 + 16 + 54) – (36 + 8 + 9)
= 73 – 53 = 20
3 54 8
- - - + ++
1 43 11 2
1 4 93 1 41 2 3
![Page 67: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/67.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
![Page 68: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/68.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i
kolom ke j. Kofaktor C13 adalah (-1)i+j Mij
A =
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n : : : :ai1 ai2 ……aij…….. ain
: : : :an1 an2……anj……. ann
Mij= det
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n : : : :ai1 ai2 ……aij…….. ain
: : : :an1 an2……anj……. ann
Cij =(-1)i+j Mij
![Page 69: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/69.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j. Kofaktor C13 adalah (-1)i+j Mij
A = M13 = det
C13 = (-1)1+3M13
a21 a22
a31 a32
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
B = M11 = det
C11 = (-1)1+1M11
a22 a23
a32 a33
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
C = M33 = det
C33 = (-1)3+3M33
a11 a12
a21 a22
![Page 70: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/70.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
![Page 71: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/71.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
• Permutasi n bilangan 1, 2, 3, …, n adalah susunan terdiri dari n bilangan tersebut tanpa pengulangan
Contoh:
Permutasi dari 1, 2, 3 adalah
1, 2, 3
1, 3, 2
2, 1, 3
2, 3, 1
3, 1, 2
3, 2, 1
Permutasi dari 1,2 adalah
1, 2
2, 1
Ada 2 permutasi
Ada 6 (= 3 x 2 x 1) permutasi
![Page 72: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/72.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
PermutasiContoh:Permutasi dari 1, 2, 3, 4 adalah
Ada 24 (= 4x3 x 2 x 1) permutasi
1, 2, 3, 4
1, 3, 2, 4
2, 1, 3, 4
2, 3, 1, 4
3, 1, 2, 4
3, 2, 1, 4
1, 2, 4, 3
1, 3, 4, 2
2, 1, 4, 3
2, 3, 4, 1
3, 1, 4, 2
3, 2, 4, 1
1, 4, 2, 3
1, 4, 3, 2
2, 4, 1, 3
2, 4, 3, 1
3, 4, 1, 2
3, 4, 2, 1
4, 1, 2, 3
4, 1, 3, 2
4, 2, 1, 3
4, 2, 3, 1
4, 3, 1, 2
4, 3, 2, 1
![Page 73: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/73.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
Contoh lainnya:
2). Permutasi dari 5, 6, 7 adalah5, 6, 7
5, 7, 6
6, 5, 7
6, 7, 5
7, 5, 6
7, 6, 5
1). Permutasi dari 5,8 adalah5, 8
8, 5
Ada 2 permutasi
Ada 6 (= 3 x 2 x 1) permutasi
![Page 74: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/74.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
3). Permutasi dari 4, 5, 6, 7 adalah
Ada 24 (= 4x3 x 2 x 1) permutasi
4, 5, 6, 7
4, 6, 5, 7
5, 4, 6, 7
5, 6, 4, 7
6, 4, 5, 7
6, 5, 4, 7
4, 5, 7, 6
4, 6, 7, 5
5, 4, 7, 6
5, 6, 7, 4
6, 4, 7, 5
6, 5, 7, 4
4, 7, 5, 6
4, 7, 6, 5
5, 7, 4, 6
5, 7, 6, 4
6, 7, 4, 5
6, 7, 5, 4
7, 4, 5, 6
7, 4, 6, 5
7, 5, 4, 6
7, 5, 6, 4
7, 6, 4, 5
7, 6, 5, 4
![Page 75: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/75.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
Genap atau ganjilnya permutasi didefinisikan dengan genap atau ganjilnya jumlah inversi
2 3 1
1 inversi(2 mendahului 1)
1 inversi(3 mendahului 1)
0 inversi
Jumlah inversi: 1 + 1+0 = 2
Jenis permutasi: genap
Permutasi
Inversi terjadi jika bilangan lebih besar mendahului lebih kecil
![Page 76: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/76.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
Pemutasi 4 3 1
Pemutasi 8 4 5 1
Pemutasi 2 5 3 6 1
Jumlah inversi: 1 + 1+ 1 +0 = 3 Jenis permutasi: ganjil
Jumlah inversi: 1 + 1+0 = 2
Jenis permutasi: genap
Jumlah inversi: 1 + 1+ 1+ 1+ 0 = 4
Jenis permutasi: genap
![Page 77: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/77.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
• Matriks Diagonal
• Matriks Segitiga
• Matriks Dengan Baris Nol
• Matriks Dengan Kolom Nol
• Matriks Dengan Dua Baris Sama
500
420
321
S
000
279
761
B
190
410
320
K
4 1 4
4 1 4
0 9 1
M
9 0 0
0 7 0
0 0 8
D
det(D) = -518
det(S) = 10
det(B) = 0
det(K) = 0
det(M) = 0
![Page 78: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/78.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
![Page 79: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/79.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
1 3A'
2 4
Pengaruh tukar baris pada nilai determinan
3 3 6
B' 2 0 1
1 4 2
1 4 2
B 2 0 1
3 3 6
1 3A
2 4
Det(B) = 45
Det(A) = -2
R1 R2
Det(A’) = 2
Det(B’) = -45
R1 R3
menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali elementer
bertanda berubah determinannya (-1) kali determinan
semula.
det(X’) = -det(X)X X’ dengan tukar baris
![Page 80: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/80.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
Contoh Lain
Det(S) = 13
R1 R2
Det(S’) = -13
Det(D) = -1 Det(D’) = 1
R1 R3
Det(D) = -14 Det(D’) = 14
R1 R3
![Page 81: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/81.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
1 3A'
20 40
Pengaruh perkalian baris dengan skalar pada nilai determinan
1 4 2
B' 2 0 1
1 1 2
1 4 2
B 2 0 1
3 3 6
1 3A
2 4
Det(B) = 45
Det(A) = -2
R2 10 R2
Det(A’) = -20
Det(B’) = 15 = 1/3 det(B)
R3 1/3 R3
satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil kali
elementer bertandanya dikalikan k determinannya adalah k
kali determinan matriks semula.
det(X’) = kdet(X)X X’ dengan mengalikan baris dengan k
![Page 82: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/82.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
Det(G) = -2048 Det(G’) = -38 = ¼ Det (G)
R3 1/4 R3
Contoh Lain
Det(A) = 10
R1 20 R1
Det(A’) = 4000
𝐴=3 21 4
𝐴 ′ =60 4020 80
Det(P) = 42
R2 2 R2
Det(P’) = 168
𝑃=6 34 9
𝑃 ′=12 68 18
![Page 83: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/83.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
1 3A'
4 10
Pengaruh jumlahan baris dengan kelipatan baris lain pada nilai determinan
1 4 2
B' 3 1 3
3 3 6
1 4 2
B 2 0 1
3 3 6
1 3A
2 4
Det(B) = 45
Det(A) = -2
R2 R2 + 2R1
Det(A’) = -2
Det(B’) = 45 = det(B)
R2 R2 +1/3 R3
Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak
mengubah hasil kali elementer bertanda, jadi nilai
determinannya tidak berubah.det(X’) =
det(X)X X’ dengan menjumlahkan brs dengan kelipatan baris lain:
![Page 84: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/84.jpg)
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
Kesimpulan:
– menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali
elementer bertanda berubah determinannya (-1)
kali determinan semula.
– satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil
kali elementer bertandanya dikalikan k
determinannya adlah k kali determinan matriks
semula.
– Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain
tidak mengubah hasil kali elementer bertanda, jadi
nilai determinannya tidak berubah.
![Page 85: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/85.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
![Page 86: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/86.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
Apa beda vektor dengan skalar ?
Vektor :besaran yang dinyatakan dalam dua bilangan tunggal, yang pertama menyatakan nilai dan yang kedua menyatakan arahex: gaya=10N ke arah kanan, kecepatan=5 m/s arah barat
Skalar : besaran yang dinyatakan dengan bilangan tunggal dan hanya memiliki nilaiex: panjang meja=20cm , luas, volume dsb
![Page 87: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/87.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
Simbol vektor:- huruf kecil- huruf kecil,tebal,ada tanda diatasnya
Gambar vektor:vektor digambarkan sebagai garis dengan anak panah sebagai arah.
Vektor a; simbol:a atau a atau a
![Page 88: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/88.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
Komponen vektor :vektor 2 dimensi : a (3,2)
3 ‘n 2 merupakan komponen vektora merupakan nama vektor3 merepresentasikan nilai pada sumbu
x(horisontal)2 merepresentasikan nilai pada sumbu y
(vertikal)vektor 3 dimensi : a (2,3,4)
Panjang vektor :suatu vektor memiliki panjang vektor yang disimbolkan dengan |a|
![Page 89: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/89.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
2 vektor dikatakan sama,jika panjang dan arahnya sama
Vektor a dan b dikatakan sama, sebab1. Arah kedua vektor sama
2. |a| = |b|
Vektor a dan b dikatakan tidak sama, Sebab1. Arah kedua vektor tidak sama
2. Meskipun, |a| = |b|
Vektor a dan b dikatakan tidak sama, Sebab1. Meskipun, Arah kedua vektor sama
2. |a| != |b|
![Page 90: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/90.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
Vektor dalam sistem koordinat kartesian diantaranya:
1. Koordinat kartesian dua dimensia=(a1, a2)dalam vektor a terdapat dua komponen vektor,
2. Koordinat kartesian tiga dimensib=(b1,b2,b3)dalam vektor b terdapat tiga komponen vektor
![Page 91: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/91.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
1. Gambar vektor k (6,3) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (0,0) !!
y
x6
3
k (6,3)
![Page 92: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/92.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
2. Gambar vektor s (4,-3) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (0,0) !!
y
x4
-3
s (4,-3)
![Page 93: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/93.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
3. Gambar vektor m (-4,2) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (0,0) !!
y
x-4
2
m (-4,2)
![Page 94: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/94.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
1. Gambar vektor r (-4,2) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (3,-4) !
y
x3
-4
r (-4,2)
2
-4
pangkal
Langkah:1. Cari titik pangkal
2. Cari titik ujung
3. Tarik garis vektor antara
pangkal dan ujung
![Page 95: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/95.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
2. Gambar vektor d (2,3) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (1,-4) !
y
x1
-4
d (2,3)
3
2
pangkal
![Page 96: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/96.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
3. Gambar vektor t (1,3) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (-2,-2) !
y
x-2
-2
s (3,-2)
3
1
pangkal
![Page 97: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/97.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
- mx adalah panjang vektor terhadap sumbu x = 3
- my adalah panjang vektor terhadap sumbu y = 2
Dari contoh diperoleh :
y
x3
-2
m (3,-2)
mx = 3
my = 2
1323||
||
22
22
m
mymxm
Sehingga untuk mencari panjang vektor m, digunakan rumus pytagoras
![Page 98: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/98.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
• Panjang vektor a yang berpangkal pada (0,0) didefinisikan sebagai
• Disebut sebagai vektor nol, jika |a|=0 yang berarti a1=a2=0
• Contoh : 1. Cari panjang vektor a (6,2) !
1024043626|| 22 a
![Page 99: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/99.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
2. Cari panjang vektor b (12,-9) !
3. Cari panjang vektor c (10,1) !
1522581144)9(12|| 22 b
522041624|| 22 c
![Page 100: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/100.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
• Panjang vektor a (x1,y1,z1) yang berpangkal pada (x2,y2,z2) didefinisikan sebagai
• Contoh : 1. Cari panjang vektor a (5,3,6) dengan titik pangkal (1,1,1) !
534525416)16()13()15(|| 222 a
![Page 101: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/101.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
2. Cari panjang vektor k (8,3,4) dengan titik pangkal (2,1,3) !
3. Cari panjang vektor m (6,8,9) dengan titik pangkal (4,2,5) !
411436)34()13()28(|| 222 k
5616364)59()28()46(|| 222 m
![Page 102: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/102.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
ALJABAR VEKTOR :
Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
![Page 103: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/103.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
1. Cara SegitigaJumlahan 2 vektor a dan b adalah suatu vektor c yang berawal dari titik pangkal vektor a menuju ujung vektor b, setelah ujung vektor a ditempelkan dengan pangkal vektor b
![Page 104: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/104.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
a = 5
b = 2c = ?
C= a + bMaka besar vektor c|c| =
= = =
a = 8
b =5c = ?
a = 4
b = 2c = ?
C= (-a )+ bMaka besar vektor c|c| =
= = =
C= a - bMaka besar vektor c |c| =
= = =
![Page 105: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/105.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
2. Cara Jajaran Genjang
Untuk memperoleh hasil vektor penjumlahan dari vektor a dan b, maka vektor a dan b harus diposisikan pada 1 titik dan masing-masing vektor diproyeksikan sehingga menghasilkan 1 titik potong antar kedua vektor. Vektor hasil dihubungkan dari titik awal dan titik potong akhir.
![Page 106: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/106.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
Jajaran Genjang
R = A + B+ =A
B
B
-B
R = A+B
S = A
-B
A
Besarnya vektor R = | R | = cos222 ABBA
Besarnya vektor A+B = R = |R| = θcos22 ABBA ++Besarnya vektor A-B = S = |S| = θcos2 ABBA -+
2
22
![Page 107: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/107.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
Hasil dari aljabar tersebut dengan menggunakan 2 metode hasilnya sama, yaitu :
![Page 108: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/108.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
22 )()(|| dbcavu
db
ca
d
c
b
avu
d
cvdan
b
auJika
nPenjumlaha
Beda Penjumlahan & Pengurangan Vektor
22 )()(|| dbcavu
db
ca
d
c
b
avu
d
cvdan
b
auJika
nPenguranga
![Page 109: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/109.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
a). a+ b = b + a Komutatif
b). ( u + v ) + w = u + ( v + w ) Asosiatif
c). a + 0 = 0 + a = a Elemen Netral
d). a + (-a) = 0 Elemen Invers
![Page 110: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/110.jpg)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
Arah vektor dilihat dari tanda negatif didepan nama vektor, sehingga:
v + (-v) = 0 Elemen-elemen vektor merupakan
panjang vektor untuk basis koordinat tertentu
Metode yang digunakan untuk penjumlahan dan pengurangan vektor adalah sama
Pangkal vektor tidak selalu diawali dari pusat koordinat (0,0,0)
![Page 111: Tugas Aljabar Linear - Novika 2012110028.ppsx](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102416/55cf9a13550346d033a05b2e/html5/thumbnails/111.jpg)
Exit Home