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TrigonometriaFunes Trigonomtricas
-
Prof.PH FUNES TRIGONOMTRICAS
yf(x) = sen x
x
2
3
2
20
1
-1
2
perodo
imag
em
: [
-1 , 1
]
0
2
3
2
1
-1
0
f(x) = R R Imagem: [-1,1]
Perodo: 2
-
FUNES TRIGONOMTRICAS
yf(x) = cos x
x
2
3
220
1
-1
2
perodo
imag
em
: [
-1 , 1
]
0
2
3
2
1-1 0
f(x) = R R Imagem: [-1,1]
Perodo: 2
Prof.PH
-
ALTERAES NO GRFICO
f(x) = a b ( mx + n )movimenta o grfico
para cima ou para baixo
o sinal indica o caminho da
curvay se +
x
y se -
x
muda a amplitude
altera o perodo
quanto maior o valor de m mais encolhido fica o grfico, isto , menor seu perodo. Quanto menor o valor de m, maior seu perodo.
m=2
y
x
1
-1
2 4
m=1 m=1/2
apenas movimenta o grfico na horizontal sem destorc-lo.
cossen
y
x
+3
y
x
-2
y
x
+2
-2
se = 2
y
x
se = 3+3
-3
Prof.PH
-
ALTERAES NO GRFICO (exemplos) f(x) = a bsen ( mx + n )
f(x) = 3 2sen ( x/2 )
y
x
1
-12 3 2 2
2
3
4
5
6
-2
+ sen
- sen
+ cos
- cos
m = 1/2
arrumar o perodo
P = ___2
mP = ____2
1/2
P = 4
X 2X 2X 2X 2
432
432
imag
em
: [
1 , 5
]
f(x) = 3 2sen ( x/2 )
+3 +3-2 +2 ][ ,
[ 1 , 5 ]
Prof.PH
-
ALTERAES NO GRFICO (exemplos) f(x) = a bsen ( mx + n )
f(x) = -2 + 4 cos ( 4x )
y
x
-3
-5
2 3 2 2
-2
-1
0
1
2
-6
+ sen
- sen
+ cos
- cos
m = 4
arrumar o perodo
P = ___2
4P = __
2
4
-4
f(x) = -2 +4 cos ( 4x )
-2 -2-4 +4 ][ ,
[ -6 , 2 ]
imag
em
: [
-6 , 2
]
Prof.PH
Z
2
3 /8/48
2
-
Exerccios da apostila 01 da pgina 57
f(x) = 2 + sen ( x )
+2 +2-1 +1 ][ ,
[ 1 , 3 ]
RESPOSTA: C
Prof.PH
-
Exerccios da apostila 03 da pgina 57
f(x) = 0 + 3sen (2x )
+0 +0-3 +3 ][ ,
[ -3 , 3 ]
RESPOSTA: E
f(x) = 3sen (2x)
Domnio: R
Imagem: [ -3, 3 ]P =
2
2Perodo:
Prof.PH
-
Exerccios da apostila 06 da pgina 58
RESPOSTA: B
P =4
2
Perodo: 1/2
P =
2
1
Prof.PH
-
Exerccios da apostila 08 de pgina 58
RESPOSTA: B
3 cos x
1
cos x pode valer no mnimo (-1) e no mximo (+1), logo:
3 (-1)
1
4
1=
3 (+1)
1
2
1=
Prof.PH
-
Exerccios da apostila 06 da pgina 58
RESPOSTA: B
f(x) = a b ( mx + n )cossen
0 + 1 cos 2
f(x) = 0 + 1 cos ( 2x )
f(x) = cos ( 2x )
Prof.PH
-
Exerccios da apostila 19 da pgina 60
RESPOSTA: E
f(x) = a b ( mx + n )cossen
+2 - 1 sen1+ sen
- sen
+ cos
- cos
Prof.PH
Z
-
FUNES TRIGONOMTRICAS
yf(x) = tg x
x20
perodo
0
2
3
2
1
-1
0 /2 3 /2
imag
em
: R
P =
m
Imagem: R
Domnio:
{ x R / x /2 + k }
k um n inteiro
Prof.PH
-
Exerccios da apostila 01 da pgina 63
RESPOSTA: B
Prof.PH
P =
2
-
Exerccios da apostila 02 da pgina 63
RESPOSTA: D
x representa o ngulo
Domnio: { x R / x /2 + k }
3x /2 + k
x /2 + kx /2 + k
3
x 1
3(
2+ k )
6x +
k
3
Prof.PH
-
Trigonometria
Funes Inversas
Encontrar o ngulo atravs de seu seno, cosseno ou tangente.
-
Prof.PH
Porm necessrio lembrar que se voc perguntar qual ngulo tem seno igual a 0,5 , teremos
infinitas respostas.
0
1
-1
0
30150
90
270
J no primeiro e no segundo quadrantes teremos 30 e
150 como primeiras determinaes positivas.
Mas teremos tambm 390, 510, 750, 870...
390510
-
Prof.PH Para que no tenhamos mais de
uma resposta, vamos limitar, para seno, os ngulos de -90 at 90.
Sendo assim, basta voc fornecer um valor entre -1 e 1
teremos como resposta um ngulo entre -90 e 90.
-90
0
90
Para que no tenhamos mais de uma resposta, vamos limitar, para
cosseno, os ngulos de 0 at 180.
Sendo assim, basta voc fornecer um valor entre -1 e 1
teremos como resposta um ngulo entre 0 e 180.
0
90
180
Para que no tenhamos mais de uma resposta, vamos
limitar, para tangente, os ngulos de -90 at 90.
Sendo assim, basta voc fornecer qualquer valor real e
teremos como resposta um ngulo entre -90 e 90.
0
90
-90
-
Prof.PH
0
1
-1
0
90
-90
f -1(x) = arc sen (x)
f(x) = arc sen (1/2)
f(x) = 30
f -1 :-
2 2,[ -1 ; 1 ]
f(x) = arc sen (1)
f(x) = 90
f(x) = arc sen (-1)
f(x) = -90
-
Prof.PH
01-1
0
90
f -1(x) = arc cossen (x)
f(x) = arc cos (1/2)
f(x) = 60
f -1 : [ -1 ; 1 ]
f(x) = arc cos (-1/2)
f(x) = 120
f(x) = arc cossen (-1)
f(x) = 180
[ 0 ; ]
180
-
Prof.PH f -1(x) = arc tg (x)
f(x) = arc tg (1)
f(x) = 45
f -1 : R
f(x) = arc tg (-1)
f(x) = -45
f(x) = 60
I -
2 2,
0
1
-1
0
90
-90
f(x) = arc tg ( 3 )
-
Prof.PH Exerccios da apostila 01 da pgina 73
RESPOSTA: D
y = arc sen (1/2)
y = 30
y = /6
y = arc tg ( 3 )
y = 60
y = /3
logo a soma dos doisngulos ser um ngulo
de 90
-
f( g(1) )
Prof.PH Exerccios da apostila 03 da pgina 73
RESPOSTA: E
g(1) = arc cos (1)h( /2) = sen ( /2)
g(1) = 0
= f(0)
f(0) = arc sen (0)
f(0) = 0
h( /2) = 1
-
Prof.PH Exerccios da apostila 04 da pgina 74
SOHCAHTOA
ngulo do primeiro quadrantecujo seno 1/3.
x1
3
2 2 y = cos ngulo em que o sen = 1/3
y = 2 2
3RESPOSTA: D
-
Trigonometria
Frmulas de Fatorao
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As frmulas a seguir permitem fatorar as principais razes trigonomtricas para dois arcos p e q quaisquer:
Prof.PH
sen p + sen q = 2sen ( )cos ( )
sen p - sen q = 2sen ( )cos ( )
cos p + cos q = 2cos ( )cos ( )
cos p - cos q = -2sen ( )sen ( )
p+ q
2
p+ q
2
p+ q
2
p+ q
2
p - q
2
p - q
2
p - q
2
p - q
2
-
Prof.PH sen p + sen q = 2sen ( )cos ( ) sen p - sen q = 2sen ( )cos ( )
cos p + cos q = 2cos ( )cos ( ) cos p - cos q = -2sen ( )sen ( )
p+ q
2
p - q
2
p - q
2
p+ q
2
p - q
2
p+ q
2
p - q
2
p+ q
2
Exerccio 02 da pgina 78 sen 50 + sen 30= 2sen ( )cos ( ) + 50 302
- 50 302
sen 50 + sen 30= 2sen ( )cos ( ) 802
202
sen 50 + sen 30= 2sen ( 40 )cos ( 10 )
RESPOSTA: B
-
Prof.PH sen p + sen q = 2sen ( )cos ( ) sen p - sen q = 2sen ( )cos ( )
cos p + cos q = 2cos ( )cos ( ) cos p - cos q = -2sen ( )sen ( )
p+ q
2
p - q
2
p - q
2
p+ q
2
p - q
2
p+ q
2
p - q
2
p+ q
2
Exerccio 01 da pgina 78
sen 20 - sen 60= 2sen ( )cos ( ) -402
802
sen 20 - sen 60= 2sen ( -20 )cos ( 40 )
RESPOSTA: D
cos 70 - cos 30
sen 20 - sen 60
sen 20 - sen 60= 2sen ( )cos ( ) - 20 602
+ 20 602
sen 20 - sen 60= - 2sen ( 20 )cos ( 40 )
-
Trigonometria
Equaes Trigonomtricas
O objetivo ser achar uma soluo ou solues para o valor de seno, cosseno ou tangente apresentado.
A forma de responder a soluo depender dos quadrantes usados.
-
Prof.PH
Exemplo:
0
1
-1
0
30 390 750...... 510 150
360k + 30360k + 150
sen x = 1/2 (graus): x = 360k + 30 ou x = 360k + 150
(rad): x = 2 k + /6 ou x = 2 k + 5 /6
soluo geral1 e no 2 quadrantes ou 3 e 4
-
Prof.PH
Exemplo:
01-1 0
cos x = 1/2
60 420 780...
360k + 60
1 e no 4 quadrantes ou 2 e 3
-60 -420 -780...
360k + 300
(graus): x = 360k 60
(rad): x = 2 k /3
soluo geral
-
Prof.PH
Exemplo:
00
45 405 765...
tg x = 1
1 e no 3 quadrantes ou 2 e 4
45 + (180) = 225 585 945...
(graus): x = 180k + 45
(rad): x = k /4
soluo geral
-
Prof.PH Exerccio 01 da pgina 85
0180
60
3x = 60 x = 20 ou x = /9
420
3x = 240 x = 80 ou x = 4/9240
3x = 420 x = 140 ou x = 7/9 RESPOSTA: B
-
Prof.PH Exerccio 03 da pgina 85
0
1
-1
0
60 420
300 660
2x = 60 x = 30
2x = 300 x = 150
2x = 420 x = 210
2x = 660 x = 330RESPOSTA: D
-
4cos2 x- 6cos x + 2 = 0
Prof.PH Exerccio 08 da pgina 86
cos x = y
4y2 6y + 2 = 0
y = 1
y = 1/2
cos x = 1 cos x = 1/2
360k ou 2k 60 + 360k ou /3 + 2k
RESPOSTA: C