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Projecto de controladoresMestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC)
Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC)
CONTROLOCONTROLO3º ano – 1º semestre – 2007/2008
Transparências de apoio às aulas teóricas
Capítulo 12 (Parte A) – Projecto de CompensadoresMaria Isabel Ribeiro
Pasc
oal
Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
Setembro de 2001Revisões em Março de 2002, Setembro 2003, Novembro 2005, Maio de 2007
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 1/Cap.12-ParteANovembro.2007
Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores
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Projecto de controladoresProjecto no domínio da frequência
ControladorSistema a controlar
EXEMPLO
0>K 21s
+
Controlador controlar
s_
C(s) G(s)Diagrama de Bode da f.t.ca.=1/s2
K=1K=1
frequência de cruzamento
s/rad.c 01=ω
Pasc
oal
º)j(Garg c 180=ω
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
margem de fase
ºM 0=Φ
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 2/Cap.12-ParteANovembro.2007
M
sistema marginalmente estável
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Projecto de controladoresEXEMPLO
1+
ControladorSistema a controlar
0>K 21s
+_
C(s) G(s)C(s) G(s)Critério de Nyquist
Contorno dede Nyquist
A A imagem do contorno
xxpólo
A
-1
de Nyquist passa pelo ponto crítico -1
Pasc
oal
pduplo
º*)j(C*)j(Garg*)j(C*)j(G:* 180 1 =ωω∧=ωωω∃
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
01 =ωω+ *)j(C*)j(G
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 3/Cap.12-ParteANovembro.2007
*jω é um pólo em malha fechadasistema marginalmente estável
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Projecto de controladoresEXEMPLO
1+
ControladorSistema a controlar
0>K 21s
+_
C(s) G(s)C(s) G(s)Root-Locus
Estratégia de ControloEstratégia de Controlo
zzsK)s(C +
=
xpólo
x
zefeito estabilizador(PD)
Pasc
oal
pduplo
2 ól d
xxo
Rib
eiro
, Ant
ónio
P2 pólos da f.t.c.f. no eixo imaginário
Introdução de amortecimento artificial
devido ao termo derivativo
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 4/Cap.12-ParteANovembro.2007
sistema marginalmente estável
imaginário devido ao termo derivativo
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Projecto de controladoresEXEMPLO
s 1+
ControladorSistema a controlar
zzsK +
21s
+_
C(s) G(s)exemplo C(s) G(s)K=1, z=0.1rad/s
º90Φ ºM 90=Φsistema em c.f. estável
Pasc
oal-1
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
∞=MGP d t h
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 5/Cap.12-ParteANovembro.2007
Pode aumentar-se o ganho indefinidamente sem que se perca estabilidade
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Projecto de controladoresAnálise do compensador PD
zzsK)s(C +
=arg C(s)
45º
90º
benefício de
)s/rad(ω
avanço de fase
z )(
compensador por avanço de fase
Pasc
oal
sistema original
Diagrama de Nyquist
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
-1
i t nova
O compensador de avanço de fase afasta o diagrama do ponto -1
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 6/Cap.12-ParteANovembro.2007
sistema compensado
nova margem de fase
p
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Projecto de controladoresCompensador PD Compensador de avanço de fase
zzsK)s(C +
=
sistema realizável (com um pólo e um zero)
pszs
zpK)s(C
++
=
zero)
Sistema a
Pasc
oal
zspK +2
1+
Controlador controlar
Rib
eiro
, Ant
ónio
Ppsz + 2s_
C(s) G(s)avanço de fase
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 7/Cap.12-ParteANovembro.2007
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Projecto de controladoresCompensador por Avanço de Fase
)j(Clim ω
Ts + 1
1
∞→ω
Ts
TK)s(C
β+β
=1
1 dB
K⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β
Tβ
1 <β 1 1
Ganho estático = K
1/T
T Tβ
Pasc
oal
zero = - 1/T
pólo = - 1/βΤ
o90
maxφ
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
x 1 1maxω
©M
. Isa
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 8/Cap.12-ParteANovembro.2007
xT Tβ
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Projecto de controladoresCompensador por Avanço de Fase
?max =φ?=ω
Máximo (benefício) do AVANÇO DE FASE
11 +ω+ TjTs? =ωmax1
1 1
1 +ωβ+ω
=+β+
=ωω= Tj
TjKTsTsK)j(C
js
)T(arctg)T(arctg)()j(Carg c ωβ−ω=ωφ=ω
TT)(d c βωφ
( ) ( )22 11 TTd)(c
ωβ+
β−
ω+=
ωφ
Pasc
oal
Cálculo de
⇔ωφ
0)(d c ⇔=
β 0TT maxω
=ω2 1
Rib
eiro
, Ant
ónio
P⇔=ω
0dc
( ) ( )⇔=
ωβ+−
ω+ 0
11 22 TT β=ω 2T
1
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 9/Cap.12-ParteANovembro.2007
β=ω
TmaxEm escala logarítmica, equidistante das
frequências de corte do zero e do pólo
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Projecto de controladoresCompensador por Avanço de Fase
?max =φβ
=ωT
1 max
)T(t)T(t)( βφφ
βT
)T(arctg)T(arctg)( maxmaxmaxcmax βω−ω=ωφ=φ
⎟⎞
⎜⎛ 1 )(arctgarctg β−
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ β
=1
Pasc
oal
⎟⎞
⎜⎛ β−
φ1t ⎟
⎞⎜⎛ β−
φ1i
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ β
β=φ
2arctgmax ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β+β
=φ1
arcsinmax
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 10/Cap.12-ParteANovembro.2007
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Projecto de controladoresCompensador por Avanço de Fase
)( maxc ωφ Máximo AVANÇO DE FASE
90º
β1
1β
Pasc
oal
1<β
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
Tz 1
−=Tp
β−=
1x 0→β zp >>
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 11/Cap.12-ParteANovembro.2007
Tβ
º)( maxc 90→ωφ
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Projecto de controladoresCompensador por Avanço de Fase
K⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β dB⎠⎝ β
?)j(C Kmax =ω=1 Porque é importante
conhecer ?
T1
Tβ1
o90
φ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β+β−
=φ11arcsinmax
Pasc
oal
maxφ
maxω • O compensador de avanço de fase usa se
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
T1
Tβ1
max
1
• O compensador de avanço de fase usa-se para aumentar a margem de fase, ou seja somar fase na frequência em que o ganho da f.t.c.a. é unitário.
• Ao somar fase em wmax, também se aumenta
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 12/Cap.12-ParteANovembro.2007
β=ω
Tmax o ganho. De quanto?
• É o preço a pagar pelo avanço de fase
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Projecto de controladoresCompensador por Avanço de Fase
K⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β 1+ωTjK)j(CdB⎠⎝ β
11 +ωβ+ω
=ωTj
TjK)j(C?)j(C Kmax =ω=1
T1
Tβ1
1j
maxω=ω
o90
φ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β+β−
=φ11arcsinmax
1
11
+β
+β
=ωj
jK)j(C max
Pasc
oal
maxφ
maxω
βj
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
T1
Tβ1
max
1 1 K)j(C max
β=ω
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 13/Cap.12-ParteANovembro.2007
β=ω
Tmax
β
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Projecto de controladoresEXEMPLO 1
Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador)
motor com cargaamplificadorcontrolador
)s(K100
100+s 36
1+s s
1+posição angular
100+s 36+s s_
Obj ti ti i
velocidade
Pasc
oal
1. K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador0250)(
Objectivos a atingir
Rib
eiro
, Ant
ónio
P2. Erro de seguimento a rampa unitária3. Margem de fase4. Margem de ganho
0250.)(eramp ≤∞o
M 48≈ΦdBGM 6≥
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 14/Cap.12-ParteANovembro.2007
g g M
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Projecto de controladoresEXEMPLO 1
)s(K 100+
G(s)a projectar
)s(K )s)(s(s 10036 ++_
)s(K~K)s(K =
ganho estático unitário
10 =)(K~
ganho estático unitário
2. Erro de seguimento a rampa unitária 0250.)(eramp ≤∞
Pasc
oal
401
1
0s
≤=∞→
)s(K)s(sGlim)(eramp
1440≥K
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
40 0s
≥→
)s(K)s(sGlim
100 KK
escolha-se
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 15/Cap.12-ParteANovembro.2007
403610036
1000s
≥=++→
K)s)(s(
Klim 1440=K
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Projecto de controladoresEXEMPLO 1
~ x 1440 100+
a projectar )s(GK
)s(K )s)(s(s 10036 ++_
)s(GKdiagrama de Bode de
ºM 34≅Φs/rad.dB 5290 =ω
dBGM 610≅
Pasc
oal
dB.GM 610≅s/rad.959=ωπ
Rib
eiro
, Ant
ónio
POs valores seriam diferentes se tivesse sido usado o diagrama de Bode assimptótico
Só com este ganho, o sistema em
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 16/Cap.12-ParteANovembro.2007
cadeia fechada é estável, embora não satisfaça a margem de fase pretendida
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Projecto de controladoresEXEMPLO 1
~ x 1440 100+
a projectar )s(GK
)s(K )s)(s(s 10036 ++_
Confirmação da estabilidade em cadeia fechada usando critério de Nyquist
1=)s(K~com
Contorno de Nyquist
xxx
Pasc
oal
xxx-100 -36
-134º
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
P=0 N=0
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 17/Cap.12-ParteANovembro.2007
módulo=1
Z=P+N=0
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Projecto de controladoresEXEMPLO 1
~ x 1440 100+
a projectar )s(GK
)s(K )s)(s(s 10036 ++_
3. Margem de fase oM 48≈Φ
Aumento nominal de ºM 34≅ΦPara 1=)s(K~ 48º - 34º = 14º
No entanto é necessário “dar” FASE ADICIONAL
0 db
sistema original
Compensador de avanço
nova frequência de cruzamento
Pasc
oal
0 db cruzamento
figura não à escala. Apenas ilustrativa
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
-180º
Como a frequência de cruzamento aumenta é preciso
+ aumento de fase34º
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 18/Cap.12-ParteANovembro.2007
sistema original
Não basta um aumento de 14º
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Projecto de controladoresEXEMPLO 1
~ x 1440 100+
a projectar )s(GK
)s(K )s)(s(s 10036 ++_
3. Margem de fase oM 48≈Φ
Aumento nominal de ºM 34≅ΦPara 1=)s(K~ 48º - 34º = 14º
Aumento total de fase = Nominal + “Factor de Segurança” = 14º + 10º = 24ºAumento total de fase = Nominal + Factor de Segurança = 14 + 10 = 24
Determinação das características do compensador de avanço de fase
Pasc
oalºmax 24=φ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β+β−
=φ11arcsinmax
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
avanço 420.=β
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 19/Cap.12-ParteANovembro.2007maxω
O parâmetro β define o afastamento entre o zero e o pólo do compensador
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Projecto de controladoresEXEMPLO 1
5411 541.=β
dB.dB
7731=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
β
preço a pagar pelo avanço de fasedB⎠⎝ ç
Ganho estático do compensador unitárioTodo o ganho necessário já foi considerado
ºmax 24=φ
?
foi considerado
Pasc
oal
?max =ω
onde se coloca ?maxω • Conhecendo β
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
1 1maxω =ω
1max
β
• Escolhendo wmax
• Calcula-se T
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 20/Cap.12-ParteANovembro.2007
T Tβmaxω
wmax é a frequência a que o avanço de fase é maiorβ
ωT
max
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Projecto de controladores
onde se coloca ?maxωEXEMPLO 1
maxω
+3.77dB
maxω
-3.77dB
f.t.c.a sistema compensado
3.77dBf.t.c.a sistema original
maxω Frequência à qual o ganho de malha
Pasc
oal
dB.)s(GKjs
773−=ω=
/d39
Rib
eiro
, Ant
ónio
Ps/radmax 39=ω
391 s/radT
max =β
=ω s/rad.T max 325 1
=ωβ=
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 21/Cap.12-ParteANovembro.2007
420.T
=β
βs/rad.
T 2601
=β
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Projecto de controladoresEXEMPLO 1
)(K x 1440 100+
a projectar )s(G
)s(K )s)(s(s 10036 ++_
Ts
K)s(K~K)s(K+
==
11 f.t. do compensador com
ganho estático unitáro
Ts
K)s(KK)s(K
β+β 1
325s +f.t.c.a. do sistema compensado
ganho estático unitáro
2603253821440
.s
.s.)s(K++
××= f.t.c.a. do sistema original*1440
Pasc
oal
2.603.252.3427)(
++
×=sssK
Rib
eiro
, Ant
ónio
P©
M. I
sabe
l R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 22/Cap.12-ParteANovembro.2007
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Projecto de controladoresEXEMPLO 1
)s(K )s)(s(sx
100361440 100++
+_
f.t.c.a. do sistema original f.t. do compensador
f.t.c.a. do sistema compensado
g p
dBdB.GM 6511 >=
Pasc
oal
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
ºoM 4846 <≈Φ
Se não for satisfatório, f
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 23/Cap.12-ParteANovembro.2007
refaça os cálculos
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Projecto de controladoresEXEMPLO 1
)s(K )s)(s(sx
100361440 100++
+_
ºM 34≈ΦM
Pasc
oal
oM 46≈Φ
nova margem de fase
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
Repita o projecto com base no diagrama de Bode assimptótico
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 24/Cap.12-ParteANovembro.2007
p
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Projecto de controladores
Compensador de avanço - Sumário
I d f i i i i h d f ê i d• Introduz fase positiva na vizinhança da frequência de cruzamento a 0dB do sistema original, aumentando a margem de fase e melhorando assim a estabilidade relativa
• Preço a pagar é um aumento do ganho de alta frequência
• O compensador de avanço é equivalente ao controlador PD no p ç qintervalo de frequências em que o efeito do pólo é pouco significativo
O d d é t ã i li t d
Pasc
oal
• O compensador de avanço é uma representação mais realista do controlador PD em que o pólo tem a função de limitar o ganho de altas frequências do controlador
Rib
eiro
, Ant
ónio
P©
M. I
sabe
l R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 25/Cap.12-ParteANovembro.2007
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Projecto de controladoresCompensador de Atraso de Fase
)s(K~K)s(K = 1 0 =)(K~
Ts
)(K~+
11 0 dB
Diagrama de Bode de )s(K~
Ts
T)s(K
α+α
=1
0 dB
α− 1020 logO compensador que vai ser apresentado
1 >α
Ganho estático = 1
α1020 logptem ganho estático unitário
Pasc
oalzero = - 1/T Tα
1T1
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
pólo = - 1/αΤ
x
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 26/Cap.12-ParteANovembro.2007
x
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Projecto de controladoresCompensador de atraso – Princípio de utilização
• Tirar partido da atenuação do ganho de modo a deslocar a frequência de cruzamento a 0dB para adeslocar a frequência de cruzamento a 0dB para a frequência que conduz à margem de fase desejada.
Preço a pagar é ma dimin ição da fase na ona de• Preço a pagar é uma diminuição da fase na zona de influência do compensador– Até uma década após o zeroAté uma década após o zero
• Procura-se que a característica de fase original não seja significativamente alterada na vizinhança da nova
Pasc
oal
significativamente alterada na vizinhança da nova frequência de cruzamento a 0dB.– Zero do compensador colocado, pelo menos, uma década antes
Rib
eiro
, Ant
ónio
PZero do compensador colocado, pelo menos, uma década antes da frequência de cruzamento a 0dB desejada.
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 27/Cap.12-ParteANovembro.2007
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Projecto de controladoresCompensador de Atraso de Fase
Ts
)s(K~+
=
11
Ts
)s(K
α+α
=1
0 dB
Diagrama de Bode de )s(K~
0 dB
α− 1020 log α1020 log
Pasc
oalTα
1T1
Rib
eiro
, Ant
ónio
P©
M. I
sabe
l R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 28/Cap.12-ParteANovembro.2007
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Projecto de controladoresEXEMPLO 2
Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador)
motor com cargaamplificadorcontrolador
)s(K100
100+s 36
1+s s
1+posição angular
100+s 36+s s_
Obj ti ti i
velocidade
Pasc
oal
1. K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador21621/)(
Objectivos a atingir
Rib
eiro
, Ant
ónio
P2. Erro de seguimento a rampa unitária3. Margem de fase4. Margem de ganho
21621 ./)(eramp ≤∞º.M 259≥ΦdBGM 12≥
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 29/Cap.12-ParteANovembro.2007
g g M
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Projecto de controladoresEXEMPLO 2
)s(K 100+
G(s)a projectar
)s(K )s)(s(s 10036 ++_
)s(K~K)s(K =
ganho estático unitário
10 =)(K~
ganho estático unitário
2. Erro de seguimento a rampa unitária 21621 ./)(eramp ≤∞
Pasc
oal
21621
1
0s.)s(K)s(sGlim
)(eramp ≤=∞→
5839≥K
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
2162 0s
.)s(K)s(sGlim ≥→
100 KK
escolha-se
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 30/Cap.12-ParteANovembro.2007
21623610036
1000s
.K)s)(s(
Klim ≥=++→ 5839=K
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Projecto de controladoresEXEMPLO 2
~ x 8395 100+
a projectar )s(GK
)s(K )s)(s(s 10036 ++_
)s(GKdiagrama de Bode de
Qual terá que ser a frequência de cruzamento a 0dB paracruzamento a 0dB para ter a margem de fase pretendida?
714 s/rad.=ω
Pasc
oaldB)j(GK,ºM 20 59 =ω=Φ
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
Chegará diminuir o ganho de 20dB nesta frequência com um
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 31/Cap.12-ParteANovembro.2007
frequência com um compensador de atraso?
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Projecto de controladoresEXEMPLO 2
~ x 8395 100+
a projectar )s(GK
)s(K )s)(s(s 10036 ++_
)s(GKdiagrama de Bode de
º.ºº.desejadaM 26910259 =+=Φ
factor defactor de segurança
Porque é necessário o factor de segurança?
Pasc
oal
s/rad.º.M 789 para 269 =ω≅Φ
24dB 9 78 d/
=ω)j(GK
Rib
eiro
, Ant
ónio
P9.78rad/s=ω
O compensador de t d id i
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 32/Cap.12-ParteANovembro.2007
atraso deve providenciar um ganho de -24dB à frequência de 9.8rad/s
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Projecto de controladoresEXEMPLO 2 Dimensionamento do
compensador de atraso
11= 1
8415 2420 10 .dBlog =α⇒−=α−
0 dB
-24dB
T.T 8415α T
-24dB
define o afastemento entre o pólo e o zero
Pasc
oal
-90ºFase negativa = preço a pagar pela diminuiçãode ganho
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
Onde “colocar” o compensador?
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 33/Cap.12-ParteANovembro.2007
Onde colocar o compensador?
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Projecto de controladoresEXEMPLO 2
Várias hipótess ppossíveis de “colocação” do compensador
0º
Pasc
oal
Rib
eiro
, Ant
ónio
P©
M. I
sabe
l R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 34/Cap.12-ParteANovembro.2007
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Projecto de controladoresEXEMPLO 2 Estratégia de “colocação” do
compensador de atraso
Zero do compensador 1 década abaixo da frequência de cruzamento desejada
1 s/rad.T
9801=s/rad.
T 06201
=α
Na frequência de cruzamento d j d f
0 dB T.T 841511
=α T
1 desejada, a fase negativa introduzida pelo compensador já é
-24dBp j
pequena, embora não nula
Pasc
oal
Isto justifica a introdução de fase adicional no cálculo da
Rib
eiro
, Ant
ónio
P
90ºFase negativa =
l
cálculo da margem de fase desejada
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 35/Cap.12-ParteANovembro.2007
-90º preço a pagar pela diminuiçãode ganho
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Projecto de controladoresEXEMPLO 2
)(K 100+
a projectar )s(G
)s(K )s)(s(s 10036 ++_
11 s
T+
f.t.c.a. do sistema original*5839
Bode Diagram
50
100
System: sysf.t.c.a. do sistema
original*58391( ) ( ) 1TK s K K s K
sT
αα
= =+
%
f.t. do compensador0
50 System: sysFrequency (rad/sec): 10Magnitude (dB): -0.175
agni
tude
(dB
)
f.t. do compensador
g
f.t.c.a. do sistema compensado
1 0.98( ) 583915 84 0 062
sK s += ×
f.t.c.a. do sistema compensado
-100
-50M
a
0
Pasc
oal
15.84 0.062s +
0.98( ) 368 6 sK s += ×
-90
0
deg)
System: sysFrequency (rad/sec): 10Phase (deg): -116
Rib
eiro
, Ant
ónio
P( ) 368.60.062
K ss
= ×+
dBGº MM 2264 ==Φ
-180Pha
se (
©M
. Isa
bel R
Instituto Superior Técnico- Controlo – 2007/2008 36/Cap.12-ParteANovembro.2007
dBG, MM 22 64Φ
especificações verificadasFrequency (rad/sec)
10-2
10-1
100
101
102
10
-270