![Page 1: TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPAT](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061416/5681368e550346895d9e1954/html5/thumbnails/1.jpg)
TRANSFORMASI KOORDINAT TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL & PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPATPADA INTEGRAL LIPAT
TIM DOSEN KALKULUS 2
Desember 2011
![Page 2: TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPAT](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061416/5681368e550346895d9e1954/html5/thumbnails/2.jpg)
Transformasi KoordinatTransformasi KoordinatDalam menyelesaikan integral
lipat atas suatu daerah R, dapat diselesaikan dengan menggunakan koordinat lain selain dengan menggunakan koordinat persegi panjang xy.
Transformasi dari satu koordinat persegi panjang ke sistem koordinat lainnya.
2
![Page 3: TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPAT](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061416/5681368e550346895d9e1954/html5/thumbnails/3.jpg)
Transformasi KoordinatTransformasi KoordinatTinjau suatu fungsi T, yang
mempunyai domain D (daerah pada bidang xy) dan mempunyai range E (daerah pada bidang uv), sehingga T(x,y)=(u,v).
T transformasi koordinat dari bidang xy ke bidang uv.
u dan v adalah fungsi dari x dan y
EvuDyxyxgvyxfu ),(,),();,(),,(
![Page 4: TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPAT](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061416/5681368e550346895d9e1954/html5/thumbnails/4.jpg)
Transformasi KoordinatTransformasi Koordinat
y v
(x,y) T (u,v)
x u
![Page 5: TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPAT](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061416/5681368e550346895d9e1954/html5/thumbnails/5.jpg)
ContohContohT suatu transformasi koordinat yang
didefinisikansbb: u=x+2y , v=x-2y. (T(x,y)
a. Tentukan nilai untuk (0,1),(1,2) dan (2,-3)
b. Gambarkan pada bidang uv garis vertikal untuk u=2,u=4,u=6,u=8 dan garis horisontal untuk v=-1,v=1,v=3,v=5.
c. Gambarkan hubungan kurva u dan kurva v dalam bidang xy.
![Page 6: TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPAT](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061416/5681368e550346895d9e1954/html5/thumbnails/6.jpg)
Transformasi KoordinatTransformasi KoordinatJika T suatu transformasi koordinat
satu-satu, maka bisa dicari invers atau transformasi balikannya dari T, yakni T-1 dari bidang uv ke bidang xy
x = F(u,v) y = G(u,v)Jika T suatu transformasi satu-satu
maka inversnya T-1 . Dalam hal ini ,T-1(T(x,y)) = (x,y) dan T(T-1(u,v)) = (u,v)
untuk setiap (x,y) di D dan setiap (u,v) di E.
![Page 7: TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPAT](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061416/5681368e550346895d9e1954/html5/thumbnails/7.jpg)
ContohContohTentukan invers dari
transformasi T yang didefinisikan pada contoh sebelumnya.
Gambarkan kurva pada bidang uv yang memetakan ellips atas T-1
14 22 yx
![Page 8: TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPAT](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061416/5681368e550346895d9e1954/html5/thumbnails/8.jpg)
Perubahan Variabel pada Perubahan Variabel pada Integral LipatIntegral Lipat
Tinjau untuk suatu daerah R dalam bidang xy, substitusi x=f(u,v) dan y=g(u,v).
Persamaan ini menyatakan transformasi koordinat W dari bidang uv ke bidang xy.
Dalam hal ini menentukan daerah S di bidang uv yang ditransformasi dari R oleh W(menentukan batas integral baru)
R
dAyxF ),(
SR
dAvugvufFdAyxF )),(),,((),(
![Page 9: TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPAT](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061416/5681368e550346895d9e1954/html5/thumbnails/9.jpg)
Matriks JacobianMatriks JacobianJika x=f(u,v) dan y=g(u,v), maka
Jacobian dari x dan y adalah
v
x
u
y
v
y
u
x
v
y
u
yv
x
u
x
vu
yx
),(
),(
![Page 10: TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPAT](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061416/5681368e550346895d9e1954/html5/thumbnails/10.jpg)
ContohContohTentukan jacobian dari
Jika , tentukan jacobian
),(
),(
vu
yx
vu euyvex 22 ,
xyvyxu 2,22
),(
),(
vu
yx
![Page 11: TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPAT](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061416/5681368e550346895d9e1954/html5/thumbnails/11.jpg)
TheoremaTheoremaJika x=f(u,v) dan y=g(u,v) adalah
transformasi koordinat, maka
Dimana G(u,v) = F{f(u,v),g(u,v)}
SR
dvduvu
yxvuGdydxyxF
),(
),(),(),(
![Page 12: TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPAT](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061416/5681368e550346895d9e1954/html5/thumbnails/12.jpg)
ContohContohHitung untuk daerah R pada bidang xy
yang dibatasi oleh trapezoid dengan titik sudut (0,1), (0,2), (2,0) dan (1,0).
Hitung untuk daerah R di kuadran pertama
pada bidang xy antara lingkaran yang berjari-jari 1 dan berjari-jari 2.
dxdyeR
xyxy )/()(
dxdyeR
yx )( 22
![Page 13: TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPAT](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061416/5681368e550346895d9e1954/html5/thumbnails/13.jpg)
Transformasi diatas dapat diperluas untuk menyelesaikan integral lipat tiga. Diberikan transformasi x=f(u,v,w) , y=g(u,v,w) , z=h(u,v,w) dari sistem koordinat uvw ke sistem koordinat xyz.
Jacobian = w
z
v
z
u
zw
y
v
y
u
yw
x
v
x
u
x
wvu
zyx
),,(
),,(
![Page 14: TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPAT](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061416/5681368e550346895d9e1954/html5/thumbnails/14.jpg)
TheoremaTheoremaJika x=f(u,v,w) , y=g(u,v,w) ,
z=h(u,v,w) transformasi koordinat, maka
Dimana G(u,v,w)=F{f(u,v,w),g(u,v,w),h(u,v,w)}
SR
dwdvduwvu
zyxwvuGdzdydxzyxF
),,(
),,(),,(),,(
![Page 15: TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPAT](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061416/5681368e550346895d9e1954/html5/thumbnails/15.jpg)
ContohContohTentukan jacobian dari x = 2u + 3v – w, y = u – 5w ,z =
u + 4w
Dengan menggunakan koordinat silinder, tentukan volume benda di atas bidang xy, yang dibatasi oleh paraboloid dan silinder
),,(
),,(
wvu
zyx
![Page 16: TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPAT](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061416/5681368e550346895d9e1954/html5/thumbnails/16.jpg)
ContohContohDengan menggunakan koordinat
bola tentukan volume benda yang bagian atasnya dibatasi oleh bola
dan bagian bawah dibatasi oleh kerucut
16222 zyx
22 yxz