Trabajo y Energía
Trabajo
Definición: El trabajo mecánico realizado por una fuerza mientras un objeto se desplaza s es:
W =F s cos
W =F⋅s 1 Joule=J=1 N 1m =1 N m
W =F⋅s=Fs cos φFys
1J=1N 1m =1 NmProducto escalar:A⋅B=AB cos θ
AyB
Supongamos: fuerza constante y movimiento rectilíneo:
Qué trabajo se realiza cuando:
-Un hombre sostiene un objeto?
-Un hombre camina por un piso horizontal llevando un libro?
-Una bola atada a una cuerda está en movimiento circular horizontal?
W total=F R⋅s=∑i
W i=∑i
F i⋅s
Ejemplo:
Un trineo cargado con leña está enganchado a un tractor que lo arrastra con una fuerza constante sobre una superficie horizontal. El trineo es arrastrado Δx m. El tractor ejerce una fuerza constante Ftractor que forma un ángulo θ sobre la horizontal. Cuál es el trabajo total realizado por las fuerzas? Cuando:
-no se mueve.
-se mueve con velocidad constante.
- se mueve con una aceleración constante.
Cómo calcular la rapidez de un objeto sobre el cual actúa una fuerza variable f = f(r) ?
Energía Cinética: Ec = K = ½ m v2
El Trabajo realizado sobre una partícula por todas las fuerzas que actúan sobre ella es igual al cambio en energía cinética de la partícula
Trabajo y Energía Cinética
K=12
mv 2
Wtotal=K
2−K
1=ΔK
⇒ Teorema de Trabajo-Energía cinética
W total0: K 2K 1 Energía cinética aumenta: rapidez aumenta
W total0: K 2K 1 Energía cinética disminuye: rapidez disminuye
W total=0: K 2=K 1 Energía cinética no cambia: rapidez no cambia
Ejemplo:
Un trineo cargado con leña está enganchado a un tractor que lo arrastra 20 m con una fuerza constante sobre una superficie horizontal. El peso total del trineo y la leña es de 14700 N. El tractor ejerce una fuerza constante de 5000 N que forma un ángulo de 36,9° sobre la horizontal. Una fuerza de fricción de 3500 N se opone al movimiento. La rapidez inicial v1 es 2 m/s. Cuál es la rapidez final?
Potencia: rapidez con la que se efectúa trabajo
P=Pm=ΔWΔt
P= límΔt 0
ΔWΔt
=dWdt
1W=1J /1sP=F⋅v
Ejemplo:
Qué potencia está asociada a la fuerza Ftractor cuando el trineo se mueve a 2 m/s? Qué potencia está asociada a la fuerza de fricción con esta rapidez?
Potencia
W grav=F⋅s=FsW grav=w y1− y2 =mgy1−mgy2
U=mgy Energía potencial gravitacional
W grav=U 1−U 2=−U 2−U 1 =−ΔUCuerpo sube:mov . g W grav0 ΔU0
Cuerpo baja:mov . g W grav0 ΔU0
Energía Potencial Gravitacional
Conservación de la Energía (sólo fuerzas gravitacionales)
F otras=0W total=K 2−K 1
W total=W grav=−ΔU=−U 2−U 1 K 1U 1=K 2U 2 (si sólo fuerza gravitacional efectúa
trabajo)E=KUE1=E 2
y1 y y2 son puntos arbitrarios en movimiento cuerpo → E tiene igual valor en todos los puntos del movimiento:
E = constante (si sólo fuerza gravitacional efectúa trabajo)
→ E se conserva : conservación de la energía mecánica
E: energía mecánica total
F otras=0
E se conserva
Fuerza gravitacional efectúa trabajo pero ya no es necesario calcularlo directamente: basta saber como es ΔU.
Efecto de otras fuerzas
F otras≠0W total=W otrasW grav=K 2−K 1
W otras−U 2−U 1 =K 2−K 1
W otrasK 1U 1=K 2U 2
W otrasE 1=E2
Si W otras0E 2E1 :E E . M .T . aumenta
Energía potencial elástica
W= 12
kx22− 1
2kx1
2
X=0 posición donde resorte no está ni estirado ni comprimido
W el=−U 2−U 1 =−ΔU
Si x10, x20, x2x 1:U aumenta:W el0Si x10, x 20, x2x 1:U disminuye:W el0
Si x10, x 20, x2x 1:U aumenta:W el0
Si x10, x 20, x2x 1:U disminuye :W el0
Trabajo efectuado sobre resorte:
W el=−12 kx22−1
2kx 1
2U=1
2kx2
Trabajo efectuado por resorte:
Si fuerza elástica es la única que realiza trabajo:W total=W el=K 2−K 1=−U 2−U 1K 1U 1=K 2U 2
12
mv121
2kx1
2=12
mv221
2kx 2
2
E se conserva
Ej. Bloque atado a resorte siempre que superficie no tenga fricción y ninguna otra fuerza realiza trabajo
Además masa del resorte << masa del cuerpo conectado
Si W otras≠0 :W elW otras=K 2−K 1
−U 2−U 1 W otras=K 2−K 1
K 1U 1W otras=K 2U 2 U i=12
kx i2
W otras=ΔE sistema
sistema : cuerpo de masa m y resorte de constante ksi W otras0 E aumenta
si W otras0 E disminuye
Situaciones con energía potencial tanto gravitacional como elástica
K 1U grav ,1U el ,1W otras=K 2U grav ,2U el ,2
Fuerza conservativa
Fuerza que permite conversión bidireccional entre energías cinética y potencial
El trabajo realizado por una fuerza conservativa:
• siempre puede expresarse como la diferencia entre los valores inicial y final de una función de energía potencial
• es reversible (si U se convierte en K, K se convierte en U; en una direccion W<0, en la otra W>0)
• es independiente de la trayectoria del cuerpo y depende sólo de los puntos inicial y final
• si punto inicial = punto final, Wtotal = 0
El trabajo hecho por una fuerza no conservativa (no reversibilidad) no puede representarse con una función de energía potencial
Algunas fuerzas no conservativas son fuerzas disipadoras. Ej: rozamiento
ΔU int=−W otras
La Ley de Conservación de la Energía
Caso bloque que se desliza por superficie rugosa:
Wfricción< 0 y ΔU > 0 (ambos se calientan)
K 1U 1W otras=K 2U 2
K 1U 1−ΔUinterna
=K 2U 2
0=ΔKΔUΔUinterna
→ Primera Ley de la Termodinámica
Fuerzas no conservativas
Enfoque es útil cuando movimiento implica fuerzas variables y/o trayectoria curva y es menos directo si el problema implica cálculo de tiempo transcurrido.
• Decidir cuáles son los estados inicial y final y hacer diagramas que muestren esos estados
• Definir un sistema de coordenadas y el nivel en que y=0
• Identificar las fuerzas no gravitacionales y no elásticas que efectúen trabajo y hacer diagramas de cuerpo libre
• Identificar las variables conocidas y desconocidas
• Tener en cuenta que:
y escribir expresiones para U1, K1, U2, K2 y Wotras
•Despejar la cantidad desconocida
• Verificar que la respuesta es físicamente lógica. El trabajo realizado por cada fuerza debe estar representado en –ΔU o en Wotras, pero nunca en ambas expresiones.
K 1U 1W otras=K 2U 2
Método Solución Ejercicios Enfoque Energía
Ejemplo:
Se lanza una pelota de béisbol con masa 0,145 kg hacia arriba, dándole una rapidez inicial de 20 m/s. Despreciando la resistencia del aire y haciendo uso de la conservación de la energía determinar qué altura alcanza.
m=0,145 kg v0=20 m/s h=?
U 1K 1=U 2K 2
12
m v12=m ghh=1
2gv1
2
h=20 m / s 2
2 9,8 m / s2=20 , 41 m
wF otras=0
Ejemplo:
Empleando consideraciones de energía deducir una expresión para la altura máxima de una pelota lanzada con rapidez inicial v0 a un ángulo θ0.
wF otras=0
v0√ θ0 √ hmáx=?
U 1K 1=U 2K 2
12
m v02=1
2m v f
2m ghmáx
hmáx=12g
v02−v f
2 =12g
v x2v y
2−v x2 =1
2gv y
2
¿12g
v0 Sen θ 2hmáx=v0
2 Sen2 θ
2g
Ejemplo:
Un niño baja en patineta una rampa curva. Tratando al niño y la patineta como una partícula, ésta describe un cuarto de círculo de radio R. La masa total del niño y la patineta es de 25 kg. El niño parte del reposo y no hay fricción (a) calcular la rapidez en la base de la rampa (b) calcular la fuerza normal que actúa sobre el niño en la base
a
m=25kg v0=0 ff=0 vbase=? Nbase=?
U 1K 1=U 2K 2
m gR=12
m v f2 v f=2 gR
N base−w=mv2
R
N base=mv2
Rw=m
2g RR
w=3w
Ejemplo:
Se quiere subir una caja de 12 kg a un camión deslizándola por una rampa de 2,5 m inclinada 30°. Un hombre le da una rapidez inicial de 5 m/s en la base. La fricción no es despreciable, la caja sube 1,6 m sobre la rampa, se para y regresa. (a) Cuál es la magnitud de la fuerza de fricción? (b) Qué rapidez tiene la caja al volver a la base de la rampa?
N ff
w
m=12 kg θ=30° v0=5 m/s
Δs=1,6m ff=? vbase=?
y=1,6sen30°m
K 1U 1W otras=K 2U 2
12
mv02− f f Δs=mgy
f f=1Δs 12 mv0
2−mgy f f=
12 kg1,6 m 12 5m / s 2−9,8 m / s21,6 m sen 30°
f f=34 ,95 N W f f=−34 , 95 N 1,6 m =−55 , 92 J
U 2W otras=K 3U 3
mgy−W ff=1
2mv 3
2
v3=2m mgy−W f
f =
212 kg
12 kg 9,8m / s2 1,6 sen 30° m −55 ,92 J =2, 52 m/ s
Ejemplo:
Un bloque de masa m=0,2 kg descansa en una superficie horizontal sin fricción conectado a un resorte con k=5N/m. Se aplica al bloque una fuerza constante F en la dirección x+ hasta cuando el bloque llega al punto x1=0,1 m. La magnitud de F es 0,610 N. Cuánto más avanza el bloque antes de parar?
F
U 0K 0W otras=U 1K 1
FΔs=12
kx121
2mv1
2 v1=2m Fx1−
12
kx12
v1=20,2kg 0,61 N 0,1m −1
25N/m 0,1m 2=0,6 m/ s
U 1K 1=U 2
12
kx12
12
mv12=
12
kx22 kx1
2mv12
k=x 2
x2=5N/m 0,1m 20,2 kg 0,6 m / s 2
5N/m=0,16 m
F
am=0,2 kg k=5N/m F0→ x1=0,1 m=0,610 N Δs=0,1m x2=?