VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
TỔNG HỢP CÔNG THỨC TOÁN HỌC LỚP 11
HỌC KÌ 1
ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Hàm số y = sinx
- TXĐ: D =R và 1 sinx 1, x− R
- Là hàm số lẻ
- Là hàm số tuần hoàn chu kì là 2
- Hàm số đồng biến trên k2 ; k22 2
− + +
- Hàm số nghịch biến trên 3
k2 ; k22 2
+ +
2. Hàm số cos=y x
- TXĐ: D =R và 1 cosx 1, x− R
- Hàm số chẵn
- Là hàm số tuần hoàn chu kì là 2
- Hàm số đồng biến trên ( )k2 ;k2−+
- Hàm số nghịch biến trên ( )k2 ; k2 +
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
3. Hàm số tan=y x
- TXĐ: D \ k ,k2
= +
R Z
- Hàm số lẻ
- Là hàm số tuần hoàn chu kì là
- Hàm số đồng biến trên k ; k2 2
− + +
- Có các đường tiệm cận x k2
= +
4. Hàm số cot=y x
- TXĐ: D \ k ,k= R Z
- Hàm số lẻ
- Là hàm số tuần hoàn chu kì là
- Hàm số nghịch biến trong ( )k ; k +
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
- Có các đường tiệm cận x k=
II. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
+) Công thức lượng giác cơ bản:
tan = sin
cos
;
coscot
sin
=
2 2sin cos 1 + =
2
2
11 tan , k ,k
cos 2
+ = +
2
2
11 cot , k , k
sin+ =
ktan .cot 1, ,k .
2
=
+) Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt.
- Cung đối nhau: và -
cos(- ) = cos
sin(- ) = -sin
tan(- ) = -tan
cot(- ) = -cot .
- Cung bù nhau: và −
sin(− ) = sin
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
cos(− ) = -cos
tan(− ) = -tan
cot(− ) = -cot .
- Cung hơn kém : và ( ) +
sin( ) + = -sin
cos( ) + = -cos
tan( ) + = tan
cot( ) + = cot
- Cung phụ nhau: và 2
−
sin2
−
= cos
cos2
−
= sin
tan2
−
= cot
cot2
−
= tan .
⎯⎯→ cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém tan và cot.
+) Hai cung hơn kém 2
: và
2
+
sin2
+
= cos
cos 2
+
= -sin
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
tan2
+
= -cot
cot2
+
= -tan
3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
+) Công thức cộng
cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb
cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb
sin(a - b) = sina cosb - cosa sinb
sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb
tan(a - b) = tan a tan b
1 tan a tan b
−
+
tan(a + b) = tan a tan b
1 tan a tan b
+
−
+) Công thức nhân đôi
sin2a = 2sina cosa
cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a
tan2a = 2
2tana
1 tan a−
+) Công thức nhân ba
sin3a = 3sina - 4sin3a
cos3a = 4cos3a - 3cosa
tan3a = 3
2
tan a 3tana
3tan a 1
−
−
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
cot3a = 3
2
cot a 3cot a
3cot a 1
−
−
+) Công thức hạ bậc
2 1 cos2acos a
2
+=
2 1 cos2asin a
2
−=
2 1 cos2atan a
1 cos2a
−=
+
sin3a = 3sina sin3a
4
−
sin3a = 3cosa cos3a
4
+
+) Các hệ quả
sina cosa = 1
2sin2a
1 + coska = 2cos2ka
2
1 - coska = 2sin2ka
2
1 + sinka =
2ka ka
sin cos2 2
+
1 - sinka =
2ka ka
sin cos2 2
−
1 + sin2a = ( )2
sina cosa+
1 - sin2a = ( )2
sina cosa−
+) Công thức biến đổi tích thành tổng
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
sina.cosb = ( ) ( )1
sin a b sin a b2
+ + −
cosa.sinb = ( ) ( )1
sin a b sin a b2
+ − −
cosa.cosb = ( ) ( )1
cos a b cos a b2
+ + −
sina.sinb = ( ) ( )1
cos a b cos a b2
− + − −
+) Công thức biến đổi tổng thành tích:
sina + sinb = a b a b
2sin cos2 2
+ −
sina - sinb = a b a b
2cos sin2 2
+ −
cosa + cosb = a b a b
2cos cos2 2
+ −
cosa - cosb = a b a b
2sin sin2 2
+ −−
+) Đặc biệt khi a = b =
sin + cos = 2 sin4
+
sin - cos = 2 sin4
−
cos + sin = 2cos4
−
cos - sin = 2 cos4
+
.
III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình lượng giác cơ bản
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
a) ( )u v k2
cosu cosv ku v k2
= + =
= − + Z
b) ( )u v k2
sin u sin v ku v k2
= + =
= − + Z
c) ( )tan u tan v u v k k= = + Z
d) ( )cot u cot v u v k k= = + Z
Đặc biệt:
sinu 0 u k= =
sin u 1 u k22
= = +
sinu 1 u k22
= − = − +
sinu 1 u k2
= = +
cosu 0 u k2
= = +
cosu 1 u k2= =
cosu 1 u k2= − = +
cosu 1 u k= =
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Dạng Đặt Điều kiện
asin2x + bsinx + c = 0 t = sinx 1 t 1−
acos2x + bcosx + c = 0 t = cosx 1 t 1−
atan2x + btanx + c = 0 t = tanx x k
2
+ ( )k
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
acot2x + bcotx + c = 0 t = cotx x ( )k k
Giải lấy nghiệm t thích hợp sau đó áp dụng phương trình cơ bản
Chú ý: 2 2 2 2cos2x 2cos x 1 1 2sin x cos x sin x= − = − = −
2 2sin x 1 cos x= −
2 2cos x 1 sin x= −
3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
- Dạng phương trình: asinx + bcosx = c
- Điều kiện có nghiệm: 2 2 2a b c+
- Phương pháp giải: Chia 2 vế phương trình cho 2 2a b+ , sau đó áp dụng công
thức cộng để đưa về dạng phương trình cơ bản.
4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinu và cosu
Dạng 2 2. .cos+ + =asin u bsinu cosu c u d
Cách giải
+ Kiểm tra xem cosu = 0 có thỏa mãn phương trình hay không?
Xét cosu 0 u k2
= = +
Thay cosu 0= vào pt (nhớ 2sin u 1= )
+ Xétcosu 0 u k2
= +
Chia 2 vế pt cho 2cos u , giải pt theo tanu .
Ghi chú: Có thể giải bằng cách dùng công thức hạ bậc đưa về dạng
asin2u bcos2u c+ = .
5. Phương trình đối xứng, phản đối xứng
- Dạng phương trình chứa sinu cosu và .sinu cosu
- Cách giải
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
Đặt t sin u cosu 2 sin u4
= =
với t 2; 2 −
2t 1
sin u.cosu2
− =
Thay vào phương trình đã cho ta được phương trình bậc hai theo t.
Chú ý:
cosx sin x 2 cos x 2 sin x4 4
+ = − = +
cosx sin x 2 cos x 2 sin x4 4
− = + = − −
CHƯƠNG II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
I. Đại số tổ hợp
1. Quy tắc cộng
Công việc chia làm 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: có m cách.
- Trường hợp 2: có n cách.
Khi đó, tổng số cách thực hiện là m n+ .
2. Quy tắc nhân
Sự vật 1 có m cách. Ứng với 1 cách chọn trên ta có n cách chọn sự vật 2.
Khi đó, tất cả số cách chọn liên tiếp 2 sự vật là mn .
3. Giai thừa
( )n! 1.2.3 n 1 n= −
Qui ước: 0! 1=
Lưu ý:
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
( )n! n 1 !n= − ( ) ( )n 2 ! n 1 n= − − =
4. Hoán vị
n vật sắp xếp vào n chỗ, số cách xếp là: nP n!=
5. Chỉnh hợp
n vật, lấy ra k ( )k ,0 k vật rồi sắp xếp thứ tự, số cách xếp là:
( )
k
n
n!A
n k !=
−
6. Tổ hợp
n vật, lấy ra k ( )k ,0 k vật nhưng không sắp xếp thứ tự, số cách xếp là:
( )
k
n
n!C
k! n k !=
−
7. Một số kiến thức cần nhớ
Số chia hết cho 2 : tận cùng là 0;2;4;6;8
Số chia hết cho 5 : tận cùng là 0;5
Số chia hết cho 10 : tận cùng là 0
Số chia hết cho 100 khi tận cùng là 00;25;50;75
Số chia hết cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3 .
Số chia hết cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9 .
Khi gặp bài tập số tự nhiên mà trong đó có liên quan số 0 nên chia trường hợp.
+) Tính chất
0 n
n nC C 1= = 1 n 1
n nC C n−= = k n k
n nC C −= k 1 k k
n n n 1C C C−
++ =
II. Nhị thức Newton
1. Khai triển nhị thức Newton
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
( )n
n k n k k
n
0
a b C a b−+ = 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n
n n n nC a C a b C a b C b− −= + + ++
2. Một số công thức nên nhớ
( )n 0 1 2 2 n n
n n n n1 x C C x C x C x+ = + + ++
( ) ( )n n0 1 2 2 n n
n n n n1 x C C x C x 1 C x− = − + −+ −
0 1 2 n n
n n n nC C C C 2+ + ++ =
3. Tam giác Pacal (cho biết giá trị của k
nC )
III. Xác suất
Không gian mẫu:
Số phần tử của không gian mẫu: ( )n
1. Xác suất của biến cố A: P(A) = ( )( )
n A
n
Lưu ý: 0 P(A) 1
2. A1; A2; …; Ak là các biến cố đôi một xung khắc thì
( ) ( ) ( ) ( )1 2 k 1 2 kP A A ... A P A P A ... P A = + + +
3. A1; A2; …; Ak là các biến cố độc lập thì
( ) ( ) ( ) ( )1 2 k 1 2 kP A A ...A P A P A ...P A=
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
4. A là biến cố đối của biến cố A thì: ( ) ( )P A 1 P A= −
Hay ta có: ( ) ( )P A P A 1+ =
5. X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x1; x2;…;xn}
a) Kỳ vọng của X là E(X) = n
i i
i 1
x p=
với pi = P(X = xi), i = 1,2,3,…,n
b) Phương sai của X là V(X) = ( )n
2
i i
i 1
x p=
− hay ( )n
2 2
i
i 1
V X x p=
= − trong đó
( )i ip P X x ,i 1,2,3,...,n= = = và ( )E X =
c) Độ lệch chuẩn: ( ) ( )X E X =
CHƯƠNG III. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN
1. Phương pháp quy nạp toán học
Có nhiều cách để chứng minh một biểu thức ( )P n đúng. Một trong những cách
chính là qui nạp toán học:
Bước 1. Kiểm tra với ( )n 1: P 1= đúng hay không.
Bước 2. Giả sử với ( )n k : P k= đúng.
Với n k 1= + , ta chứng minh ( )P k 1+ đúng.
2. Dãy số
Dãy số ( )nu là hàm số đi từ *N đến R . Có 3 cách xác định dãy số: cho số hạng
tổng quát; mô tả; cho hệ thức truy hồi.
3. Dãy số tăng - dãy số giảm
+) ( )nu là dãy số tăng *
n 1 nu u 0, n+ − N
Khi un > 0, ta có thể dùng
*n 1
n
u 1, nu
+ N
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
+) ( )nu là dãy số tăng *
n 1 nu u 0, n+ − N
Khi un > 0, ta có thể dùng
*n 1
n
u1, n
u
+ N
4. Dãy số bị chặn
+) ( )nu bị chặn trên *
nM : u M, n N
+) ( )nu bị chặn dưới *
nm: u m, n N
( )nu bị chặn ( )nu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới *
nM : u M, n N
5. Cấp số cộng
Dãy ( )nu được gọi là CSC nếu thỏa n n 1u u d−= + với d không đổi là công sai.
Ta có:
( )n 11) u u n 1 d= + −
( )n 2) u là CSC n n 1 n 12u u u− + = +
( )n 1 2 n 1 n
n3) S u u u u u
2= + ++ = + ( )1
nu n 1 d
2= + −
6. Cấp số nhân
Dãy ( )nu được gọi là CSN nếu thỏa n n 1u u .q−= với q không đổi là công bội.
Ta có:
n 1
n 1.1) u u q −=
( )n2) u là CSN 2
n n 1 n 1u u .u− + =
n
n 1 2 n 1
1 q3) S u u u u . khi q 1
1 q
−= + ++ =
−
n 1 4) S n.u= khi q 1=
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
HÌNH HỌC
CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT
PHẲNG
1. Đại cương về phép biến hình
PBH htaoan anh
F: M M' (biến M thành duy nhất một điểm M), kí hiệu ( )M F M =
- Hình ( ) ( ) H F H H M F M | M H = ==
- ( )O F O O= là điểm bất động.
- PBH mà mọi điểm trong mặt phẳng đều biến thành chính nó được gọi là phép
đồng nhất. Kí hiệue .
- F G
M M M G F: M M (tích hai PBH bằng cách thực hiện liên tiếp
PBH F rồi G )
2. Phép dời hình
PBH F là PDH và ( ) ( )A F A ;B F B= = thì A B AB = (bảo toàn khoảng cách
giữa hai điểm bất kì)
PDH biến
{
3 điểm thẳng hàng ⟶ 3 điểm thẳng hàng (bảo toàn thứ tự)
đường thẳng ⟶ đường thẳng; đoạn thẳng ⟶ đoạn thẳng bằng nó;tia ⟶ tia
tam giác ⟶ tam giác bằng nó;góc ⟶ góc bằng nó;đường tròn ⟶ đường tròn bằng nó
3. Phép tịnh tiến theo u , kí hiệu uT
uT : M M MM u =
4. Phép đối xứng trục (ĐXTR) d , kí hiệu dĐ
dĐ :M M M;M đối xứng nhau qua d
5. Phép đối xứng tâm (ĐXT) I , kí hiệu IĐ
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
( ) ( )I;
IM IMQ : M M
IM;IM
=
=
6. Phép vị tự (PVT) tâm I tỉ số k , kí hiệu ( );I k
V
( )I;k
V : M M IM kIM =
7. Phép đồng dạng (PĐD)
PĐD tỉ số ( )k k 0 là PBH sao cho với hai điểm A;B bất kì và ảnh A ;B của nó
ta có A B kAB =
PĐD biến
{
3 điểm thẳng hàng ⟶ 3 điểm thẳng hàng (bảo toàn thứ tự)
đường thẳng ⟶ đường thẳng;đoạn thẳng ⟶ đoạn thẳng tỉ lệ 𝑘 lần với nó;tia ⟶ tia
tam giác ⟶ tam giác đồng dạng tỉ số 𝑘;góc ⟶ góc bằng nó
đường tròn bán kính 𝑅 ⟶ đường tròn bán kính 𝑘𝑅
8. Biểu thức tọa độ
Giả sử ( ) ( ); ; ; M x y M x y' .
+) PTT theo ( )u a;b= là x ' x a
y y b
− =
− =
+) Phép đối xứng tâm ( )I a;b là x 2a x
y 2b y
= −
= −
+) Phép đối xứng trục 𝑑 khi
{
𝑑 ≡ 𝑂𝑥 là {
𝑥′ = 𝑥𝑦′ = −𝑦
𝑑 ≡ 𝑂𝑦 là {𝑥′ = −𝑥𝑦′ = 𝑦
𝑑 là phân giác thứ nhất {𝑥′ = −𝑥𝑦′ = −𝑦
+) Phép quay tâm ( )I a;b , góc là x x cos ysin
y xsin ycos
= −
= +
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
Đặc biệt: Tâm quay là ( )O 0;0 thì
0x y
90 :y x
= −
=
=
0x y
90 :y x
=
= −
= −
0x x
180 :y y
= −
= −
=
Phép vị tự tâm ( )I a;b , tỉ số k là ( )
( )
x kx 1 k a
y ky 1 k b
= + −
= + −
9. Ảnh của đường thẳng d qua PTT; phép ĐXT; PQ; PVT
Giả sử F: d d ( F ở đây là ( ) ( )u I I; I;k
T ;Đ ;Q ;V
). Lấy ( )M x;y d . Giả sử
F: M M với ( )M x ;y'
Viết biểu thức tọa độ tương ứng với PBH đề cho x
y
=
=
Ta có M d (thay x;y vào đường thẳng d ) ta được đường thẳng d .
10. Ảnh của đường tròn
Giả sử ( ) ( )F: C C' ( F ở đây là ( ) ( )u I I; I;k
T ;Đ ;Q ;V
)
Xác định tâm I của đường tròn ( )C . Tìm ảnh I của I qua PBH F .
Ta có: ( )tâm I
C' :bán kính R R
= (riêng phép vị tự thì R k R = ). Từ đó ta có phương
trình ( )C' .
11. Tâm vị tự của hai đường tròn
TH1: Nếu I I thì PVT tâm O I, tỉ số R
R
và PVT tâm O I, tỉ số
R
R
− .
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
TH2: Nếu I I và R R thì PVT tâm 1O (tâm vị tự ngoài), tỉ số R
R
và PVT tâm
O2 (tâm vị tự trong), tỉ số R
R
− .
TH3: Nếu I I' và R R'= thì PVT tâm O, tỉ số k = R
R
−= -1
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
QUAN HỆ SONG SONG
1. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
( ) ( )d d =
( )d c t
( )d M =
( ) ( )d d d =
2. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
( ) ( ) ( ) ( ) =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) =
( ) cắt ( )
( ) ( ) d =
3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
( )
( )
a
a b b
a b
=
a cắt b
a b O =
a b
a b a =
a;b chéo nhau
a;b không
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
đồng phẳng.
4. Cách xác định giao tuyến giữa hai mặt phẳng
Cách 1: Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng.
( )
( )( ) ( )
M a;aM
M b;b
Chú ý: Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta thường tìm hai đường thẳng đồng
phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng. Giao điểm, nếu có, của hai đường thẳng
này chính là điểm chung cần tìm
Cách 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và phương giao tuyến (tức tìm
trong hai mặt phẳng hai đường thẳng song song với nhau).
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
M
a b Mx
a ;b
=
với Mx a b
5. Cách xác định giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để tìm giao điểm của d và ( ) , ta tìm trong ( ) một đường thẳng a cắt d tại M .
Khi đó: ( )M d= .
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
( )
( )M d
M dM
=
Chú ý: Nếu a chưa có sẵn thì ta chọn ( ) qua d và lấy ( ) ( )a = .
6. Thiết diện
Thiết diện của mặt phẳng ( ) với hình chóp là đa giác giới hạn bởi các giao tuyến
của ( ) với các mặt của hình chóp. Như vậy, để tìm thiết diện ta lần lượt đi tìm
giao tuyến của ( ) với các mặt của hình chóp.
7. Chứng minh đường thẳng song song đường thẳng
Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng rồi áp dụng phương pháp chứng
minh song song trong hình học phẳng (đường trung bình; định lí Tales…)
Cách 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì
song song với nhau.
1 3
1 2
2 3
d dd d
d d
Cách 3: Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d và lần lượt chứa hai đường
thẳng song song thì giao tuyến của nó sẽ có 3 trường hợp:
( ) ( )
( )
( )
dd a b
a bd a
ad b
b
=
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
Như vậy, trong trường hợp này ta chỉ cần chỉ ra d không trùng với a hoặc b thì sẽ
suy ra được d a hoặc d b .
Cách 4: Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d , đường thẳng a nằm trong ( )
và song song với mặt phẳng còn lại thì sẽ song song với giao tuyến.
( ) ( )
( )
( )
d
a a d
a
=
Cách 5: Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d , đường thẳng a song song với
cả hai mặt phẳng thì sẽ song song với giao tuyến.
( ) ( )
( )
( )
d
a a d
a
=
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
Cách 6: Hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ 3 thì hai giao tuyến đó
song song.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
a a b
b
= =
Cách 7: Ba mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt, thì 3 giao tuyến ấy
song song hoặc đồng quy.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
aa b c
ba;b;c đong quy
c
=
= =
Như vậy, ta chỉ cần chứng minh a;b;c không đồng quy thì sẽ suy ra được a b c .
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
Cách 8: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song
song với nhau.
( )
( )
a
b a b
a b
⊥
⊥
8. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Cách 1: Chứng minh đường thẳng d không nằm trong ( ) và song song với
đường thẳng a nằm trong ( ) .
( )
( )
( )
d a
a d
d
Cách 2: Hai mặt phẳng song song với nhau, mọi đường thẳng nằm trong mặt này
sẽ song song với mặt kia.
( ) ( )
( )( )a
a
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack
Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official
9. Chứng minh hai mặt phẳng song song
Cách 1: Chứng minh trong mặt phẳng thứ nhất chứa hai đường thẳng cắt nhau và
song song mặt phẳng thứ hai, khi đó hai mặt phẳng song song với nhau.
( )
( ) ( )
( ) ( )
a;b
a b I
a ;b
=
Cách 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song
song với nhau.
( )
( )( ) ( )
d
d
⊥
⊥