Download - tipo de funciones Matematicas
INTRODUCCIÓN
Al usar los objetos e interactuar con las personas que nos rodean, resulta
fácil establecer una regla de correspondencia que asocie, o apareje, a los
miembros o elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto. Por
ejemplo, para cada número de seguridad social hay una persona; para cada libro
corresponde por lo menos un autor; para cada estado hay un gobernador, etcétera.
En matemáticas estamos interesados en un tipo especial de correspondencia:
una correspondencia con valor único denominada función.
Una función de un conjunto X en un conjunto Yes una regla de
correspondencia que asigna a cada elemento x en X exactamente un elemento y en
Y.
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1.- DEFINA FUNCIÓN LINEAL O AFÍN, DOMINIO Y RANGO
FUNCIÓN LINEAL ⇒ y = m x
La fórmula de la función lineal es: y = m x donde m es la pendiente de la
recta (grado de inclinación). Estas rectas pasan siempre por el origen de
coordenadas punto (0, 0).
La ordenada en el origen n es 0.
Estudiar y representar la siguiente recta y = 2x
La pendiente de la recta es 2 (valor de m, coeficiente que hay delante de x ),
cuando m es positiva la recta es creciente.
Pasa por el punto (0, 0)
Tabla de valores de la función
x 1 0 -1
y 2 0 -2
Gráfica de la función
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FUNCIÓN AFÍN ⇒ y = m x + n
La fórmula de la función afín es: y = m x + n donde m es la pendiente de la
recta (grado de inclinación). Si m es positiva le recta es creciente. Si m es negativa
la recta es decreciente.
La ordenada en el origen es n, punto donde la recta corta al eje de
ordenadas. Las coordenadas de este punto son: (0, n)
Ejemplo: Estudiar y representar la siguiente recta y = 2x + 3
La pendiente de la recta es 2 , por ser positiva la recta es creciente.
La ordenada en el origen n = 3, el punto de corte con el eje de ordenadas
será el (0, 3)
Tabla de valores de la función
x 1 0 -1
y 5 3 1
Gráfica
El dominio de la función afín, al igual que su rango, es R (todos los
números reales)
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2) DEFINA FUNCION CUADRÁTICA, DOMINIO Y RANGO
En la función cuadrática también tenemos dos variables (x, y) las cuales
varían de forma dependiente, la diferencia radica en la forma de cómo varían; en
la anterior la variación es lineal mientras que la otra es cuadrática, es decir,
cuando x toma un valor a, y toma el valor a2 (a al cuadrado). Generalizando, una
función cuadrática se expresa de la forma:
Llamaremos función cuadrática a toda función f, tal que, f(x) = ax2 + bx + c;
con a, b, c Є IR ≠ 0
En la ecuación tenemos la variable x y los valores constantes a, b y c que
pueden tomar cualquier valor en los números reales, de ellos depende el tipo de
ecuación.
Analicemos cada uno de estos elementos en la siguiente función: f(x) = 3x2
+2x – 1 f(x) = 3x2 + 2x – 1
↓ ↓ ↓
Los valores de a, b y c, a b c
EJEMPLO:
1. Grafica f(x) = 2x2 – 2x – 4
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x f(x) P(x, f(x)
-3 20 (-3, 20)
-2 8 (-2, 8)
-1 0 (-1, 0)
0 -4 (10, -4)
1 -4 (1. -4)
2 0 (2, 0)
3 8 (3, 8)
4 20 (4, 20)
–10 –5 5 10
10
20
x
y
La gráfica de una función cuadrática resulta ser una parábola. La función
del ejemplo en cuestión no es inyectiva, ya que si tomamos dos elementos del
dominio, digamos x = -1 y x = 2 tienen la misma imagen (f(x) = 0). En
consecuencia, la función f(x) = 2x2 – 2x – 4 no es biyectiva. En general, ninguna
función cuadrática es biyectiva.
Dominio y rango de la función
El dominio y rango de toda función cuadrática es el conjunto de números
reales, pero en nuestro caso particular f(x) = 2x2 – 2x – 4, el rango sólo
corresponderá al subconjunto de números reales mayores o iguales a ;
; por tanto,
C =
Imagen del dominio de la función
El punto más bajo (más alto) de la parábola se obtiene evaluando la función
cuadrática en
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El punto más bajo de la parábola tiene como coordenadas . Esto
significa que a cada número real x del dominio se asocia un número real y mayor
o igual que
3) DEFINA FUNCIÓN RACIONAL O ALGEBRÁICA
Una función racional f es una razón de dos polinomios: f(x) = P(x) Q(x)
donde P y Q son polinomios. El dominio consiste de todos los valores de x tal
que Q(x) ≠ 0.
Las funciones racionales son del tipo:
El dominio de una función racional de lo forman todos los números reales
menos los valores de x que anulan el denominador.
Ejemplo
Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de
ecuación:
.
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Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las
funciones
Construcción de hipérbolas
Las hipérbolas son las más sencillas de representar.
Sus asíntotas son los ejes. El centro de la hipérbola, que es el punto donde se
cortan las asíntotas, es el origen.
A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación.
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1. Traslación vertical
El centro de la hipérbola es: (0, a). Si a>0, se desplaza hacia
arriba a unidades.
El centro de la hipérbola es: (0, 3)
Si a<0, se desplaza hacia abajo a unidades.
El centro de la hipérbola es: (0, -3)
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2. Traslación horizontal
El centro de la hipérbola es: (-b, 0). Si b> 0, se desplaza a la
izquierda b unidades.
El centro de la hipérbola es: (-3, 0)
Si b<0, se desplaza a la derecha b unidades.
El centro de la hipérbola es: (3, 0)
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3. Traslación oblicua
El centro de la hipérbola es: (-b, a)
El centro de la hipérbola es: (3, 4).
Para representar hipérbolas del tipo:
se divide y se escribe como:
Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de asíntotas
paralelas a los ejes.
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El centro de la hipérbola es: (-1, 3)
4) QUE ES FUNCIÓN RADICAL
Las funciones radicales son aquellas en las que la variable se encuentra bajo
el signo radical. En esta práctica estudiaremos las funciones del tipo
y también las que tienen como expresión
general .
La gráfica de estas funciones es muy diferente a las de las anteriormente
estudiadas.
En primer lugar, son funciones positivas, pues en la definición de la función
se considera únicamente la raíz positiva del radicando.
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(Si la expresión algebraica de la función fuera
entonces serían funciones que sólo tomarían valores negativos)
En segundo lugar, si observas las gráficas representadas podrás ver que, en
muchas ocasiones, sólo están definidas en un tramo de la recta real; en estos casos
su dominio de definición no son todos los números reales ya que la raíz cuadrada
sólo está definida para valores positivos del radicando.
Por último, su comportamiento respecto a la monotonía (crecimiento y
decrecimiento) es bastante sencillo.
PASOS PARA REPRESENTAR UNA FUNCIÓN RADICAL
1º. En primer lugar, tenemos que determinar el dominio de definición de la
función, que como ya sabemos, por tratarse de una raíz cuadrada serán todos los
valores de x que hagan que el radicando sea mayor o igual que cero: ax+b≥0,
luego serán todos los valores de x tales que: x≥-b/a, (recuerda llevar cuidado a la
hora de despejar la x, porque como ya sabemos en las inecuaciones si a es
negativa cambia el signo de la desigualdad).
2º. Una vez conocido los valores de x para los cuales existe función,
tendremos que mirar si nuestra función es positiva o negativa, lo cual dependerá
del signo de la raíz que hayamos elegido.
3º. Por último, comenzando en el punto (-b/a, 0), ya sea hacia la derecha o
hacia la izquierda, en la parte positiva o negativa, si es necesario siempre podemos
realizar una tabla de valores.
Como podemos ver en la siguiente representación, cuyo dominio es x≥-2, y
es una función positiva.
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Las funciones radicales sufren traslaciones:
TRASLACIONES
-Transformación vertical: Si sumas o restamos un número k a nuestra raíz,
la representación se traslada hacia arriba o hacia abajo respectivamente. En este
caso el punto de partida de nuestra representación será (-b/a, k).
-Transformación horizontal: Si al valor de x le sumamos o restamos un
número k, se traslada hacia la izquierda o derecha respectivamente, como
podemos observar en el ejemplo anterior. Supongamos que partimos de la función
raíz de x, si queremos representar la raíz de x+2, estamos trasladando la función 2
unidades hacia la izquierda.
-Comprensión o estiramiento: Si multiplicamos la raíz por un valor k,
nuestro representación se estira o comprime. Se estirará cuando k>1, y se
comprimirá cuando 0<k<1.
Por último, para vamos a representar la siguiente
función: a partir de transformaciones en la función – raíz de x.
1º. Como sabemos, la función negativa de la raíz cuadrada se encuentra en
la parte negativa.
2º. El dominio de la función que tenemos que representar es (-∞,1], por
tanto, nuestra función viene del menos infinito y terminaría en el punto (1,0).
3º. Como tenemos 3 unidades sumando a la raíz inicial, la función se
traslada de forma vertical 3 unidades hacia arriba, y por tanto el punto donde
termina es el (1,3)
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5) QUE ES FUNCIÓN EXPONENCIAL, DOMINIO Y RANGO
Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx ,
donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.
El dominio es el conjunto de todos los números reales y el rango es el
conjunto de todos los números reales positivos.
1) f(x) = 2x
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Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno:
1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).
2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.
3) El eje de x es la asíntota horizontal.
4) Si b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x.
5) Si 0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.
6) La función f es una función uno a uno.
Propiedades de las funciones exponenciales:
Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno y x, y reales:
1) Leyes de los exponentes:
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2) ax = ay si y sólo si x = y
3) Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b.
Ejemplo
Una función exponencial sencilla para graficar es: .
Dese cuenta que la gráfica tiene al eje de las x como una asíntota en la
izquierda, y aumenta muy rápido en la derecha. Cambiar la base cambia la forma
de la gráfica.
Reemplazando x con el reflejo de –x la gráfica atraviesa el eje de las y;
reemplazando y con -y se refleja a través del eje de las x.
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Reemplazando x con x + h se traduce la gráfica a h unidades a la izquierda.
Reemplazando y con y - k (que es lo mismo que sumar k en el lado derecho)
se traduce la gráfica k unidades hacia arriba.
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6) QUE ES FUNCIÓN POLINÓMICA DOMINIO Y RANGO
Aquellas funciones cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, las
funciones polinómicas, tienen como dominio todo el conjunto de los números
reales
Determinar Dominio y Rango de f(x) = X + 3
Como es una función lineal el dominio será todo el conjunto de los números
reales.
Dom f(x) = R
El Rango será todo el conjunto de los números reales. Seguimos el eje “Y”
de abajo hacia arriba y podemos leer valores siempre.
Rango = (– ∞ , + ∞ )
7) QUE ES FUNCIÓN LOGARITMICA DOMINIO Y RANGO
Una función se llama logarítmica cuando es de la forma y = log a x donde la
base a es un número real y positivo pero distinto de 1, puesto que el resultado
sería 0.
La regla de asociación de la función logarítmica tiene la
forma , donde es un número en llamado base.
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Su dominio son todos los números reales positivos .
Su rango son todos los números reales .
Los logaritmos no están definidos para los número negativos y el cero
Observemos las gráficas de las siguientes funciones logarítmicas:
. Su
dominio son todos los reales
positivos, es creciente.
. Su
dominio son todos los reales
positivos, es decreciente.
Entonces, como vemos en las gráficas:
Si , la función es decreciente.
Si , la función es creciente.
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La función logarítmica interseca al eje en el punto , es
decir ; en general no interseca al eje , ya que es asintótica
8) QUE ES FUNCION CONSTANTE, DOMINIO Y RANGO
Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la
podemos representar como una función matemática de la forma:
F(x)=a donde a pertenece a los números reales y es una constante.
Como se puede ver es una recta horizontal en el plano x y, en la gráfica la
hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende
de x, si hacemos:
Y=F(x) entonces Y=adonde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos
representadas: para valores de a iguales: Y=8Y=4,2Y=-3,6
La función constante como un polinomio en x es de la
forma
Se dice que es constante porque su valor no cambia, a cada valor de x le
corresponde siempre el valor a.
El Dominio de la función constante va a ser igual siempre a "Todos los
Reales" Mientras que el Rango tan solo va a ser el valor de a.
Es una Función Continua.
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9) QUE SON FUNCIONES VALOR ABSOLUTO; SU DOMINIO Y
RANGO
La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre
representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula.
En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se
encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de
dicho eje o, a lo sumo, tocándolo. EL DOMINIO son todos los reales ya que no
hay ninguna restricción. EL RANGO son todos los reales mayores o iguales a
cero hasta el infinito positivo ya que el valor absoluto de cualquier número es un
numero positivo
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o
intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los
siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces
(los valores de x).
2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el
signo de cada intervalo.
3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los
intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.
4. Representamos la función resultante.
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10) QUE SON FUNCIONES RAMIFICADAS O POR INTERVALOS
En muchas ocasiones se requiere más que una sola fórmula para describir
una función. Se dice que estas funciones son funciones definidas por tramos o
intervalos.
Ejemplos de funciones definidas por tramos:
El dominio de la función del ejemplo a) es IR; y en el ejemplo b) es (-∞,3) U (5,+∞)
Como graficamos:
1. Notamos que si x ≤ , entonces f(x) =1-x, por lo que la parte de la
gráfica de f queda a la izquierda de la recta vertical x = 1, debe coincidir con la
recta y = 1 – x, que tiene pendiente -1 e intersección en y = 1.
2. Si x> 1, entonces f(x)= x2, por lo que la parte de la gráfica f se
encuentra a la derecha de la recta x = 1 debe coincidir con la gráfica y= x2
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CONCLUSIÓN
Las funciones matemáticas son de mucho valor y utilidad para resolver
problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística,
de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de
cualquier área social donde haya que relacionar variables.
Siempre relacionamos un conjunto de determinados objetos o productos
alimenticios, con el precio o costo para así saber cuánto podemos comprar; si lo
llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de
función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y".
Además, se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia
de ellos para realizar las gráficas lo cual va a depender de cada tipo de función.
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BIBLIOGRAFÍA
Fuentes electrónicas consultadas:
http://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_gr
%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica
http://www.xuletas.es/ficha/dominios
http://analisismatematico.wordpress.com/2008/05/21/funcion-constante/
http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial
http://es.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_en_una_variable/Funciones
http://www.scribd.com/doc/2969742/Microsoft-Word-Limites-2
http://docentes.uacj.mx/sterraza/matematicas_en_movimiento/funcion/
func_def.html
http://www.ditutor.com/funciones/rango_funcion.html
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