Download - TES 3114-3 2012-2013
28/09/2012
1
SAMPLE SPACE, SAMPLE POINTS, EVENTS
Sample space Ω adalah sekumpulan semua sample points ω yang mungkin; dimana Sample space,Ω, adalah sekumpulan semua sample points,ω, yang mungkin; dimana ω∈Ω
Contoh 1. Melemparkan satu buah koin:Ω={Gambar,Angka}Contoh 2. Menggelindingkan dadu: Ω={1,2,3,4,5,6}Contoh 3. Jumlah pelanggan dalam antrian: Ω={0,1,2,…}Contoh 4. Waktu pendudukan panggilan (call holding time): Ω={x∈ℜ⏐x>0}
Events A,B,C,… ⊂ Ω adalah himpunan bagian dari sample spaceContoh 1. Angka genap pada sebuah dadu:A={2,4,6}Contoh 2 Tidak ada pelanggan ang mengantri A {0}Contoh 2. Tidak ada pelanggan yang mengantri : A={0}Contoh 3. Call holding time lebih dari 3 menit. A={x∈ℜ⏐x>3}
Event yang pasti : sample space Ω
Event yang tidak mungkin : himpunan kosong (∅)
2
28/09/2012
2
KOMBINASI EVENT
Union (gabungan) :“A atau B” : A∪B={ω∈Ω⏐ω∈A atau ω∈B}
Irisan: “A dan B” : A∩B={ω∈Ω⏐ω∈A dan ω∈B}
Komplemen : “bukan A”:Ac={ω∈Ω⏐ω∉A}
Event A dan B disebut tidak beririsan (disjoint) bila : A∩B=∅
Sekumpulan event {B1,B2,…} merupakan partisi dari event A jika
(i) Bi ∩ Bj=∅ untuk semua i≠j(ii) ∪iBi =A
3
PROBABILITAS (PELUANG)
Probabilitas suatu event dinyatakan oleh P(A)
P(A)∈[0,1]
Sifat-sifat peluang
Back to Six
4
28/09/2012
3
CONDITIONAL PROBABILITY (PELUANG BERSYARAT)Asumsikan bahwa P(B)>0
Definisi : Conditional probability dari suatu event A bila diketahui event B terjadi didefinisikan A bila diketahui event B terjadi didefinisikan sebagai berikut
Dengan demikian
5
TEOREMA PROBABILITAS TOTAL
Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space ΩBila {Bi} merupakan partisi dari sample space ΩLalu {A∩Bi} merupakan partisi dari event A, maka
berdasarkan sifat probabilitas yang ketujuh pada slide nomor 4
Kemudian asumsikan bahwa P(B )>0 untuk Kemudian asumsikan bahwa P(Bi)>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5 dapat didefinisikan teorema probabilitas total sbb
6
28/09/2012
4
TEOREMA BAYES
Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space Ωi
Asumsikan bahwa P(A)>0 dan P(Bi)>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5
Kemudian, berdasarkan teorema probabilitas total, kita peroleh
Ini merupakan teorema Bayes
Peluang P(Bi) disebut peluang a priori dari event Bi
Peluang P(Bi⏐A) disebut peluang a posteriori dari event Bi (bila diketahui event A terjadi)
7
KESALINGBEBASAN STATISTIK DARI EVENT (STATISTICAL INDEPENDENCE OF EVENT)
Definisi : Event A dan B saling bebas (independent) jika
Dengan demikian
Demikian pula
8
28/09/2012
5
PEUBAH ACAK (RANDOM VARIABLES)
Definisi : Peubah acak X (yang merupakan bilangan riil Definisi : Peubah acak X (yang merupakan bilangan riil [real-valued]) adalah fungsi bernilai riil dan dapat diukur yang didefinisikan pada sample space Ω;X: Ω→ℜ
Setiap titik sample (sample points) ω∈Ω dihubungkan dengan sebuah bilangan riil X(ω)Dengan kata lain : memetakan setiap titik sample ke sebuah bilangan riil menggunakan peubah acak X
9
CONTOH
Sebuah koin dilempar tiga kali; setiap lemparan akan menghasilkan head (H) atau tail (T)
Sample space:
Misalnya peubah acak X merupakan jumlah total tail (T) dalam ketiga eksperimen pelemparan koin tersebut maka :tersebut, maka :
10
28/09/2012
6
PROBABILITY DISTRIBUTION FUNCTION (PDF)
Definisi : PDF dari suatu peubah acak X adalah fungsi FX: ℜ→ [0,1] yang didefinisikan p g X [ , ] y gsebagai berikut
PDF menentukan distribusi dari peubah acak
Sifat
11
KESALINGBEBASAN STATISTIK DARI PEUBAH ACAK(STATISTICAL INDEPENDENCE OF RANDOM VARIABLES)
Definisi : Peubah acak X dan Y saling bebas jika untuk semua x dan y
Definisi : Peubah acak X1, …,Xn saling bebas jika untuk semua i dan xi
12
28/09/2012
7
PEUBAH ACAK DISKRIT
Definisi : himpunan A⊂ℜ disebut diskrit bila
Terbatas : A={x1,…,xn}, atauTak terbatas : A={x1,x2,…}
Definisi : peubah acak X disebut diskrit bila terdapat sebuah himpunan diskrit Sx⊂ℜp p p xsedemikian hingga
Maka
P{X=x} ≥ 0 untuk semua x ∈ Sx
P{X=x} = 0 untuk semua x ∉ Sx
Himpunan Sx disebut himpunan nilai (value set)
13
PELUANG TITIK (POINT PROBABILITIES)
Misalkan X adalah peubah acak diskritp
Distribusi X ditentukan oleh peluang titik pi
Definisi : probability mass function (pmf) dari X adalah merupakan fungsi pX: ℜ→ [0,1] yang didefinisikan sbb
Pada kasus ini, PDF merupakan fungsi step
14
28/09/2012
8
CONTOH
15
KESALINGBEBASAN PEUBAH ACAK
Peubah acak diskrit X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika untuk semua xi∈SX dan yj∈Sy
16
28/09/2012
9
EKSPEKTASI (HARAPAN,RATAAN)
Definisi : Harga ekspektasi (rata-rata/mean value) dari X dinyatakan olehg p ( / ) y
Sifat-sifat
17
VARIANCE
Definisi : Variance dari X didefinisikan sbb
Rumus yang bermanfaat
Sifat-sifat
18
28/09/2012
10
COVARIANCE
Definisi : Covariance antara X dan Y didefinisikan sbbDefinisi : Covariance antara X dan Y didefinisikan sbb
Rumus yang bermanfaat
Sifat-sifat
19
PARAMETER LAIN YANG BERHUBUNGAN DENGAN DISTRIBUSI
Deviasi standard dari X
Momen ke-k dari X
20
28/09/2012
11
DISTRIBUSI BERNOULLI
Menyatakan suatu eksperimen acak dengan dua keluaran yang mungkin
Sukses (1)Gagal (0)
Nilai 1 berpeluang p (nilai 0 berpeluang (1-p))
21
DISTRIBUSI BINOMIAL
Menyatakan jumlah sukses dalam sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli);
22
28/09/2012
12
DISTRIBUSI GEOMETRIK
Menyatakan jumlah sukses yang terjadi sampai didapatkan kegagalan yang pertama dari sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli)
p = peluang sukses dalam suatu eksperimen
23
DISTRIBUSI POISSON
Limit dari distribusi binomial dimana n →∞ dan p → 0, sedemikian hingga np → ap , gg p
24
28/09/2012
13
CONTOH
Asumsikan
200 pelanggan terhubung ke sentral lokal200 pelanggan terhubung ke sentral lokalTrafik setiap pelanggan adalah 0.01Pelanggan saling bebas
Maka jumlah panggilan yang aktif X ~ Bin(200,0.01)
Pendekatan Poisson X ≈ Poisson(2,0)
Peluang titik
25
PEUBAH ACAK KONTINU
Definisi : peubah acak X kontinu jika terdapat fungsi yang dapat Definisi : peubah acak X kontinu jika terdapat fungsi yang dapat diintegralkan fX:ℜ→ℜ+, sedemikian hingga untuk semua x∈ℜ
Fungsi fX disebut probability density function (pdf)Himpunan SX, dimana fX>0 disebut value set
Sifat-sifat
26
28/09/2012
14
CONTOH
27
EKSPEKTASI DAN PARAMETER LAIN
Ekspektasi (nilai rata-rata/mean value) dari X didefinisikan sbb
Note 2: Jika , maka Sifat sama dengan distribusi diskrit
Parameter distrubusi lainnya didefinisikan dan memiliki sifat yang sama seperti pada distribusi Parameter distrubusi lainnya didefinisikan dan memiliki sifat yang sama seperti pada distribusi diskrit
28
28/09/2012
15
DISTRIBUSI UNIFORM (X~U(A,B), A<B)
29
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL (X~EXP(Λ), Λ>0)
Versi kontinu dari distribusi geometrik (peluang gagal ≈ λdt)
30
28/09/2012
16
LATIHAN
1. Diketahui peubah acak kontinue memiliki pdf sbg berikut fx(x)=cx-3.
1.Hitunglah c.2.Mean dari peubah acak tsb.3.Fx(X)
2. Ukuran paket data pd internet dapat dimodelkan sbg peubah acak pareto yang memiliki persamaan,
1.Tentukan pdf dr peubah acak x2.Tentukan expected value dari x.3.Tentukan rentang nilai a agar expected value memiliki harga.
0,1,11)()( >≥−=≤= axx
xXPxF arx
31