Teorija grupa i simetrija u muzici
Nada Cvetković 352/08
1. Skupovi i grupe
• Definicija grupe• Kejlijeva tablica• Red grupe• Definicija podgrupe• Posebne vrste grupa
1. Simetrična
2. Diedarska
3. Ciklička
Kejlijeva tablica
Simetrična grupa 3S
Diederska grupa
Ciklička grupa
,0 ab bb 1 cb 2
2. Simetrije koje se javljaju u muzici
• Translacija• Osna simetrija• Rotacija
Translacija
Betovenova “Mesečeva sonata”
“Tokata i fuga u d-molu” J. S. Bah
Osna simetrija
“Peti gudački kvartet” Bartok Bela
“Valcer” Šopen
Vokalna vežba
Retrogradni kanonJ. S. Bah
Rotacija
“Španska rapsodija” Ravel
3. Homomorfizam grupe i Kejlijeva teorema
Definicija homomorfizma
Teorema: Svaka konačna grupa reda n izomorfna je sa nekom podgrupom simetrične grupe
Definicija kongruencije
Defnicija binarne operacije na količničkom skupu
yfxfxyf
nS
/G
/, Gyx xyyx
12/
Isto tako u muzici možemo uvesti relaciju ekvivalencije gde dva tona smatramo ekvivalentnim ukoliko se razlikuju za ceo broj oktava.
Tada elementi prethodno navedene grupe obrazuju klase ekvivalencije tonova, gde dve note pripadaju istoj klasi tonova ako se razlikuju za ceo broj oktava.
4. Nizovi tonova i operacije na njima
DefinicijaTranspozicija
Inverzija
Retrogradna operacija
803x 047)(4 xT
409xI 10636 xIT
308xR
Među navedenim operacijama važe sledeći ondosi:
U terminima teorije grupa, oparacije formiraju cikličku grupu
Operacija zajedno sa identičkom operacijom čini cikličku grupu
Dekartov proizvod
Direktan proizvod podgrupa
eT 12 nn RTRT nn ITIT IRRI
12/nT
R 2/
21212211 ,,, bbaababa
5. Orbite i klase razlagnja grupe
Definicija dejstva grupe na skup Definicija binarne relacije na skupu
Definicija orbite kao klase ekvivalencije
Definicija desne klase elementa a Teorema 1: ako i samo ako
Definicija leve klase elementa a Teorema 2: Postoji bijekcija iz na desnu klasu Teorema 3: Red konačne grupe deljiv je redom svake njene
podgrupe.
Ggxx gG
Hax ax H
H Ha
Definicija stabilizatora elementa x
Teorema 4: Stabilizator elementa x je podgrupa grupe G
Teorema 5: Postoji bijekcija između desnih klasa razlaganja grupe G po stabilizatoru elementa x i orbite elementa x.
Posledica 6.
xxGgG gx
Gx xGG :
6. Normalna podgrupa i količnička grupa
Definicija normalne podgrupe
Definicija operacije na količničkom grupoidu
Teorema: je grupa
Jezgro homomorfizma
Teorema o homomorfizmu
GaaHHG /
7. Lema Brnsajda
Problem prebrojavanja nizova tonova Apstraktna formulacije problema
8. Skupovi klasa tonova
Primarna forma Vektor intervala Oznake