Teoría de Sistemas y SeñalesTeoría de Sistemas y Señales
Transparencias:Teorema del MuestreoTeorema del Muestreo
Muestreo en el dominio FrecuencialMuestreo en el dominio FrecuencialAutor: Dr. Juan Carlos Gómez
TeSyS 2
Muestreo de Señales AnalógicasMuestreo de Señales Analógicas1. Conversión A/D y D/ALa mayoría de las señales de interés son de tipo analógico. Para procesar estas señales en forma digital es necesario convertirlas en una secuencia de números de precisión finita.
Conversión Analógica / Digital (A / D)Los dispositivos que realizan esta operación se denominan Conversores A/D. El proceso de conversión A/D consta de los siguientes pasos:
Muestreo CodificaciónCuantizaciónxa(t) x(n) xq(n) 01011..
Señal Analógica Señal en T.D. Señal Cuantizada Señal DigitalFig. 1. Conversión Analógica/Digital
TeSyS 3
En muchos casos de interés práctico es necesario reconvertir la señal procesada digitalmente a la forma analógica
Conversión Digital / Analógica (D / A)Los dispositivos que realizan esta operación se denominan Conversores D/A. El proceso de conversión D/A consta de los siguientes pasos:
ConversorD/A
Filtro PB de alisado
Muestreo y Sostén (S/H)
Señal Digital Señal Analógica Señal Analógica Señal Analógicade Entrada con “glitch” en escalera de salida
Fig. 2. Conversión Digital/Analógica
TeSyS 4
2. Muestreo en el Dominio Temporal
Nos limitaremos a muestreo uniforme o periódicox(n) = xa(nT) -∞< n <∞
x(n) se obtiene tomando muestras de xa(t) cada T segundos
FS = 1/T
xa(t) x(n) = xa(nT) Señal Señal Analógica en TD
Muestreador
FS = 1/TMuestreador
x(n)
012 n
xa(t)
0 t
Fig. 3. Muestreo Ideal
Fig. 4. Muestreo Ideal
TeSyS 5
Variable continuo: ttiempo discreto: n
continuo: Fxa(t)= A cos(2π.F.t)
Frecuencia discreto: fxa(nT)= x(n) = A cos(2π.n.F / FS)
Rango de continuo: -∞ < F < ∞ -∞ < Ω < ∞Frecuencias discreto: -1/2 < f < 1/2 - π < ω < π
Analizaremos el muestreo en el dominio frecuencial determinando la relación entre el espectro de xa(t) y el espectro de x(n)
t = n.T = n / FS
f = F / FS ω= Ω.T
TeSyS 6
Si xa(t) es una señal no periódica con energía finita, su Transformada de Fourier es:
(1)
La señal puede recuperarse a partir de su espectro Xa(F) a través de la transformada inversa
(2)El espectro de la señal en TD x(n) obtenida muestreando xa(t) viene dado por la Transformada de Fourier
(3)
o equivalentemente(4)
( ) ( ) dtetxFXtFj
aa
π2−∞
∞−∫=
( ) ( ) dFeFXtxtFj
aa
π2
∫∞
∞−
=
( ) nj
nenxX )( ωω −
∞
∞−=∑=
( ) nfj
nenxfX 2)( π−
∞
∞−=∑=
TeSyS 7
La señal x(n) puede recuperarse a partir de su espectro usando la transformada inversa
(5)
Considerando (2) y que x(n)=xa(nT) , podemos escribir:
(6)
Comparando (5) y (6) podemos concluir que:
Considerando que f = F / FS ⇒ df = dF / FS , resulta:
(7)
( ) ( ) ( ) dfefXdeXnxnfjnj πω
π
π
ωωπ
22/1
2/121
∫∫−−
==
( ) ( ) dFeFXnTxnx sFFnj
aa
/2
)(π
∫∞
∞−
==
( ) ( ) dFeFXdfefX sFFnjnfj
a
/222/1
2/1
ππ
∫∫∞
∞−−
=
( ) ( ) dFeFXdFeFFXF
sFFnjsFFnjsF
sFaS
S
/2/22/
2/
/1 ππ
∫∫∞
∞−−
=
TeSyS 8
La integral en el lado derecho de la igualdad anterior puede escribirse como:
Comparando esta expresión con el lado izquierdo de (7) podemos concluir:
o
( ) ( )
( )
[ ( ) ] dFekFFX
dFekFFX
dFeFXdFeFX
sFFnjsF
sF
sFFnjsF
sF
sFFnjsFk
sFk
sFFnj
Sak
Sak
ak
a
/22/
2/
/22/
2/
/221
21
/2
π
π
ππ
+=
+=
=
∑∫
∫∑
∫∑∫
∞
∞−=
∞
∞−=
∞
∞−=
−
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
∞
∞−
( )Sak
SS
kFFXFFFX +=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑∞
∞−=
( ) [( ) ]Sak
S FkfXFfX += ∑∞
∞−=
Cambio de variableF’= F - k.FS y
luego F’= F
TeSyS 9
El espectro X(f) de la señal en TD consiste de una repetición periódica del espectro escalado FS Xa(F) de la señal en tiempo continuo.
Ejemplo:Señal de banda limitada ⇒ Xa(F) = 0 para | F | ≥ BFig. 5. b. → FS ≥ 2B → No hay “aliasing”
En este caso el espectro de la señal en tiempo discreto es idéntico (con el factor de escala FS) al espectro de la señal analógica en el rango fundamental de frecuencias | F | ≤ FS /2 o | f | ≤ 1 /2
( ) 2/|| SaSS
FFFXFFFX ≤=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
TeSyS 10
Fig. 5.c./d. → FS < 2B → “aliasing”
La continuación periódica de Xa(F) resulta en sobreposiciónde espectros.El espectro X(F/FS) de la señal en TD contiene componentes de frecuencia que son “alias” del espectro de la señal analógica. La presencia de aliasing impide que la señal original pueda recuperarse a partir del espectro de la señal muestreada.
TeSyS 11
( ) ( )FXtx aa
( )txa
( ) ( ) ( )S
a FFXnTxnx =
FBBt 00 −
FFFFnT SSS 2/00 −
FFFFnT SSS 2/00 −
( ) ( ) ( )S
a FFXnTxnx =
FFFnT SS 00 −
( ) ( ) ( )S
a FFXnTxnx =
( ) ( )FXtx aaˆˆ
FFFt SS 2/02/0 −
( )SF
FH
Fig. 5. Espectros de la señal analó-gica y de la señal muestreada
a.
b.
c.
d.
e.
TeSyS 12
Dada la señal en tiempo discreto con espectro X(F/FS) sin aliasing, la señal analógica original puede reconstruirse a partir de la señal muestreada.
En efecto, en ausencia de aliasing:
por lo que:
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2/||0
2/||1
S
SSSa
FF
FFFFX
FFX
( ) ( )
dFeFFX
F
dFeFXtx
tFjsF
sF
tFjsF
sF
SS
aa
π
π
22/
2/
22/
2/
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=
∫
∫
−
− TransformadaInversa de Fourier
TeSyS 13
Por definición:
Reemplazando en la ecuación anterior:
( ) sFnFj
kS
enxFFX /2π−
∞
∞−=∑=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
( ) [ ( ) ]
( ) ( )dFenxF
dFeenxF
tx
ssF
sF
sF
sF
FntFj
nS
tFjFFnj
nSa
/2
2/2
2/
2/
2/
2/
1
1
−∞
∞−=
−∞
∞−=
∫∑
∑∫
−
−
=
=
π
ππ
( ) ( )
( )
( )T
nTtT
nTt
nTxtx an
a −
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
= ∑∞
∞−= π
πsen.
Fórmula de
reconstrucción
TeSyS 14
Definimos:∆
Teorema de Muestreo:Si la máxima frecuencia contenida en una señal analógica xa(t) es Fmax= B y la señal es muestreada con una frecuencia FS > 2 Fmax= 2 B, entonces xa(t) puede ser exactamente recuperada a partir de las muestras xa(nT)mediante el uso de la fórmula de interpolación ideal.
( ) ( )Tt
Tttg/
/senππ
=
( ) ( ) ( )nTtgnTxtx an
a −= ∑∞
∞−=
.
Función deinterpolación
Fórmula deinterpolación
ideal
TeSyS 15
Interpolación Ideal – Teorema de Muestreo
A FN = 2B se la denomina Tasa de Muestreo de Nyquist
TeSyS 16
En la práctica, se emplea un prefiltro de antialiasingantes de muestrear la señal para asegurar que las componentes de frecuencia por encima de FS/2 están suficientemente atenuadas y de esta forma el aliasing no produce distorsión apreciable.
Ejemplos:1.Aliasing en señales senoidales
xa(t)= cos 2π F0t2.Muestreo de señales de banda no limitada
xa(t)= e -A| t | A>0
( )( )222
2
FAAFX aπ+
=
TeSyS 17
3. Muestreo en el Dominio FrecuencialConsideremos la representación de una señal x(n) en TD mediante muestras de su espectro X(ω) → DFTSea x(n) señal aperiódica de energía finita.Sabemos que x(n) tiene un espectro continuo
Suponemos que X(ω) es muestreada periódicamente en frecuencia con un espaciamiento entre muestras δω.Tomamos N muestras equidistantes en un período de X(ω)en el rango 0 ≤ ω < 2π. Tenemos entonces:
δω = 2π / N
( ) ( ) nj
nenxX ωω −
∞
∞−=∑=
TeSyS 18
Evaluamos (1) en ω=2π.k/N:
que puede escribirse:
( ) 1,,1,0,.2 /2 −==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
∞
∞−=∑ Nkenx
NkX Nnkj
nKππ
( ) ( )
( )
[ ( ) ] NmkjN
m
NnkjNN
Nn
NnkjN
n
Nnkj
Nn
eNmx
enx
enxenxN
kX
/21
0
/21
/21
0
/21.2
π
π
πππ
−∞
∞−=
−
=
−−+
=
∞
∞−=
−−
=
−−
−=
+=
=
+++=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∑∑
∑∑
∑∑
l
KK
l
l
ll
= xp(n)
m→ n - l.N
TeSyS 19
La señal xp(n) se obtiene como una repetición periódica de x(n) cada N muestras.xp(n) es entonces periódica de período N y puede expandir-se en serie de Fourier
con:
Comparando está expresión con la vista anteriormente
y por lo tanto:
( )
( ) Nnkj
Nnkj
enxN
c
Nnecnx
p
N
nk
k
N
kp
/2
/2
1
0
1
0
1
1,,1,0
π
π
−−
=
−
=
∑
∑
=
−== K
1,,1,0,21−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= Nk
NkX
Nck K
π
( ) 1,,1,0,21 /21
0
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑
−
=
NneN
kXN
nxNnkj
N
kp K
ππ
TeSyS 20
La ecuación anterior permite reconstruir la señal periódica xp(n) a partir de las muestras del espectro X(ω) de x(n).Sin embargo, nuestro objetivo es reconstruir x(n) o X(ω) a partir de las muestras de X(ω). Debemos entonces hallar la relación entre xp(n) y x(n).Como xp(n) es la repetición periódica de x(n) es claro que x(n) puede recuperarse de xp(n) si no hay aliasing en el dominio temporal, es decir si x(n) es de duración finita menor que el período N de xp(n).Es decir, si L < N, entonces:
x(n) = xp(n) 0 ≤ n ≤ N - 1En caso contrario, N < L, no es posible recuperar x(n) a partir de xp(n) debido al aliasing en el dominio temporal.
TeSyS 21
Como en el caso de señales en tiempo continuo es posible expresar el espectro X(ω) en términos de las muestras X(2πk/N) con k=0,1,...,N-1.La fórmula de interpolación en este caso resulta:
donde la función interpolación P(ω) está definida como:
( ) LNN
kPN
kXXN
n≥⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=∑
−
=
πωπω 2.21
0
( ) ( )( )
( ) 2/1
2/2/ −−
=Nj
eNsen
NsenPω
ωωω
TeSyS 22
4. Transformada Discreta de Fourier (DFT)Si muestreamos el espectro X(ω) en frecuencias igualmente espaciadas ωk=2π.k/N con k=0,1,...,N-1, donde N ≥ L (la duración de la señal x(n) ) las muestras resultan
( ) ( ) 1,,1,0,.2 /21
0−==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= −
−
=∑ Nkenx
NkXX
NnkjN
nk K
ππω
DFT
Se define entonces la Transformada Discreta de Fourier con N puntos como
( ) ( ) 1,,1,0,/2
1
0−== −
−
=∑ NkenxkX
NnkjN
nK
π
Vemos entonces que si la señal es de longitud , la transformada Discreta de Fourier con N puntos puede
NL ≤
TeSyS 23
Para el caso en que , la señal x(n) puede recuperarse a partir de las muestras X(k) definiendo la Transformada Discreta de Fourier Inversa (IDFT):
( ) ( ) 1,,1,01 /21
0−== ∑
−
=
NnekXN
nxNnkj
N
kK
π
IDFT
pensarse como muestras del espectro X(ω) en las frecuencias equiespaciadas ωk=2π.k/N con k=0,1,...,N-1. Notar que si en cambio no se verifica que , entonces la DFT con N puntos de la señal no puede pensarse como muestras del espectro X(ω) .
NL ≤
NL ≤