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1
Teoria Cinetica dei gas
(Un’esposizione molto elementare)
La teoria cinetica stabilisce un collegamento tra il comportamento macroscopico di un gas e il suo comportamento microscopico.
Le grandezze macroscopiche Pressione e Temperatura sono strettamente dipendenti dalle grandezze microscopiche N Numero delle molecole e Velocità delle molecole.
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2
Il modello meccanico di un gas
Al contrario di quel che avviene per i liquidi ed i solidi, il comportamento dei gas appare indipendente dalla specie chimica. La bassissima densità, la capacità di espandersi
illimitatamente, il comportamento semplice e regolare al variare di temperatura e pressione portano a concludere che, nello stato gassoso, le molecole siano sostanzialmente indipendenti e
libere, che le forze fra di esse agiscano, a breve distanza, solo nell’urto.
Ciò conduce a formulare un primo modello meccanico fondato sulle seguenti ipotesi:
• Le molecole sono assimilabili a sfere rigide piccolissime (punti materiali) di massa m
• Il loro numero N è così elevato da essere statisticamente significativo
• Le molecole si muovono in modo completamente casuale obbedendo alle leggi di Newton
• L’urto delle molecole con le pareti del contenitore è elastico (si conserva l’energia cinetica)
• Le loro dimensioni sono trascurabili rispetto alla distanza media fra esse; in altri termini il volume complessivo delle molecole è trascurabile rispetto al volume totale occupato dal gas
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3
• Tutte le molecole sono di ugual massa
• il moto delle molecole non ha direzioni privilegiate
• * le molecole non si urtano fra loro
L’abbandono di quest’ultima ipotesi porta ad un sostanziale raffinamento del modello, con conseguenze estremamente significative
e infine:
• L’urto delle molecole contro le pareti rispetta le leggi della riflessione
il modello di gas
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4
L’origine della Pressione
La pressione esercitata dal gas è dovuta agli urti delle molecole contro le pareti del
contenitore.
Ricordiamo dalla meccanica che:
Δt
pΔF
Δt
vΔmF amF
v
L
L
L
S Si pensi ad 1 sola molecola di massa m in moto con velocità v entro una scatola cubica di lato L
Modello di gas
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5
zy
x
v
L
L
L
S
Nell’urto contro la parete di destra, perpendicolare all’asse X, essa subisce una variazione della quantità di moto:
xxxif mvmvmvppp 2
v
v
vx
-vx
forza agente sulla particella in 1 urto:
forza agente sulla parete in 1 urto:
t
mvF x
x
2
t
mvF x
x
2
( 3° principio della dinamica)
La variazione della q. di moto della parete in 1 urto:
xmvp 2
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6
Esaminiamo attentamente l’urto contro la parte 1
L’urto è elastico: Ec iniziale = Ec finale Viniziale = V finale
La variazione della q. di moto della parete in 1 urto:
xmvp 2
L’urto rispetta le leggi della riflessione:
1- raggio incidente, raggio riflesso, normale alla sup. riflettente, nel punto d’ìncidenza, sono complanari,
2- angolo incidenza = angolo riflessione
ifififif vvvvmvmvEcEc 2222
2
1
2
1
Consideriamo la variazione della q. di moto della molecola:
x
z
v
v
vx
-vx
xzyxizyxf vmpvvvmpvvvmp 2 allora )( );(
Urto
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7
Dopo l’urto la molecola si muove verso la parete opposta con velocità vx, e, dopo un altro urto, torna indietro verso la parete 1
Quindi percorre la distanza 2L con velocità vx impiegando un tempo t = 2L/vx
Pertanto la forza media esercitata dalla molecola contro la parete 1 è
L
vm
L
vm
vL
vm
t
pF xx
x
x22
2
22
2
V
vm
L
vm
L
F
A
FPressione xx
2
3
2
2
Che determina la pressione
v
L
L
L
S
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8
La formula precedente fa riferimento ad una sola molecola. Per la pressione totale dovremo tener conto del contributo di tutte le molecole che però hanno velocità diverse e in generale variabili nel tempo. Tuttavia la distribuzione delle velocità rimane costante e, quindi, anche la velocità media rimane costante, pertanto invece della velocità vx faremo riferimento alla velocità media
E tenendo conto di tutte le molecole
V
vm x2
P
22
P xx vm
V
N
V
vmN
Distribuzione velocità
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zyx vvvv
e le tre componenti vx, vy, vz sono mediamente equivalenti, cioè, ogni direzione è ugualmente probabile,
2222
3
1vvvv zyx
(teorema di Pitagora)
avremo
Siccome vx è una delle tre componenti della velocità v
22222 3 xzyx vvvvv
22
3
1P vm
V
N
V
vmN x
vx
vy
vz
v
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(ove è il valore medio del quadrato della velocità.
Indicando con Ec = l’energia cinetica media di una molecola )
2v
2
2
1vm
cEV
Nvm
V
NP
3
2
2
1
3
2 2
La pressione di un gas è direttamente proporzionale all’energia cinetica media delle sue
molecole.
Allora, in un gas ideale, la pressione è direttamente proporzionale al numero delle molecole, inversamente proporzionale al volume e
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11
cENvmNPV3
2
2
1
3
2 2
E portando al primo membro il volume V
cEV
Nvm
V
NP
3
2
2
1
3
2 2
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Teoria Cinetica(ipotesi teorica)
Equazione di stato dei gas(risultato sperimentale)
cENPV3
2 NkTPV
TN
RkTE
AVc 2
3
2
3
Energia cinetica e temperatura
NkTEN c 3
2
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La temperatura assoluta è (se la deduzione è corretta !), direttamente proporzionale alla sola energia cinetica media molecolare. Scaldando un gas aumentiamo la velocità media delle sue molecole, raffreddandolo diminuiamo la velocità media delle molecole.
kTEc 2
3
Acquista un significato chiaro la nozione di temperatura assoluta !
Si ha anche: Energia di una mole
Energia totale gas
TRTNkE AVmol 2
3
2
3
TRnE gastot 2
3
Energia cinetica media di una molecola
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Calcolo delle velocità molecolari
A che velocità si muove, in media, una molecola di Ossigeno ( O2 )
alla temperatura di 27 °C ? (T=27 °C = 300 K)
kTvmkTEc 2
3
2
1
2
3 2
M
RT
mN
TkN
m
kTv
Av
Avqm
333
vvv 22
se:
Massa di 1 molecola
Velocità quadratica media
(radice quadrata della media dei quadrati delle velocità)
massa molecolare
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15
per l’Ossigeno : 1310322
molkgM O
m/svmolKg
KqmO 485
1032
30031,83
/
)(K))(J/(mol32
…e una molecola d’Idrogeno ( H2 ) ?
(a parità di temperatura l‘energia cinetica media è la stessa, ma la velocità media è inversamente proporzionale alla radice quadrata della
massa molecolare)
M
RTv
3
In una miscela di gas diversi (es. Azoto 14N e Ossigeno 16O) tutte le molecole possiedono la stessa en. cinetica media, ma le molecole di
azoto, essendo più leggere, sono mediamente più veloci.
m/s 20004316
16
133
16
1vv
22 O2
22
H22
MMMMMO
OH
OH
RTRTRT
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Energia interna di un gas ideale
kTvm2
1 kTvm
2
1
kTvm2
1 kTE
xx
c
2
1
2
33
2
3
2
3
22
2
L’energia interna di una sostanza è la somma di tutte le energie: potenziali, cinetiche, rotazionali, delle molecole
che la compongono
Ad ogni grado di libertà “componente dell’energia” di una molecola è associata un’energia pari a ½ kT
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17
NkT
kTN
ternaenergiaU
molecoletotalenumerolibertàdigradi
2
3
2
1)()(3
in
In un gas ideale (monoatomico) le uniche interazioni sono gli urti perfettamente elastici, non c’è energia potenziale e le molecole hanno solo energia traslazionale nelle tre direzioni dello spazio. L’energia totale del sistema è la somma dell’energia cinetica nelle tre direzioni di moto, 3 gradi di libertà
oppure
nRTkTnNNkTU A 2
3
2
3
2
3
vx
vy
vz
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18
NkT
kTN
ternaenergiaU
molecoletotalenumero
2
5
2
1)()(5
in
libertà di gradi
Nel caso di un gas biatomico si hanno 5 gradi di libertà complessivi: 3 traslazionali nelle tre direzioni dello spazio e 2 rotazionali.
quindi
nRTkTnNNkTU A 2
5
2
5
2
5
vx
vy
vz
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1a considerazione
•La velocità di fuga dalla Terra 11,2 km/s
• la velocità vqm di H2= 1,93 km/s 1/6 velocità di fuga
•Composizione dell’aria azoto 78%, ossigeno 21%, altri gas tra cui l’idrogeno 0,0062%
Alcune considerazioni sulle velocità molecolari
Distribuzione maxwelliana delle velocità molecolari
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0 200 400 600 800 1000
velocità (m/s)
dN
/dv p
er
mole
T=300 kIdrogeno
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20
una molecola 100 volte più pesante di quella di ossigeno avrebbe comunque la rispettabile velocità di circa 50 m/s e percorrerebbe un locale di 5 metri di lunghezza ben 10 volte in 1 secondo !!!!…………che sia proprio così ?
Se le cose stanno così allora ….
Allora,……
2a considerazione:
Abbiamo calcolato che la velocità media dell’ossigeno a 27 °C è di circa 485 m/s
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21
L’esperienza ci dice che il profumo del caffè non ci
arriva così in fretta !!
[prova tu ad immaginare altre analoghe situazioni]
Come si possono conciliare queste osservazioni con le previsioni della teoria cinetica ?
Fai clic sulla foto
Rinunciando all’ipotesi che le dimensioni delle molecole siano
infinitamente piccole , tanto piccole da rendere trascurabile la
probabilità di un urto fra esse
Questo fenomeno di propagazione di un gas in un altro (diffusione) appare in realtà
decisamente più lento.
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22
Se si assume che le dimensioni delle molecole siano finite , per esempio sfere di raggio r , allora il percorso di ciascuna molecola sarà una
successione casuale di moti rettilinei uniformi, di lunghezza e direzione differenti, tra un urto e l’altro, percorsi ciascuno con velocità diversa,
dipendente dalle modalità con cui avviene l’urto con un’altra molecola.
Più grandi sono le
molecole, più è probabile
l’urto reciproco !
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23
r = raggio molecolare
n = numero di molecole per unità di volume
= velocità media
Si può dimostrare che la frequenza d’urto
(numero di collisioni al secondo) è data da:
vnπrf 24
e che il libero cammino medio (distanza media percorsa tra un urto e il
successivo) è : nπrf
vl
24
1
v
Nel 1856 R.Clausius determinò, proprio in base alle velocità di diffusione dei gas e ad altri dati sperimentali, l’ordine di grandezza delle dimensioni molecolari:
m 10 10 -109 rSi tratta della prima misura indiretta delle dimensioni di particelle
microscopiche, fino ad allora solamente ipotizzate !
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24
Negli urti tra molecole si hanno continui scambi di energia cinetica ma il valore medio per molecola di tale energia e quello complessivo restano costanti.
Si deve a J.C.Maxwell il calcolo della distribuzione statistica delle velocità molecolari in un gas, il cui andamento dipende solo dalla temperatura :
Distribuzione maxwelliana delle velocità molecolari
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0 200 400 600 800 1000
velocità (m/s)
dN/d
v pe
r m
ole
T=300 kOssigeno