Download - Tentang Penulis Pengantar
BUKU AJAR
Pengantar
` Tentang Penulis
Dr. Anwar, M.Pd ., lahir di Banda Aceh, 22 Maret 1966.
Tahun 1990 lulus Sarjana Pendidikan Matema�ka FKIP
Unsyiah. Kemudian, melanjutkan pendidikan pada
Program Pascasarjana IKIP Malang (Sekarang UM
Malang) lulus tahun 1986 dan lulus Program Doktor
Pendidikan Matema�ka juga di UM Malang tahun
2017. Sejak tahun 1991 hingga sekarang adalah dosen
di Prodi S1 Pendidikan Matema�ka FKIP Unsyiah. Sejak
tahun 2017 telah menjadi salah seorang staf pengajar
di S2 Pendidikan Matema�ka FKIP Unsyiah.
Drs. Bainuddin Yani, M.S., M.Pd., lahir di Ulim, 2 Januari
1955. Lulus Sarjana Muda (B.A) jurusan Ilmu Pas� pada
Fakultas Keguruan Unsyiah tahun 1978, dan lulus
Sarjana (Doctorandus) pada jurusan dan fakultas yang
sama pada tahun 1982. Kemudian, melanjutkan
pendidikan pada Fakultas Pascasarjana IKIP Jakarta
(Sekarang UNJ) jurusan S-2 PKLH dan lulus tahun 1986.
Pada tahun 2014 lulus pada Program Studi Magister
Pendidikan Matema�ka Program Pascasarjana
Unsyiah. Sejak tahun 1984 hingga sekarang adalah
dosen di Prodi S1 Pendidikan Matema�ka FKIP Unsyiah.
Drs. Syahjuzar, M.Si., lahir di Medan, 11 Mei 1957.
Tahun 1985 lulus dari Jurusan Matema�ka FMIPA
Universitas Indonesia. Tahun 2012 lulus dari Jurusan
Ekonomi Studi Pembangunan Fakultas Ekonomi
Unsyiah. Sejak tahun 1988 telah menjadi salah seorang
staf pengajar di S1 Pendidikan Matema�ka FKIP
Unsyiah.
Diterbitkan oleh :Percetakan & Penerbit
Syiah Kuala University PressDarussalam, Banda Aceh
SYIAH KUALA UNIVERSITY PRESS
PENGANTAR ANALISIS KOMPLEKS
Drs. Bainuddin Yani, M.S., M.Pd
Dr. Anwar, M.Pd
Drs. Syahjuzar, M.Si
SYIAH KUALA UNIVERSITY PRESS
2017
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang keras memperbanyak, memfotocopy sebagian atau
seluruh isi buku ini, serta memperjualbelikannya tanpa
mendapat izin tertulis dari penerbit.
Diterbitkan oleh Syiah Kuala University Press Darussalam
–Banda Aceh, 23111
Judul Buku : Pengantar Analisis Kompleks Penulis : Drs. Bainuddin Yani, M.S.,M.Pd, Dr. Anwar,M.Si
dan Drs. Syahjuzar, M.Si
Penerbit : Syiah Kuala University Press
Telp : (0651) 801222
Email : [email protected]
Cetakan : Pertama, 2017
ISBN : 978-602-5679-03-2
Anggota Ikatan Penerbit Indonesia (IKAPI)
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, tim penulis telah menyelesaikan buku ini
dengan judul Pengantar Analisis Kompleks. Buku ini disusun untuk
menunjang perkuliahan analisis kompleks bagi mahasiswa Jurusan
Pendidikan Matematika di perguruan tinggi.
Rancangan penyusunan buku ini sesuai dengan kebutuhan
perkuliahan analisis kompleks yang dimulai dengan materi Bilangan
Kompleks, Fungsi Kompleks, Limit, Kontinuitas dan Diferensial
Fungsi Kompleks, Fungsi Analitik, Integrasi Kompleks, serta Deret
Kompleks dan Residu.
Tim penulis mengucapkan terima kasih kepada Kemristekdikti
yang telah mendanai kegiatan penulisan buku ini. Terima kasih juga
disampaikan kepada semua pihak yang telah memberikan saran
konstruktif untuk kesempurnaan penulisan yang lebih baik.
Kritik dan saran sangat diharapkan dari pembaca bila dalam
penyusunan buku ini masih terdapat banyak kekurangan dan
kesalahan guna untuk perbaikan atau revisi pada masa mendatang.
Semoga buku ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
Tim Penulis
iii
iv
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN SAMPUL ............................................................................... i
HALAMAN JUDUL ................................................................................... ii
KATA PENGANTAR ................................................................................. iii
DAFTAR ISI ............................................................................................... iv
BAB I BILANGAN KOMPLEKS
1.1 Definisi Bilangan Kompleks ............................................... 1
1.2 Operasi pada Bilangan Kompleks ...................................... 3
1.3 Sifat-sifat Aljabar Bilangan Kompleks ............................... 4
1.4 Bentuk Kutub Bilangan Kompleks .................................... 11
1.5 Bentuk Eksponensial Bilangan Kompleks ......................... 14
1.6 Akar Bilangan Kompleks .................................................. 16
1.7 Bilangan Quaternion ........................................................... 20
BAB II FUNGSI DAN TRANSFORMASI KOMPLEKS
2.1 Pengantar Fungsi ................................................................ 24
2.2 Fungsi Linear ..................................................................... 28
2.3 Transformasi Linear ........................................................... 29
2.4 Fungsi Pangkat ................................................................... 35
2.5 Fungsi Kebalikan .............................................................. 37
2.6 Transformasi Bilinear ........................................................ 38
2.7 Fungsi Eksponensial ......................................................... 50
2.8 Fungsi Logaritma .............................................................. 52
2.9 Eksponen Kompleks ......................................................... 54
2.10 Fungsi Trigonometri ...................................................... 56
2.11 Fungsi Hiperbola .............................................................. 58
2.12 Fungsi Invers Trigonometri .......................................... 59
2.13 Fungsi Invers Hiperbola .................................................. 61
BAB III LIMIT, KONTINUITAS DAN DERIVATIF FUNGSI
KOMPLEKS
3.1 Himpunan Titik-titik Pada Bidang Kompleks ..................... 63
3.2 Limit Fungsi Kompleks ...................................................... 65
3.3 Kekontinuan Fungsi Kompleks .......................................... 73
3.4 Diferensial Fungsi Kompleks ............................................. 75
v
3.5 Persamaan Cauchy –Riemann ............................................ 86
3.6 Derivatif Fungsi-fungsi Elementer ...................................... 98
BAB IV FUNGSI ANALITIK
4.1 Fungsi Analitik ....................................................................101
BAB V INTEGRASI FUNGSI KOMPLEKS
5.1 Fungsi Bernilai Kompleks .................................................. 113
5.2 Lintasan .............................................................................. 118
5.3 Integral Lintasan ................................................................. 127
5.4 Anti Derivatif ...................................................................... 141
5.5 Pengintegralan Cauchy ....................................................... 152
5.6 Integral Tak Tentu dan Integral Tentu ................................ 155
5.7 Rumus Integral Cauchy ....................................................... 156
5.8 Teorema Morera dan Teorema Lionville ............................ 158
BAB VI BARISAN DAN DERET
6.1 Konvergensi Barisan dan Deret Kompleks ......................... 161
6.2 Deret McLaurin dan Deret Taylor ...................................... 170
6.3 Deret Laurent ..................................................................... 177
REFERENSI ............................................................................................... 200
1
BAB I
BILANGAN KOMPLEKS
A. Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK)
Mahasiswa memahami definisi bilangan kompleks‚ sifat aljabar
bilangan kompleks‚ dan akar bilangan kompleks.
BAB I - PERTEMUAN 1
DEFINISI DAN OPERASI BILANGAN KOMPLEKS
Indikator CPMK:
1. Menjelaskan definisi formal dan non-formal bilangan
kompleks.
2. Memahami operasi dasar bilangan kompleks (penjumlahan‚
pengurangan‚ perkalian‚ dan pembagian bilangan kompleks).
B. Uraian Materi
1.1 Definisi Bilangan Kompleks
Definisi 1.1
Bilangan kompleks didefinisikann dengan himpunan
ℂ = {x + iy | x‚ y ∈ ℝ‚ i = √-1 dan i2 = -1}.
Bilangan komplek biasanya disimbolkan dengan z‚ sehingga z = x +
iy. x disebut bagian real dari z dan ditulis x = Re(z)‚ dan y disebut
bagian imaginer dari z‚ dan ditulis y = Im(z). Dua bilangan kompleks
𝑧1 = 𝑧2 bila dan hanya bila x1 = x2 dan y1 = y2.
23
BAB II
F U N G S I D A N T R A N S F O R M A S I
K O M P L E K S
A. Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK)
Mahasiswa memahami pengertian fungsi kompleks‚ transformasi‚
dan fungsi elementer.
BAB II - PERTEMUAN 4
FUNGSI DAN TRANSFORMASI KOMPLEKS
Indikator CPMK:
1. Memahami definisi fungsi kompleks
2. Memahami suatu pemetaan dari bidang z ke w.
3. Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan
transformasi linear.
4. Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan
transformasi pangkat.
5. Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi
invers.
6. Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan
transformasi bilinear.
B. Uraian Materi
2.1. Pengantar Fungsi
Bab ini m e m bahas berbagai fungsi elementer yang
memetakan suatu titik z di himpunan bilangan kompleks C
menjadi suatu titik w di C. Pembahasan fungsi kompleks atau peubah
kompleks pada dasarnya tidak berbeda jauh dari fungsi peubah real.
Misalnya y = f(x) suatu fungsi peubah real. Dengan menggantikan
peubah bebas x dengan z dan peubah tak bebas y dengan w‚
62
BAB III
LIMIT‚ KONTINUITAS DAN DERIVATIF FUNGSI
KOMPLEKS
A. Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK)
Mahasiswa memahami syarat eksistensi limit, kekontinuan, dan syarat
eksistensi derivatif fungsi kompleks, serta menemukan derivatif fungsi
kompleks elementer.
BAB III - PERTEMUAN KETUJUH
Indikator CPMK:
1. Memahami limit fungsi kompleks.
2. Memahami syarat kontinu suatu fungsi kompleks.
3. Memahami definisi dan prosedur perhitungan derivatif fungsi
kompleks.
B. Uraian Materi
Pada bab ini dibahas konsep keterdiferensialan suatu fungsi‚
sementara konsep keterdiferensialan memerlukan pula konsep limit
dan kekontinuan. Oleh karena itu‚ pada bab ini per lu dibahas
konsep-konsep limit dan kekontinuan‚ baru dilanjutkan dengan
diferensial. Sebelumnya‚ perlu dipelajari berbagai terminologi
mengenai himpunan titik-titik pada bidang kompleks ( reg ions in
t he compl ex p lan e ) yang m e r u p a k a n dasar dari konsep-
konsep tersebut. Semua konsep ini diperlukan untuk membahas
konsep keanalitikan suatu fungsi pada bab berikutnya.
101
BAB IV
FUNGSI ANALITIK
A. Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK)
Mahasiswa memahami syarat perlu dan syarat cukup suatu fungsi
analitik.
BAB IV - PERTEMUAN KESEMBILAN
Indikator CPMK:
1. Membuktikan syarat perlu dan syarat cukup fungsi analitik.
2. Menemukan rumus fungsi harmonik.
3. Menghitung fungsi harmonik sekawan.
4. Mampu mengaplikasikan syarat analitik dan harmonik dalam
pemecahan masalah.
B. Uraian Materi
4.1. Fungsi Analitik
Suatu fungsi f(z) = u + iv dengan u = u(x,y) dan v = v(x,y),
analitik di z bila f (z) ada pada persekitaran N(z,r). Secara khusus, f(z)
dikatakan analitik pada sebuah titik z0 jika ada persekitaran N(z0) atau
himpunan |z – z0| < pada semua titik dimana f (z0) ada. Dengan kata
lain, analitisitas pada suatu titik z0 menghendaki f (z0) ada bukan
hanya pada z0 namun harus di semua titik yang berada di dalam
persekitaran tertentu titik z0.
112
BAB V
INTEGRASI FUNGSI KOMPLEKS
A. Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK)
Mahasiswa memahami integrasi fungsi bernilai kompleks, integral
contour, integral fungsi analitik, dan integral Cauchy.
BAB V - PERTEMUAN KESEPULUH
Indikator CPMK:
1. Memahami teknik pengintegrasian garis kompleks.
2. Memahami teknik Integral contour.
3. Menemukan rumus integral fungsi analitik.
B. Uraian Materi
Pengantar
Konsep dasar dari integral pada awalnya telah dibicarakan dalam
kalkulus, namun pembahasannya dikaitkan dengan bilangan real.
Akibatnya, setiap penyelesaian suatu integral menggunakan bilangan
real. Pada pembahasan ini, konsep dan prosedur penyelesaian integral
melibatkan bilangan kompleks. Karena bilangan kompleks merupakan
perluasan konsep bilangan real, maka masalah integral pada
pembahasan sekarang merupakan perluasan dari masalah integral pada
kalkulus. Artinya, definisi dasar maupun rumus-runus dasar serta
teknik-teknik penyelesaian integral pada kalkulus akan juga digunakan
161
BAB 6
DERET KOMPLEKS
A. Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK)
Mahasiswa memahami konvergensi barisan dan deret kompleks,
deret McLaurin, deret Taylor, dan deret Laurent.
BAB VI - PERTEMUAN DUA BELAS
Indikator CPMK:
1. Memahami barisan dan deret pangkat bilangan kompleks
2. Memahami konvergensi barisan dan deret kompleks.
B. Uraian Materi
Bab ini menyajikan deret yang mengambarkan suatu fungsi analitik.
Kita menyajikan teorema yang menjamin existensi dari deret tersebut
dan menyajikan juga beberapa cara dalam memanipulasinya.
6.1 Konvergensi Barisan Barisan Deret
Suatu barisan tak hingga
z1 , z2 , z3 , . . . , zn , . . .
200
REFERENSI
Brown, J. W., & Churchill, R. V. 1990. Complex variables and
Application. Toronto: Migraw Hill.
Freitag, E., dan Busam, R. 2005. Complex Analysis. Heidelberg:
Springer.
Huybrechts, D. 2005. Complex Geometry an Introduction. Berlin:
Springer.
Joseph Bak & Donald J. Newman. 1997. Complex Analysis , 2nd edition.
New York: Springer.
Kaplan, W. 1952. Advanced Calculus. Tokyo: Addison Wisley
Publishing Compny.
Mark, J. A., & Fokas, A. S. 2003. Comples Variables: Introduction and
Applications. Cambridge Text in Applied Mathematics, 2nd ed,
Cambridge University Press.
Palirouras, J. D. 1990. Complex Variable for Scientists and Engineers,
2nd edition. : New York: McMillan Coll Div.
Saff, E.B. & Snider, A.D. 2003. Fundamental of Complex analysis with
application, 3rd edition. Prentice Hall. Inc
Saff, E.B. & Snider, A.D. 1993. Complex analysis for mathematics,
Sience and engineering, 2nd edition. Prentice Hall. Inc.
Spiegel, Murray R. (1981). Complex Variables Singapore: McGraw –
Hill International Book Company.
Wegener, I. 2005. Complexity Theory Exploring the Limits of Efficient
Algorithms. Berlin: Springer.
Wunsch, A. D., 1994, Complex Variables with Applications, 2nd eds.,
Addison-Wesle.