Download - Telekommunikation, Vt-05 Signaler F1_A
F1_A_be 1
Telekommunikation, Vt-05Signaler
F1_A
F1_A_be 2
SIGNALER och SIGNALBESKRIVNING Nya begrepp att kunna:
• Deterministisk
• Stokastisk
• Medelvärde
• Varians
• CDF
• Periodisk
• Icke-periodisk
• Transient
• Digital
• Analog
F1_A_be 3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5
0
0.5
1
1.5
Analog Amplitud-diskretTids-kontinuerlig
Amplitud-kontinuerligTids-diskret
Amplitud-diskretTids-diskret Digital
F1_A_be 4
Exempel på digital signal:
0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 0.22 0.23-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time [sek]0.504 0.506 0.508 0.51 0.512 0.514 0.516
-6.8
-6.6
-6.4
-6.2
-6
-5.8
-5.6
-5.4
-5.2
-5
-4.8
x 10-3
Time [sek]
Inspelat ljud = sampel ( mätpunkt )
Samplingsfrekvens 8192 Hz
F1_A_be 5
•STOKASTISKA SIGNALER( random signals )
•DETERMINISTISKA SIGNALER
Medel(x) = 0.1161
Varians(x) = 0.7697
Variansen skrivs ofta 2
Amplitud(x) = 1.5Frekvens(x) = 2x(t)=1.5*sin(2π*2*t)
F1_A_be 6
>> x=rand(1,1000);plot(x,'k')>> hist(x)>> var(x) = 0.0833>> mean(x) = 0.5001
>> help rand
RAND Uniformly distributed random numbers.
F1_A_be 7
RANDN Normally distributed random numbers.
RANDN(N) is an N-by-N matrix with random entries, chosen from
a normal distribution with mean zero, variance one and standard
deviation one.
>> x=rand(1,1000);plot(x,'k')
>> var(x)
0.9994
>> mean(x)
0.0464
>> hist(x)
F1_A_be 8
Fyrkantvåg:
( square wave )
•Stokastisk/Deterministisk ?
•Frekvens ?
•Amplitud ?
•Histogram ?
F1_A_be 9
Bit-tid
Slumpmässigdigitalsignal.
x=rand(1,20)>0.5;stairs( x>0.5,'k');hist(x);
F1_A_be 10
•Stokastisk/Deterministisk ?
•Frekvens ?
•Amplitud ?
•Histogram
F1_A_be 11
Amplitudegenskaper för analoga signaler
• En sinusformad signal med periodtiden T och frekvensen f kan beskrivas genom sin amplitud A
• Man kan enkelt beräkna DC-nivå och effektivvärde (RMS) för varje periodisk funktion
T
RMS
T
DC
dttuT
u
dttuT
u
tfAtu
0
2
0
)(1
)(1
)2sin()(
F1_A_be 12
%sin_plot.m
A=1;
f=2;
t=0:0.01:1;
u=A*sin(2*pi*f*t);
plot(t,u,'k');
xlabel('t [s]');
ylabel('u(t)');
A
uRMS
uDC
F1_A_be 13
Effekt i Sinus-signal
Enligt el-läran: ][2
WattR
UP RMS
SINUS där R = belastning i ohm ( )
Effekt i Brus-signal
RPU brusRMS
2
Vid signalberäkningar sätter man ofta R = 1 och får alltså
2BrusP
F1_A_be 14
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-15
-10
-5
0
5
10
15
Brus-effekt = 4 [W]
Sinus-effekt = ][5.122
52
W
(Signal + Brus ) - effekt i W ?
Signal/Brus-förhållande i dB ?
F1_A_be 15
Digitala signaler
För digitala signalerman man t.ex angemedelvärde ochstandardavvikelse
1
0
2
1
0
)][()1(
1
][1
N
nstdav
N
nmedel
xmedelnxN
x
nxN
x
x=[1 4 6 8];
N=length(x);
xmedel=(1/N)*sum(x)
temp=sum( (x-xmedel).^2);
xstdav=sqrt( (1/(N-1)*temp))
F1_A_be 16
3 signalanalys-tekniker
• Frekvensanalys – används för att beskriva vilka frekvenser som bygger upp signalen
• Korrelation – används för att jämföra signaler
• Beräkning av täthetsfunktion och sannolikhetsfunktion
F1_A_be 17
Amplitudtäthetsfunktion
Probability Density Function (PDF)
y+dyy
dt1
dt2
T
dtdtdq
T
...21lim
Sannolikheten att signalen har enAmplitud i intervallet y till y+dy:
F1_A_be 18
Sannolikheten beror av dy, varför vi inför:
dy
dqyp )(
b
a
dyypbyaP )()(
0
?)( dyyp
Amplitudtäthetsfunktionen:
Vidare sannolikheten att signalens amplitud ligger i intervallet a till b:
?)(
dyyp
F1_A_be 19
Några viktiga samband:
En signals medelvärde ( mean, expected value ) och dess
effektivvärde eller standardavvikelse =
)(
][)()(
)(
2222
rdeeffektivväy
yEyEdyyyypy
yEdyyypy
yeff
ymedeleff
medel
F1_A_be 20
Exempel: Bestäm täthetsfunktionen för en sinussignal.
2
2
1
11)(
)(2
1
1
2
)arcsin(2
)2
sin(
yyp
dyypT
dtdq
dyy
Tdt
yT
ttT
y
dy
dt
T
dt
F1_A_be 21
Ex: Sannolikheten att sinuskurvans värde < -0.5:
3
1...)arcsin(
1
1
11)()5.0(
5.0
1
5.0
12
5.0
1
y
dyy
dyypyP
21
11)(
yyp
F1_A_be 22
Amplitudsannolikhetsfunktion( Cumulative Distribution Function, (CDF) )
y=-1:0.01:1;cdf=(1/pi)*(asin(y)-asin(-1));
dy
cdfdpdf
dttpdfycdfy
)(
)()(
F1_A_be 23
Hur ser PDF och CDF ut för kast med symmetriskt myntresp. symmetrisk tärning ?
F1_A_be 24
Den mest berömda Amplitudtäthetsfunktion: Gauss-fördelningen ellerNormalfördelning
2
2
2
)(
2
1)(
my
eyppdf
m = medelvärde
σ = standardavvikelse
m = 0σ = 1
m = 1.5σ = 0.5
F1_A_be 25
m = 0σ = 1
”Svans”Hur stor är sannolikheten att Signalens amplitud > 2 σ?Sannolikheten blir = svansens yta som beräknas:I MATLAB0.5*erfc(2/sqrt(2)) = 0.0228
Alternativt kan Q(x)-funktionen som finns i formelsamlingen användas:Q(2)=0.0275
F1_A_be 26
Motsvarande CDF:
dtemycdfmty2
2
2
)(
2
1),,(
m = 0σ = 1
y
F1_A_be 27
KORRELATION
• Korrelation kan användas för att hitta en signal y[n] i en annan signal x[n]
1
0
][][)(N
kxy jkykxjR
• Korrelationen är ett mått på likheten mellan x och y vid tidpunkten j
F1_A_be 28
Exempel:
Ett känt mönster x: 0 1 0sökes i signalen y: 0 0.2 1.25 0.12 0 0
Korrelationen = ”Kors”-korrelationen blir:
Tolkning:
x verkar finnas i y med en offset på 1.
F1_A_be 29
%F22%Cross-correlation%Look for pattern in datax=[ 0 0.2 1.25 0.12 0 0 0];%Datay=[ 0 1 0 ];%PatternLx=length(x);Ly=length(y);M=max(Lx,Ly);L=2*M-1;%Correlation lengthL2=round(L/2);Rxy=xcorr(x,y); %Cross-correlation functionj=-L2+1:L2-1;%Offsetstem(j,Rxy,'filled','k');
MATLAB-program som genererar figuren ovan.
F1_A_be 30
En sinusfunktion med frekvens 5 Hz korreleradmed sig själv ( ”Auto-korrelation” ):
%F23%Auto-correlationdt=0.001;t=0:dt:1;x=sin(2*pi*5*t);%Data 5 HzLx=length(x);Ly=length(y);M=max(Lx,Ly);L=2*M-1;%Correlation lengthL2=round(L/2);Rxy=xcorr(x,x);j=-L2+1:L2-1;%Offsetplot(j*dt,Rxy,'k');
F1_A_be 31
Gaussiskt brus korrelerat med sig själv
F1_A_be 32
Ex: sinus i brus
Signal
Var finns Signalen i bruset ?
F1_A_be 33
Korrelation mellan Signal och Signal i brus
F1_A_be 34
%F25%Search for signal%in noisedt=0.01;t1=0:dt:1;x1=sin(2*pi*2*t1);%Signal 2 Hz%figure(1)plot(t1,x1,'k');%m1=randn(1,1001);%Gaussian Noisem1(201:301)=m1(201:301)+x1;%Insert Signalt=0:dt:10;figure(2)plot(t,m1,'k');%Lx=length(m1);Ly=length(y);M=max(Lx,Ly);L=2*M-1;%Correlation lengthL2=round(L/2);Rxy=xcorr(m1,y);j=-L2+1:L2-1;%Offsetfigure(3)plot(j*dt,Rxy,'k');
F1_A_be 35
Några MATLAB-övningar
1. Beräkna medelvärde och standardavvikelse (=effektivvärde) för dessa periodiska signaler, alla med amplitud 1
xmedel =
0.6358
xstdav =
0.3088
xmedel =
0.3179
xstdav =
0.3858
xmedel =
0.5005
xstdav =
0.2892
Användbara funktioner: sin och sawtooth
F1_A_be 36
2. Beräkna sannolikheten att en normalfördelad signal har en amplitud >+2 om
a. Medelvärdet = 0 och standardavvikelse = 0.5 (3.1671e-005)
b. Medelvärdet = 1 och standardavvikelse = 2 (0.3084)
3.
Generera ett bitmönsterpå t.ex 10 bitar med 10sampel/bit.(Nivåer –1 och +1 )
Addera gaussiskt( normalfördelat brus)med effektivvärdet 1 :
F1_A_be 37
Den brusiga signalenkan se ut så här:
a. Beskriv någon metodatt avkoda denna signal, dvs återskapa bit-
mönstret.
b. Beräkna sannolikhetenför bitfel (”BER” ) somfunktion av signal/brus-
kvoten i dB. Räkna påt.ex 1000 bitar