Download - TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ
1
Page 1Page 1
TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ
MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ
Ders Kitabı : Mekanik Tasarım Temelleri, Prof. Dr. Nihat AKKUŞ
Yardımcı Kaynaklar:
Mechanics of Materials, (6th Ed) F. P. Beer E. R. Johnston, Jr. J. T. DeWolf
Mechanics of Materials (10th Ed.), R. C. HIBBELER
Mukavemet - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor
Mukavemet
Doç. Dr. Garip GENÇ
(MAM2004 )
Basit Eğilme (Bending)
Page 2www.garipgenc.com
Eğilme, uygulamalarda çok sık görülen bir yükleme biçimidir.
Yapılarda kullanılan kirişler,
Araçların geçtiği köprüler,
Vinçler, krenler vb.
eğilme yüklemesine maruzdur.
Eğilme Yüklemesine Maruz Yapı Örnekleri:
2
Page 3www.garipgenc.com
x
y
z
𝑴𝒚
B
Genel kural: Düzleme paralel moment eğilme; düzleme dik moment burulma momentidir.
z ekseni yönünde eğilme y ekseni yönünde eğilme
Not: Moment vektörü düzleme dik yani
düzlem normali yönünde (şekilde x ekseni )
olursa burulma momenti oluşacaktır.
y
z
x
𝑴𝒙
burulma
Eğilme ile Burulma Arasındaki Farkı nasıl anlarız?
Not: Moment indisleri eksen takımının yerleştirilmesine göre değişebilir, ancak genel kural
değişmez.
Eğilme yüklemesinde,
kesitteki moment vektörü (sağ
el kaidesine göre) düzlem
üzerindeki eksenler (y veya z
eksenleri) den birisi
yönündedir.
Page 4www.garipgenc.com
Eğilme Çeşitleri:
1-) Basit (Simetrik) Eğilme:
Kesitte sadece 1 eğilme
momenti vardır ve kesit en az
bir eksene göre simetriktir.
2-) Kesmeli Eğilme: Kesitte 1
eğilme momenti ve 1 kesme
kuvveti vardır ve kesit en az bir
eksene göre simetriktir.
3-) Simetrik olmayan (Eğik) Eğilme:
Simetrik kesitlerde en az 1 eğilme
momenti, simetrik olmayan kesitlerde en
az 2 eğilme momenti vardır.
x
y
z
𝑴𝒚
𝑴𝒛
3
Page 5www.garipgenc.com
Eğilme yüklemesinde oluşan gerilme cinsi:
Eğilme momenti sonucu acaba kesitte kayma gerilmesi mi yoksa normal gerilme mi oluşur? Önce buna karar
vereceğiz. Daha sonra kesitteki gerilme dağılımını formüle edeceğiz.
Şekildeki elastik çubuğun lif lif olduğunu düşünelim ve bu çubuğa eğilme uygulayalım:
Eğilme momenti sonucu üstteki liflerin kısaldığını alttaki
liflerin uzadığını görürüz.
Bu durumda üst liflere basma alt liflere çekme kuvvetleri gelir.
O halde liflerde normal gerilmeler oluşur.
Üst lifler kısalacağı için basma gerilmeleri (-sx), alt lifler
uzayacağı için çekme gerilmeleri (sx) oluşacaktır.
En üstteki lif en fazla kısalır en alttaki lif en fazla uzar. Bu
durumda bu liflerde şiddet olarak en büyük gerilmeler oluşur.
Alttan üste doğru gidildikçe liflerdeki uzama azalır. Bir geçiş
noktasında lifte uzama sıfır olur. Bu lifin bulunduğu kesitteki
yatay çizgiye tarafsız eksen denir. Bu liften üstteki liflerde
artık uzama negatif olur yani kısalma başlar.
Page 6www.garipgenc.com
Basit ve kesmeli eğilme de yapılan kabuller:
Düzlem kesitler eğilmeden sonra da düzlem kalmaya
devam eder.
Tarafsız eksenden en uzak noktalarda en fazla uzama ve
kısalma; dolayısıyla da maksimum çekme ve minimum basma
gerilmeleri oluşacaktır.
Tarafsız eksendeki tüm noktalarda gerilmeler sıfırdır. Her kesitte
tarafsız eksen vardır. Bu durumda tüm tarafsız eksenler kiriş
boyunca bir düzlem teşkil ederler ki buna tarafsız düzlem denir.
Birbirine dik lifler (çizgiler) eğilmeden sonra yine dik
kalır.
4
Page 7www.garipgenc.com
Basit eğilme de elastik gerilme hesabı:
DE: Tarafsız düzlem üzerindeki liftir. Boyu değişmez. Bu durumda
DE = D’E’
JK : tarafsız düzlemden y kadar uzaklıktaki liftir. Son boyu J’K’ dür.
Tüm liflerin İlk boyları eşittir. JK = DE
JKDEEDyKJ '',''
JK lifi için;
Son boy:
Toplam uzama : yyJKKJ ''
yy
Lx
s
yEE xx ..
Birim elastik uzama :
Elastik bölgede normal gerilme:
Not: Mukavemette aksi söylenmedikçe
şekil değiştirmemiş ilk durumdaki
geometriye göre işlem yapılır. (JK lifi nin
ilk hali yatay bir çizgidir. İşlemler bunun
üzerinden yapılmaktadır. J’K’ yayına göre
değil.)
000 ydAydAE
dAy
EdAF xx
s
Kesitte, normal yönde toplam iç kuvvet (Fx) yoktur. Yani sıfırdır.
0
dA
dAyyAğırlık merkezi tanımından:
Ağırlık merkezinin y koordinatı (𝑦) sıfır çıktı. O halde tarafsız eksen
kesitin ağırlık merkezinden geçer.
Not: Eğilmede eksen takımı mutlaka ağırlık merkezine
yerleştirilmelidir.
Page 8www.garipgenc.com
ydAM xz .s
Kesitteki y mesafesindeki bir noktada dA elemanına gelen iç kuvvet: dAxs
dA elemanın tarafsız eksene göre momenti: ydAx ).( s
Kesitteki toplam iç moment:
z
zzz
I
MEI
EdAy
EdAyy
EM
).()..( 2
s
yEE xx .. idi.
z
zx
I
yMs
+y tarafındaki noktalarda basma gerilmesi varken,
bunlar pozitif Mz momentine sebep olur. y > 0, sx < 0
ise Mz nin pozitif çıkması için denklemin başına –
koyulmalıdır.
Not: Bazı kaynaklarda eksen takımı farklı alınınca eksi işareti olmayabilir. Eksi işareti olup olmayacağını
kendimiz anlayabiliriz. Mz>0 iken Tarafsız eksenin üstündeki noktalarda (y>0) basma oluşması gerektiğini
görünüz. Bu durumda sx in negatif çıkması için denklemin başında mutlaka – olmalıdır.
Bu formül,
Basit veya kesmeli eğilmede,
elastik yükleme de,
İzotropik malzemeler
için geçerlidir.
5
Page 9www.garipgenc.com
Basit eğilmede normal gerilme dağılımı
Kesitte herhangi bir noktadaki gerilme formülü:
Not: Mz ve Iz bir kesit için sabittir. Gerilme ise
aynı kesitte noktadan noktaya değişir. Tarafsız
eksenden eşit uzaklıkta olan, yani aynı y
koordinatına sahip noktalarda gerilmeler aynıdır.
Kesit en az bir eksene
göre simetrik olmalı. Kirişin önden görünüşünün bir
kısmı. Gerilme dağılımını
dikkatlice inceleyiniz.
z
zx
I
yMs
Mz: kesitteki z yönünde iç moment.
Iz: kesitin z eksenine göre atalet momenti
y: noktanın y koordinatı (orjin mutlaka ağırlık merkezidir.)
Page 10www.garipgenc.com
z
Az
DxAxI
yMss
z
Bz
cxBxI
yMss
z
Hz
HxxI
yMss
max
z
Ez
ExxI
yMss
max
Maksimum ve minimum gerilmeler tarafsız
eksenden en uzak noktalarda meydana gelir.
6
Page 11www.garipgenc.com
Elastik Bölgede Gerilme ve Deformasyonlar
15x103 mm2
200mmh = 150mm
75mmb =100mm
Not: Aynı A değerine sahip iki kirişten daha yüksek h
değerine sahip olanı eğilmeye karşı daha dirençlidir.
Elastik eğilme formülleri
Elastik kesit modülü:
Not: S’nin büyük değerleri için aynı eğilme momenti altında daha düşük gerilme değerleri elde
edilir.
S =I
C=
112bh3
h2
=1
6bh2 =
1
6Ah
S =I
C
Page 12www.garipgenc.com
Elastik Bölgede Gerilme ve Deformasyonlar
Elastik eğilme formülleri
Elastik kesit modülü =
Farklı kiriş kesitleri
7
Page 13www.garipgenc.com
Elastik Bölgede Gerilme ve Deformasyonlar
• M eğilme momentinin neden olduğu deformasyon, tarafsız yüzeyin eğriliği ile ölçülür.
• Eğrilik, ρ eğrilik yarıçapının tersi olarak tanımlanır.
Page 14www.garipgenc.com
Şekildeki kiriş için akmayı başlatacak
eğilme momentini bulunuz.
MPa250ak s
kNmNmmM
MPa
Mxmmxmm
mmM
z
akma
zz
33000000
250
1033,8
12
)60()20(
)30(
max
5
3max
ss
s
Çözüm:
z
Bz
z
Biç
BI
yM
I
yMssmax
I-I kesitindeki yüklemeye göre alttaki lifler uzar. Maksimum çekme gerilmesi en alt
noktalarda (örneğin B noktasında) ortaya çıkar.
B noktasında çekme gerilmesi olacağını önceden göremeseydik bile, sB nin
pozitif çıkması yine çekme gerilmesi olduğunu gösterir.
smi
n
smax
akmaA sss min
Not: Bununla birlikte sünek malzemelerde basma ve çekmedeki akma mukavemeti birbirine eşit kabul
edilebilir. Denkleminden de aynı sonuç bulunabilir.
Örnek:
8
Page 15www.garipgenc.com
T kesitli ankastre çubuğun çekme ve basıdaki akma mukavemeti 120MPa dır. Çubuğun serbest
ucuna 3 kNm lik bir moment uygulandığında çubukta akma olup olmayacağının kontrolünü
yapınız.
Çözüm:
Uygulanan moment vektörel olarak yüzeye paralel (-z yönünde) olduğundan ve kesit simetrik
olduğundan basit eğilme oluşur.
Bu durumda maksimum ve minimum normal gerilmeleri hesaplamalıyız ve akma gerilmesi ile
karşılaştırmalıyız.
M= 3 kN.m
y
x
z
Örnek:
Page 16www.garipgenc.com
M= -3 kN.m
Miç =M =-3kNm
yI
Nmm
I
yM
zz
zx
610.3s
Iz: Ağırlık merkezinden geçen yatay eksen (z) e göre atalet momentini bulmalıyız.
9
Page 17www.garipgenc.com
2dAIIA
Ayy z
mm 383000
10114 3
i
ii
A
Ayy
3
3
3
32
i
101143000
104220120030402
109050180090201
mm ,mm ,mm A
iii
iii
AyA
Ayy
mm10868
18120040301218002090
43
23
12123
121
23
1212
z
iiiiiiziz
I
dAhbdAII
Page 18www.garipgenc.com
-Mz momenti olduğu için A noktasında maksimum çekme, B noktasında minimum basma gerilmeleri
meydana gelir.
3
6
min
3
6
max
max
10868
)38(10 3
10868
2210 3
z
BzB
A
Z
Az
I
yM
I
yM
ss
ss
s MPa 0.76As
MPa 3.131Bs
akmaBB MPa sss ,3.131 akma oluşur.
10
Page 19www.garipgenc.com
Kesit merkezinden geçmeyen çekme veya basma yüklemesine denir. Bu durumda oluşan gerilmeleri
hesaplayalım:
yI
dP
A
Pxxx
.içiç MF
sss
Not: Kesit en az bir eksene göre simetriktir.
Eksantrik eksenel yükleme
Şekildeki gibi eğrisel bir çubuğa P çekme yükü uygulandığında DE kısmındaki I-I kesitinin G ağırlık
merkezinde bir iç çekme kuvveti (Fiç) oluşur.
Bu durumda P ile Fiç in momentlerinin dengelenebilmesi için bir Miç eğilme momenti de oluşacaktır.
Fiç ve Miç in süperpozisyon yöntemine göre ayrı ayrı etkilerini toplar isek, bir noktadaki toplam normal
gerilmeyi elde ederiz.
Page 20www.garipgenc.com
Şekildeki dökme demir (gevrek) parçanın çekmedeki emniyetli mukavemet değeri (emniyet
gerilmesi) 30 MPa, basmadaki mukavemet değeri ise 120 MPa olduğuna göre; elemana
uygulanabilecek en büyük P kuvvetini bulunuz. (Kesitin ağırlık merkezi G noktasındadır)
Örnek:
11
Page 21www.garipgenc.com
Emniyetli kuvvet değeri için:
kN 0.77Pİzin verilebilir emniyetli kuvvet:
Süperpozisyon metodu ile gerilmeler;
P559.1
10868
3810P28
103
10P
I
Mc
A
P
P377.010868
2210P28
103
10)kN(P
I
Mc
A
P
3
3
3
3
AB
3
3
3
3
AA
s
s
kN0.77PMPa120P559.1
kN6.79PMPa30P377.0
B
A
s
s
23 mm103A mm38Y 43 mm10868zI
mm281038 d
Bir önceki örnekte aynı kesit kullanılmıştı. Aşağıdaki değerler oradan alınabilir:
Çözüm:
Page 22www.garipgenc.com
Şekildeki eğik alüminyum çubuk verilmiştir. A noktasına
göre uygulanabilecek emniyetli P yükünü hesaplayınız.
(Akma mukavemeti 140 MPa, çubuk kesiti 24x30mm,
emniyet katsayısı n=2 dir.)
kNNP
MPax
P
x
Py
I
M
A
PemnA
z
zA
109.66109
70)12(
12
2430
)1245.(
3024.3
ss
Örnek:
Çözüm:
12
Page 23www.garipgenc.com
Çubuk, düşey simetri düzleminde etkiyen, iki eşit ve zıt yönlü
kuvvet çiftine maruzdur.
Çubuğun akmasına neden olan M eğilme momentinin değerini
belirleyiniz.
σY = 250 MPa olduğunu varsayınız.
20 mm
60 mm
Örnek:
Tarafsız eksen, kesitin C merkezinden geçer.
30 mm
20 mm
60 mm
Çözüm:
I =1
12bh3=
1
1220mm 60mm3 = 360x103mm4
M =I
Cσem =
360x10−9m4
0.03m(250MPa)
M = 3kN.m
Page 24www.garipgenc.com
Yarım çember kesitli alüminyum çubuk ρ = 2.5 m ortalama yarıçaplı bir
çember yayı şeklinde eğilmiştir.
Çubuğun düz yüzü, yayın eğrilik merkezine doğru döndüğüne göre,
çubuktaki maksimum çekme ve basınç gerilmesini belirleyiniz.
E = 70 GPa alınız.
Örnek:
Çözüm:
13
Page 25www.garipgenc.com
Kavislerin etkisini ihmal ederek,
(a) emniyet katsayısı 3.00 olacak şekilde
M eğilme momentini,
(b) tüpün karşı gelen eğrilik yarıçapını
belirleyiniz.
Tüp malzemesi: alüminyum. σY = 275 MPa, σU = 415 MPa, E = 73 GPa. Örnek:
Eylemsizlik Momenti.
I =1
1280mm 120mm3 −
1
1268mm 108mm3
I = 4,382x106mm4
Page 26www.garipgenc.com
a. EğilmeMomenti:
EmniyetGerilmesi.
b. EğrilikYarıçapı:
AlternatifÇözüm:
σem =σuEK=415MPa
3.00= 138.33MPa
σem =𝑀𝑐
IM =I
Cσem =
4.382x10−6m4
0.06m138.33MPa
M = 10.1kN.mc =1
2120mm = 60mm
1
ρ=M
EI=
10.1kN.m
73GPa)(4.382x10−6m4= 0.0316m−1
ρ = 31.7m
ϵem =σ𝑒𝑚
E=138MPa
73GPa= 1.8904x10−3mm/mm
ϵem =c
ρρ =c
ϵem=60mm
1.8904x10−3= 31.73m
14
Page 27www.garipgenc.com
Kesit boyutları uzunluğuna göre çok daha küçük olan yatay elemanlara kiriş denir.
Örneğin bulunduğunuz binaya dikkat ettiğinizde yatay beton elemanlar kiriştir. Düşey
elemanlara ise kolon ismi verilir.
Farklı kiriş kesitleri
Düşey Yüklü Kirişlerin Eğilmesi
Page 28www.garipgenc.com
Düşey Yüklü Kirişlerin Yükleme Çeşitleri
Kirişler düşey olarak genellikle tekil ve/veya yayılı yüklere maruz kalırlar.
Uygulanan kuvvetler kirişin kesitlerinde iç kesme kuvveti (V)
ve eğilme momenti (M) meydana getirirler.
Eğilme momentinden dolayı ise normal gerilmeler oluşur:x
𝜏 =𝑉. 𝑄
𝐼. 𝑡(Bu konu daha farklı bir
başlık altında incelenir.)
z
zx
I
yMs
Amacımız kirişte ortaya çıkan şiddetçe maksimum
normal gerilmeyi hesaplamaktır.
Burada en önemli nokta eğilme momentinin kesitten
kesite farklılık göstermesidir. En kritik kesit (gerilme
şiddetinin en fazla olduğu kesit), momentin şiddetinin
en fazla olduğu kesittir.
Yayılı yük (N/m)
Tekil yük (N) bir noktaya, yayılı yük belli bir uzunluğa düşer (N/m)
Tekil yük (N)
Kesit üzerinde kesme iç kuvvetinden den dolayı kayma
gerilmeleri meydana gelir. Kayma gerilmelerinin dağılımı:
15
Page 29www.garipgenc.com
Düşey yüke maruz kirişlerde işlem sırası
1. Mesnet Tepkileri belirlenir,
İç kuvvet ve momentin Pozitif Yönleri:
Sol kısmın dengesi incelenirken M: saat ibresi tersi yönde, V: aşağı doğru
Sağ kısmın dengesi incelerken M: saat ibresi yönde , V: yukarı doğru
2. Kesme Kuvveti – Eğilme Momenti diyagramları çizilir.
3. En kritik kesit belirlenir. (Eğilme momentinin mutlak değerce en büyük olduğu kesit, en
kritik kesittir.)
4. Kritik kesitteki şiddetçe maksimum Gerilme hesaplanır. Bu gerilme aynı zamanda
kirişteki en büyük gerilmedir. Buna göre mukavemet analizleri yapılır. (Emniyet
kontrolü, boyut tayini, malzeme seçimi vb.)
Page 30www.garipgenc.com
a. Kirişin kesme kuvveti ve eğilme momenti
diyagramlarını çiziniz.
b. Kirişte ortaya çıkacak maksimum normal
gerilmenin yerini ve değerini bulunuz.
kN14kN46:0 DBBy RRMF
kNMkNV
içinx
MkNV
içinx
50,20
5.2
,0,20
0
11
11
1 2 3I
I
II
II
III
III
I-I kesimi (sağ kısım)
Örnek:
Çözüm:
Şekilde verilen kirişi inceleyerek;
1. Bölge için: (0x2.5)
𝐹𝑦 = 0 − 20𝑘𝑁 − 𝑉1 = 0 𝑉1 = −20𝑘𝑁
𝑀𝑘1 = 0 20𝑘𝑁 𝑥 +𝑀1 = 0 𝑀1 = −20𝑥
16
Page 31www.garipgenc.com
1 2 3I
I
II
II
III
III
II-II kesimi (sağ kısım)
III-III kesimi (sol kısım)
kNmMkNV
içinx
kNmMkNV
içinx
28,26
5.5
,50,26
5.2
21
22
0,0
5.7
,28,26
5.5
33
33
MV
içinx
kNmMkNV
içinx
2. Bölge için: (2.5x5.5)
𝐹𝑦 = 0 − 20𝑘𝑁 + 46𝑘𝑁 − 𝑉2 = 0 𝑉2 = 26𝑘𝑁
𝑀𝑘2 = 0 20𝑥 +𝑀2 − 46 𝑥 − 2.5 = 0 𝑀2 = 26𝑥 − 115
3. Bölge için: (5.5x7.5)
𝐹𝑦 = 0 14𝑘𝑁 + 𝑉3 = 0 𝑉3 = −14𝑘𝑁
𝑀𝑘3 = 0 14 7.5 − 𝑥 −𝑀3 = 0 𝑀3 = 14(7.5 − 𝑥)
Page 32www.garipgenc.com
mkN50min BMM
2
250.
25080
mN10503
121
6
maxmax
x
yI
Mba
z
B
sss
Pa60max Ms
V ise kayma gerilmesine sebep olur. Ancak kayma
gerilmesi dağılımının incelenmesi ise farklı bir
konudur ve bu bölümde incelenmeyecektir.
Şiddetçe en büyük moment B kesitinde ortaya
çıkmıştır. O halde kritik kesit B kesitidir.
Bu kesitte maksimum gerilme:
17
Page 33www.garipgenc.com
Yayılı yük, kesme kuvveti ve moment arasındaki ilişki
xwV
xwVVVFy
0:0
wdx
dV
Yayılı yük ile kesme kuvveti arasındaki ilişki:
221
02
:0
xwxVM
xxwxVMMMMC
D
C
x
x
CD dxVMM
Kesme kuvveti ile eğilme momenti arasındaki ilişki:
CD VV
D
C
x
x
CD dxwVV
- (CD arasında yayılı yük eğrisi
altında kalan alan)
Vdx
dM
CD MM (CD arasında kesme kuvveti eğrisi
altında kalan alan)
Page 34www.garipgenc.com
Şekildeki kirişin;
a. Kesme kuvveti ve eğilme
momenti diyagramlarını çiziniz.
b. Kirişteki maksimum ve
minimum normal gerilmeyi
bulunuz.
Çözüm:
yayılı yükün bileşkesi:
1 metreye 2kN luk yük düşerse, 4
metreye 2x4 =8kN luk yük düşer.
Örnek:
18
Page 35www.garipgenc.com
Page 36www.garipgenc.com
19
Page 37www.garipgenc.com
Page 38www.garipgenc.com
Ağırlık merkezinin yeri:
𝜎𝑥−𝑚𝑎𝑥 = −𝑀𝑧−𝐸𝐼𝑍𝑦𝑏 = −
5𝑥106
79687500(−75)
𝜎𝑥−𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑥−𝑏 = 4,7𝑀𝑃𝑎
𝜎𝑥−𝑚𝑖𝑛 = −𝑀𝑧−𝐸𝐼𝑍𝑦𝑎 = −
5𝑥106
79687500(200 − 75)
𝜎𝑥−𝑚𝑖𝑛 = 𝜎𝑥−𝑎 = −7,84𝑀𝑃𝑎