![Page 1: Tahminler -II - Erzurum Teknik Ü · PDF fileİstatistik ve Olas ... Varyanslarla ilgili tahminler ve testler](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051523/5a81ad837f8b9a24668d3554/html5/thumbnails/1.jpg)
İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi
Tahminler
Prof. Dr. İrfan KAYMAZ
İstatistik ve Olasılık
Tahminler -II
![Page 2: Tahminler -II - Erzurum Teknik Ü · PDF fileİstatistik ve Olas ... Varyanslarla ilgili tahminler ve testler](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051523/5a81ad837f8b9a24668d3554/html5/thumbnails/2.jpg)
İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi
Tahminlerİki Ortalama Farkının Güven Aralığı
Anakütle Varyansı Biliniyorsa
İki ortalama arasındaki farkın dağılımına ilişkin Z değişkeni:
Güven aralığı ifadesinde konulursa:
İki ortalama arasındaki farkın güven aralığı:
![Page 3: Tahminler -II - Erzurum Teknik Ü · PDF fileİstatistik ve Olas ... Varyanslarla ilgili tahminler ve testler](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051523/5a81ad837f8b9a24668d3554/html5/thumbnails/3.jpg)
İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi
Tahminler
Anakütle Varyansı Bilinmiyorsa
Anakütle varyansının bilinmediği, fakat örnek hacminin 30 veya daha büyükolduğu (n30) durumlarda örnek varyansı (S2) kullanılarak Z dağılımı yardımıylagüven aralığı oluşturulur.
Anakütle varyansının bilinmediği durumlarda örnek hacmi 30 dan küçük (n<30)ise küçük örnek teorisine göre geliştirilen t dağılımı yardımıyla güven aralığıoluşturulur.
İki Ortalama Farkının Güven Aralığı
![Page 4: Tahminler -II - Erzurum Teknik Ü · PDF fileİstatistik ve Olas ... Varyanslarla ilgili tahminler ve testler](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051523/5a81ad837f8b9a24668d3554/html5/thumbnails/4.jpg)
İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi
Tahminler
Örnek hacimlerine bağlı olarak
İki Ortalama Farkının Güven Aralığı
![Page 5: Tahminler -II - Erzurum Teknik Ü · PDF fileİstatistik ve Olas ... Varyanslarla ilgili tahminler ve testler](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051523/5a81ad837f8b9a24668d3554/html5/thumbnails/5.jpg)
İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi
TahminlerOrtalamanın Güven Aralığı
Örnek:İçinde kusurlu ürün bulunduğu bilinen 8 koli ile kusurlu ürün bulunmadığı bilinen9 kolinin ortalama ağırlıkları kg olarak aşağıda verilmiştir:
Kusurlu koli 125 120 119 123 126 116 118 119
Kusursuz koli 130 130 128 126 125 120 132 127 128
%95 güven düzeyinde ortalamalar arasındaki farkın güven aralığını oluşturunuz.
![Page 6: Tahminler -II - Erzurum Teknik Ü · PDF fileİstatistik ve Olas ... Varyanslarla ilgili tahminler ve testler](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051523/5a81ad837f8b9a24668d3554/html5/thumbnails/6.jpg)
İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi
TahminlerOrtalamanın Güven Aralığı
Örnek Çözüm:
%95 güven düzeyinde (%5 hata payı ile) kusursuz ve kusurlu kolilerin ağırlıkları arasındaki farkın 2.94 kg ile 10.22 kg arasında olacağı söylenebilir(olması beklenir)
![Page 7: Tahminler -II - Erzurum Teknik Ü · PDF fileİstatistik ve Olas ... Varyanslarla ilgili tahminler ve testler](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051523/5a81ad837f8b9a24668d3554/html5/thumbnails/7.jpg)
İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi
TahminlerBir Oranın Güven Aralığı
Binom dağılımı gösteren bir anakütleden alınan örneklerin
Ortalaması: Varyansı:
Örnek hacminin yeterince büyük olması durumunda binom dağılımınanormal dağılım yaklaşımının kullanılacağı da bilinmektedir.
Z eşitliği:
Bir oranın 1- güven düzeyindeki aralık tahmini:
![Page 8: Tahminler -II - Erzurum Teknik Ü · PDF fileİstatistik ve Olas ... Varyanslarla ilgili tahminler ve testler](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051523/5a81ad837f8b9a24668d3554/html5/thumbnails/8.jpg)
İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi
Tahminlerİki Oran Farkının Güven Aralığı
İki oran farkının dağılımına ilişkin verilen Z eşitliği:
Güven aralığı genel formülünde yerine koyulur ve gerekli ara işlemler
yapılırsa ;
iki oran farkının 1- güven düzeyindeki aralık tahmini:
![Page 9: Tahminler -II - Erzurum Teknik Ü · PDF fileİstatistik ve Olas ... Varyanslarla ilgili tahminler ve testler](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051523/5a81ad837f8b9a24668d3554/html5/thumbnails/9.jpg)
İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi
TahminlerVaryansın Güven Aralığı
Örnek varyansı S2, anakütle varyansı 2 ‘nin bir nokta tahminidir.
Varyanslarla ilgili tahminler ve testler 2 (ki-kare) dağılımı kullanılarak yapılmaktadır.
Standart normal dağılmış Zi değişkeninin kareleri toplamı k serbestlik dereceli 2
dağılımına uygunluk gösterir:
2 dağılımının:ortalaması E(2)=k varyansı V(2)=2k
olduğundan dolayı dağılım doğrudan serbestlik derecesi (k) ile belirlenmektedir.
Sağa uzun kuyruklu olan 2 dağılımı, serbestlik derecesi arttıkça simetrikleşmektedir (yani normale yaklaşmaktadır).
![Page 10: Tahminler -II - Erzurum Teknik Ü · PDF fileİstatistik ve Olas ... Varyanslarla ilgili tahminler ve testler](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051523/5a81ad837f8b9a24668d3554/html5/thumbnails/10.jpg)
İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi
TahminlerKi-kare dağılımı
2 dağılımı için t dağılımına benzer şekilde tablolar oluşturulmuştur. Kullanılacak 2 tablosu P(2>2
i)= olasılığını verecek şekilde göre düzenlenmiştir. Kullanılacak 2 tablosu bakılan değerden sonsuza kadar olan alanı verecek şekilde düzenlenmiştir.
![Page 11: Tahminler -II - Erzurum Teknik Ü · PDF fileİstatistik ve Olas ... Varyanslarla ilgili tahminler ve testler](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051523/5a81ad837f8b9a24668d3554/html5/thumbnails/11.jpg)
İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi
TahminlerVaryansın Güven Aralığı
Varyansın güven aralığının belirlenmesinde 2 dağılımının kullanımının temelinde örnek varyansı formülü bulunmaktadır. İşlemler aşağıdaki gibi açıklanabilir:
Örnek varyansı:
Her iki tarafı
Eşitliğin sağ tarafı (n-1) serbestlik derecesine sahip ki-kare dağılımıdır:
Varyansın güven aralığı:
![Page 12: Tahminler -II - Erzurum Teknik Ü · PDF fileİstatistik ve Olas ... Varyanslarla ilgili tahminler ve testler](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051523/5a81ad837f8b9a24668d3554/html5/thumbnails/12.jpg)
İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi
TahminlerKi-kare dağılımı
Örnek:Bir fabrikanın üretiminden rasgele alınan 20 birimlik örneğin varyansı 35 olarak belirlendiğine göre %99 güven düzeyinde fabrikanın üretimine (yani anakütleye) ait varyansın güven aralığını oluşturunuz.
Örnek Çözüm:
Belirlenen aralık tahmini şöyle yorumlanabilir: %99 güven (doğruluk) düzeyinde sözü edilen fabrikanın üretimine ait varyansın 17.237 ile 97.222 arasında olacağı söylenebilir (veya bu aralıkta olması beklenir).
![Page 13: Tahminler -II - Erzurum Teknik Ü · PDF fileİstatistik ve Olas ... Varyanslarla ilgili tahminler ve testler](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051523/5a81ad837f8b9a24668d3554/html5/thumbnails/13.jpg)
İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi
TahminlerStandart Sapmanın Güven Aralığı
Örnek standart sapması S anakütle standart sapması nın bir nokta tahminidir. Standart sapmanın güven aralığı Z dağılımı yardımıyla aşağıdaki gibi oluşturulur.
![Page 14: Tahminler -II - Erzurum Teknik Ü · PDF fileİstatistik ve Olas ... Varyanslarla ilgili tahminler ve testler](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051523/5a81ad837f8b9a24668d3554/html5/thumbnails/14.jpg)
İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi
TahminlerGelecek Dersin Konusu
Hipotez Testleri….