Download - TA 3 - Relacoes e Expressoes Algebricas
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TA3 Relações e Expressões Algébricas
1. Correspondências - Aplicações
1.1. Plano Cartesiano A ideia de localizarmos pontos num plano é muito antiga. Atribui-se a René
Descartes, Matemático Francês do século XVIII, o desenvolvimento de um sistema
que hoje designamos por sistema de coordenadas cartesianas.
O Plano Cartesiano é formado por duas rectas perpendiculares que se cruzam num
ponto 0, a origem dos eixos.
Se associarmos a cada um dos eixos o conjunto dos números reais, obtemos o que
se designa usualmente por Sistema de Coordenadas Cartesianas ou Plano
Cartesiano.
Estes dois eixos dividem o plano em quatro regiões que se designam por
quadrantes e que são enumeradas em sentido anti-horário.
Cada ponto do plano cartesiano fica identificado através de um único par de
números, que se designam por coordenadas de um ponto. Assim, o ponto P da
figura seguinte tem coordenadas ( )a,b e obtém-se pela intersecção das
perpendiculares aos eixos OX e OY no pontos a e b , respectivamente.
y
x
1º quadrante
4º quadrante 3º quadrante
2º quadrante
y
x
Eixo das Abcissas
Eixo das Ordenadas
Origem 0
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Sempre que um ponto P do plano cartesiano é identificado pelo par ( )a,b , dizemos
que a é a Abcissa e b a Ordenada, de P , e a sua representação matemática pode
ser dada por: ( )P a,b= ; ( )P a,b↔ ; ( )P a,b→ , entre outras.
Assim, como é importante a ordem dos elementos do par ( )a,b , então este é um
par ordenado, isto é, se a b≠ temos ( ) ( )a,b b,a≠ .
���� Exemplos 1
( )4 3P ,→ e ( )3 4Q ,→ ���� Observação
Podemos dizer que no plano cartesiano, cada ponto é representado por um
único par ordenado ( )a,b , onde a e b pertencem ao conjunto dos números
reais. Da mesma forma, um par ordenado representa apenas um único ponto.
b
a x
P
y
.
y . 3
4 x
P .
3
4 Q
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1.2. Noção de Função
���� Definição
Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se função a toda a aplicação
(correspondência) de A em B na qual, a todo o elemento de A está associado
um único elemento de B.
Deste modo, todos os elementos de A têm que estar associados a algum elemento
de B.
���� Exemplos 2
Observe, nos diagramas seguintes, as características das aplicações que são
funções e aquelas cujos critérios de associação não estabelecem funções.
1f não é uma função de A em B, pois o elemento 3 não está associado a
qualquer elemento de B.
2f também não é uma função de A em B, uma vez que o elemento 2 de A
possui duas imagens.
A B 2f : A B→
1
2
3
1
2
3
A B 1f : A B→
1
2
3
1
2
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3f é uma função de A em B , uma vez que cada elemento de A está associado a um
único elemento de B.
���� Notações/Designações
Consideremos uma função f de um conjunto A num conjunto B (ou definida
num conjunto A e tomando valores em B ) que associa a cada elemento x de A
um único elemento y de B .
� O elemento x designa-se por objecto e ao elemento y correspondente
chama-se imagem de x por f , e denota-se por ( )f x (que se lê “f de x”).
Não se deve confundir f com ( )f x , uma vez que f representa uma função
enquanto que ( )f x é apenas o valor que a função assume em x .
� Usualmente x é designada por variável independente e y por variável
dependente.
� O conjunto A é o domínio da função.
� O contradomínio (conjunto imagem) da função é formado por todas as
imagens dos elementos de A , ( ) ( )' ImfD f f A= = , isto é, o conjunto de
todos os elementos de B que são imagem, por f de algum elemento de A .
Frequentemente B designa-se por conjunto de chegada e pode, em vários
casos, coincidir com o contradomínio.
A B 2f : A B→
1
2
3
1
2
3
x1
f (x2) x2
f (x1)
A B
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1.3. Modos de definir uma Função
Diagrama de Venn
Tabela
x 1 2 3 4
( )y g x= u d t Q
x ( )y f x=
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
Expressão Analítica
( ) { }2 3 2 1 0 1 2 3, , , , , , , ,f x x x= ∀ ∈ − − − ( ) 2 ,h x x x= ∀ ∈
Gráfico
A B
f
x
f (x)
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���� Observações
� O Gráfico de uma função ( )( )Gr f é o conjunto de todos os pontos do plano
correspondentes a pares ( )( )x, f x com fx D∈ , isto é:
( ) ( ) ( ){ }2, : fGr f x y y f x x D= ∈ = ∧ ∈ℝ
Ter acesso à representação geométrica do gráfico de uma função ajuda a
compreender o seu comportamento e características permitindo, muitas vezes,
obter informações importantes através de uma análise cuidadosa suportada por
uma verificação analítica.
� Nem todas as funções podem ser representadas por uma expressão
analítica, ou, se fossem, seria uma expressão muito complexa, por exemplo:
� Um electrocardiograma
� O custo das peras no mês de Agosto no mercado da Ribeira
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1.4. Algumas Propriedades Básicas das Funções
Zeros de uma função
são os valores da variável independente, x , para os quais a função é nula,
isto é, as soluções da equação ( ) 0f x = : ( ){ }0fx D f x∈ =: . São importantes
na representação gráfica de uma função uma vez que nos fornecem os
pontos de intersecção com o eixo das abcissas (Ox).
A intersecção com o eixo das ordenadas (Oy) é a imagem de “0”, isto é, obtém-
se calculando ( )0f (não confundir com os zeros da função).
Monotonia de uma função f
Consideremos a função real f e um conjunto fA D⊆ ⊆ R . Diz-se que f é monótona:
- crescente em Α se ( ) ( ) ,1 2 1 2 1 2x > x f x f x x ,x A ⇒ > ∀ ∈
isto é, à medida que os objectos “aumentam” as imagens também “aumentam” (ver imagem (a)). - decrescente em Α sse ( ) ( ) ,1 2 1 2 1 2x > x f x f x x ,x A⇒ < ∀ ∈
isto é, à medida que os objectos “aumentam” as imagens “diminuem” (ver imagem (b)). - constante em Α sse ( ) ( ) ,1 2 1 2 1 2x > x f x f x x ,x A⇒ = ∀ ∈
isto é, à medida que os objectos “aumentam” as imagens mantêm-se constantes (ver imagem (C)).
ou ainda
2x
f (x2)
f (x1)
1x
(a)
g(x2)
g(x1)
2x
1x
(b)
h(x1) = h(x2)
1x
(c)
2x
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- não decrescente em Α sse ( ) ( ) ,1 2 1 2 1 2x > x f x f x x ,x A⇒ ≥ ∀ ∈
- não crescente em Α sse ( ) ( ) ,1 2 1 2 1 2x > x f x f x x ,x A⇒ ≤ ∀ ∈ (1)
���� Observações
Quando se diz que uma função é monótona sem se mencionar qualquer
conjunto, pretende-se dizer que A é monótona em todo o seu domínio.
Uma função pode não ser monótona em todo o seu domínio mas possuir partes
deste onde o é, por exemplo, nas figura seguintes podemos ver o exemplo de
uma função crescente em − e decrescente em + (figura (a)) e outra uma
função crescente em + e decrescente em − (figura (b)).
1.5. Funções Constantes ���� Definição
Tal como o nome indica, são funções cuja imagem de qualquer valor da
variável independente é sempre a mesma. São usualmente definidas por
uma expressão do tipo: ( )f x K= onde K é um número real.
(1) Usualmente designadas por crescente ou decrescente em sentido lato, respectivamente, aqui designadas pela “negativa”.
(a) (b)
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���� Observações
O gráfico representativo de uma função constante ( )f x K= é uma recta
horizontal de equação y = K.
���� Exemplos 3
Como já referimos, o gráfico de uma função constante é uma recta horizontal
(ver figura (a)). Se fizermos variar o valor de K obtemos um conjunto ou
família de rectas horizontais (ver figura (b)).
���� Observações
- O eixo das abcissas (Ox) tem equação y = 0.
- A expressão ( )f x K= pode, dependendo do contexto, ter significados
distintos. Tanto pode ser a expressão analítica de uma função constante, como
pode representar uma equação que é satisfeita para algum valor de x, como por
exemplo, se tivermos a expressão acima, dada a função ( ) 2f x x= , então
( )f x K= não é mais do que a equação: ( )f x K= . Será, necessária alguma
atenção para o contexto em que a expressão é apresentada.
1.6. Funções do Primeiro Grau
���� Definição
Uma função do primeiro grau ou função afim pode ser representada por
uma equação da forma ( ) .f x m x b= + , onde m e b são números reais.
(0,K) y = K
y = 3
y = 2
y = 1
y = 0
y = -1
y = -3
y = -2
(a) (b)
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Quando não houver indicação explícita do domínio e contradomínio supõe-se que
esta função é de em . Como o gráfico representativo de uma função afim é
uma recta oblíqua (ou horizontal se 0m = ), surgem as várias designações ligadas a
uma qualquer recta:
���� Notações/Designações
� m é o declive ou coeficiente angular da recta
� b é a ordenada na origem a ordenada do ponto onde a recta intersecta o
eixo Oy.
� O zero da função não é mais do que abcissa do ponto onde a recta intersecta o
eixo Ox, que se pode designar por abcissa na origem.
� Os pontos de recta não são mais do que pares ordenados da forma ( )( ),x f x .
���� Observações
Os parâmetros da recta, m e b , tomam valores distintos variando consoante a
função em análise.
Se mantivermos b fixo e fizermos variar o parâmetro m na equação
f (x) = mx + b
obtemos uma família de rectas cuja ordenada na origem é a mesma (ver
figura (a)).
Se mantivermos m fixo e fizermos variar o parâmetro b na equação
f (x) = mx + b
obtemos uma família de rectas paralelas cujo declive é o mesmo (ver figura
(b)).
f(x) = mx + b (b fixo e m variando)
f(x) = mx + b (m fixo e b variando)
(a)
(b)
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���� Exemplos 4
São exemplos de funções de primeiro grau:
( ) 2 3f x x= − onde se tem 2m = e 3b = −
( ) 3g x x= − + onde se tem 1m = − e 3b =
4y x= onde se tem 4m = e 0b =
A construção do gráfico de uma função afim é importante para que, a partir
dele, se possa analisar de um modo completo a função.
No caso da função ( ) 2 3f x x= − , podemos construir uma tabela de valores e, a
através da sua marcação no plano cartesiano, obter a sua representação
geométrica
Assim, para se construir um gráfico de uma função afim (uma recta), basta
conhecermos dois de seus pontos. Esses pontos podem ser obtidos atribuindo
apenas dois valores arbitrários para x e determinando suas imagens. Os dois
pontos mais “simples” são aqueles em que a recta intersecta os eixos.
No caso anterior teríamos:
x f(x) 0 -3
1,5 0
-6-5-4-3-2-10123456
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
x ( )f x
-1 -5 0 -3 1 -1 2 1 3 3 4 5
-6
-4
-2
0
2
4
6
-2 -1 0 1 2 3 4 5
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A recta intersecta o eixo Ox na raiz (ou zero) da função ( )f x , ou seja, onde
( )f x é igual a zero.
A recta intersecta o eixo Oy em b , isto é, no valor de ( )0f b= .
Genericamente temos, para uma função ( )f x mx b= + :
( )0f b= e ( ) 0b
f x xm
= ⇔ = −
Sinal e monotonia de uma função do 1º grau
Uma função de primeiro grau ( )f x mx b= + é
CRESCENTE - se 0m >
DECRESCENTE - se 0m <
Se considerarmos que a raiz da função (o ponto em que a recta intersecta o eixo
OX) é o valor de x para o qual, ( ) 0b
f x xm
= ⇔ = − , podemos esquematizar dois
casos possíveis para a função de primeiro grau.
1.7. Caso Particular – Função Linear ���� Definição
Uma função linear é uma função do 1º grau onde 0b = , isto é, pode
sempre ser representada por uma equação da forma ( ) .f x m x= .
Y
X
b
- b/m
y
-m/a x
+
–
a < 0 função decrescente
-m/a x
+
a > 0 função crescente
y
–
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���� Observações
O gráfico de uma função linear é uma recta que passa pela origem do sistema
cartesiano, isto é: ( ) ( )0 0.f x m x f= ⇒ = . Assim para desenhar o gráfico de
uma função linear basta determinar apenas mais um de seus pontos, pois um já
é conhecido: a origem (0,0).
���� Exemplos 5
Consideremos a função ( ) 2
3f x x= . Atribuindo-se, por exemplo, a x o valor 3
teremos: ( )2 3f = f(3)= 2. Assim podemos traçar a recta que passa por (0,0)
e (3,2).
Existem duas funções lineares que merecem um destaque especial:
- a função ( )f x x= cujo gráfico é a bissectriz dos quadrantes ímpares, é
também é denominada função identidade.
- A função ( )f x x= − cujo gráfico é a bissectriz dos quadrantes pares.
Função Identidade(bissectriz dos quadrantes ímpares)
y = x
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
(bissectriz dos quadrantes pares)
y = -x
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
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1.8. Proporcionalidade Directa
���� Definição
Duas grandezas x e y dizem-se directamente proporcionais se a razão
entre elas é constante, isto é, se o quociente entre cada valor de y e o
respectivo valor de x for sempre igual.
Esta razão escreve-se y
kx
= ou .y k x= , onde k é a constante de
proporcionalidade.
A correspondência .x k x→ representa uma função de proporcionalidade directa,
sendo k a constante de proporcionalidade. A função que está subjacente a esta
correspondência é uma função linear, representada geometricamente por uma
recta que passa na origem. Note-se que, toda a função cujo gráfico é uma recta
que passa pela origem do referencial é de proporcionalidade directa.
���� Exemplos 6
Na figura abaixo estão dois desenhos cujas grandezas são proporcionais.
1. Qual a razão entre as dimensões dos seus comprimentos? 6
41 5,
k = =
2. Se o carro grande tiver altura a = 1,6m qual a altura a' do pequeno ? 1 6
0 44
,' ,a = =
3. Se a distância entre os eixos do carro pequeno é d'= 0.5m qual será essa distância d no carro grande ? 0 6 4 2 4' , ,a = × =
Na resposta às duas últimas alíneas poderíamos ter usado outra forma de
resolução, utilizando a proporção (igualdade de fracções): . .a c
a d b cb d
= ⇔ = .
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1.9. Proporcionalidade Inversa
���� Definição
Duas grandezas x e y dizem-se inversamente proporcionais se o
produto delas elas é constante, isto é, se o produto de cada valor de y pelo
respectivo valor de x for sempre igual.
Este produto escreve-se .x y k= ou k
yx
= , onde k é a constante de
proporcionalidade.
A correspondência k
xx
→ representa uma função de proporcionalidade inversa,
sendo k a constante de proporcionalidade.
Para dizermos, que duas variáveis são inversamente proporcionais, não é suficiente
que uma aumente enquanto a outra diminui; é também necessário que esta relação
se verifique na mesma proporção.
���� Observações
Relativamente a estas funções observe que:
� Nas tabelas o produto de dois valores correspondentes é constante.
� Nos gráficos os pontos não são colineares; o produto das coordenadas de cada
ponto do gráfico é sempre o mesmo.
� Sempre que o valor de uma das variáveis vem multiplicado por um número, o
valor correspondente de outra vem dividido pelo mesmo número.
� Sendo o domínio de uma função de proporcionalidade inversa o conjunto de
todos os números diferentes de zero, o seu gráfico é uma curva chamada
hipérbole.
���� Exemplos 7
A tabela junta apresenta alguns valores de pressões (em atmosferas) a que está
sujeita uma massa de hidrogénio, e os correspondentes volumes (em 3cm ) que esta
ocupa. P 12 6 4 2 ...
V 5 10 15 30 ...
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1. P e V variaram no mesmo sentido ou em sentido contrário? Em sentido contrário
2. Verifique que V é inversamente proporcional a P e indique a constante de
proporcionalidade. 12 5 6 10 4 15 2 30 60k = × = × = × = × =
3. Escreva uma expressão analítica dessa função de proporcionalidade. 60
VP
=
4. Calcule o valor de V correspondente a P = 3 atmosferas. 60
203
V = =
5. Que acontece a V quando P duplica? E quando P triplica? Passa para metade e
para a terça parte.
Sugestão: Resolva os Exercícios Propostos 3 – Relações e Expressões Algébricas
– Grupo 1
Objectivos
- Reconhecer e representar uma função
- Identificar domínio e contradomínio de uma função
- Determinar imagens e objectos.
- Representar geometricamente uma função afim.
- Reconhecer e distinguir variáveis directa e inversamente proporcionais.
- Resolver problemas envolvendo as funções de proporcionalidade directa e inversa.
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2. Sucessões Numéricas Reais
Em Matemática o termo “sucessão” é utilizado da mesma forma que na linguagem
corrente(2). Quando dizemos que um conjunto de objectos ou acontecimentos está
em “sucessão”, temos em mente que o conjunto é ordenado de modo a ter um
primeiro elemento, um segundo elemento, etc. Matematicamente, uma sucessão é
uma sequência de números cuja ordem é determinada por uma lei ou função. No
conceito de sucessão também podemos incluir sequências de números sem lei ou
função conhecida a priori, mas que podem ser obtidas por meio de uma regra
aleatória. Nesta secção vamos recordar algumas noções básicas sobre sucessões.
Informalmente, uma sucessão numérica infinita, ou, mais simplesmente, uma
sucessão numérica é uma sequência interminável de números, que se designam
por termos: { }1 2 nu ,u , ,u…… … , onde n pertence ao conjunto dos números naturais.
Os índices, 1 2 3, , ..., indicam a posição dos termos na sequência. Assim, entende-se
que os termos têm uma ordem definida, isto é, há um primeiro termo u1, um
segundo termo u2, e assim sucessivamente.
2.1. Definição de Sucessão
���� Definição
Uma sucessão real ( )n nU ∈ℕ é uma aplicação de em .
Os valores da sucessão, 1 2, ,u u … , são números reais e designam-se por
termos da sucessão.
À expressão nU , que traduz a lei da sucessão, chama-se termo geral da
sucessão.
A letra n designa-se por índice e representa a ordem do termo.
Assim, uma sucessão numérica pode ser definida como uma função dos números
naturais em ou seja é toda a função real de variável real cujo domínio .
( ) n
u :
n u n u
→=
ℕ ℝ
֏
(2) Sucessão – acto ou efeito de suceder; sequência; continuação;…
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���� Observação
- Não é essencial usar n como índice, qualquer letra não reservada para outros
propósitos pode ser usada.
- A expressão ( )n nU ∈ℕ não é mais do que uma notação alternativa para a
função ( ) 1 2 3, , , ,...nf n U n= =
- As sucessões numéricas podem ser definidas por um algoritmo recursivo, isto
é, através de um primeiro termo u1, dado, e de uma relação de recorrência que
permite obter cada termo seguinte à custa do anterior, da forma: ( )1n nu R u+ =
onde R é uma relação real (ver subsecção seguinte).
- Estabelecendo um paralelo entre o que se passa com a notação relativa às
funções de variável real, podemos dizer que, numa sucessão numérica:
- As imagens chamam-se termos.
- O objecto de cada imagem (o original de cada termo) é a ordem desse
termo.
- { }nu ,n∈ℕ é o contradomínio da sucessão, ou seja, o conjunto de todos os
termos da sucessão.
���� Exemplos 1
Considere a sucessão definida pelos termos:
3 5 7 9 11 13 15 ….
1. Qual o termo geral da sucessão?
Resposta: A sucessão é definida pelos números impares a partir do número
3. Assim, o termo geral é 2 1nu n= + .
2. Indique o termo de ordem 10.
Resposta: 10 2 10 1 21u = × + =
∴ O termo de ordem 10 é 21.
3. Indique a ordem cujo termo é igual a 135.
Resposta: 134
2 1 135 2 134 672
n n n n+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
∴ 135 é o termo de ordem 67.
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2.2. Modos de definir uma sucessão
Em Matemática são importantes as sucessões numéricas para as quais é possível
estabelecer uma lei de formação, ou seja, uma expressão que permita calcular
qualquer um dos seus termos. A essa “fórmula” ou expressão, tal como já
referimos, designa-se por termo geral.
Estas leis de formação podem ser apresentadas de diferentes modos:
� Por uma expressão designatória (termo geral);
� Por duas ou mais expressões designatórias;
� Por uma fórmula de recorrência.
Uma sucessão está definida por recorrência quando é indicado o valor do
primeiro termo (ou dos primeiros termos) e, o valor de um qualquer termo é
definido a partir do anterior (ou de mais do que um termo anterior)
���� Exemplos 2
• Expressão designatória (termo geral): 3na n= − ou 2nnb =
• Por duas ou mais expressões designatórias: 1
1
é par
é ímparn
n se nb
n se n
+= −
• Por uma fórmula de recorrência: Considere-se a sucessão representada na figura
Sendo ( )n nU ∈ℕ a sucessão do número de pontos, em cada figura temos:
1 1u = ; 2 13 2u u= = + ; 3 26 3u u= = + ; 4 310 4u u= = +
……………………………
1n nu u n−= +
A sucessão é então definida por: 1
1
1
2nn n
uu
u u n, se n−
== = + ≥
Tal como as funções, as sucessões podem ser classificadas quanto à monotonia, do
seguinte modo:
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���� Definição
Uma sucessão real ( )n nU ∈ℕ diz-se:
- Crescente se para todo o número natural n se tem 1n nu u +≤ .
- Decrescente se para todo o número natural n se tem 1n nu u +≥ .
- Constante se para todo o número natural n se tem 1n nu u += .
���� Observação
Pode distinguir-se, ainda, o facto de ser crescente ou decrescente em sentido lato
(definido) ou sentido estrito se for retirada a possibilidade da igualdade, isto é, se
1n nu u +< ou 1n nu u +> .
2.3. Representação Geométrica dos Termos de uma Sucessão
Uma vez que as sucessões são aplicações (que a um objecto, n ∈ ℕ , fazem
corresponder uma imagem nu ) convém referir, sucintamente, a sua representação
geométrica. Tal representação é sempre constituída por um conjunto de pontos
isolados, distinto da representação de uma função definida em IR.
���� Exemplos 3
Por exemplo, a representação geométrica da sucessão 1
nn ∈
ℕ
(figura 1. (a)) é
distinta da representação da função 1
1 ,y xx
= ≥ , que é uma curva contínua
(figura 1.(b)).
(a) (b)
Distinção entre representação geométrica de uma Sucessão e de uma Função
0
1
x
y
1 2 3 4 5
0
1
1 2 3 4 5 n
y
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• 1nu n= + (fig. (1)) • ( )1n
nu = − (fig. (2))
• 1n
nu
n=
+ (fig. (3)) •
11
2
n
nu = + −
(fig. (4))
(1) (2)
(3) (4)
Sugestão: Resolva os Exercícios Propostos 3 – Relações e Expressões Algébricas
– Grupo 2
Objectivos
(1) Escrever um número de termos específico de uma sucessão.
(2) Identificar um termo pela sua ordem e vice versa.
(3) Escrever, dada uma sucessão numérica, o termo geral da mesma (caso seja possível generalizar)
(4) Analisar se uma dada sucessão é, ou não, monótona.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 n
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 n
y
1
- 1
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 n
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 n
y 1
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3. Expressões com variáveis – Expressões Algébricas
���� Equação
Dá-se o nome de equação a uma igualdade entre duas expressões
onde figura, pelo menos, uma variável (incógnita).
Chama-se solução ou raiz de uma equação a qualquer valor que se
atribua à incógnita e transforme a equação numa afirmação
verdadeira.
���� Notação/Designação
���� 1º Membro – é a expressão que está à esquerda do sinal “=”;
���� 2º Membro – é a expressão que está à direita do sinal “=”;
���� Termos – são as parcelas que constituem os membros da equação;
���� Incógnitas – são as “letras” que aparecem nos vários termos;
���� Termos independentes– são os termos constantes ou que não dependem
da incógnita presente na equação;
���� Soluções – são os valores da(s) incógnita(s) que transformam a equação
numa afirmação (proposição) verdadeira.
���� Equações equivalentes – duas ou mais equações dizem-se equivalentes se
admitem a(s) mesma(s) solução(ões). Entre equações equivalentes utiliza-se
o símbolo “⇔ ”.
���� Conjunto Solução – é o conjunto formado por todas as soluções da equação.
���� Exemplos 1
Na equação 4 5 10x x− = + , podemos identificar: - A incógnita: “ x ” - 1º Membro: “4 5x − ” - 2º Membro: “10 x+ ” - Termos do 1º Membro: “4x ” e “ 5− ” - Termos do 2º Membro: “10” e “ x ” - Termos independentes: Do 1º membro “ 5− ” e do 2º Membro “10”; - Solução: “5” uma vez que “ 5154 5 0× − = + ” é uma proposição verdadeira
Existem operações que se podem efectuar sobre os membros de uma equação e
que garantem a equivalência entre a anterior e a “nova” equação. Estas operações
baseiam-se nas seguintes propriedades gerais dos números:
Texto de Apoio 3
FBS & CFM 23/46
Se a b= então a c b c+ = + , c∀ ∈ℝ
Se a b= então a.c b.c= , { }0c \∀ ∈ℝ
Assim, em termos de equações podemos dizer que:
���� Se adicionarmos a ambos os membros de uma equação a mesma quantidade
(ou expressão) obtemos uma equação equivalente à equação dada.
���� Se multiplicarmos ambos os membros de uma equação por uma quantidade (ou
expressão) não nula obtemos uma equação equivalente à equação dada.
3.1. Resolução
A breve descrição metodológica da resolução de uma equação do 1º grau que
se segue, será acompanhada com o exemplo da equação: ( )2 13
34 6
xx −+ = .
Procedimento
Formal Regra Prática Equação - Exemplo
Remover os parêntesis da
equação, aplicando a
propriedade distributiva
“desembaraçar” de
parêntesis (PF) e (RP)
3 2 23
4 6
x x −+ =
(PF)
3 2 212 3 12 9 36 4 4
4 6x x
x x− + = ⇔ + = −
Multiplicar os membros da
equação pelo mmc dos
denominadores das
fracções aí presentes
Reduzir todos os termos
da equação (nos dois
membros) ao mesmo
denominador, recorrendo
preferencialmente ao seu
mmc, eliminando os
denominadores.
(RP)
( ) ( ) ( )3 212
3 2 23 9 36 4 4
4 6x x
x x−+ = ⇔ + = −
(PF)
( ) ( ) ( ) ( )0 0
4 36 4 369 36 4 4x xx x
= =
+ + + = + − +− − − −����� �����
5 40x⇔ = −
Adicionar a ambos os
membros o(s) simétrico(s)
dos termos: em “ x ”
,presentes no 2º membro
e independentes, do 1º
membro. Adicionar os
termos semelhantes
Passar os termos em “ x ”
do 2º para o 1º membro e
os termos independentes
do 1º para o 2º membros
trocando-lhe o sinal.
Adicionar os termos
semelhantes.
(RP)
4 369 4 5 40xx x− ⇔−= − = −
(PF)
( )
1
405 40 8
51155
x x x
=
= − ⇔ =× − ⇔ = −×
Multiplicar ambos os
membros pelo inverso do
coeficiente de “ x ” (não
nulo). Simplificar, se
possível, o resultado
obtido
Dividir ambos os membros
pelo coeficiente de “ x ”
(não nulo) (RP)
540
8x x−
= ⇔ = −
O conjunto solução desta equação resolvida é: { }8CS = −
UC - C.C.M. Expressões e Relações Algébricas
24/46 FBS & CFM
3.2. Classificação de Equações
As equações podem ser classificadas em função da(s) sua(s) soluções.
Se uma equação admite, pelo menos, uma solução diz-se que a equação é
possível e se não admite qualquer solução diz-se impossível. No entanto, a
solução de uma equação pode não ser única, isto é, podem existir várias soluções
de uma mesma equação. Assim, se a equação admite apenas uma solução ela diz-
se possível determinada e se admite mais do que uma solução ela diz-se
possível indeterminada.
���� Exemplos 2
Resolver, em IR, se possível as seguintes equações:
1. ( ) 4 4 7 4 4 44 1 7 4 0 17 14x x x x x xx ⇔ − = + ⇔ − = + ⇔= =− +
Equação Impossível, logo CS = ∅
2. ( ) 4 21
4 2 2 4 2 4 4 2 2 0 012
x x xx xx x⇔ − = − = −
− ⇔ − = − ⇔ =
Condição Universal, logo CS = ℝ
Sugestão: Resolva os Exercícios Propostos 3 – Relações e Expressões Algébricas
– Grupo 3
Objectivos
(1) Identificar todas as componentes de uma equação.
(2) Resolver equações lineares.
EQUAÇÕES
Possíveis
Impossíveis
Determinadas
Indeterminadas
( )0#CS =
( )1#CS >
( )1#CS =
Texto de Apoio 3
FBS & CFM 25/46
4. Inequações do 1º Grau
Se numa equação substituirmos o sinal de igualdade (=) por qualquer um dos
sinais de desigualdade ( ), , ,< ≤ > ≥ , obtemos uma condição que se designa por
inequação. Assim:
Uma inequação é uma desigualdade onde figuram uma ou mais variáveis.
As designações genéricas são idênticas às que foram apresentadas para as
equações: Membros, termos, incógnita, etc.
Tal como com as equações, existem operações que se podem efectuar sobre os
membros de uma inequação e que garantem a equivalência entre a anterior e a
“nova” inequação.
Estas operações baseiam-se no 3º axioma de ordem (pág.7):
Se a b< então a c b c+ < + , c∀ ∈ℝ
e nas seguintes propriedades:
Se a b< então a.c b.c< , c +∀ ∈ℝ
Se a b< então a.c b.c> , c −∀ ∈ℝ
Assim, relativamente às inequações podemos dizer que:
���� (1) Se adicionarmos a ambos os membros de uma inequação a mesma
quantidade (ou expressão) obtemos uma inequação equivalente à inequação
dada.
���� (2) Se multiplicarmos ambos os membros de uma inequação por uma
quantidade (ou expressão) positiva obtemos uma inequação equivalente à
inequação dada.
���� (3) Se multiplicarmos ambos os membros de uma inequação por uma
quantidade (ou expressão) negativa obtemos uma inequação equivalente à
inequação dada, se efectuarmos a troca de sinal “<” por “>” (ou “>” por “<”).
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26/46 FBS & CFM
���� Observações
Recordando que
A expressão a b< é equivalente à expressão b a>
não é difícil entender o resultado (3). Senão vejamos:
Se na inequação:
4x− <
“passarmos” o “4” para o 1º membro e o x para o segundo, estes
“trocam de sinal” (consequência de (1), adicionando a ambos os
membros os respectivos elementos simétricos), temos
4 x− <
que, pelo resultado acima referido (isto é, lendo da direita para a
esquerda) é o mesmo que escrever
4x > −
���� Exemplos 1
Resolver, em IR, se possível, as seguintes inequações:
1. ( ) 4 4 10 2 4 2 10 44 1 10 1 72 2 4x x x x x x x x⇔ − ≥ + ⇔− ≥ + − ≥ + ⇔ ≥ ⇔ ≥
[ [7,CS = +∞
2. ( ) 2 2
2 5 2 22 1
2 53
6 153
xx
xx xx
−⇔ ≥ − ⇔ − ≥− −−
≥
13
2 6 15 2 4 134
x x x x⇔ − ≥ − + ⇔ − ≥ − ⇔ ≤
13
,4
CS = − ∞
3. ( ) 3 6 3 153 3 95 06x x x x x⇔ − < − ⇔− − < −<
Condição impossível, logo CS = ∅
4. ( ) 3 6 3 15 0 23 3 5 16x x x x x⇔ − < + ⇔− << +
Condição Universal, logo CS = ℝ
Texto de Apoio 3
FBS & CFM 27/46
4.1. Módulo ou Valor Absoluto
���� Definição
Por definição, o módulo, ou valor absoluto, de um qualquer número real
representa a distância deste (ponto que o representa na recta real) à
origem, assim:
se 0
se 0
x xx , x
x x
≥= ∀ ∈− <
ℝ
���� Observações
Note-se que o módulo, uma vez que mede uma distância, é sempre uma
quantidade não negativa. Assim, as condições
x m< ou x m≤ para 0m < são impossíveis { }( )CS =
x m> ou x m≥ para 0m < são universais ( )CS = ℝ
���� Propriedades
���� 0 0x x= ⇔ =
���� x.y x . y=
���� 0xx
, yy y
= ≠
���� x x− =
���� 2 2x x=
���� x y x y+ ≤ +
���� 0x m x m x m , m= ⇔ = ∨ = − ∀ >
���� 0x m x m x m , m> ⇔ > ∨ < − ∀ >
���� 0x m x m x m m x m , m< ⇔ > − ∧ < ⇔ − < < ∀ >
0 x +∞−∞( x > 0 )
x ( x < 0 )
d = - x d = x
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���� Exemplos 2
Resolver, em IR, se possível, as seguintes inequações:
1. 2 3 5 2 3 5 2 2 2 8 12 43 5 x x x x x xx ⇔ − = − ∨ − = ⇔ = − ∨ = = −= ⇔ ∨ =−
{ }1,4CS = −
2. 3 2 3 2 1 5 1 53 2 x x x x xx ⇔ − > − ∧ − < ⇔ > ∧ < ⇔ << <−
] [1,5CS =
3.
( ) ( ) ( ) ( )3 32 2
2 1 2 12 1 2 1 2
3 2 3 2 2 3 2 3
1
3 2x x x x x⇔ − ≤ − ∨ − ≥ ⇔ ≤ + ∨ ≥ +≥ −−
3 4 3 4 1 7
6 6 6 6x x x x
− + +⇔ ≤ ∨ ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥
1 7
, ,6 6
CS = − ∞ +∞
∪
Sugestão: Resolva os Exercícios Propostos 3 – Relações e Expressões Algébricas
– Grupo 4
Objectivos
(1) Identificar todas as componentes de uma inequação.
(2) Efectuar a correspondência entre o conjunto solução de uma inequação e um intervalo de números
reais.
(3) Traduzir a conjunção/disjunção de condições na intersecção/reunião dos seus conjuntos solução.
(4) Determinar o conjunto solução da conjunção e disjunção de inequações/condições.
(5) Resolver algumas condições simples que envolvem módulos.
5. Expressões Polinomiais – Polinómios de coeficientes reais
Não apresentaremos aqui a definição matemática de polinómio pois esta ultrapassa
os objectivos a que nos propusemos com este texto. No entanto, podemos dizer,
sem comprometer a correcção científica de tal definição, que uma expressão
polinomial ou polinómio, em x, é a soma de parcelas do tipo na.x , onde a é um
Texto de Apoio 3
FBS & CFM 29/46
número real e n um número natural. Assim temos, genericamente um polinómio
representado por:
0 1 21 2 2
1 2 2 1 0 ( i , , , ..., n )n n n
n n n ia .x a .x a .x a .x a .x a , a , n=− −
− −+ + + + + + ∈ ∈… ℝ ℕ
���� Notação/Designação
���� Este polinómio diz-se de grau não superior a n. Se se tiver 0na ≠ então o
polinómio é de grau n.
���� Cada parcela do polinómio designa-se por termo.
���� Cada termo iia x de um polinómio é formado pela parte literal ix e pelo
respectivo coeficiente ia , e designa-se por termo de grau i.
���� Dois termos de dizem-se semelhantes se tiverem a mesma parte literal.
���� Um polinómio constante, isto é, formado apenas pelo termo
independente 0a , é um polinómio de grau zero.
Operações entre polinómios 5.1. Adição e Subtracção de Polinómios
Na adição e subtracção de polinómios só se podem adicionar termos semelhantes.
A operação efectua-se tomando a parte literal (que é a igual) e adicionando ou
subtraindo os respectivos coeficientes. Por exemplo:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
3 2 3 2
3 2
3
6 2 3 1 2 2 5
6 2 2 2 3 1 1 5
8 4 4
x x x x x x
x x x
x x
− + + + + + − =
= + + − + + + + − =
= + −
5.2. Produto de Polinómios
Para efectuarmos o produto de polinómios recorremos à propriedade distributiva
generalizada, procedendo, seguidamente à adição de termos semelhantes, caso
existam. Não esquecer que o produto de um termo de grau k por um termo de grau
r é um termo de grau k + r (regras do produto de potências com a mesma base).
Por exemplo:
UC - C.C.M. Relações e Expressões Algébricas
30/46 FBS & CFM
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
3 2 2 3 2
2 3 2 1
2 1 3 1 2 1
2 2 3 3 2 2 2 5 2
x x . x
x . x x. x . x
x x x x x x x x
+ − − + =
= − + + − + − − + =
= − + − + + − = − − + −
Produtos Notáveis ou Casos Notáveis
���� Quadrado de uma soma ou diferença: ( )2 2 22x a x ax a± = ± +
���� Diferença de quadrados: ( ) ( )2 2x a x a x a− = − +
podemos ainda acrescentar de modo a contornar alguns cálculos :
���� ( ) ( ) 2x a x b x ( a b )x a.b+ + = + + +
ATENÇÃO
Tendo em vista os casos notáveis referidos não devemos esquecer que, em geral:
( )2 2 2x a x a+ ≠ +
( ) 1n n nx a x a , n+ ≠ + >
Com a frase “em geral ( )2 2 2x a x a+ ≠ + ” queremos dizer que
( )2 2 2x a x a+ = + não é uma identidade, ou seja, não vale quaisquer
que sejam x e a reais, sendo óbvio que vale para x = 0. ���� Exemplos 1
Desenvolver as expressões:
1. ( ) 2 222 2 33 3 6 9xx xx. x.+ + ++ == +
2. ( ) 2 222 2 33 3 6 9xx xx. x.− + −− == +
3. ( ) 2 222 1 1 1 221 .xx xx x− = −× = +− +
4. ( )( ) 2 2 2111 1x x xx−− + = = −
5. ( ) ( ) ( )22 23 2 3 2 9 43 2x x xx− =− + = −
���� Observações
Chama-se conjugado de um binómio (polinómio com apenas dois termos) a um
outro binómio que tem o primeiro termo igual e o segundo simétrico ao binómio
dado, isto é, dado o binómio ( )a b+ o seu conjugado é ( )a b− e vice-versa. O
Texto de Apoio 3
FBS & CFM 31/46
conjugado de uma expressão irracional é utilizado para a Racionalização de
expressões numéricas.
Quando um radical aparece no denominador de uma fracção, é conveniente
transformar a fracção numa fracção equivalente, mas sem radicais no
denominador. A esta transformação dá-se o nome de racionalização do
denominador.
���� Exemplos 2
Racionalizar os denominadores das seguintes expressões irracionais:
1. 33 3 3 3
333 3 3
××
= = =
2. ( )
( )( ) ( )22
11 5 1 5 1 5 1
5 1 45 1 5 1 5 1
5 1
5 1
− − −= = = =−+ + −
−
− (regra do conjugado)
3. ( )
( )( )( )
( )( ) ( )2
2
2 2 2 3 2 2 322 2 3
4 32 3 2 3 2
2 3
2 3 3
− −= = = = −
−+ + −
−
−
5.3. Divisão de Polinómios
Sendo e com 0A( x ) B( x ), B( x ) ,≠ dois polinómios em x de coeficientes reais, tais
que: grau de grau de A( x ) B( x )≥ , então existem unicamente dois polinómios
e Q( x ) R( x ) , com grau de grau de QR( x ) ( x )< tais que:
= A( x ) B( x ).Q( x ) R( x )+
e Q( x ) R( x ) designam-se, respectivamente, por quociente e resto da divisão de
por A( x ) B( x ). Neste contexto e A( x ) B( x ) são, respectivamente o dividendo e o
divisor.
A relação acima não é mais do que a Identidade Fundamental da Divisão que pode
ser rescrita como:
= A( x ) R( x )
Q( x )B( x ) B( x )
+
Algoritmo da Divisão:
UC - C.C.M. Relações e Expressões Algébricas
32/46 FBS & CFM
Existe um algoritmo para efectuar a divisão de dois polinómios, análogo ao da
divisão de números que passamos a ilustrar com o exemplo seguinte:
Para dividir 33 6 1x x+ + por 2 1x x− + (possível porque o grau do
primeiro, 3, é maior que o do segundo, 2) utilizamos a mesma
disposição da divisão de números escrevendo tanto o dividendo como
o divisor ordenados segundo as potências decrescentes de x, colocando
“0” quando uma das potências não aparece. Assim temos, neste caso:
3 2 26 0 3 1 1x x x x x+ + + − +
Divide-se a primeira parcela do dividendo, 36x , pela primeira parcela
do divisor, 2x , para obter a primeira parcela do polinómio quociente, 6x,
seguidamente, multiplica-se 6x pelo divisor, mudando o sinal de todas
as parcelas e escreve-se o resultado obtido por baixo do dividendo
para proceder, posteriormente à adição de ambos, então temos:
3 2 2
3 2
2
6 0 3 1 1
6 6 6 6
6 3
____________________
x x x x x
x x x x
x x
+ + + − +
− + −
−
Baixa-se o próximo termo, a saber 1:
3 2 2
3 2
2
6 0 3 1 1
6 6 6 6
6 3 1
____________________
x x x x x
x x x x
x x
+ + + − +
− + −
− +
Repete-se o processo, considerando agora o polinómio 26 9 1x x+ +
como dividendo:
3 2 2
3 2
2
2
6 0 3 1 1
6 6 6 6 6
6 3 1
6 6 6
3 5
____________________
_______________
x x x x x
x x x x
x x
x x
x
+ + + − +
− + − +
− +
− + −
−
Como a expressão obtida, 3x - 5, tem grau 1, inferior ao grau do divisor
2 1x x− + , que é 2, a divisão está terminada.
Texto de Apoio 3
FBS & CFM 33/46
Portanto o quociente é 6x + 6 e o resto 3x – 5 .
O processo da divisão anterior permite-nos escrever a seguinte
identidade em ℝ :
( )( )3 26 3 1 1 6 6 3 5x x x x x x+ + = − + + + −
ou então:
3
2 26 3 1 3 5
6 61 1
x x xx
x x x x
+ + −= + +− + − +
identidade esta válida apenas para valores de x que não anulam o
denominador, isto é, para 2 1 0x x− + ≠ . Como neste caso o divisor não
tem raízes reais esta identidade também é válida emℝ .
6. Equações do segundo grau
Um polinómio do segundo grau pode ser representado genericamente por:
2ax bx c+ +
onde a, b e c são números reais, com 0a ≠ . Quando b = 0 ou c = 0 o polinómio diz-se
incompleto. Assim, podemos definir
���� Definição
Uma equação do segundo grau ou equação quadrática em x , é uma
equação que pode ser colocada sob a forma (canónica)
2 0ax bx c+ + =
onde a, b e c são números reais, com 0a ≠ .
Quando b = 0 ou c = 0 a equação diz-se incompleta.
6.1. Resolução de equações do segundo grau incompletas Relativamente às equações quadráticas incompletas ( 0a ≠ ) temos dois casos a
distinguir:
���� c = 0 : 2 0ax bx+ =
Esta equação tem sempre solução pois pode ser escrita como:
UC - C.C.M. Relações e Expressões Algébricas
34/46 FBS & CFM
( )Lei do Anulamento
do produto
0 0b
x ax b x xa
+ = ⇔ = ∨ = −
���� b = 0 : 2 0ax c+ =
Esta equação nem sempre tem solução:
Se a e c têm sinais contrários, a equação é possível e tem duas soluções;
Se a e c têm o mesmo sinal, a equação é impossível;
Se 0c = a equação possui apenas uma solução: 0x =
���� Exemplos 3
A equação 22 8 0x − = tem duas soluções: 2 22 8 0 4 2 2x x x x− = ⇔ = ⇔ = − ∨ =
No entanto, a equação 22 8 0x + = não tem solução:
2 22 8 0 4x x+ = ⇔ = −
o que é impossível uma vez que 2 0x , x≥ ∀ ∈ℝ
6.2. Resolução de equações do segundo grau completas Para resolvermos, em ordem a x, uma equação do segundo grau completa:
2 0ax bx c+ + = onde { }0a,b,c \∈ℝ
Recorremos, usualmente, à conhecida:
���� Fórmula Resolvente
2 0ax bx c+ + =2 4
2
b b acx
a
− ± −⇒ =
para 20 e 4 0a b ac≠ − ≥ .
A expressão que figura na raiz quadrada da fórmula resolvente: 2 4b ac− ,
representa-se usualmente pela letra grega maiúscula “∆ ” (que se lê delta) e
designa-se por binómio discriminante. O “sinal” do binómio discriminante
( 2 4b ac∆ = − ) caracteriza as soluções destas equações:
Texto de Apoio 3
FBS & CFM 35/46
���� Se 0∆ < a equação é impossível em ℝ , isto é, o polinómio do segundo
grau não tem zeros reais, uma vez que, em ℝ , não existem raízes
quadradas de números negativos.
���� Se 0∆ = a equação é possível e admite apenas uma solução.
���� Se 0∆ > a equação é possível e admite duas soluções reais distintas.
���� Exemplos 4
Resolver, em ℝ , cada uma das seguintes equações:
1. 2 5 6 0x x− + =
Resolução Identificam-se os seguintes coeficientes
1 5 6a ,b e c= = − =
Como ( ) ( )25 4 1 6 25 24 1 0∆ = − − × × = − = > , a equação é possível e terá duas soluções
reais distintas. Assim, utilizando a fórmula resolvente,
( ) ( )25 5 4 1 6 5 25 24 5 1
2 1 2 2x
− − ± − − × × ± − ±= = =×
5 1 5 13 2
2 2x x x x
+ −⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ = { }2 3,CS =
2. 22 4 2 0x x− + =
Resolução Identificam-se os seguintes coeficientes
2 4 2a ,b e c= = − =
Como ( )24 4 2 2 16 16 0∆ = − − × × = − = , a equação é possível e terá apenas uma
solução real. Assim, utilizando a fórmula resolvente,
( ) ( )24 4 4 2 2 4 16 16 4 0
2 2 4 4x
− − ± − − × × ± − ±= = =×
4 0 4 01
4 4x x x
+ −⇔ = ∨ = ⇔ = { }1CS =
3. 2 3 5 0x x+ + =
Resolução Identificam-se os seguintes coeficientes
1 3 5a ,b e c= = =
UC - C.C.M. Relações e Expressões Algébricas
36/46 FBS & CFM
Como ( )23 4 5 9 20 11 0∆ = − × = − = − < , a equação é impossível e não possui qualquer
solução real. Assim, não há necessidade de recorrer à resolvente para concluirmos
que o conjunto solução desta equação é: { }CS =
6.3. Representação geométrica ���� Definição
Uma equação da forma: ( )02y = ax +bx+c a ≠
designa-se por equação quadrática ou do segundo grau em x.
A representação geométrica desta equação é uma parábola que, dependendo do
facto de a ser positivo ou negativo, tem uma das formas ilustradas na figura
seguinte.
Em ambos os casos a parábola é simétrica relativamente a uma recta vertical,
paralela ao eixo das ordenadas (Oy). Este eixo de simetria “corta” a parábola num
ponto designado por vértice. Se a > 0 o vértice é o ponto mais baixo da curva e se
a < 0 o vértice é o ponto mais alto.
���� Observações
- Se a > 0 a parábola tem a concavidade voltada para cima (ri!).
- Se a < 0 a parábola tem a concavidade voltada para baixo (chora…).
vértice
vértice
2
b
a−
2
b
a−
2y = ax +bx+c a > 0
2y = ax +bx+c a < 0
Texto de Apoio 3
FBS & CFM 37/46
Frequentemente é necessário conhecer os pontos em que o gráfico da parábola
intersecta os eixos coordenados. Para obtermos a intersecção com o eixo das
ordenadas (Oy) basta substituir, na relação acima, x por zero. No entanto, para
obtermos a intersecção com o eixo das abcissas (Ox), fazemos y = 0, isto é, teremos
de resolver a equação quadrática: 02ax +bx+c = .
Recorrendo, mais uma vez à informação que nos é transmitida pelo binómio
discriminante, 2 4b ac− = ∆ , podemos termos três casos seguintes:
���� Se 0∆ < a equação é impossível em ℝ , isto é, a equação não tem
solução, logo o gráfico desta parábola não intersecta o eixo das abcissas
(Ox). (situações (1) nas figuras seguintes)
���� Se 0∆ = a equação só tem uma solução, logo o gráfico desta parábola
toca o eixo das abcissas (Ox) num só ponto, isto é, no vértice. (situações (2)
nas figuras seguintes))
���� Se 0∆ > a equação tem duas soluções em ℝ , logo o gráfico desta
parábola intersecta o eixo das abcissas (Ox) em dois pontos. (situações (3)
nas figuras seguintes)
2y = ax +bx+c a > 0
(1) ∆ < 0
(2) ∆ = 0
(3) ∆ > 0
2y = ax +bx+c a < 0
(1) ∆ < 0
(2) ∆ = 0
(3) ∆ > 0
x
x
x
x
x
x
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38/46 FBS & CFM
6.4. Inequações do segundo grau
Com base no que referimos na secção anterior, podemos resolver inequações do
segundo grau de um modo simples e intuitivo.
O eixo das abcissas “divide” o plano em dois semiplanos – um positivo (superior) e
um negativo (inferior - ver figura seguinte).
Se “conjugarmos” esta figura com as anteriores, conseguimos resolver
(visualmente) qualquer inequação do segundo grau.
Nos quadros seguintes exemplificamos o que acabamos de referir genericamente,
recorrendo a algumas inequações do segundo grau específicas:
x
-
+
x
-
+
0∆ =
a > 0
r1 x
-
+
0∆ >
a > 0
r1 r2 x
-
+
0∆ <
a > 0
x
-
+
0∆ <
a < 0
x
-
+
0∆ =
a < 0
r1 x
-
+
0∆ >
a < 0
r1 r2
Texto de Apoio 3
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Inequação Solução da Equação Representação Conjunto
Solução
2 3 6 0x x− + >
(zona a rosa na
figura)
2
03 6 0
Impossível
x x∆ <
− + =
Assim, a condição dada é
Universal
CS = ℝ
2 3 6 0x x− + <
(zona a rosa na
figura)
2
03 6 0
Impossível
x x∆ <
− + =
Assim, a condição dada é
Impossível
CS = ∅
2 3 6 0x x− + − >
(zona a rosa na
figura)
2
03 6 0
Impossível
x x∆ <
− + − =
Assim, a condição dada é
Impossível
CS = ∅
2 3 6 0x x− + − <
(zona a rosa na
figura)
2
03 6 0
Impossível
x x∆ <
− + − =
Assim, a condição dada é
Universal
CS = ℝ
23 6 3 0x x− + >
(zona a rosa na
figura)
( )2
1
3 6 3 00
x
x x
⇔ =
− + =∆ =
Assim, a condição dada é válida
para qualquer valor excepto o 1
{ }1\CS = ℝ
x
-
+ a > 0
∆ = 0
1
x
-
+ a < 0
∆ < 0
x
-
+ a < 0
∆ < 0
x
-
+ a > 0
∆ < 0
x
-
+ a > 0
∆ < 0
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Inequação Solução da Equação Representação Conjunto
Solução
2 3 2 0x x− + >
(zona a rosa na
figura)
( )2 3 2 0
01 2
x x
x x
− + =∆ >
= ∨ =
Assim, a condição dada é
válida excepto entre 1 e 2
] [ ] [1 2, ,
CS
−∞ +∞=∪
23 6 3 0x x− + − ≤
(zona a rosa na
figura)
( )2
1
3 6 3 00
x
x x
⇔ =
− + − =∆ =
Assim, a condição dada é
válida para qualquer valor
CS = ℝ
2 3 2 0x x− + − ≥
(zona a rosa na
figura)
( )2 3 2 0
01 2
x x
x x
− + =∆ >
= ∨ =
Assim, a condição dada é
válida entre 1 e 2
1 2,
CS=
Sugestão: Resolva os Exercícios Propostos 3 – Relações e Expressões Algébricas
– Grupo 5
Objectivos
(1) Desenvolver e identificar os casos notáveis da multiplicação de polinómios.
(2) Operar, genericamente, com expressões polinomiais.
(3) Racionalizar os denominadores de expressões irracionais.
(4) Resolver equações e inequações do segundo grau.
(5) Resolver algumas condições simples que envolvem módulos.
x
-
+ a < 0
∆ > 0
1 2
x
-
+ a < 0
∆ = 0
1
x
-
+ a > 0
∆ > 0
1 2
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7. Sistemas de Equações
Designa-se por sistema de duas equações a duas incógnitas a conjunção de duas
equações onde figuram duas incógnitas. Usualmente estes sistemas são
representados, através da “junção” das duas equações por uma chaveta à esquerda
das mesmas.
Diz-se que um sistema está na forma canónica quando se apresenta sob a forma:
{ 1 1 12 2 2
. .
. .a x b y ca x b y c
+ =+ = onde 1 1 1 2 2 2, , , , ,a b c a b c ∈ ℝ
Os pares ordenados ( ),x y (com ,x y ∈ ℝ ), que satisfazem as equações do sistema
designam-se por soluções do sistema.
���� Proposições
Obtemos sistemas equivalentes quando:
���� Um expressão ou equação é substituída por outra equivalente;
���� É trocada a ordem das equações;
���� Um múltiplo de uma equação é adicionado a outra equação.
O método de substituição, para a resolução de sistemas, é baseado na primeira
das proposições anteriores, e descrevemo-lo, de um modo muito resumido, no
quadro seguinte, acompanhado da resolução de um sistema exemplificativo.
Procedimento Exemplo
Resolva uma das equações em ordem a uma das variáveis
(isolando-a num dos membros da equação escolhida. { {2 3 3 22 3 4x y x yx y+ = = −⇔− = −
Substitua, na outra equação, essa incógnita pela
expressão obtida anteriormente. ( )2 3
2 3 2 3 4x y
y y+ =⇔ − − =
Obtém-se uma equação onde apenas figura uma
incógnita. Resolve-se essa equação, determinando-se o
valor dessa incógnita.
{ {6 4 3 4 7 2
2
7
y y y
y
− −⇔ ⇔− − = − = −−⇔ =
Substitui-se o valor encontrado anteriormente na outra
(ou numa das equações originais do sistema) para
encontrar o valor da outra incógnita
2 173 2
7 72277
x x
yy
= − = ⇔ ⇔ ==
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���� Classificação de Sistemas
Analogamente às equações do 1º grau, os sistemas podem ser classificados em
função da(s) sua(s) soluções (pares ordenados de números).
Se um sistema admite, pelo menos, uma solução diz-se que é possível e se não
admite qualquer solução diz-se impossível. No entanto, se a solução não é única o
sistema diz-se possível indeterminado. Se admite apenas uma solução (par
ordenado) ele diz-se possível determinado.
O esquema seguinte é idêntico ao apresentado para as equações, no entanto
chamamos à atenção para o facto de quando referimos, por exemplo, 1#CS =
estamos a referir a unicidade de uma solução que é um par ordenado de valores
reais (usualmente, ( ),x y ).
���� Exemplos
Resolver, em IR, se possível os seguintes sistemas de equações:
1. ( ) 6 3 6 26 3 16 3 2 2
1 21 1 22
2x x xx x
y x
y
y yx x
− − − = − + = ⇔
− =− + =
⇔ ⇔ = + −= +
0 5
y
CS = ←⇔ ⇒ = ∅
−
Eq.Impossível
2. ( ) 6 3 6 36 3 16 3 3
2 1
2 3
1 2 1 2
x xx x
y
x y
y x y xx
− + − = − − + = ⇔ ⇔ ⇔ = − + −= − +
− =− + = −
( ){ }0 0
, : 1 2x
x
CS x y y x
= ←⇔ ⇒ = = − + −
Eq.possível
para qualquer valor de
SISTEMAS
Possíveis
Impossíveis
Determinados
Indeterminados
( )0#CS =
( )1#CS >
( )1#CS =
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Sugestão: Resolva os Exercícios Propostos 3 – Relações e Expressões Algébricas
– Grupo 6
Objectivos
Resolver sistemas de duas equações lineares e não lineares.
8. Interpretação e Resolução de Problemas
De um modo muito resumido, podemos dizer que as etapas fundamentais na
resolução de um qualquer problema são as seguintes:
1. Compreender o Problema
Ler com atenção o enunciado e identificar os dados e o que é pedido.
2. Identificar as incógnitas e representá-las simbolicamente (por letras)
3. Traduzir em linguagem matemática as condições do problema
(equações, inequações, sistemas, etc).
4. Resolver as condições “construídas”
5. Verificar se as soluções obtidas podem ser soluções do problema
6. Responder ao problema proposto.
Para uma abordagem mais formal à resolução de problemas, podemos referir dois
autores, George Polya e Miguel de Guzmán, com um trabalho intenso nesta área.
Assim apresentamos, seguidamente, um resumo das estratégias apresentadas por
George Polya em “A arte de resolver problemas” e por Miguel de Guzmán em
“Aventuras Matemáticas” para a resolução geral de problemas.
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George Polya - A Arte de Resolver Problemas
Como Resolver um Problema
COMPREENSÃO DO PROBLEMA
Primeiro
É preciso compreender o
problema
Qual é a incógnita?
Quais são os dados?
Quais são as condições?
É possível satisfazer as condições? As condições são suficientes para
determinar a(s) incógnita(s)? Ou são insuficientes? Ou redundantes?
Ou contraditórias?
Trace uma figura. Adopte uma notação adequada. Separe as diversas
partes das condições. É possível anotá-las?
ESTABELECIMENTO DE UM PLANO
Segundo
Encontre a conexão entre
os dados e a(s)
incógnita(s). É possível que
seja obrigado a considerar
problemas auxiliares se não
puder encontrar uma
conexão imediata. É preciso
chegar a um plano para a
resolução.
Já o viu antes?
Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente
diferente?
Conhece um problema do mesmo tipo ou sobre o mesmo assunto?
Conhece um problema que lhe poderia ser útil?
Considere a incógnita! E procure pensar num problema do mesmo tipo
que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante.
Eis um problema do mesmo tipo e já resolvido anteriormente.
É possível utilizá-lo?
É possível utilizar o seu resultado?
É possível utilizar o seu método?
Deve-se introduzir algum elemento auxiliar para tornar possível a sua
utilização?
É possível reformular o problema?
É possível reformulá-lo ainda de outra maneira?
Volte às definições. Se não puder resolver o problema proposto,
procure antes resolver algum problema do mesmo tipo.
É possível imaginar um problema parecido mais acessível?
Um problema mais genérico? Um problema mais específico? Um
problema análogo? É possível resolver uma parte do problema?
Mantenha apenas uma parte das condições, deixe a outra de lado; até
que ponto fica assim determinada a incógnita? Como pode ela variar? É
possível obter dos dados alguma coisa de útil? É possível pensar em
outros dados apropriados para determinar a incógnita? É possível variar
a incógnita ou os dados, ou todos eles, se necessário, de tal maneira
que fiquem mais próximos entre si? Utilizou todos os dados? Utilizou
todas as condições? Levou em conta todas as noções essenciais
implicadas no problema?
Texto de Apoio 3
FBS & CFM 45/46
EXECUÇÃO DO PLANO Terceiro
Execute o seu plano.
Ao executar o seu plano de resolução, verifique cada passo.
É possível verificar claramente que o passo está correcto?
É possível demonstrar que ele está correcto?
RETROSPECTIVA
Quarto
Examine a solução obtida
É possível verificar o resultado?
É possível verificar o argumento?
É possível chegar ao resultado por um caminho diferente?
É possível perceber isto rapidamente?
É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema?
Adaptado da compilação disponibilizada on line por Joaquim Pinto
Miguel de Guzmán - Aventuras Matemáticas
Para resolver problemas
A. Antes de fazer, tenta entender
B. À procura de estratégias
B.1 Procura semelhanças com outros jogos e problemas
B.2 Começar pelo fácil torna fácil o difícil
B.3 Experimenta e procura regularidades, temas
B.4 Faz um esquema e, se vier a calhar…, pinta-o às cores
B.5 Modifica o problema, muda qualquer coisa no enunciado, para ver se assim te
ocorre um caminho possível.
B.6 Escolhe uma boa notação.
B.7 Explora a simetria… se puderes
B.8 Suponhamos que não… Aonde é que isso nos leva?
B.9 Suponhamos o problema resolvido
B.10 Pensa em técnicas gerais: indução, redução ao absurdo, …
C Explora a tua estratégia
C.1 Explora as melhores ideias que te tenham ocorrido na fase B. Uma a uma. Não
as mistures ao princípio.
C.2 Não desistas facilmente. Mas também não teimes demais com uma só ideia. Se
as coisas se complicarem de mais, haverá provavelmente outro caminho.
C.3 Resultou? De certeza? Olha para a tua solução com mais cuidado.
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D. Extrai o “sumo” do jogo e da tua experiência
D.1 Examina a fundo o caminho que seguiste. Como chegaste à solução? Ou:
porque é que não chegaste à solução?
D.2 Tenta perceber não só que a coisa de facto funciona, mas também porque tem
de funcionar assim.
D.3 Agora vê se consegues fazê-lo de maneira mais simples
D.4 Vê até onde pode ir o método que seguiste, para ver se o podes utilizar noutras
circunstâncias
D.5 Reflecte um pouco sobre o teu próprio processo de pensamento e tira
consequências para o futuro
Adaptado da compilação disponibilizada on line por Joaquim Pinto