![Page 1: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/1.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Szamıtogepes Grafika
Valasek [email protected]
Eotvos Lorand TudomanyegyetemInformatikai Kar
2016/2017. tavaszi felev
![Page 2: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/2.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
![Page 3: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/3.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
![Page 4: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/4.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Motivacio
A virtualis vilagunkban talalhato osszetett alakzatokat (haz, fastb.) tobb, kisebb epıtoelembol is osszerakhatjuk (ajto, ablak,levelek...)
→ az alakzat reszeit el kell helyeznunk a terben
Az alakzatokat el kell helyeznunk a vilagban, mozgatnunk kelloket stb.
A virtualis vilagunkbol egy ketdimenzios kepet is elo kellallıtanunk
→ A fenti lepesekhez mind szuksegunk lesz geometriaitranszformaciokra, amelyekkel az alakzatainkatmegvaltoztathatjuk
![Page 5: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/5.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Motivacio
A virtualis vilagunkban talalhato osszetett alakzatokat (haz, fastb.) tobb, kisebb epıtoelembol is osszerakhatjuk (ajto, ablak,levelek...) → az alakzat reszeit el kell helyeznunk a terben
Az alakzatokat el kell helyeznunk a vilagban, mozgatnunk kelloket stb.
A virtualis vilagunkbol egy ketdimenzios kepet is elo kellallıtanunk
→ A fenti lepesekhez mind szuksegunk lesz geometriaitranszformaciokra, amelyekkel az alakzatainkatmegvaltoztathatjuk
![Page 6: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/6.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Motivacio
A virtualis vilagunkban talalhato osszetett alakzatokat (haz, fastb.) tobb, kisebb epıtoelembol is osszerakhatjuk (ajto, ablak,levelek...) → az alakzat reszeit el kell helyeznunk a terben
Az alakzatokat el kell helyeznunk a vilagban, mozgatnunk kelloket stb.
A virtualis vilagunkbol egy ketdimenzios kepet is elo kellallıtanunk
→ A fenti lepesekhez mind szuksegunk lesz geometriaitranszformaciokra, amelyekkel az alakzatainkatmegvaltoztathatjuk
![Page 7: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/7.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Motivacio
A virtualis vilagunkban talalhato osszetett alakzatokat (haz, fastb.) tobb, kisebb epıtoelembol is osszerakhatjuk (ajto, ablak,levelek...) → az alakzat reszeit el kell helyeznunk a terben
Az alakzatokat el kell helyeznunk a vilagban, mozgatnunk kelloket stb.
A virtualis vilagunkbol egy ketdimenzios kepet is elo kellallıtanunk
→ A fenti lepesekhez mind szuksegunk lesz geometriaitranszformaciokra, amelyekkel az alakzatainkatmegvaltoztathatjuk
![Page 8: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/8.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Motivacio
A virtualis vilagunkban talalhato osszetett alakzatokat (haz, fastb.) tobb, kisebb epıtoelembol is osszerakhatjuk (ajto, ablak,levelek...) → az alakzat reszeit el kell helyeznunk a terben
Az alakzatokat el kell helyeznunk a vilagban, mozgatnunk kelloket stb.
A virtualis vilagunkbol egy ketdimenzios kepet is elo kellallıtanunk
→ A fenti lepesekhez mind szuksegunk lesz geometriaitranszformaciokra, amelyekkel az alakzatainkatmegvaltoztathatjuk
![Page 9: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/9.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
![Page 10: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/10.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
![Page 11: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/11.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok
Az elvarasaink
minden pontot lehessen transzformalnipont kepe legyen pont, egyenes kepe egyenes, sık kepe sıkilleszkedest tartsalegyen egyertelmu es egyertelmuen megfordıthato
![Page 12: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/12.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok
Az elvarasaink
minden pontot lehessen transzformalni
pont kepe legyen pont, egyenes kepe egyenes, sık kepe sıkilleszkedest tartsalegyen egyertelmu es egyertelmuen megfordıthato
![Page 13: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/13.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok
Az elvarasaink
minden pontot lehessen transzformalnipont kepe legyen pont, egyenes kepe egyenes, sık kepe sık
illeszkedest tartsalegyen egyertelmu es egyertelmuen megfordıthato
![Page 14: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/14.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok
Az elvarasaink
minden pontot lehessen transzformalnipont kepe legyen pont, egyenes kepe egyenes, sık kepe sıkilleszkedest tartsa
legyen egyertelmu es egyertelmuen megfordıthato
![Page 15: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/15.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok
Az elvarasaink
minden pontot lehessen transzformalnipont kepe legyen pont, egyenes kepe egyenes, sık kepe sıkilleszkedest tartsalegyen egyertelmu es egyertelmuen megfordıthato
![Page 16: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/16.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Megjegyzes
A pontjainkat a szamıtogepen valamilyenkoordinata-rendszerben taroljuk
→ a transzformaciok ezeken akoordinatakon vegzett muveletek
A tovabbiakban azonosıtsuk az Euklideszi ter, E3 (vagy sık,E2) elemeit a R3 (vagy R2) valos vektorterunk elemeivel
Ehhez rogzıtunk egy O ∈ E3 pontot, origot, es minden q ∈ E3
ponthoz a p = q−O vektort rendeljuk
![Page 17: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/17.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Megjegyzes
A pontjainkat a szamıtogepen valamilyenkoordinata-rendszerben taroljuk → a transzformaciok ezeken akoordinatakon vegzett muveletek
A tovabbiakban azonosıtsuk az Euklideszi ter, E3 (vagy sık,E2) elemeit a R3 (vagy R2) valos vektorterunk elemeivel
Ehhez rogzıtunk egy O ∈ E3 pontot, origot, es minden q ∈ E3
ponthoz a p = q−O vektort rendeljuk
![Page 18: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/18.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Megjegyzes
A pontjainkat a szamıtogepen valamilyenkoordinata-rendszerben taroljuk → a transzformaciok ezeken akoordinatakon vegzett muveletek
A tovabbiakban azonosıtsuk az Euklideszi ter, E3 (vagy sık,E2) elemeit a R3 (vagy R2) valos vektorterunk elemeivel
Ehhez rogzıtunk egy O ∈ E3 pontot, origot, es minden q ∈ E3
ponthoz a p = q−O vektort rendeljuk
![Page 19: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/19.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Megjegyzes
A pontjainkat a szamıtogepen valamilyenkoordinata-rendszerben taroljuk → a transzformaciok ezeken akoordinatakon vegzett muveletek
A tovabbiakban azonosıtsuk az Euklideszi ter, E3 (vagy sık,E2) elemeit a R3 (vagy R2) valos vektorterunk elemeivel
Ehhez rogzıtunk egy O ∈ E3 pontot, origot, es minden q ∈ E3
ponthoz a p = q−O vektort rendeljuk
![Page 20: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/20.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Linearis lekepezesek
Kiemelt jelentosege lesz a linearis lekepezeseknek, azaz azon φlekepezeseknek, amelyekre teljesul, hogy ∀a,b ∈ R3 es λ ∈ Reseten
φ(a + b) = φ(a) + φ(b) (additıv)φ(λa) = λφ(a) (homogen)
Emlekezteto: az f : Rn → Rm linearis lekepezeseket egyA ∈ Rm×nmatrixszal fel tudjuk ırni; ekkor f (x) = Ax, x ∈ Rn.
![Page 21: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/21.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Linearis lekepezesek
Kiemelt jelentosege lesz a linearis lekepezeseknek, azaz azon φlekepezeseknek, amelyekre teljesul, hogy ∀a,b ∈ R3 es λ ∈ Reseten
φ(a + b) = φ(a) + φ(b) (additıv)
φ(λa) = λφ(a) (homogen)
Emlekezteto: az f : Rn → Rm linearis lekepezeseket egyA ∈ Rm×nmatrixszal fel tudjuk ırni; ekkor f (x) = Ax, x ∈ Rn.
![Page 22: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/22.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Linearis lekepezesek
Kiemelt jelentosege lesz a linearis lekepezeseknek, azaz azon φlekepezeseknek, amelyekre teljesul, hogy ∀a,b ∈ R3 es λ ∈ Reseten
φ(a + b) = φ(a) + φ(b) (additıv)φ(λa) = λφ(a) (homogen)
Emlekezteto: az f : Rn → Rm linearis lekepezeseket egyA ∈ Rm×nmatrixszal fel tudjuk ırni; ekkor f (x) = Ax, x ∈ Rn.
![Page 23: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/23.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Linearis lekepezesek
Kiemelt jelentosege lesz a linearis lekepezeseknek, azaz azon φlekepezeseknek, amelyekre teljesul, hogy ∀a,b ∈ R3 es λ ∈ Reseten
φ(a + b) = φ(a) + φ(b) (additıv)φ(λa) = λφ(a) (homogen)
Emlekezteto: az f : Rn → Rm linearis lekepezeseket egyA ∈ Rm×nmatrixszal fel tudjuk ırni; ekkor f (x) = Ax, x ∈ Rn.
![Page 24: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/24.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Projektıv es affin transzformaciok - definıciok
Az idealis sıkkal kibovıtett euklideszi ter onmagara valo,kolcsonosen egyertelmu, pont-, egyenes-, sık-, es illeszkedesttarto lekepezeseit kollineacioknak, vagy projektıvtranszformacioknak nevezzuk.
Affin transzformaciok a projektıv transzformacioknak az azalcsoportja, amelyek a (kibovıtett) ter ”kozonseges”,euklideszi reszet onmagara kepezik le, es az idealis sıkot isonmagara kepezi le.
![Page 25: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/25.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Projektıv es affin transzformaciok - definıciok
Az idealis sıkkal kibovıtett euklideszi ter onmagara valo,kolcsonosen egyertelmu, pont-, egyenes-, sık-, es illeszkedesttarto lekepezeseit kollineacioknak, vagy projektıvtranszformacioknak nevezzuk.
Affin transzformaciok a projektıv transzformacioknak az azalcsoportja, amelyek a (kibovıtett) ter ”kozonseges”,euklideszi reszet onmagara kepezik le, es az idealis sıkot isonmagara kepezi le.
![Page 26: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/26.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Tulajdonsagok
A projektıv es affin transzformaciok algebrai csoportotalkotnak a konkatenacio (transzformaciok kompozıcioja)muveletevel
→ ez mit jelent?
a konkatenacio asszociatıv (a muveletek csoportosıthatok)letezik egysegelem (egysegtranszformacio)a dimenziotarto transzformacioknak van inverze (vissza lehetcsinalni)
Figyeljunk: a csoport nem kommutatıv!
![Page 27: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/27.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Tulajdonsagok
A projektıv es affin transzformaciok algebrai csoportotalkotnak a konkatenacio (transzformaciok kompozıcioja)muveletevel → ez mit jelent?
a konkatenacio asszociatıv (a muveletek csoportosıthatok)letezik egysegelem (egysegtranszformacio)a dimenziotarto transzformacioknak van inverze (vissza lehetcsinalni)
Figyeljunk: a csoport nem kommutatıv!
![Page 28: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/28.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Tulajdonsagok
A projektıv es affin transzformaciok algebrai csoportotalkotnak a konkatenacio (transzformaciok kompozıcioja)muveletevel → ez mit jelent?
a konkatenacio asszociatıv (a muveletek csoportosıthatok)
letezik egysegelem (egysegtranszformacio)a dimenziotarto transzformacioknak van inverze (vissza lehetcsinalni)
Figyeljunk: a csoport nem kommutatıv!
![Page 29: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/29.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Tulajdonsagok
A projektıv es affin transzformaciok algebrai csoportotalkotnak a konkatenacio (transzformaciok kompozıcioja)muveletevel → ez mit jelent?
a konkatenacio asszociatıv (a muveletek csoportosıthatok)letezik egysegelem (egysegtranszformacio)
a dimenziotarto transzformacioknak van inverze (vissza lehetcsinalni)
Figyeljunk: a csoport nem kommutatıv!
![Page 30: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/30.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Tulajdonsagok
A projektıv es affin transzformaciok algebrai csoportotalkotnak a konkatenacio (transzformaciok kompozıcioja)muveletevel → ez mit jelent?
a konkatenacio asszociatıv (a muveletek csoportosıthatok)letezik egysegelem (egysegtranszformacio)a dimenziotarto transzformacioknak van inverze (vissza lehetcsinalni)
Figyeljunk: a csoport nem kommutatıv!
![Page 31: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/31.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Tulajdonsagok
A projektıv es affin transzformaciok algebrai csoportotalkotnak a konkatenacio (transzformaciok kompozıcioja)muveletevel → ez mit jelent?
a konkatenacio asszociatıv (a muveletek csoportosıthatok)letezik egysegelem (egysegtranszformacio)a dimenziotarto transzformacioknak van inverze (vissza lehetcsinalni)
Figyeljunk: a csoport nem kommutatıv!
![Page 32: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/32.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok tulajdonsagai
Az affin transzformaciok megadhatoak egy linearistranszformacio es egy eltolas segıtsegevel, azaz haϕ : R3 → R3 affin transzformacio, akkor letezik A ∈ R3×3 esb ∈ R3, hogy ∀x ∈ R3-ra
ϕ(x) = Ax + b
A matrix-vektor szorzast ilyen sorrendben vegezzuk el, azaz: amatrix a bal-, a vektor a jobboldalon all
![Page 33: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/33.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok tulajdonsagai
Az affin transzformaciok megadhatoak egy linearistranszformacio es egy eltolas segıtsegevel, azaz haϕ : R3 → R3 affin transzformacio, akkor letezik A ∈ R3×3 esb ∈ R3, hogy ∀x ∈ R3-ra
ϕ(x) = Ax + b
A matrix-vektor szorzast ilyen sorrendben vegezzuk el, azaz: amatrix a bal-, a vektor a jobboldalon all
![Page 34: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/34.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok tulajdonsagai
A ϕ(x) = Ax + b megadas homogen koordinatak segıtsegevelegyetlen matrix-vektor szorzassal is felırhato:
[A b
[0, 0, 0] 1
]∈ R4×4
Ugyanis ekkor[A b
[0, 0, 0] 1
]·[x1
]=
[A · x + b · 10 · x + 1 · 1
]=
[A · x + b
1
]
![Page 35: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/35.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok tulajdonsagai
A ϕ(x) = Ax + b megadas homogen koordinatak segıtsegevelegyetlen matrix-vektor szorzassal is felırhato:
[A b
[0, 0, 0] 1
]∈ R4×4
Ugyanis ekkor[A b
[0, 0, 0] 1
]·[x1
]=
[A · x + b · 10 · x + 1 · 1
]=
[A · x + b
1
]
![Page 36: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/36.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok tulajdonsagai
A ϕ(x) = Ax + b megadas homogen koordinatak segıtsegevelegyetlen matrix-vektor szorzassal is felırhato:
[A b
[0, 0, 0] 1
]∈ R4×4
Ugyanis ekkor[A b
[0, 0, 0] 1
]·[x1
]=
[A · x + b · 10 · x + 1 · 1
]=
[A · x + b
1
]
![Page 37: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/37.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok tulajdonsagai
Az affin transzformaciok a baricentrikus koordinatakatervenyben hagyjak (mas szoval a baricentrikus koordinatakaffin invariansak)
Biz.: legyenek a tetszoleges x baricentrikus koordinatai xi -krevonatkoztatva αi , ekkorϕ(x) = ϕ(
∑ni=0 αixi )
= (A∑n
i=0 αixi ) + b= A
∑ni=0 αixi +
∑ni=0 αib
=∑n
i=0 αi (Axi + b) =∑n
i=0 αiϕ(xi )
![Page 38: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/38.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok tulajdonsagai
Az affin transzformaciok a baricentrikus koordinatakatervenyben hagyjak (mas szoval a baricentrikus koordinatakaffin invariansak)
Biz.: legyenek a tetszoleges x baricentrikus koordinatai xi -krevonatkoztatva αi , ekkorϕ(x) = ϕ(
∑ni=0 αixi )
= (A∑n
i=0 αixi ) + b= A
∑ni=0 αixi +
∑ni=0 αib
=∑n
i=0 αi (Axi + b) =∑n
i=0 αiϕ(xi )
![Page 39: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/39.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok tulajdonsagai
Az affin transzformaciok a baricentrikus koordinatakatervenyben hagyjak (mas szoval a baricentrikus koordinatakaffin invariansak)
Biz.: legyenek a tetszoleges x baricentrikus koordinatai xi -krevonatkoztatva αi , ekkorϕ(x) = ϕ(
∑ni=0 αixi )
= (A∑n
i=0 αixi ) + b
= A∑n
i=0 αixi +∑n
i=0 αib=∑n
i=0 αi (Axi + b) =∑n
i=0 αiϕ(xi )
![Page 40: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/40.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok tulajdonsagai
Az affin transzformaciok a baricentrikus koordinatakatervenyben hagyjak (mas szoval a baricentrikus koordinatakaffin invariansak)
Biz.: legyenek a tetszoleges x baricentrikus koordinatai xi -krevonatkoztatva αi , ekkorϕ(x) = ϕ(
∑ni=0 αixi )
= (A∑n
i=0 αixi ) + b= A
∑ni=0 αixi +
∑ni=0 αib
=∑n
i=0 αi (Axi + b) =∑n
i=0 αiϕ(xi )
![Page 41: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/41.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok tulajdonsagai
Az affin transzformaciok a baricentrikus koordinatakatervenyben hagyjak (mas szoval a baricentrikus koordinatakaffin invariansak)
Biz.: legyenek a tetszoleges x baricentrikus koordinatai xi -krevonatkoztatva αi , ekkorϕ(x) = ϕ(
∑ni=0 αixi )
= (A∑n
i=0 αixi ) + b= A
∑ni=0 αixi +
∑ni=0 αib
=∑n
i=0 αi (Axi + b) =∑n
i=0 αiϕ(xi )
![Page 42: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/42.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok megadasa
En-ben egy affin transzformaciot egyertelmuen meghatarozn + 1 altalanos allasu pont es annak kepe
Azaz, peldaul sıkban ha adott harom altalanos allasu
pi =
xiyi1
, i = 0, 1, 2
pont es ezek kepei, rendre
qi =
x ′iy ′i1
, i = 0, 1, 2
akkor pi -ket qi -kbe atvivo R ∈ R3×3 transzformaciora
R · [p0,p1,p2] = [q0,q1,q2]⇒ R = [q0,q1,q2] · [p0,p1,p2]−1
![Page 43: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/43.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok megadasa
En-ben egy affin transzformaciot egyertelmuen meghatarozn + 1 altalanos allasu pont es annak kepeAzaz, peldaul sıkban ha adott harom altalanos allasu
pi =
xiyi1
, i = 0, 1, 2
pont es ezek kepei, rendre
qi =
x ′iy ′i1
, i = 0, 1, 2
akkor pi -ket qi -kbe atvivo R ∈ R3×3 transzformaciora
R · [p0,p1,p2] = [q0,q1,q2]⇒ R = [q0,q1,q2] · [p0,p1,p2]−1
![Page 44: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/44.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Projektıv transzformaciok megadasa
En-ben egy projektıv transzformaciot egyertelmuenmeghataroz n + 2 altalanos allasu pont es annak kepe
Tehat sıkban 4: legyen P ∈ R3×3 es α0, α1, α2, α3 ∈ R, ekkormegoldando P-re
P · [p0,p1,p2,p3] = [α0q0, α1q1, α2q2, α3q3]
![Page 45: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/45.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Projektıv transzformaciok megadasa
En-ben egy projektıv transzformaciot egyertelmuenmeghataroz n + 2 altalanos allasu pont es annak kepe
Tehat sıkban 4: legyen P ∈ R3×3 es α0, α1, α2, α3 ∈ R, ekkormegoldando P-re
P · [p0,p1,p2,p3] = [α0q0, α1q1, α2q2, α3q3]
![Page 46: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/46.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
![Page 47: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/47.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
![Page 48: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/48.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
![Page 49: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/49.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
![Page 50: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/50.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
![Page 51: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/51.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
![Page 52: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/52.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
![Page 53: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/53.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
![Page 54: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/54.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
![Page 55: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/55.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
![Page 56: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/56.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
![Page 57: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/57.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
![Page 58: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/58.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
![Page 59: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/59.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
![Page 60: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/60.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Eltolas
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
![Page 61: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/61.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Eltolas
Eltolas
![Page 62: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/62.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Eltolas
Eltolas
Minden pontot egy adott d vektorral eltolunk:
x′ = x + d
Altalaban T(dx , dy , dz)-vel jeloljuk
Matrix alakhoz homogen koordinatak kellenek, w = 1valasztassal es akkor a kovetkezo 4× 4-es matrixszal adhatomeg:
1 0 0 dx0 1 0 dy0 0 1 dz0 0 0 1
![Page 63: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/63.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Eltolas
Eltolas
Minden pontot egy adott d vektorral eltolunk:
x′ = x + d
Altalaban T(dx , dy , dz)-vel jeloljuk
Matrix alakhoz homogen koordinatak kellenek, w = 1valasztassal es akkor a kovetkezo 4× 4-es matrixszal adhatomeg:
1 0 0 dx0 1 0 dy0 0 1 dz0 0 0 1
![Page 64: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/64.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Eltolas
Eltolas
Minden pontot egy adott d vektorral eltolunk:
x′ = x + d
Altalaban T(dx , dy , dz)-vel jeloljuk
Matrix alakhoz homogen koordinatak kellenek, w = 1valasztassal es akkor a kovetkezo 4× 4-es matrixszal adhatomeg:
1 0 0 dx0 1 0 dy0 0 1 dz0 0 0 1
![Page 65: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/65.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Eltolas
Eltolas
Hiszen ha homogen koordinatait hasznaljuk az x pontnak,akkor
1 0 0 dx0 1 0 dy0 0 1 dz0 0 0 1
·
xyz1
=
1 · x + 0 · y + 0 · z + 1 · dx0 · x + 1 · y + 0 · z + 1 · dy0 · x + 0 · y + 1 · z + 1 · dz
1
![Page 66: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/66.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Eltolas
Tulajdonsagok
Az affin transzformaciok egy kommutatıv reszcsoportjatalkotjak
A T(a, b, c) inverze T−1(a, b, c) = T(−a,−b,−c)
![Page 67: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/67.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Eltolas
Tulajdonsagok
Az affin transzformaciok egy kommutatıv reszcsoportjatalkotjak
A T(a, b, c) inverze T−1(a, b, c) = T(−a,−b,−c)
![Page 68: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/68.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
![Page 69: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/69.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Forgatas
Negyjegyu fuggvenytablazatbol:Forgatas XY sıkban (gyakorlatilag a Z tegely korul) θ szoggel:
x ′ = x cos θ − y sin θ
y ′ = x sin θ + y cos θ.
Matrix alakban:[x ′
y ′
]= x
[cos θsin θ
]+ y
[− sin θcos θ
]=
[cos θ − sin θsin θ cos θ
] [xy
]
Hasonloan kaphatjuk XZ es YZ sıkokon is.
![Page 70: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/70.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Forgatas
Negyjegyu fuggvenytablazatbol:Forgatas XY sıkban (gyakorlatilag a Z tegely korul) θ szoggel:
x ′ = x cos θ − y sin θ
y ′ = x sin θ + y cos θ.
Matrix alakban:[x ′
y ′
]= x
[cos θsin θ
]+ y
[− sin θcos θ
]=
[cos θ − sin θsin θ cos θ
] [xy
]
Hasonloan kaphatjuk XZ es YZ sıkokon is.
![Page 71: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/71.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Forgatas
Negyjegyu fuggvenytablazatbol:Forgatas XY sıkban (gyakorlatilag a Z tegely korul) θ szoggel:
x ′ = x cos θ − y sin θ
y ′ = x sin θ + y cos θ.
Matrix alakban:[x ′
y ′
]= x
[cos θsin θ
]+ y
[− sin θcos θ
]=
[cos θ − sin θsin θ cos θ
] [xy
]
Hasonloan kaphatjuk XZ es YZ sıkokon is.
![Page 72: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/72.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Forgatas matrixok
Z tegely menten
RZ (θ) =
c −s 0 0s c 0 00 0 1 00 0 0 1
,Y tegely menten
RY (θ) =
c 0 s 00 1 0 0−s 0 c 00 0 0 1
,X tegely menten
RX (θ) =
1 0 0 00 c −s 00 s c 00 0 0 1
,ahol c = cos θ es s = sin θ.
![Page 73: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/73.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tulajdonsagok
Az azonos tengely koruli elforgatasok az affin transzformaciokegy kommutatıv reszcsoportjat alkotjak
A terbeli forgatas matrixahoz eleg egy 3× 3 matrix (linearistranszformacio)
Az eltolas es forgatas sorrendje nem cserelheto!
A forgatas inverze az eredeti forgatas nagysagaval megegyezo,de ellentetes iranyu elforgatas
![Page 74: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/74.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tulajdonsagok
Az azonos tengely koruli elforgatasok az affin transzformaciokegy kommutatıv reszcsoportjat alkotjak
A terbeli forgatas matrixahoz eleg egy 3× 3 matrix (linearistranszformacio)
Az eltolas es forgatas sorrendje nem cserelheto!
A forgatas inverze az eredeti forgatas nagysagaval megegyezo,de ellentetes iranyu elforgatas
![Page 75: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/75.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tulajdonsagok
Az azonos tengely koruli elforgatasok az affin transzformaciokegy kommutatıv reszcsoportjat alkotjak
A terbeli forgatas matrixahoz eleg egy 3× 3 matrix (linearistranszformacio)
Az eltolas es forgatas sorrendje nem cserelheto!
A forgatas inverze az eredeti forgatas nagysagaval megegyezo,de ellentetes iranyu elforgatas
![Page 76: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/76.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tulajdonsagok
Az azonos tengely koruli elforgatasok az affin transzformaciokegy kommutatıv reszcsoportjat alkotjak
A terbeli forgatas matrixahoz eleg egy 3× 3 matrix (linearistranszformacio)
Az eltolas es forgatas sorrendje nem cserelheto!
A forgatas inverze az eredeti forgatas nagysagaval megegyezo,de ellentetes iranyu elforgatas
![Page 77: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/77.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tetszoleges forgatas
Tetszoleges orientacio eloallıthato a harom forgatas egymas utanihasznalataval.
R(α, β, γ) =cosα − sinα 0sinα cosα 0
0 0 1
· cosβ 0 sinβ
0 1 0− sinβ 0 cosβ
·1 0 0
0 cos γ − sin γ0 sin γ cos γ
![Page 78: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/78.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tetszoleges tengely koruli forgatas
Az eddigieket felhasznalva:
toljuk el a forgatasi tengelyt az origoba (T)
forgassuk be az egyik tengely korul a masik ketto sıkjaba(peldaul RZ -vel)ebben a sıkban a ket tengely kozul az egyikkel forgassuk be amasik tengelybe (peldaul RY )vegezzuk el az elforgatast (peldaul RX -szel, de: ez az uj (X”)tengely korul forgat!)alkalmazzuk az eddigi transzformaciok inverzeit
Azaz peldaul Mx = (T−1R−1Z R−1
Y RXRYRZT)x
![Page 79: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/79.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tetszoleges tengely koruli forgatas
Az eddigieket felhasznalva:
toljuk el a forgatasi tengelyt az origoba (T)forgassuk be az egyik tengely korul a masik ketto sıkjaba(peldaul RZ -vel)
ebben a sıkban a ket tengely kozul az egyikkel forgassuk be amasik tengelybe (peldaul RY )vegezzuk el az elforgatast (peldaul RX -szel, de: ez az uj (X”)tengely korul forgat!)alkalmazzuk az eddigi transzformaciok inverzeit
Azaz peldaul Mx = (T−1R−1Z R−1
Y RXRYRZT)x
![Page 80: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/80.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tetszoleges tengely koruli forgatas
Az eddigieket felhasznalva:
toljuk el a forgatasi tengelyt az origoba (T)forgassuk be az egyik tengely korul a masik ketto sıkjaba(peldaul RZ -vel)ebben a sıkban a ket tengely kozul az egyikkel forgassuk be amasik tengelybe (peldaul RY )
vegezzuk el az elforgatast (peldaul RX -szel, de: ez az uj (X”)tengely korul forgat!)alkalmazzuk az eddigi transzformaciok inverzeit
Azaz peldaul Mx = (T−1R−1Z R−1
Y RXRYRZT)x
![Page 81: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/81.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tetszoleges tengely koruli forgatas
Az eddigieket felhasznalva:
toljuk el a forgatasi tengelyt az origoba (T)forgassuk be az egyik tengely korul a masik ketto sıkjaba(peldaul RZ -vel)ebben a sıkban a ket tengely kozul az egyikkel forgassuk be amasik tengelybe (peldaul RY )vegezzuk el az elforgatast (peldaul RX -szel, de: ez az uj (X”)tengely korul forgat!)
alkalmazzuk az eddigi transzformaciok inverzeit
Azaz peldaul Mx = (T−1R−1Z R−1
Y RXRYRZT)x
![Page 82: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/82.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tetszoleges tengely koruli forgatas
Az eddigieket felhasznalva:
toljuk el a forgatasi tengelyt az origoba (T)forgassuk be az egyik tengely korul a masik ketto sıkjaba(peldaul RZ -vel)ebben a sıkban a ket tengely kozul az egyikkel forgassuk be amasik tengelybe (peldaul RY )vegezzuk el az elforgatast (peldaul RX -szel, de: ez az uj (X”)tengely korul forgat!)alkalmazzuk az eddigi transzformaciok inverzeit
Azaz peldaul Mx = (T−1R−1Z R−1
Y RXRYRZT)x
![Page 83: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/83.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tetszoleges tengely koruli forgatas
Az eddigieket felhasznalva:
toljuk el a forgatasi tengelyt az origoba (T)forgassuk be az egyik tengely korul a masik ketto sıkjaba(peldaul RZ -vel)ebben a sıkban a ket tengely kozul az egyikkel forgassuk be amasik tengelybe (peldaul RY )vegezzuk el az elforgatast (peldaul RX -szel, de: ez az uj (X”)tengely korul forgat!)alkalmazzuk az eddigi transzformaciok inverzeit
Azaz peldaul Mx = (T−1R−1Z R−1
Y RXRYRZT)x
![Page 84: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/84.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tetszoleges tengely koruli forgatas - Rodrigues formula
Tetszoleges tengely kozuli forgatas megadhato egy zegysegvektorral, ami a forgatas tengelyet adja, es egy θ szoggel.Ezt ırja le a Rodrigues formula, aminek felhasznalasaval:
v′ = Rodrigues(θ, z)v
![Page 85: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/85.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Yaw, pitch, roll
Egy objektum fuggoleges- (yaw), kereszt- (pitch) eshossztengelye (roll) menti elfordulasait egyszerre adjuk meg.
Replulestanban es robotikaban eloszeretettel hasznaltmegadasi mod.
Gyakorlatilag megegyezik azzal, mintha harom ”kozonseges”tengely menti forgatast hasznalnank.
Csak akkor mukodik helyesen, ha az objetum tengelyei egybeesnek a koordinata rendszer tengelyeivel.
Legtobb API tamogatja.
![Page 86: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/86.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Yaw, pitch, roll
Egy objektum fuggoleges- (yaw), kereszt- (pitch) eshossztengelye (roll) menti elfordulasait egyszerre adjuk meg.
Replulestanban es robotikaban eloszeretettel hasznaltmegadasi mod.
Gyakorlatilag megegyezik azzal, mintha harom ”kozonseges”tengely menti forgatast hasznalnank.
Csak akkor mukodik helyesen, ha az objetum tengelyei egybeesnek a koordinata rendszer tengelyeivel.
Legtobb API tamogatja.
![Page 87: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/87.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Yaw, pitch, roll
Egy objektum fuggoleges- (yaw), kereszt- (pitch) eshossztengelye (roll) menti elfordulasait egyszerre adjuk meg.
Replulestanban es robotikaban eloszeretettel hasznaltmegadasi mod.
Gyakorlatilag megegyezik azzal, mintha harom ”kozonseges”tengely menti forgatast hasznalnank.
Csak akkor mukodik helyesen, ha az objetum tengelyei egybeesnek a koordinata rendszer tengelyeivel.
Legtobb API tamogatja.
![Page 88: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/88.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Yaw, pitch, roll
Egy objektum fuggoleges- (yaw), kereszt- (pitch) eshossztengelye (roll) menti elfordulasait egyszerre adjuk meg.
Replulestanban es robotikaban eloszeretettel hasznaltmegadasi mod.
Gyakorlatilag megegyezik azzal, mintha harom ”kozonseges”tengely menti forgatast hasznalnank.
Csak akkor mukodik helyesen, ha az objetum tengelyei egybeesnek a koordinata rendszer tengelyeivel.
Legtobb API tamogatja.
![Page 89: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/89.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Yaw, pitch, roll
Egy objektum fuggoleges- (yaw), kereszt- (pitch) eshossztengelye (roll) menti elfordulasait egyszerre adjuk meg.
Replulestanban es robotikaban eloszeretettel hasznaltmegadasi mod.
Gyakorlatilag megegyezik azzal, mintha harom ”kozonseges”tengely menti forgatast hasznalnank.
Csak akkor mukodik helyesen, ha az objetum tengelyei egybeesnek a koordinata rendszer tengelyeivel.
Legtobb API tamogatja.
![Page 90: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/90.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Mozgas-transzformaciok
Az eltolasok es tengely koruli elforgatasmozgas-transzformaciok
A targyak alakjat es meretet nem valtoztatjak
![Page 91: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/91.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Mozgas-transzformaciok
Az eltolasok es tengely koruli elforgatasmozgas-transzformaciok
A targyak alakjat es meretet nem valtoztatjak
![Page 92: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/92.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
![Page 93: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/93.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Meretezes
![Page 94: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/94.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Meretezes
Az x , y , z tengelyek menten ”szethuzzuk”, vagy”osszenyomjuk” az alakzatot, azaz mas lepteket valasztunk -egymastol fuggetlenul is akar
Matrix alakban:
S(sx , sy , sz) =
sx 0 0 00 sy 0 00 0 sz 00 0 0 1
![Page 95: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/95.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Meretezes
Az x , y , z tengelyek menten ”szethuzzuk”, vagy”osszenyomjuk” az alakzatot, azaz mas lepteket valasztunk -egymastol fuggetlenul is akar
Matrix alakban:
S(sx , sy , sz) =
sx 0 0 00 sy 0 00 0 sz 00 0 0 1
![Page 96: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/96.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: tukrozes
Ha sx , sy , sz valamelyike negatıv
ha egy negatıv: tukrozes az iranyra meroleges sıkraha ketto negatıv: tukrozes egy tengelyreha mindharom negatıv: kozeppontos tukrozes
Figyeljunk: ha paratlan szamu negatıv egyutthato van, akkora sodrasirany is megvaltozik!
![Page 97: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/97.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: tukrozes
Ha sx , sy , sz valamelyike negatıv
ha egy negatıv: tukrozes az iranyra meroleges sıkra
ha ketto negatıv: tukrozes egy tengelyreha mindharom negatıv: kozeppontos tukrozes
Figyeljunk: ha paratlan szamu negatıv egyutthato van, akkora sodrasirany is megvaltozik!
![Page 98: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/98.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: tukrozes
Ha sx , sy , sz valamelyike negatıv
ha egy negatıv: tukrozes az iranyra meroleges sıkraha ketto negatıv: tukrozes egy tengelyre
ha mindharom negatıv: kozeppontos tukrozes
Figyeljunk: ha paratlan szamu negatıv egyutthato van, akkora sodrasirany is megvaltozik!
![Page 99: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/99.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: tukrozes
Ha sx , sy , sz valamelyike negatıv
ha egy negatıv: tukrozes az iranyra meroleges sıkraha ketto negatıv: tukrozes egy tengelyreha mindharom negatıv: kozeppontos tukrozes
Figyeljunk: ha paratlan szamu negatıv egyutthato van, akkora sodrasirany is megvaltozik!
![Page 100: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/100.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: tukrozes
Ha sx , sy , sz valamelyike negatıv
ha egy negatıv: tukrozes az iranyra meroleges sıkraha ketto negatıv: tukrozes egy tengelyreha mindharom negatıv: kozeppontos tukrozes
Figyeljunk: ha paratlan szamu negatıv egyutthato van, akkora sodrasirany is megvaltozik!
![Page 101: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/101.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Sodrasirany?
Az i, j, k bazisvektorokat felhasznalva, ha ϕ : R3 → R3 linearistranszformacio, akkor
ϕ(p) = ϕ(x i + y j + zk) = xϕ(i) + yϕ(j) + zϕ(k)
→ ha egy transzformacio matrixanak determinansa negatıv,akkor a sodrasirany (a targyak terbeli iranyıtasa) megvaltozik
![Page 102: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/102.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Sodrasirany?
Az i, j, k bazisvektorokat felhasznalva, ha ϕ : R3 → R3 linearistranszformacio, akkor
ϕ(p) = ϕ(x i + y j + zk) = xϕ(i) + yϕ(j) + zϕ(k)
→ ha egy transzformacio matrixanak determinansa negatıv,akkor a sodrasirany (a targyak terbeli iranyıtasa) megvaltozik
![Page 103: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/103.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Sodrasirany?
Az i, j, k bazisvektorokat felhasznalva, ha ϕ : R3 → R3 linearistranszformacio, akkor
ϕ(p) = ϕ(x i + y j + zk) = xϕ(i) + yϕ(j) + zϕ(k)
→ ha egy transzformacio matrixanak determinansa negatıv,akkor a sodrasirany (a targyak terbeli iranyıtasa) megvaltozik
![Page 104: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/104.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: vetıtes
Ha sx , sy , sz valamelyike nulla
ha egy nulla: az iranyra meroleges sıkra vetıtunkha ketto nulla: egy tengelyre ”vetıtunk”ha mindharom nulla: az origoba ”vetıtunk” mindent...
Eszrevetel: a determinans nulla! → nincs inverz!
![Page 105: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/105.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: vetıtes
Ha sx , sy , sz valamelyike nulla
ha egy nulla: az iranyra meroleges sıkra vetıtunk
ha ketto nulla: egy tengelyre ”vetıtunk”ha mindharom nulla: az origoba ”vetıtunk” mindent...
Eszrevetel: a determinans nulla! → nincs inverz!
![Page 106: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/106.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: vetıtes
Ha sx , sy , sz valamelyike nulla
ha egy nulla: az iranyra meroleges sıkra vetıtunkha ketto nulla: egy tengelyre ”vetıtunk”
ha mindharom nulla: az origoba ”vetıtunk” mindent...
Eszrevetel: a determinans nulla! → nincs inverz!
![Page 107: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/107.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: vetıtes
Ha sx , sy , sz valamelyike nulla
ha egy nulla: az iranyra meroleges sıkra vetıtunkha ketto nulla: egy tengelyre ”vetıtunk”ha mindharom nulla: az origoba ”vetıtunk” mindent...
Eszrevetel: a determinans nulla! → nincs inverz!
![Page 108: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/108.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: vetıtes
Ha sx , sy , sz valamelyike nulla
ha egy nulla: az iranyra meroleges sıkra vetıtunkha ketto nulla: egy tengelyre ”vetıtunk”ha mindharom nulla: az origoba ”vetıtunk” mindent...
Eszrevetel: a determinans nulla!
→ nincs inverz!
![Page 109: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/109.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: vetıtes
Ha sx , sy , sz valamelyike nulla
ha egy nulla: az iranyra meroleges sıkra vetıtunkha ketto nulla: egy tengelyre ”vetıtunk”ha mindharom nulla: az origoba ”vetıtunk” mindent...
Eszrevetel: a determinans nulla! → nincs inverz!
![Page 110: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/110.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Nyıras
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
![Page 111: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/111.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Nyıras
Nyıras
Pelda
Ha egy pakli kartyat lerakunk az asztalra es a lapokat egyenletesenszetcsusztatjuk, de ugy, hogy a pakli meg ”allva” maradjon, az anyıras.
![Page 112: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/112.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Nyıras
Nyıras
Ha peldaul minden pontban az x , y ertekeket z-vel aranyosmertekeben modosıtjuk:
N =
1 0 a 00 1 b 00 0 1 00 0 0 1
![Page 113: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/113.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Nyıras
Nyıras
Altalanosan:
N =
1 a b 00 1 c 00 0 1 00 0 0 1
![Page 114: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/114.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Atteres uj koordinata-rendszerre
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
![Page 115: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/115.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Atteres uj koordinata-rendszerre
Atteres uj koordinata-rendszerre
Tegyuk fel, hogy az i, j, k ortonormalt bazisvektorok helyett atakarunk terni az u, v,w ortonormalt bazisra (az ujbazisvektorok koordinatait ismerjuk a regi bazisban).
Mik lesznek az eddig [x , y , z ]T koordinatakkal azonosıtottpont [x ′, y ′, z ′]T koordinatai az uj bazisban? Azaz milyenx ′, y ′, z ′-re teljesul, hogy x = x ′u + y ′v + z ′w?
x = [u, v,w]x′ = Bx′ → x′ = B−1x
Ortonormalt matrix inverze a matrix transzponaltja, ıgy az ujkoordinatakat ado M = B−1 matrixunk a kovetkezo alaku
M =
ux uy uz 0vx vy vz 0wx wy wz 00 0 0 1
Ha az uj origo koordinataja c, akkorM = B−1T (−cx ,−cy ,−cz)
![Page 116: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/116.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Atteres uj koordinata-rendszerre
Atteres uj koordinata-rendszerre
Tegyuk fel, hogy az i, j, k ortonormalt bazisvektorok helyett atakarunk terni az u, v,w ortonormalt bazisra (az ujbazisvektorok koordinatait ismerjuk a regi bazisban).
Mik lesznek az eddig [x , y , z ]T koordinatakkal azonosıtottpont [x ′, y ′, z ′]T koordinatai az uj bazisban?
Azaz milyenx ′, y ′, z ′-re teljesul, hogy x = x ′u + y ′v + z ′w?
x = [u, v,w]x′ = Bx′ → x′ = B−1x
Ortonormalt matrix inverze a matrix transzponaltja, ıgy az ujkoordinatakat ado M = B−1 matrixunk a kovetkezo alaku
M =
ux uy uz 0vx vy vz 0wx wy wz 00 0 0 1
Ha az uj origo koordinataja c, akkorM = B−1T (−cx ,−cy ,−cz)
![Page 117: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/117.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Atteres uj koordinata-rendszerre
Atteres uj koordinata-rendszerre
Tegyuk fel, hogy az i, j, k ortonormalt bazisvektorok helyett atakarunk terni az u, v,w ortonormalt bazisra (az ujbazisvektorok koordinatait ismerjuk a regi bazisban).
Mik lesznek az eddig [x , y , z ]T koordinatakkal azonosıtottpont [x ′, y ′, z ′]T koordinatai az uj bazisban? Azaz milyenx ′, y ′, z ′-re teljesul, hogy x = x ′u + y ′v + z ′w?
x = [u, v,w]x′ = Bx′ → x′ = B−1x
Ortonormalt matrix inverze a matrix transzponaltja, ıgy az ujkoordinatakat ado M = B−1 matrixunk a kovetkezo alaku
M =
ux uy uz 0vx vy vz 0wx wy wz 00 0 0 1
Ha az uj origo koordinataja c, akkorM = B−1T (−cx ,−cy ,−cz)
![Page 118: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/118.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Atteres uj koordinata-rendszerre
Atteres uj koordinata-rendszerre
Tegyuk fel, hogy az i, j, k ortonormalt bazisvektorok helyett atakarunk terni az u, v,w ortonormalt bazisra (az ujbazisvektorok koordinatait ismerjuk a regi bazisban).
Mik lesznek az eddig [x , y , z ]T koordinatakkal azonosıtottpont [x ′, y ′, z ′]T koordinatai az uj bazisban? Azaz milyenx ′, y ′, z ′-re teljesul, hogy x = x ′u + y ′v + z ′w?
x = [u, v,w]x′ = Bx′
→ x′ = B−1x
Ortonormalt matrix inverze a matrix transzponaltja, ıgy az ujkoordinatakat ado M = B−1 matrixunk a kovetkezo alaku
M =
ux uy uz 0vx vy vz 0wx wy wz 00 0 0 1
Ha az uj origo koordinataja c, akkorM = B−1T (−cx ,−cy ,−cz)
![Page 119: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/119.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Atteres uj koordinata-rendszerre
Atteres uj koordinata-rendszerre
Tegyuk fel, hogy az i, j, k ortonormalt bazisvektorok helyett atakarunk terni az u, v,w ortonormalt bazisra (az ujbazisvektorok koordinatait ismerjuk a regi bazisban).
Mik lesznek az eddig [x , y , z ]T koordinatakkal azonosıtottpont [x ′, y ′, z ′]T koordinatai az uj bazisban? Azaz milyenx ′, y ′, z ′-re teljesul, hogy x = x ′u + y ′v + z ′w?
x = [u, v,w]x′ = Bx′ → x′ = B−1x
Ortonormalt matrix inverze a matrix transzponaltja, ıgy az ujkoordinatakat ado M = B−1 matrixunk a kovetkezo alaku
M =
ux uy uz 0vx vy vz 0wx wy wz 00 0 0 1
Ha az uj origo koordinataja c, akkorM = B−1T (−cx ,−cy ,−cz)
![Page 120: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/120.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Atteres uj koordinata-rendszerre
Atteres uj koordinata-rendszerre
Tegyuk fel, hogy az i, j, k ortonormalt bazisvektorok helyett atakarunk terni az u, v,w ortonormalt bazisra (az ujbazisvektorok koordinatait ismerjuk a regi bazisban).
Mik lesznek az eddig [x , y , z ]T koordinatakkal azonosıtottpont [x ′, y ′, z ′]T koordinatai az uj bazisban? Azaz milyenx ′, y ′, z ′-re teljesul, hogy x = x ′u + y ′v + z ′w?
x = [u, v,w]x′ = Bx′ → x′ = B−1x
Ortonormalt matrix inverze a matrix transzponaltja, ıgy az ujkoordinatakat ado M = B−1 matrixunk a kovetkezo alaku
M =
ux uy uz 0vx vy vz 0wx wy wz 00 0 0 1
Ha az uj origo koordinataja c, akkorM = B−1T (−cx ,−cy ,−cz)
![Page 121: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/121.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Atteres uj koordinata-rendszerre
Atteres uj koordinata-rendszerre
Tegyuk fel, hogy az i, j, k ortonormalt bazisvektorok helyett atakarunk terni az u, v,w ortonormalt bazisra (az ujbazisvektorok koordinatait ismerjuk a regi bazisban).
Mik lesznek az eddig [x , y , z ]T koordinatakkal azonosıtottpont [x ′, y ′, z ′]T koordinatai az uj bazisban? Azaz milyenx ′, y ′, z ′-re teljesul, hogy x = x ′u + y ′v + z ′w?
x = [u, v,w]x′ = Bx′ → x′ = B−1x
Ortonormalt matrix inverze a matrix transzponaltja, ıgy az ujkoordinatakat ado M = B−1 matrixunk a kovetkezo alaku
M =
ux uy uz 0vx vy vz 0wx wy wz 00 0 0 1
Ha az uj origo koordinataja c, akkorM = B−1T (−cx ,−cy ,−cz)
![Page 122: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/122.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
![Page 123: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/123.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Kommutativitas
A matrix szorzas nem kommutatıv, ugyhogy altalaban nemigaz, hogy
ABv = BAv
Ez jo, mivel altalaban a transzformaciok sem kommutatıvak
![Page 124: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/124.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Pelda
Forgatas majd eltolas Eltolas majd forgatas
![Page 125: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/125.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Transzformacios matrixok determinansai
A meretezesnel lattuk, hogy ha egy vagy harom egyutthatojanegatıv a transzformacionak, akkor az megfordıtja asodrasiranyt.
Altalanos esetre megfogalmazva:
Ha det(A) > 0, akkor a sodras irany valtozatlan marad
Ha det(A) < 0, akkor a sodras irany megfordul
![Page 126: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/126.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Normalvektorok transzformacioja
Legyen g egy szakasz a sıkba, n normalvekotrral. Legyen S azx tengely menten ketszeres nyujtas leıro transzformacio.
Problema: g ′-t megkaphatjuk, ha eltranszformaljuk a ketvegpontjat. Mi a helyzet g ′ normalvektoraval? n′ = Sn lesz?
NEM!
![Page 127: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/127.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Normalvektorok transzformacioja
Legyen g egy szakasz a sıkba, n normalvekotrral. Legyen S azx tengely menten ketszeres nyujtas leıro transzformacio.
Problema: g ′-t megkaphatjuk, ha eltranszformaljuk a ketvegpontjat. Mi a helyzet g ′ normalvektoraval? n′ = Sn lesz?
NEM!
![Page 128: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/128.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Normalvektorok transzformacioja
Legyen g egy szakasz a sıkba, n normalvekotrral. Legyen S azx tengely menten ketszeres nyujtas leıro transzformacio.
Problema: g ′-t megkaphatjuk, ha eltranszformaljuk a ketvegpontjat. Mi a helyzet g ′ normalvektoraval? n′ = Sn lesz?NEM!
![Page 129: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/129.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Normalvektorok transzformacioja
Legyen g egy szakasz a sıkba, n normalvekotrral. Legyen S azx tengely menten ketszeres nyujtas leıro transzformacio.
Problema: g ′-t megkaphatjuk, ha eltranszformaljuk a ketvegpontjat. Mi a helyzet g ′ normalvektoraval? n′ = Sn lesz?NEM!
![Page 130: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/130.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Vizsgaljuk a normalvektor altal megadott erintosık egyenletet!
Legyen p az erintosık egy pontja, ekkor x akkor es csak akkorvan rajta a sıkon, ha
〈x− p,n〉 = 0
Ekkor nyılvan, tetszoleges (invertalhato) A transzformaciomellett:
〈A−1A(x− p),n〉 = 0
A skalaris szorat es a matrix szorzas szabalyai alapjan kapjuk,hogy
〈A(x− p),(A−1
)Tn〉 = 0
Azaz a normalvektorokat az A matrix helyett annakinverztranszponaltjaval kell szorozni!
![Page 131: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/131.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Vizsgaljuk a normalvektor altal megadott erintosık egyenletet!
Legyen p az erintosık egy pontja, ekkor x akkor es csak akkorvan rajta a sıkon, ha
〈x− p,n〉 = 0
Ekkor nyılvan, tetszoleges (invertalhato) A transzformaciomellett:
〈A−1A(x− p),n〉 = 0
A skalaris szorat es a matrix szorzas szabalyai alapjan kapjuk,hogy
〈A(x− p),(A−1
)Tn〉 = 0
Azaz a normalvektorokat az A matrix helyett annakinverztranszponaltjaval kell szorozni!
![Page 132: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/132.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Vizsgaljuk a normalvektor altal megadott erintosık egyenletet!
Legyen p az erintosık egy pontja, ekkor x akkor es csak akkorvan rajta a sıkon, ha
〈x− p,n〉 = 0
Ekkor nyılvan, tetszoleges (invertalhato) A transzformaciomellett:
〈A−1A(x− p),n〉 = 0
A skalaris szorat es a matrix szorzas szabalyai alapjan kapjuk,hogy
〈A(x− p),(A−1
)Tn〉 = 0
Azaz a normalvektorokat az A matrix helyett annakinverztranszponaltjaval kell szorozni!
![Page 133: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/133.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Vizsgaljuk a normalvektor altal megadott erintosık egyenletet!
Legyen p az erintosık egy pontja, ekkor x akkor es csak akkorvan rajta a sıkon, ha
〈x− p,n〉 = 0
Ekkor nyılvan, tetszoleges (invertalhato) A transzformaciomellett:
〈A−1A(x− p),n〉 = 0
A skalaris szorat es a matrix szorzas szabalyai alapjan kapjuk,hogy
〈A(x− p),(A−1
)Tn〉 = 0
Azaz a normalvektorokat az A matrix helyett annakinverztranszponaltjaval kell szorozni!
![Page 134: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/134.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Vizsgaljuk a normalvektor altal megadott erintosık egyenletet!
Legyen p az erintosık egy pontja, ekkor x akkor es csak akkorvan rajta a sıkon, ha
〈x− p,n〉 = 0
Ekkor nyılvan, tetszoleges (invertalhato) A transzformaciomellett:
〈A−1A(x− p),n〉 = 0
A skalaris szorat es a matrix szorzas szabalyai alapjan kapjuk,hogy
〈A(x− p),(A−1
)Tn〉 = 0
Azaz a normalvektorokat az A matrix helyett annakinverztranszponaltjaval kell szorozni!
![Page 135: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/135.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Megjegyzes
A sık affin transzformacioit egyertelmuen meghatarozzaharom fuggetlen pont es azok kepe
A ter affin transzformacioit egyertelmuen meghatarozza negyfuggetlen pont es azok kepe
![Page 136: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/136.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Megjegyzes
A sık affin transzformacioit egyertelmuen meghatarozzaharom fuggetlen pont es azok kepe
A ter affin transzformacioit egyertelmuen meghatarozza negyfuggetlen pont es azok kepe
![Page 137: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/137.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
![Page 138: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/138.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Motivacio
A szınterunk kepet akarjuk eloallıtani: vetıteni egy sıkra
Az ember altal latott kepet nem lehet eloallıtani affintranszformaciok segıtsegevel. A ”tavolodo” parhuzamosokosszetartanak, nem maradnak parhuzamosak.
Ez a latvany eloallıthato kozponti vetıtessel. Ez atranszformacio a homogen terben linearis transzformacio.
Az affin transzformaciok nem ”bantottak” az idealis elemeket,a fentiekhez azonban ez ”kell”
![Page 139: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/139.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Motivacio
A szınterunk kepet akarjuk eloallıtani: vetıteni egy sıkra
Az ember altal latott kepet nem lehet eloallıtani affintranszformaciok segıtsegevel. A ”tavolodo” parhuzamosokosszetartanak, nem maradnak parhuzamosak.
Ez a latvany eloallıthato kozponti vetıtessel. Ez atranszformacio a homogen terben linearis transzformacio.
Az affin transzformaciok nem ”bantottak” az idealis elemeket,a fentiekhez azonban ez ”kell”
![Page 140: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/140.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Motivacio
A szınterunk kepet akarjuk eloallıtani: vetıteni egy sıkra
Az ember altal latott kepet nem lehet eloallıtani affintranszformaciok segıtsegevel. A ”tavolodo” parhuzamosokosszetartanak, nem maradnak parhuzamosak.
Ez a latvany eloallıthato kozponti vetıtessel. Ez atranszformacio a homogen terben linearis transzformacio.
Az affin transzformaciok nem ”bantottak” az idealis elemeket,a fentiekhez azonban ez ”kell”
![Page 141: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/141.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Motivacio
A szınterunk kepet akarjuk eloallıtani: vetıteni egy sıkra
Az ember altal latott kepet nem lehet eloallıtani affintranszformaciok segıtsegevel. A ”tavolodo” parhuzamosokosszetartanak, nem maradnak parhuzamosak.
Ez a latvany eloallıthato kozponti vetıtessel. Ez atranszformacio a homogen terben linearis transzformacio.
Az affin transzformaciok nem ”bantottak” az idealis elemeket,a fentiekhez azonban ez ”kell”
![Page 142: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/142.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Altalanos eset
Ha egy homogen transzformacios matrix utolso sora nem[0, 0, 0, 1], akkor az olyan homogen linearis transzformacio, ami azeuklideszi ternek nem linearis transzformacioja.
![Page 143: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/143.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Parhuzamos vetıtes
A matrix ami megadja egyszeru, peldaul az XY sıkra valovetıtes
1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 1
![Page 144: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/144.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Perspektıv transzformacio
Kozponti vetıtest valosıt meg.
Az origobol a z tengely menten ”nezunk” a terre.
A latoternek egy csonkagula felel meg.
A transzformacio a szem pozıcioban talalkozo vetıtoegyenesekbol parhuzamosokat csinal.
Parameterei:
a gula fuggoleges nyılasszoge,a gula alapjanak az oldalainak az aranya,a kozeli vagosık tavolsagaa tavoli vagosık tavolsaga
![Page 145: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/145.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Perspektıv transzformacio
Kozponti vetıtest valosıt meg.
Az origobol a z tengely menten ”nezunk” a terre.
A latoternek egy csonkagula felel meg.
A transzformacio a szem pozıcioban talalkozo vetıtoegyenesekbol parhuzamosokat csinal.
Parameterei:
a gula fuggoleges nyılasszoge,a gula alapjanak az oldalainak az aranya,a kozeli vagosık tavolsagaa tavoli vagosık tavolsaga
![Page 146: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/146.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Perspektıv transzformacio
Kozponti vetıtest valosıt meg.
Az origobol a z tengely menten ”nezunk” a terre.
A latoternek egy csonkagula felel meg.
A transzformacio a szem pozıcioban talalkozo vetıtoegyenesekbol parhuzamosokat csinal.
Parameterei:
a gula fuggoleges nyılasszoge,a gula alapjanak az oldalainak az aranya,a kozeli vagosık tavolsagaa tavoli vagosık tavolsaga
![Page 147: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/147.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Perspektıv transzformacio
Kozponti vetıtest valosıt meg.
Az origobol a z tengely menten ”nezunk” a terre.
A latoternek egy csonkagula felel meg.
A transzformacio a szem pozıcioban talalkozo vetıtoegyenesekbol parhuzamosokat csinal.
Parameterei:
a gula fuggoleges nyılasszoge,a gula alapjanak az oldalainak az aranya,a kozeli vagosık tavolsagaa tavoli vagosık tavolsaga
![Page 148: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/148.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Perspektıv transzformacio
Kozponti vetıtest valosıt meg.
Az origobol a z tengely menten ”nezunk” a terre.
A latoternek egy csonkagula felel meg.
A transzformacio a szem pozıcioban talalkozo vetıtoegyenesekbol parhuzamosokat csinal.
Parameterei:
a gula fuggoleges nyılasszoge,a gula alapjanak az oldalainak az aranya,a kozeli vagosık tavolsagaa tavoli vagosık tavolsaga
![Page 149: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/149.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Perspektıv transzformacio
Kozponti vetıtest valosıt meg.
Az origobol a z tengely menten ”nezunk” a terre.
A latoternek egy csonkagula felel meg.
A transzformacio a szem pozıcioban talalkozo vetıtoegyenesekbol parhuzamosokat csinal.
Parameterei:
a gula fuggoleges nyılasszoge,
a gula alapjanak az oldalainak az aranya,a kozeli vagosık tavolsagaa tavoli vagosık tavolsaga
![Page 150: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/150.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Perspektıv transzformacio
Kozponti vetıtest valosıt meg.
Az origobol a z tengely menten ”nezunk” a terre.
A latoternek egy csonkagula felel meg.
A transzformacio a szem pozıcioban talalkozo vetıtoegyenesekbol parhuzamosokat csinal.
Parameterei:
a gula fuggoleges nyılasszoge,a gula alapjanak az oldalainak az aranya,
a kozeli vagosık tavolsagaa tavoli vagosık tavolsaga
![Page 151: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/151.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Perspektıv transzformacio
Kozponti vetıtest valosıt meg.
Az origobol a z tengely menten ”nezunk” a terre.
A latoternek egy csonkagula felel meg.
A transzformacio a szem pozıcioban talalkozo vetıtoegyenesekbol parhuzamosokat csinal.
Parameterei:
a gula fuggoleges nyılasszoge,a gula alapjanak az oldalainak az aranya,a kozeli vagosık tavolsaga
a tavoli vagosık tavolsaga
![Page 152: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/152.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Perspektıv transzformacio
Kozponti vetıtest valosıt meg.
Az origobol a z tengely menten ”nezunk” a terre.
A latoternek egy csonkagula felel meg.
A transzformacio a szem pozıcioban talalkozo vetıtoegyenesekbol parhuzamosokat csinal.
Parameterei:
a gula fuggoleges nyılasszoge,a gula alapjanak az oldalainak az aranya,a kozeli vagosık tavolsagaa tavoli vagosık tavolsaga
![Page 153: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/153.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Perspektıv transzformacio
![Page 154: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/154.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Homogen osztas
Mivel egy M ”valodi” projektıv transzformacio utolso soranem [0, 0, 0, 1]T , ezert
[x , y , z ,w ]T = Mv
transzformacio utan, w 6= 1 altalanos esetben.
Ha ezt a pontot az eukleideszi terbe szeretnenk atvinni (mertpl. meg akarjuk jelenıteni), akkor vegig kell osztanunk w -vel.
(Persze csak akkor, ha w 6= 0)
Ezt nevezzunk homogen osztasnak.
![Page 155: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/155.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Kozeppontos vetıtes
![Page 156: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/156.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Kozeppontos vetıtes
![Page 157: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/157.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Kozeppontos vetıtes
![Page 158: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/158.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Kozeppontos vetıtes
Vagyis:
x ′ =x
zd
y ′ =y
zd
z ′ =z
zd = d
![Page 159: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/159.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Kozeppontos vetıtes
Az origo, mint vetıtesi kozeppont es egy, attol a Z tengelymenten d egysegre talalhato, XY sıkkal parhuzamosvetıtosıkra valo vetıtes matrixa:
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1
d 0
Homogen osztas utan ( z
d -vel) a fentit kapjuk
![Page 160: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/160.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Megjegyzes
A sık projektıv transzformacioit egyertelmuen meghatarozzanegy fuggetlen pont es azok kepe
A ter projektıv transzformacioit egyertelmuen meghatarozzaot fuggetlen pont es azok kepe
![Page 161: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/161.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Megjegyzes
A sık projektıv transzformacioit egyertelmuen meghatarozzanegy fuggetlen pont es azok kepe
A ter projektıv transzformacioit egyertelmuen meghatarozzaot fuggetlen pont es azok kepe
![Page 162: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/162.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
![Page 163: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/163.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformacios matrixok
![Page 164: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/164.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformacios matrixok
Mi tortenik, ha a vektorunk negyedik koordinataja nulla(vagyis ha vektort azonosıt a szamnegyes)?
Az eltolas resz nem hat ra!
Figyeljunk: nem mindenhol szoroznak jobbrol a vektorokkal!
![Page 165: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/165.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformacios matrixok
Mi tortenik, ha a vektorunk negyedik koordinataja nulla(vagyis ha vektort azonosıt a szamnegyes)?
Az eltolas resz nem hat ra!
Figyeljunk: nem mindenhol szoroznak jobbrol a vektorokkal!
![Page 166: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/166.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformacios matrixok
Mi tortenik, ha a vektorunk negyedik koordinataja nulla(vagyis ha vektort azonosıt a szamnegyes)?
Az eltolas resz nem hat ra!
Figyeljunk: nem mindenhol szoroznak jobbrol a vektorokkal!
![Page 167: Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf · Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi f el ev. Motiv aci o Transzform aci ok Nevezetes a n](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050514/5f9ea8c38910645be34cb3f4/html5/thumbnails/167.jpg)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformacios matrixok