Univerzitet u Zenici Mašinski fakultet Akademska 2011/2012.
Sadržaj sveske iz predmeta Matematika 2Odsjeci: Inžinjerski dizajn proizvoda, Inžinjerska ekologija, Menadžment proizvodnim
tehnologijama, Održavanje
Sedmica broj 1 i 2 (Odre eni integrali)
• Tablica integrala. 3 • Izra unavanje odre enih integrala pomo u neodre enih. 4 • Osobine odre enih integrala. 5 • Zamjena promjenjivih u odre enom integralu. 6• Nepravi (nesvojstveni) integral. 13• Primjena odre enog integrala: I Izra unavanje površine ravne figure. 14
• II Zapremina rotacionog tijela. 27• III Dužina luka krive. 29 • IV Izra unavanje površine dijelova zakrivljenih ploha (Komplanacija obrtne pov.). 31
Sedmica broj 3 i 4 (Funkcije dvije promjenjive)
• Funkcije dvije promjenjive. Definiciono podru je f-je dvije promjenjive. 33 • Tablica izvoda. 37 • Parcijalni izvodi. 38 • Totalni i parcijalni diferencijal. 40 • Parcijalni izvodi i diferencijl višeg reda. 42 • Parcijalni izvodi i diferencijl složenih funkcija. 45 • Parcijalni izvodi višeg reda složenih funkcija. 51 • Ekstremi funkcija dvije promjenjive 55
• Uslovni ekstremi funkcija dvije promjenjive 67• Jedna ina tangentne ravni i jedna ina normale na površ 75
Sedmica broj 5, 6 i 7 (Višestruki integrali)
• Dvojni (dvostruki) integrali 83• Smjena promjenjivih u dvojnim integralima 107
• Trojni (trostruki) integrali 131• Ra unanje trostrukih integrala uvo enjem cilindri nihi sfernih koordinata 141
• Primjena dvojnog integrala 151• Primjena trostrukog integrala 167
1
Sedmica broj 8, 9 i 10(Krivoliniski integrali)
• Krivoliniski integrali prve vrste (po luku) 187• Primjena krivoliniski integrali prve vrste: Ra unanje površine cilindri ne površi 197
• Krivoliniski integrali druge vrste (po koordinatama) 201• Green-Gausova formula 215
• Primjena krivoliniski integrali druge vrste: Ra unanje površine ravne figure 225 • Nezavisnost krivoliniskog integrala od vrste konture. Odre ivanje primitivnih f-ja. 235
Sedmica broj 11 i 12 (Površinski integrali)
• Površinski integrali I vrste 247• Površinski integrali II vrste 263
• Primjena površinskog integrala 275• Stoksova formula 279• Formula Gaus-Ostrogradskog 287
Sedmica broj 13 (Integrali ovisni o parametru)
• Diferenciranje svojstvenog integrala ovisnog o parametru 293• Diferenciranje nesvojstvenog integrala ovisnog o parametru 297
Sedmica broj 14 i 15 (Vektorska teorija polja)
• Skalarno polje. Gradijent skalarnog polja. Vektorsko polje. Rotor i divergencija vektorskog polja. 303
• Cirkulacija i fluks vektorskog polja. 319
Dodatak(Ispitni rokovi)
• Svi ispitni rokovi iz 2011 godine 331
Zbirke zadataka za dodatno usavršavanje i napredovanje:• Berman: Zbirka zadataka iz Matemati ke analize, Nau na knjiga, 1978 • Peri , Tomi , Kara i : Zbirka riješenih zadataka iz Matematike II, Svjetlost, 1987 • Uš umli , Mili i : Zbirka zadataka iz Matematike II, Nau na knjiga,• Ferenci, Ungar, omi , Cvijetanovi , Uzelac: Zbirka zadataka iz Matematike za studente Tehni kih fakulteta, Nau na knjiga, 1983 • Ze i , Huskanovi , Alajbegovi : Matematika 1 za tehni ke fakultete, MF, 2009
(sveska je skinuta sa stranice pf.unze.ba\nabokov Za sve uo ene greške pisati na [email protected])
2
3 4
5 6
7 8
9 10
11 12
13 14
15 16
17 18
19 20
21 22
23 24
25 26
27 28
29 30
31 32
33 34
35 36
37 38
39 40
41 42
43 44
45 46
47 48
49 50
51 52
53 54
55 56
57 58
59 60
61 62
63 64
65 66
67 68
69 70
71 72
73
(Zadaci su skinuti sa stranice: \pf.unze.ba\nabokovZa uocene greske pisati na [email protected])
74
75 76
77 78
79 80
81 82
83 84
85 86
87 88
89 90
91 92
93 94
95 96
97 98
99 100
101 102
103 104
105 106
107 108
109 110
111 112
113 114
115 116
117 118
119 120
121 122
123 124
125 126
127 128
129 130
71131 132
133 134
1. Izra unaj trostruki integral . 2
0
11
1
)4(2
dzzdydxIx
Rješenje:
340
3410)
322(10)
3(10)1(10
10)28(2
4)4(
1
1
31
1
1
1
2
11
1
1 1
1
2
0
2
0
1
1
22
0
111
1 2222
xxdxx
dxydydxdyzzdxdzzdydxIxxxx
2. Izra unaj trostruki integralG yxdxdydz
1, gdje je G ograni ena ravnima :
a) x+y+z=1, x=0, y=0, z=0;
b) x=0, x=1, y=2, y=5, z=2, z=4.
Rješenja:
a)G yxdxdydz
1 x=0, y=0, z=0
Skicirajmo oblast G (vidi sliku desno).
x+y+z=1 1111zyx
x= 0 je yOz ravan y= 0 je xOz ravan z= 0 je xOy ravan
Odredimo projekciju oblasti na xOy ravan: Nacrtati sliku (uputa: pogledati xoy ravan sa slike desno).
x+y+z=1z= 0
135
x+y=1z= 1-x-y
yxzxy
x
101010
Sa slike projekcije odredimo granice:
21
211
2
)1())1(1
1(
11
11
1
0
21
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
xx
dxxdxydydxdyyxyx
dx
dyzyx
dxdzyx
dydxyx
dxdydz
xxx
yx xyx
x
G
b)G yxdxdydz
1 x=0, x=1, y=2, y=5, z=2, z=4.
Skicirajmo oblast G (vidi sliku).
dxxdxx
dxxxttdtdx
xtyxty
dtdytyx
yxdydx
yxdyzdxdz
yxdydx
x
x
x
x1
0
1
0
1
0
4
1
1
0
1
0
4
1
1
0
5
2
4
2
1
0
5
2
4
2
1
0
5
2
1ln24ln2
1ln4ln2ln22
4512
1
12
11
136
11ln
1
1ln1ln
44ln
4
4ln4ln
xxdxxx
xvxdxdu
dvdxxudxx
xxdxxx
xvxdxdu
dvdxxudxx
54ln10
45ln
45ln2
45
225
ln2
2ln245ln8
25ln21ln24ln8
25ln2
122
44222ln5ln2
121ln2
424ln2
1054
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
xx
xdxdx
xdxdx
xxdxxx
xxdxxx
137 138
139 140
141 142
143 144
145 146
147 148
149 150
68151 152
153 154
155 156
157 158
159 160
161 162
163 164
165 166
167 168