Download - staticki neodredjeni nosaci
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
1/84
81
Dunja M artinovi, M ainski fakul tet u Sarajevu
Svako tijelo moe se uvrstiti pomo#u tri veze u ravni i pomo#u est veza u prostoru da
bude nepomjerljivo, jer mu te veze onemogu#uju tri, odnosno est sloboda kretanja. U ravnisu to dvije translacije, koje mogu biti u dva me%usobno normalna pravca, i rotacija, a uprostoru su tri translacije u tri me%usobno normalna pravca, ose i tri rotacije oko tih osa.Uvr#ivanje nosaa u ravni moe se realizirati minimalno pomo#u jednog nepominogzglobnog oslonca i jednog pominog zglobnog oslonca (slika 12.1.a) ili pomo#u ukljetenjakoje onemogu#uje sva tri stepena slobode kretanja (slika 12.1.b).
Slika 12.1. a) Nosauvr#en pomo#u nepominog i pominog osloncab) Nosana jednom kraju ukljeten (konzola)
Prostorni nosase moe uvrstiti u tri take koje ne lee na jednom pravcu (slika 12.2.a).Npr. u jednoj taki moe biti sferni zglob (veza pomo#u tri tapa), a druge dvije take mogubiti vezane za podlogu pomo#u dva, odnosno jednog tapa. Uvr#ivanje prostornog nosaase moe ostvariti i u jednoj taki pomo#u ukljetenja (slika 12.2.b), koje onemogu#uje svihest stepeni slobode kretanja.
q
a)
M
q
b)
Statiki neodre#eni gredni nosai
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
2/84
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
3/84
83
nepoznate su sile i/ili momenti koji se javljaju na mjestima uklonjenih suvinih veza, a kod
metode deformacija nepoznate su ugaona pomjeranja na spojevima elemenata statikineodre%ene konstrukcije.
12.1. Vanjska i unutarnja statika neodre#enost
Vanjski statiki neodre%eni nosai (konstrukcije) su oni koji su za podlogu uvr#enipomo#u veza iji je broj ve#i od potrebnog koji onemogu#uje njihovo pomjeranje. Ako sesa n oznai stepen statike neodre%enosti konstrukcije, sa k broj nepoznatih reakcija veza, asa s broj stepeni slobode kretanja koji je jednak broju statikih uslova ravnotee, tada je kodstatiki neodre%enih nosaa
n = k s > 0. (12.1)
Na slici 12.4. prikazano je nekoliko primjera vanjski statiki neodre%enih nosaa. Prviprimjer je obostrano ukljetena greda (slika 12.4a), tri puta statiki neodre%ena (n = 6 3 =3), drugi primjer je greda dva puta statiki neodre%ena (slika 12.4b, n = 5 3 = 2), a utre#em primjeru (slika 12.4.c) se radi o tzv. kontinualnom (neprekidnom) grednom nosau(nosas vie raspona i vie od dva oslonca), koji je dva puta statiki neodre%en (n = 5 3 =2). Na slici 12.4.d prikazan je ram koji je dva puta statiki neodre%en (n = 5 3 = 2). Upetom primjeru obostrano ukljetena greda je zagrijana i temperatura je promjenjiva povisini poprenog presjeka (slika 12.4e). U ovom primjeru, iako nema vanjskog optere#enja,javljaju se naponi u gredi, kao posljedica zagrijavanja. Ova greda je dva puta statikineodre%ena (n = 4 2 = 2). Slika 12.4.f prikazuje prostorni nosa, koji je dva puta statikineodre%en (n = 8 6 = 2).
Slika 12.4. a) Greda na krajevima ukljetenab) Greda na jednom kraju ukljetena a na drugom zglobno vezanac) Kontinualni nosad) Ram na jednom kraju ukljeten, a na drugom zglobno vezane) Greda neravnomjerno zagrijana i na krajevima ukljetenaf) Prostorni nosana jednom kraju ukljeten, a na drugom vezan pomo#u
dva tapa
a)
F
F
FM
q
q2F 1F
T1T2
1F
q
b) c)
d) e) f)
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
4/84
84
Pored vanjskih statiki neodre%enih nosaa mogu se javiti i unutarnje statiki neodre%eni
nosai. Na slici 12.5.a i b su prikazani ravanski i prostorni ram sa zatvorenom konturom,koja pove#ava broj nepoznatih presjenih sila sa tri na est, odnosno sa est na dvanaest, teram postaje tri puta unutarnje statiki neodre%en u ravni, a est puta unutarnje statikineodre%en u prostoru.
Slika 12.5. a) Ravanski ram sa zatvorenom konturomb) Prostorni ram sa zatvorenom konturomc) Ravanski ram s dvije zatvorene konture
Na slici 12.5c prikazan je ram s dvije zatvorene konture, kod koga je broj unutarnje statikeneodre%enosti za tri ve#i nego kod rama na slici 12.5a. Naime, svaka zatvorena konturapove#ava broj nepoznatih presjenih sila u ravni za tri.Na unutarnje statiki neodre%enim ravanskim nosaima moe se postaviti zglob koji spajadva elementa i on tada uklanja jednu unutarnju vezu, moment savijanja, jer nema okretanja
jednog presjeka u odnosu na drugi. To znai da se umetanjem zgloba smanjuje unutarnjastatika neodre%enost nosaa za jedan. Zato je ram sa zatvorenom konturom na slici 12.6.bdva puta unutarnje statiki neodre%en, a na slici 12.6.a tri puta. Ako se postavi dvojni zglobna mjestu spajanja tri elementa moe se smatrati kao da je sastavljen od dva zgloba kojipovezuju po dva elementa, tako da on smanjuje unutarnju statiku neodre%enost za dva(slika 12.6.c).
Slika 12.6. Ram sa zatvorenom konturoma) tri puta unutarnje statiki neodre%enb) dva puta unutarnje statiki neodre%enc) jednom unutarnje statiki neodre%en
2F
1F
a)
q
b)
F
q
c)
a)
q
b)
q
c)
q
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
5/84
85
Kod reetkastih nosaa, tako%er, moe se javiti vanjska i/ili unutarnja statika
neodre%enost. Vanjska neodre%enost je posljedica ve#eg broja vanjskih veza od minimalnopotrebnog za uvr#ivanje konstrukcije kao krutog tijela (slika 12.7.a), a unutarnja ako jebroj tapova ve#i od potrebnog za formiranje reetkastog nosaa kao kinematskinepomjerljive figure (slika 12.7.b), pa se sile u tapovima ne mogu odrediti poznatimmetodama iz statike krutog tijela.
Slika 12.7.a) Reetkasti nosavanjski statiki neodre%enb) Reetkasti nosaunutarnje statiki neodre%en
Reetka na slici 12.7a je jednom vanjski statiki neodre%ena (n = 4 3 = 1). Ona jeunutarnje statiki odre%ena, jer je broj potrebnih tapova prema (12.2)
m = 2nc 3 , (12.2)
gdje je ncbroj vorova, jednak broju tapova reetke (m = 28 3 = 13).Na slici 12.7.b reetka je vanjski statiki odre%ena (n = 3 3 = 0), ali nije unutarnje, jer je
broj tapova 10, a potreban broj je m = 26 3 = 9, te je n = 10 9 = 1, tj. jednom jeunutarnje statiki neodre%ena.Da bi se rijeile vanjski ili/i unutarnje statiki neodre%ene konstrukcije potrebno je uvestidopunske uslove. Ti dopunski uslovi se formiraju iz uslova deformisanja konstrukcije.Poto je deformacija poznata ako su poznati linijski i ugaoni pomaci u svakoj takioptere#enog nosaa, to se na osnovu izraza za pomjeranja formiraju potrebni dopunskiuslovi za rjeavanje statiki neodre%enih nosaa. Ti uslovi su poznati kao uslovikompatibilnosti, poklapanja pomjeranja, odnosno geometrijski uslovi. Kako se ti dopunskiuslovi dobijaju, zavisi od metode koja se koristi pri rjeavanju statiki neodre%enihproblema. Kod konstrukcija iji su elementi od linearno elastinih materijala i kod kojih prianalizi naponskog stanja, koje je posljedica djelovanja vanjskog optere#enja i/ili toplotevrijedi princip superpozicije, on se moe iskoristiti pri formiranju dopunskih uslova,odnosno za rjeavanje statike neodre%enosti konstrukcije.
Princip superpozicije predstavlja osnovu za naje#e koritene metode rjeavanja statikineodre%enih problema, a to su metoda sila i metoda deformacija ili pomjeranja. Ove metodese mogu formulisati i preko energetskih principa. Pored ovih metoda koriste se i neke drugemetode koje imaju ogranienu primjenu. Tako se najjednostavniji primjeri statikineodre%enih greda mogu rijeiti koritenjem jednaine elastine linije.Sloene statiki neodre%ene konstrukcije rjeavaju se veoma sofisticiranim analitikimtehnikama zasnovanim na metodama koje #e ovdje biti opisane.Kada se rijei statika neodre%enost konstrukcije, sljede#i korak u analizi je raunanjenapona i deformacija metodama koje su ranije opisane.
a)
1F
2F q
b)
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
6/84
86
12.2. Integraciona metoda
Statiki neodre%ena greda moe se rijeiti koritenjem integracione metode, tj. analizepomo#u jedne od tri diferencijalne jednaine elastine linije. Te jednaine su jednainamomenata savijanja (12.3.a), koja je drugog reda, jednaina transverzalne sile (12.3.b), kojaje tre#eg reda i jednaina intenziteta raspodijeljenog optere#enja (12.3.c), koja je etvrtogreda.
MyEIx ='' , (12.3a)
tx FyEI =''' , (12.3b)
.qyEI IVx = (12.3c)
Procedura rjeavanja je kao kod statiki odre%enih greda. Naime, potrebno je integrisati
dobijeno opte rjeenje, primijeniti granine uslove i druge zadate uslove da se dobijunepoznate veliine, a to su integracione konstante i reakcije veza.Ova metoda se koristi pri rjeavanju jednostavnijih primjera, jer u sloenijim primjerima zarjeavanje diferencijalne jednaine postupak je raunski zahtjevniji.Sljede#i primjer je rijeen integracionom metodom.
Primjer 12.1.
Greda je optere#ena prema slici 12.8. Poznato je uniformno raspodijeljeno optere#enje
grede po jedinici duine (q) i njena duina
l4
5.
Odrediti reakcije u ukljetenju A i reakciju oslonca B.
Slika 12.8. Statiki neodre%ena greda
Rjeenje:
U ovom primjeru greda je izloena vertikalnom optere#enju, pa se u ukljetenju javljajudvije nepoznate, vertikalna sila i moment ukljetenja. Nepoznata je i reakcija veze uosloncu B (slika 12.9.a). Ovde se mogu postaviti dva statika uslova ravnotee, te je stepenstatike neodre%enosti jedan (n = 3 2 = 1).
q
y
A B C
l l/4
z
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
7/84
87
Slika 12.9. a) Greda optere#ena vanjskim optere#enjem i nepoznatim reakcijama vezab) Greda presjeena na rastojanju z
Da bi se dobilo rjeenje primjenom integracione metode, potrebno je rijeiti jednainu
elastine linije. Moment savijanja u nekom presjeku z je prema slici 12.9b
2
2qzMzFM AA = , (a)
a iz statikih uslova ravnotee se dobija
== ,045
,0 BAy FFlqF (b)
.08
5
4
5,0 =+= ABA MllqlFM (c)
Iz (b) i (c) se dobija (d)
.32
25,
4
5 2 lFlqMFlqF BABA == (d)
Nakon uvrtavanja (d) u (a) dobija se (e)
.232
25
4
5 22 qzlFqlzFqlzM BB += (e)
Izraz za moment savijanja (e) uvrtava se u jednainu elastine linije (12.3a) i dobija se
.232
25
4
5''
22 qzlFqlzFqlzyEI BBx +++= (f)
Nakon integrisanja jednaine (f) dobijaju se izrazi za nagib i ugib grede:
,632
25
28
5' 1
3222 czq
lzFzqlzF
qlzyEI BB
x ++++= (g)
.24264
25
624
521
422233 czczq
zlF
zqlzF
qlzyEI BBx +++++= (h)
Nepoznata reakcija veze FBi integracione konstante c1i c2se dobijaju iz poznatih graninih
uslova da je u ukljetenju A ugib i nagib jednak nuli i da je u osloncu B ugib nula.
z = 0, y = 0, y ' = 0; z = l, y = 0. (i)
Iz (g) i (h) uz koritenje uslova (i) dobija se
c1 = 0, c2= 0, .64
43qlFB =
Nepoznate reakcije FAi MAse dobijaju iz (d), tj.
AF
BF
MA
a)
q
AF )(zF
t
MA
b)
q(z)
M(z)
y
z
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
8/84
88
.64
7,
64
37 2qlMqlFAA ==
Integracionom metodom se moe rijeiti i statiki neodre%en nosakoji je neravnomjernozagrijan. Objanjenje je dato kroz rjeavanje sljede#eg primjera.
Primjer 12.2.
Obostrano ukljetena greda (slika 12.10.) je zagrijana tako da je prirataj temperature uodnosu na temperaturu u nedeformisanom stanju za gornja vlakna T1, a za donja T2.Pretpostavlja se da je T2> T1i da se temperatura linearno mijenja po visini pravougaonogpoprenog presjeka. Poznati su modul elastinosti E, koeficijent toplotnog irenja ,aksijalni moment inercije Ixi visina poprenog presjeka h.Odrediti reakcije u ukljetenjima.
Slika 12.10. Obostrano ukljetena, zagrijana greda
Rjeenje:
U ovom primjeru u ukljetenjima se javljaju po dvije nepoznate reakcije veza(slika12.11.a). Stepen statike neodre%enosti je dva. Problem je rijeen integracionommetodom.
Slika 12.11.a) Obostrano ukljetena, zagrijana greda i reakcije vezab) Izduenje i okretanje poprenog presjeka
Jednaina elastine linije grede izloene momentima savijanja i temperaturnoj promjeni jeprema (11.31.)
T1
T2
T2>T1
AB
y
z h
y
x
T1
T2
MAMB
y
z
zB
F AF
y
z
dz
d
a)b)
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
9/84
89
( )h
TTEIMy
x
12'' = , (a)
ili( )
.'' 12h
TTEIMyEI xx
=
(b)
Moment savijanja u presjeku z je
.AA MzFM = (c)
Uz (c) jednaina (b) postaje( )
,''12
h
TTEIMzFyEI
xAAx
+=
(d)
a nakon integrisanja nagib i ugib su:
( ),
22' 1
1223
czh
TTEIzM
zFyEI xA
Ax +
+=
(e)
( ).
226 21212
23
czczh
TTEIzM
zFyEI xA
Ax ++
+=
(f)
Integracione konstante se dobijaju iz graninih uslova
z = 0, y ' = 0, y = 0 (g)
i one iznose c1= 0, c2= 0 . (h)
Iz graninih uslova
z = l, y ' = 0, y = 0 (i)
se dobija
( ),
212
h
TTEIM
lF xA
A =+
(j)
( ).
312
h
TTEIM
lF xA
A =+
(k)
Rjeenje jednaina (j) i (k) je( )
,,0 12h
TTEIMF xAA
==
a zbog simetrije bi#e
ABB MMF == ,0 .
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
10/84
90
12.3. Metoda superpozicije
Metoda superpozicije je od fundamentalnog znaaja u analizi statiki neodre%enih greda,reetki, ramova i drugih vrsta struktura. Ona koristi princip superpozicije deformacija, apoznato je da je taj princip primjenjiv na konstrukcije od homogenog, izotropnog, linearnoelastinog materijala, to je ovde sluaj. Naime, pri koritenju metode superpozicije raunase ukupni nagib ili ugib na odre%enom mjestu kao algebarska suma nagiba ili ugiba odsvakog optere#enja koje individualno djeluje i od suvinih reakcija. Na taj nain se dobijadodatna jednaina potrebna da se rijei statiki neodre%en problem.Redoslijed rjeavanja statiki neodre%enih nosaa metodom superpozicije je sljede#i:
- odrediti stepen statike neodre%enosti nosaa,- naznaiti suvine reakcije,- na#i deformaciju nosaa na mjestu suvine reakcije kao sumu deformacija od
optere#enja i suvinih reakcija,
- na%ena suma deformacija mora biti jednaka deformaciji na originalnom nosau, aona je nula ili ima zadatu vrijednost.
Tako se dobijaju jednaine kompatibilnosti ili jednaine superpozicije, koje pokazuju da jedeformacija oslobo%enog nosaa u takama suvinih reakcija jednaka deformacijioriginalnog nosaa u tim istim takama. Oslobo%eni nosa je statiki odre%en i lako semoe odrediti njegova deformacija koritenjem tehnike opisane u poglavlju 11.Ako se nosasastoji iz vie dijelova i ako je statiki neodre%en potrebno je
- pretvoriti nosau ekvivalentni statiki odre%en nosapresjecanjem u osloncima ilivornim takama (takama spajanja dva elementa konstrukcije) i tako dobiti nizprostih greda i/ili konzola,
- odrediti statiki neodre%ene veliine u presjecima iz uslova deformisanja nosaa,tj. uslova kontinuiteta elastine linije nosaa.
Metoda superpozicije je primijenjena na rjeavanje sljede#eg primjera.
Primjer 12.3.
Za gredu ravnomjerno optere#enu prema slici 12.12. odrediti reakcije oslonaca.
Slika 12.12. Greda optere#ena kontinualnim optere#enjemRjeenje:
Ovaj primjer je jednom statiki neodre%en (n = 3 2 = 1). Reakcija FB je oznaena kaosuvina i razmatra se kao nepoznato optere#enje. Ugibi od vanjskog optere#enja i reakcijeFB se raunaju odvojeno, koritenjem tablinih vrijednosti [42,45], kako je pokazano naslici 12.13.
q
AB
C
2l/3 l/3
l
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
11/84
91
Slika 12.13. Princip superpozicije primijenjen na rjeavanje statiki neodre%ene grede
Ugib uzrokovan kontinualnim optere#enjem je [45]
.224
434
+
=
l
z
l
z
l
z
EI
qly
xq (a)
Na mjestu lz3
2= iz (a) se dobija
.0113,04
xq EI
qly = (b)
Ugib od koncentrisane sile je [45]
.3
223
= lblaEIlFy x
F (c)
Sila F = - FBdjeluje na mjestu la3
2= i lb
3
1= , pa se iz (c) dobija
.01646,03
x
BF EI
lFy = (d)
Poto je ugib na osloncu nula, mora biti
.0=+= FqB yyf (e)
Nakon uvrtavanja (b) i (d) u (e) dobija se reakcija oslonca B, tj.
.68,0 qlFB = (f)
Iz statikih uslova ravnotee se na%u ostale nepoznate reakcije veza. Prema slici 12.13a.bi#e:
C
l/3
qA
BF
2l/3
qA
2l/3
B
C A
BF
2l/3
B C
y
A B C
yB=0
z
y
A B
(yB)q
zB
(yB)F
zC
y
l/3 l/3
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
12/84
92
Slika 12.13a. Optere#ena greda s reakcijama veza
,023
2,0
2
=+= qllFlFM BcA (g).,0 qlFFFF CBAy =++= (h)
Iz (f), (g) i (h) se dobija
.274,0,046,0 qlFqlF AC ==
Metoda superpozicije se moe primijeniti i na rjeavanje grednih nosaa s elastinimosloncima, tj. nosaa koji se oslanjaju na jednu ili vie opruga, kao i nosaa s elastinimukljetenjem. U takvim sluajevima opruge se uzimaju za suvine veze. Ugibi su jednakiskra#enju ili izduenju opruge, koje je srazmjerno sili u opruzi. Kod elastinog ukljetenjadolazi do okretanja poprenog presjeka, koje je srazmjerno momentu ukljetenja.Kroz rjeavanje sljede#a dva primjera pokazano je kako se odre%uje suvina reakcija veze.
Primjer 12.4.
Konzola, optere#ena ravnomjerno raspore%enim teretom, na slobodnom kraju je poduprta itaj oslonac je s oprugom krutosti c (slika 12.14.). Odrediti suvinu reakciju veze. (EI x =const.)
Slika 12.14. Konzola s elastinim osloncem
Rjeenje:
Slika 12.15. Princip superpozicije primijenjen na rjeavanje statiki neodre%enog nosaa
q
AF BF CF A B C
q
BA
l
BF
qB
AB
Bc
BF
Aq
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
13/84
93
Ugibi kraja B od kontinualnog optere#enja i koncentrisane sile su [42]:
.3
,8
34
x
BF
xq EI
lFy
EI
qly == (a)
Poto je u B elastini oslonac, njegov ugib je jednak skra#enju opruge, tj.
,c
Ff BB = (b)
jer je sila u opruzi .BB cfF = Sada se moe pisati
,FqB yyf += (c)pa je silaFBiz (c), a uz koritenje izraza (b) i (a)
.1
38
3
4
+
=
cEI
lEI
qlF
xx
B
Primjer 12.5
Obostrano ukljetena greda optere#ena je silom F (slika 12.16.). Lijevo ukljetenje je
elastino, a desno je kruto. Poznata je specifina krutost pri okretanju c i savojna krutost EIx= const.Odrediti suvine reakcije veza.
Slika 12.16. Obostrano ukljetena greda s elastinim ukljetenjem na lijevoj strani
Rjeenje:
Slika 12.17. Princip superpozicije primijenjen na rjeavanje statiki neodre%enog nosaa
BA
l/2
F
l/2
BA
F
=0y
z
BA
F
BA MB
BA
MA
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
14/84
94
Nagibi elastine linije u osloncima A i B od koncentrisane sile i momenata su [42]:
.3
,6
,16
,6
,3
,16
2
2
x
BM
x
AM
xF
x
BM
x
AM
xF
EI
lM
EI
lM
EI
Fl
EI
lM
EI
lM
EI
Fl
BA
BA
===
===
(a)
U elastinom ukljetenju moment je cMA= , tj. dolazi do okretanja poprenogpresjeka. U krutom ukljetenju nema okretanja poprenog presjeka.
,0, === c
MA (b)
.,BABA MMFMMF
++=++= (c)
Iz (c), a uz izraze (a) i (b), dobijaju se suvine reakcije veza
( ) ( ).
48
6,
48
22
x
xB
xA EIlc
FlEIcFlM
EIlc
cFlM
++
=+
=
Metoda superpozicije se moe koristiti i pri rjeavanju grednih nosaa kod kojih svi osloncinisu na istoj horizontali i tada je ugib na mjestu sputenog oslonca jednak vrijednosti za
koju je on sputen u odnosu na susjedne oslonce (vidjeti zadatak 12.21).Ova metoda se moe koristiti i pri rjeavanju ukrtenih grednih nosaa, koji se oslanjajujedan na drugi. Suvina nepoznata se javlja na mjestu veze. Dodatna jednaina se dobijanakon razdvajanja nosaa uz koritenje uslova da je na mjestu dodira ugib oba nosaa isti.U sljede#em primjeru je iskoriteno naprijed reeno.
Primjer 12.6.
Greda AB i konzola CD, optere#ena kontinualnim optere#enjem, su na mjestu veze krutospojene prema slici 12.18. Oba nosaa su od elinog valjanog I profila, ali razliitihdimenzija. Odrediti suvinu reakciju veze.
Slika 12.18. Ukrteni gredni nosa
l/2
A
C
BD
l/2 l/2
1xI
2xI
q
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
15/84
95
Rjeenje:
Uticaj konzole na gredu zamjenjuje se silom Fn, a grede na konzolu silom - Fn (slika12.19.). Tako su dobijena dva statiki odre%ena nosaa, kod kojih je ugib na mjestu vezeisti.
Slika 12.19. Ukrteni gredni nosarastavljen na gredu i konzolu
Ugib na sredini grede usljed djelovanja sileFnje [42]:
1
3)1(
48 x
nD EI
lFf = , (a)
a ugib na kraju konzole usljed djelovanja kontinualnog optere#enja q i koncentrisane sileFnje [42]:
2
3
2
4
)2(
32
1
82
1
x
n
xD EI
lFEI
lqf
= . (b)
Poto mora biti
)2()1(DD ff = , (c)
to se iz (c) a uz (a) i (b) dobija reakcija veze u D
.2
1
8
3
1
2
x
xn
I
IqlF
+=
Metoda superpozicije se koristi i pri rjeavanju statiki neodre%enih nosaa koji suneravnomjerno zagrijani, kao to je nosau sljede#em primjeru.
A
Dl/2 l/2
1xI
2xI
nF
nF
l/2
C
q
D
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
16/84
96
Primjer 12.7.
Obostrano ukljetena greda, duine l, visine h, neravnomjerno je zagrijana. Temperaturalinearno raste od T1 do T2 po visini grede. Poznati su savojna krutost EIx = const. ikoeficijent toplotnog irenja .Odrediti reakcije u ukljetenjima.
Rjeenje:
Ovaj primjer je rijeen u poglavlju 12.2. metodom integracije, a ovde #e biti rijeenmetodom superpozicije.Nosaje oslobo%en veze u B i dobijena je konzola koja je na slobodnom kraju optere#enasuvinim reakcijama vezeFBiMB(slika 12.20.).
Slika 12.20.a) Obostrano ukljetena, zagrijana gredab) Zagrijana konzola optere#ena silom i momentomc) Deformisana konzola zbog temperaturne promjene
Nagib kraja B uzrokovan temperaturnom promjenom du visine h na osnovu (10.53), tj.
dzh
TTd T
12= , bi#e za usvojeni pozitivni smjer ose y
( ).12
1 h
lTTB
=
(a)
Iz izraza (10.53), vode#i rauna o predznaku (izraz (a)), dobija se
h
TT
dz
d T 12=
, (b)
to predstavlja zakrivljenost elastine linije.
U poglavlju 11 je pokazano da je zakrivljenost elastine linije za male ugibe i nagibejednaka drugom izvodu funkcije koja predstavlja jednainu elastine linije nosaa ijim
integriranjem se dobija ugib
( )h
lTTfB 2
212
1
= . (c)
Ugib i nagib od sile i momenta su [42]:
AF
T1T2
A B
y
zh
MA MBB
F l
a)
T1T2
A B
MBB
F b)
zy
T1T2
1B
1Bf
c)
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
17/84
97
.,2
,2,3
33
22
2
33
x
BB
x
BB
x
B
Bx
B
B
EI
lM
EI
lMf
EI
lF
EI
lF
f
==
==
(d)
Ukupni ugib i nagib oslonca B jednaki su nuli, tj. na osnovu (a), (c) i (d) bi#e:
( )
( ).0
2
,0232
212
23212
=+
=+
x
B
x
B
x
B
x
B
EI
lM
EI
lF
h
lTT
EI
lM
EI
lF
h
lTT
(e)
Iz jednaina (e) se dobija
( ),,0 12
h
TTEIMF xBB
==
a zbog simetrije
., BABA MMFF == Rezultati pokazuju da je obostrano ukljetena greda izloena djelovanju konstantnogmomenta savijanja zbog linearne promjene temperature po visini presjeka.
12.4. Metoda tri momenta Klapejronova (Clapeyron) jednaina
Kontinualni nosai, nosai s dva i vie raspona, mogu se susresti u zgradama, mostovima,avionima i nekim drugim konstrukcijama. Ovakvi nosai su uvijek statiki neodre%eni imogu se rijeiti metodom superpozicije, odnosno posebnim oblikom ove metode, koji jenazvan metoda tri momenta.Kod metode superpozicije, kako je pokazano, prvi korak je izbor suvinih sila i/ilimomenata. Kod kontinualnih nosaa to su reakcije na unutranjim osloncima (svi oslonciosim dva krajnja). Ako taj nosa ima n raspona i n + 1 oslonaca na istoj visini, ako jeoptere#en teretima koji djeluju u ravni u kojoj se nalazi jedna od glavnih osa inercijepoprenog presjeka i ako su tereti vertikalni, a spregovi djeluju u vertikalnoj ravni, tada jetaj kontinualni nosan + 1 2 = n 1 puta statiki neodre%en (slika 12.21a). Naime, moguse postaviti samo dvije jednaine statike ravnotee. Da bi se taj kontinualni nosarijeio,
tj. da bi se odredile sve nepoznate reakcije veza, on se zamjenjuje ekvivalentnim statikiodre%enim nosaem na kome je uticaj me%uoslonaca zamijenjen nepoznatim reakcijama(slika 12.21.b) ili ekvivalentnim sistemom koji se sastoji iz prostih greda, a koji je dobivenosloba%anjem nosaa jedne unutarnje (ugaone) veze, tako da na mjestu unutarnjih oslonacanastaju zglobne veze (slika 12.21.c) i na tim mjestima su nepoznati momenti. Ovi momentiograniavaju slobodno okretanje poprenog presjeka nosaa na mjestu njihovog djelovanjai osiguravaju kontinuitet elastine linije nosaa.
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
18/84
98
Slika 12.21.a) Kontinualni nosab) Kontinualni nosakod koga je uticaj me%uoslonaca zamijenjen nepoznatim reakcijama
c) Kontinualni nosazamijenjen prostim gredama
Pri rjeavanju kontinulanih nosaa uvijek se posmatraju dva susjedna polja, pa se javljajutri nepoznata reaktivna momenta na me%uosloncima (slika 12.22.).
Slika 12.22. Dva susjedna raspona kontinulanog nosaa
Ako bi se greda na slici 12.22. presjekla na mjestu srednjeg oslonca i, zbog kontinuitetaelastine linije nosaa mora biti nagib tangente na elastinu liniju s lijeve i s desne stranetog oslonca isti, to znai da je
di
li = . (12.4)
Jednakost (12.4) predstavlja jednainu kompatibilnosti. Nagib i se rauna kao sumanagiba od datog optere#enja i reaktivnih momenata (princip superpozicije), to je prikazanona slici 12.23.
Slika 12.23.a) Deformacija i-tog raspona kontinulanog nosaab) Deformacija i+1-og raspona kontinulanog nosaa
b)
F q
2
Mi-1 Mi
i-1
Mi+1
i+1ili li+1
i
F
a)
i(Mi-1)+ i(Mi)
MiMi-1
Mi+1Mi
i(Mi)+ i(Mi+1)
q
i+1
b)
0
1Fq
nF 1 2 n-1 n
a)Q1 Q2
1F
q
q M1 M2M1 1F Mn-1 nF
c)
n
F
Qn-1
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
19/84
99
Nagibi tangente na elastinu liniju su:
.)()(
,)()(
11
1
++
++=
++=
p
Fiiiii
di
j
Fiiiii
li
p
j
MM
MM
(12.5)
Nagibi j
F
ij lijevo od srednjeg oslonca i +
p
Fi
p1 desno od srednjeg oslonca su nagibi
od zadatog optere#enja (Fjza lijevi raspon,Fpza desni raspon). Njih treba uzeti sa stvarnimpredznakom za svako pojedinano optere#enje. Nagibi od reaktivnih momenata dobijenirjeavanjem jednaine elastine linije (11.3), uzimaju se iz tablica [42,45] i nakonuvrtavanja u jednaine (12.5), odnosno (12.4) dobija se
,)(6)(3)(3)(6 1111
1
11 ++++
+
+ +=++p
Fiix
ii
ix
ii
j
Fiix
ii
ix
ii pj
EIlMEIlMEIlMEIlM
odnosno
,6)()()(
2)(
11
11
1
11
=+
++ +
+
++
+
+
j
Fi
p
Fi
ix
ii
ix
i
ix
ii
ix
ii jp
EI
lM
EI
l
EI
lM
EI
lM (12.6)
gdje je uzeto da su savojne krutosti pojedinih dijelova nosaa razliite.Jednaina (12.6) poznata je kao Klapejronova jednaina ili jednaina tri momenta, jersadri tri nepoznata momenta savijanja. Ovakvu jedaninu treba napisati za svaki suvinioslonac.Ako nosaima istu savojnu krutost na cijeloj duini (EIx= const.), jednaina (12.6) prelaziu (12.7), tj.
( ) .62 11111
=+++ ++++
p j
Fi
Fixiiiiiii
jpEIlMllMlM (12.7)
Ako se reaktivni moment dobije s negativnim predznakom, to znai da je pogrenopretpostavljen njegov smjer i treba mu ga promijeniti prije raunanja ostalih nepoznatihreakcija veze iz statikih uslova ravnotee.
Ako je nosa s prepustom (slika 12.24.a), tada se optere#enje na prepustu redukuje nasusjedni oslonac i dobija se sila i moment (slika 12.24.b). Taj moment ulazi u jedna inu trimomenta kao poznata veliina.
Slika 12.24.a) Nosas prepustomb) Redukovanje optere#enja na prepustu na susjedni oslonac
F
a)
q
n-1 n a
F
b)
q
n-1 n
Fa
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
20/84
100
Ako su krajevi grede ukljeteni ili je ukljeten samo jedan kraj, potrebno je ukljetenje
zamijeniti prostom gredom nultog raspona i onda primijeniti metodu tri momenta (slika12.25.). U ovom sluaju prva i zadnja jednaina postaju:
,62,
,62,0
1
1111
=+=
=+=
j
F
nxnnnn
p
Fxo
j
p
EIlMlMni
EIlMlMi
(12.8)
za EIx= const.
Slika 12.25.a) Obostrano ukljeten kontinualni nosab) Zamjena ukljetenja prostom gredom nultog raspona
Ako su oslonci na razliitim nivoima, iznad ili ispod horizontale, javljaju se poetni naponiu kontinualnom nosau. Tada se uticaj pomjeranja oslonaca u odnosu na horizontalu uzimakao da potie od dodatnog vanjskog optere#enja koje bi izazvalo to okretanje poprenogpresjeka. Zato treba nagibima od optere#enja dodati nagibe koje pojedini rasponi gredegrade s horizontalom (slika 12.26.), pa se dobija
,6336
111111
+++++ ++=+++ ii
x
ii
x
iiii
x
ii
x
ii
EI
lM
EI
lM
EI
lM
EI
lM (12.9)
gdje su ii i+1uglovi okretanja poprenog presjeka u srednjem osloncu zbog toga to svioslonci nisu na istoj horizontali. Okretanje presjeka i (lijevog i desnog) uzima se da je
pozitivno ako je u smjeru kazaljke na satu od vertikale kroz taj oslonac. Svi uglovi seuvrtavaju u radijanima.
a)
l1 l2
1F q
0 21 nn-1
nF
ln
1F M0M1
l1l0=0
nF Mn-1 Mn
ln ln+1=0
b)
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
21/84
101
Slika 12.26.Dva susjedna raspona kontinualnog nosaa s osloncima na raznim nivoima
Metoda tri momenta je iskoritena pri rjeavanju sljede#eg primjera.
Primjer 12.8.
Greda od standardnog I profila (E = 2105 MPa) optere#ena je prema slici 12.27 (q =20kN/m, Mo= 60 kNm, l = 2 m).
a) Izraunati otpore oslonaca.b) Nacrtati dijagrame Fti M.c) Dimenzionisati gredu ako je d= 140 MPa.
Rjeenje:
a) Greda na slici 12.27. je jednom statiki neodre%ena (n = 3 2 = 1). Da bi serijeila metodom tri momenta potrebno je fiktivno produiti na mjestu ukljetenja,a optere#enje s prepusta redukovati na taku B (slika 12.28.).
Slika 12.28. Ekvivalentni sistem za nosana slici 12.27.
1F i-1
Mi
Mi+1
Mi-1
i+1li+1
i
li
Mi+1
i
Slika 12.27.Optere#engredni nosa
l l
q
Al/2
BM0
qMA
M0
42
llq
z
y
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
22/84
102
Na gredu na slici 12.28. primjenjuje se izraz (12.8) i dobija se
.628
)2(22
=+p
FAxA
pEIlql
lM (a)
,op MAq
Ap
FA += (b)
tj. rauna se nagib od kontinualnog optere#enja q i momenta savijanja Mo. Iz tablica [42] je:
.24
)2(
,48
7
222
)2(
24
1 3223
x
oMA
xx
qA
EI
lM
EI
ql
l
l
l
l
EI
lq
o =
=
=
(c)
Nakon uvrtavanja (c) u (b), a (b) u (a) dobija se
,1248
76
44
33
+=+
x
o
xxA EI
lM
EI
qlEI
qllM (d)
odnosno
kNm.20
,608
1420
32
5
8
1
32
5 2
=
+=+=
A
oA
M
MqlM
Otpori oslonaca se dobijaju iz statikih uslova ravnotee (slika 12.29.):
=++
+= ,0
4
3
2
32,0 AoBA MM
ll
qllFM (e)
=+= .23
,0ql
FFF BAy (f)
Iz (e) se dobija sila u osloncu B
kN.5,32
,4
206016
22021216
21
=
+=+=
B
AoB
FlMMqlF
Iz (f) se dobija sila u ukljetenju A
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
23/84
103
kN.5,27,5,322
2203
2
3
=
==A
BA
FF
ql
F
b)
Da bi se nacrtao dijagram momenata savijanja potrebno je izraunati momente ukarakteristinim takama.
kNm.25,kNm35
kNm,108
2
===+=
==
olC
dCAA
lC
B
MMMlFMM
qlM
Mjesto ekstrema momenta savijanja se dobija iz uslova
m,625,120
5,32,0 ==== zFqzF B
dt
a moment je
( ) kNm.1,61625,15,322
625,120
22
22
=+=
+=
lzF
qzM Be
c) Dimenzionisanje grede se vri na osnovu maksimalnog momenta savijanja Mmax = 35kNm.
Koritenjem izraza (7.48) dobija se
BM0
q
C
M0
AA
F BF
+ +-
27,5
25
20
12,5
Ft
+
- -
20
6,1
10
35
Slika 12.29. Nosasotporima oslonaca idijagramima Fti M
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
24/84
104
.
max
max dxW
M
= (g)Iz izraza (g) bi#e otporni moment povrine
.cm250,1010140
35 363
xx WW
Usvaja se standardni profil s prvom ve#om vrijedno#u [42] , a to je
I 22 za koji je 3cm278=xW , Ix= 3060 cm4.
12.5. Metoda sila
Statiki neodre%eni sistemi veoma esto se rjeavaju pomo#u metode sila. Pri primjeni ovemetode potrebno je prvo sistem osloboditi suvinih veza i pretvoriti ga u stabilan, statikiodre%en sistem, tako to #e preostale veze osigurati kinematsku nepomjerljivost i u pogleduvanjskih i unutarnjih veza. Na taj nain se dobija osnovni sistem. Da bi sistem bioekvivalentan poetnom, potrebno je osnovni sistem opteretiti zadatim optere#enjem, a namjesto uklonjenih veza potrebno je staviti nepoznate, tzv. generalisane sile. Za svakuuklonjenu vanjsku vezu stavlja se jedna nepoznata sila, dok se za uklonjenu unutranjuvezu stavljaju dvije nepoznate sile istog intenziteta a suprotnog smjera. Ako uklonjena vezaonemogu#ava linijsko pomjeranje stavlja se sila, a ako onemogu#ava ugaono pomjeranjestavlja se spreg. Tako se dobija ekvivalentni sistem (slika 12.30.) na kome su uz vanjskooptere#enje naznaene suvine sile, tzv. generalisane sile, koje spreavaju generalisanapomjeranja.
Slika 12.30a. Ram vanjski statiki neodre%en
q
F
osnovni sistem
q
F
Q1
Q2
ekvivalentni sistem
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
25/84
105
Slika 12.30.b Ram unutarnji statiki neodre%en
Ram na slici 12.30.a je dva puta vanjski statiki neodre%en, a ram a slici 12.30.b je tri putaunutarnje statiki neodre%en.Ako je reetkasti nosa statiki neodre%en, kod formiranja ekvivalentnog sistema trebavoditi rauna da ostane geometrijski nepomjerljiv, tj. da ostane nepomino vezan zapodlogu, a da unutar tog nosaa ne dolazi do pomjeranja tapova, odnosno vorova. Naslici 12.31. prikazan je reetkasti nosakoji je jednom vanjski i jednom unutarnje statikineodre%en.
Slika 12.31.Reetkasti nosadva puta statiki neodre%en
Nakon to je formiran ekvivalentni sistem, uspostavljaju se dodatni uslovi prekogeneralisanih pomjeranja, koja u statiki odre%enom sistemu odgovaraju generalisanim
silama, tj. iz uslova pomjeranja na ekvivalentnom sistemu. Ta pomjeranja se sastoje izpomjeranja izazvanih svakom od generalisanih sila i vanjskim optere#enjem. Kao to jepokazano u poglavlju 10, pomjeranje proizvoljne take konstrukcije je prema (10.22)
=
=n
jjiji Ff
1
, (12.10)
q
osnovni sistem
q
ekvivalentni sistem
Q2
Q1
Q3
F F
Q2
Q2
Q1
ekvivalentni sistem
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
26/84
106
jer postoji linearna zavisnost izme%u pomjeranja i sile. Koritenjem izraza (12.10) mogu se
napisati dopunski uslovi metode sila u obliku (12.11)
,,...,2,1,01
niQ iFn
jjiji ==+=
=
(12.11)
gdje su Qj suvine nepoznate veliine (generalisane sile), ij Qj je pomjeranje kojeodgovara sili Qi a izazavano silom Qj, ij su uticajni koeficijenti elastinosti, tj. to jegeneralisano pomjeranje na mjestu i u pravcu generalisane sile Qi usljed djelovanja
generalisane jedinine sile jQ =1, a iF je pomjeranje take i u pravcu sile Qi usljedzadatog optere#enja.
Uticajni koeficijenti se mogu odrediti koritenjem Maksvel- Morove (Maxwell - Mohr)metode ili za nosae iz pravih dijelova koritenjem Vereaginove metode.
Kao to je ve#reeno, svakoj statiki neodre%enoj veliini kao generalisanoj sili odgovaraodre%eno generalisano pomjeranje i ako je ono onemogu#eno na statiki neodre%enomsistemu, ono mora biti jednako nuli, jer ne smije do#i do loma, odnosno do pojavegeneralisanog pomjeranja. Dakle, moe biti sprijeeno pomjeranje presjeka usljed vanjskeveze ili me%usobno pomjeranje presjeka neke unutarnje veze. Na ovaj nain se dobijasistem od n lineranih jednaina sa n nepoznatih. Taj sistem jednaina je poznat kao sistemkanonskih jednaina metode sila. Nepoznate u ovom sistemu jednaina su generalisane silei otuda naziv metoda sila.
Sistem kanonskih jednaina (12.11) u razvijenom obliku postaje
=++++
=++++,0...
,0...
22222121
11212111
Fnn
Fnn
QQQ
QQQ
(12.12)
.0...2211 =++++ nFnnnnn QQQ
Prema Maksvelovoj teoremi o uzajamnosti pomjeranja (poglavlje 10.3) mora biti
jiij = . (12.13)
Ako se svi uticaji na pomjeranje taaka nosaa mogu zanemariti osim momenta savijanja,uticajni koeficijenti se odre%uju prema Kastiljanovoj (Castiglian) teoremi pomo#u Morovih
integrala, tj.
,=l x
jiij dl
EI
MM (12.14)
gdje su ji MM i momenti savijanja od jedininih generalisanih sila, a integrisanje izraza se
vri du svih elemenata nosaa.
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
27/84
107
Pomjeranje od vanjskih optere#enja je
,=l x
iFiF dlEI
MM (12.15)
gdje jeMF moment savijanja od vanjskih optere#enja.Naponsko stanje u statiki neodre%enim nosaima moe biti posljedica ne samo djelovanjavanjskog optere#enja nego i pomjeranja oslonca. To pomjeranje se moe javiti zbogsputanja podloge ili zato to postoje elastina leita. Tada dopunska jednaina glasi
,1
ioiFj
n
jijQ =+
=
(12.16)
gdje je iopomjeranje oslonca iu kojem djeluje suvina sila Qi.Ako je pomjeranje oslonca istog smjera kao i sile znak je plus, a ako je pomjeranjesuprotnog smjera od sile znak je minus.Sistem moe biti izloen vanjskom optere#enju i/ili temperaturnim promjenama. Tada se ukanonskim jednainama mora javiti dodatno pomjeranje u pravcu sile Qiusljed zagrijavanja(hla%enja), pa kanonske jednaine glase
n.1,2,...,i,01
==++=
iTiFj
n
jijQ (12.17)
Pri rjeavanju statiki neodre%enih ramova, ako je ram simetrian a optere#enje simetrino
ili antisimetrino, unaprijed su poznate odre
%ene presje
ne sile.Kod simetrinog rama sa simetrinim optere#enjem (slike 12.32a, b) presjena sila Q2
jednaka je nuli u ravni simetrije rama. Dokaz za ovo slijedi iz sljede#e analize. Ramoptere#en prema slici 12.32a je tri puta statiki neodre%en, a to znai da treba rijeiti sistemod tri jednaine:
.0
,0
,0
3333232131
2323222121
1313212111
=+++=+++
=+++
F
F
F
QQQ
QQQ
QQQ
(a)
Uticajni koeficijenti u jednainama (a) se dobijaju mnoenjem odgovaraju#ih momentnihdijagrama od jedininih sila, koji su prikazani na slikama 12.32. c, d, e
,0,0 32232112 ==== (b)
jer se mnoe simetrini i antisimetrini dijagram (slike 12.32. c, d i 12.32. e, d).
,02 =F (c)
se dobija mnoenjem povrina na slikama 12.32. d i 12.32. f (antisimetrian i simetriandijagram).
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
28/84
108
Slika 12.32. a) Simetrian ram sa simetrinim optere#enjemb) Ekvivalentni sistemc, d, e) Momentni dijagrami od jedininih unutarnjih silaf) Momentni dijagram od vanjskog optere#enja
Nakon uvrtavanja (b) i (c) u (a) dobija se
,0,0 2222 == QQ (d)
tj. antisimetrina sila 02=Q kada je optere#enje simetrinog rama simetrino.Kod simetrinog rama s antisimetrinim optere#enjem (slika 12.33. a, b) presjene sile
1Q i Q3su jednake nuli u ravni simetrije rama.
qq
l
ravansoimetrije
EIx
a)
q
l
Q2
Q1
Q3
b)
3M
1113=Q
e)
MF
f)
+ +
1M
11=Q
c)
2M
12=Q
l/2
d)
l/2
ll
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
29/84
109
Slika 12.33.a) Simetrian ram s antisimetrinim optere#enjemb) Momentni dijagram od vanjskog optere#enja
Momentni dijagrami od jedininih unutarnjih sila prikazani su na slikama 12.32. c, d, e, pasu uticajni koeficijenti za ovaj sluaj
,0,0 32232112 ==== (e)
a pomjeranja od zadatog optere#enja su
,0,0 31 == FF (f)
jer se mnoe povrine na slikama 12.32. c i 12.33. b, odnosno 12.32. e i 12.33. b(simetrian i antisimetrian dijagram).
Nakon uvrtavanja (e) i (f) u jednaine (a) dobija se sistem jedna
ina
,0
,0
,0
333131
2222
313111
=+=+
=+
QQ
Q
QQ
F
(g)
ija je determinanta (prva i tre#a jednaina)
,02133311 (h)
a to znai da mora biti
,0,0 31 == QQ (i)
tj. simetrine sile 31 i QQ su jednake nuli kada je optere#enje simetrinog rama
antisimetrino.
Nakon to su metodom sila odre%ene suvine reakcije veza kod statiki neodre%enognosaa, ostale nepoznate se odre%uju iz statikih uslova ravnotee. Zatim se crtajudijagrami presjenih sila. Ukoliko je potrebno dimenzionisati nosa, treba na#i maksimalni
q
a)
q MF
b)
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
30/84
110
normalni napon. Zatim se popreni presjek nosaa dobija iz uslova da taj napon mora biti
manji od dozvoljenog.Kod statiki neodre%enih reetkastih nosaa statiki neodre%ene veliine, sile u tapovimaili/i reakcije veza, odre%uju se iz uslova deformacije ekvivalentnog sistema poddjelovanjem vanjskih optere#enja i statiki neodre%enih veliina. Kanonske jednaine glase
,,...,2,1,0...2211 njQQQ jFmjmjj ==++++ (12.18)
gdje su uticajni koeficijenti i pomjeranje napadne take sile Qj u njenom pravcu usljeddjelovanja vanjskog optere#enja dati izrazima:
=
= =
=
==
m
i i
iijiFjF
m
i
m
i i
iikijjk
i
iijjj
EA
lSS
kjEA
lSS
EA
lS
1
1 1
2
,
,,,
(12.19)
gdje je m broj tapova, ijS je sila u tapu usljed djelovanja jedinine sile 1=jQ na mjestuuklonjene veze, a SiFje sila u tapu od zadatih sila. Sa n je oznaena statika neodre%enostreetke. Na kraju se mogu odrediti sile u svim tapovima koritenjem principasuperpozicije, tj.
.1
=
+=n
jjijiFi QSSS (12.20)
Kod statiki neodre%enih nosaa mogu se odrediti pomjeranja, linijska i ugaona, pojedinihtaaka istim postupkom kao kod statiki odre%enih nosaa, ali prethodno treba rijeitistatiku neodre%enost. Postupak odre%ivanja pomjeranja taaka nosaa objanjen je upoglavljima 10.5 i 10.6.U nastavku ovog poglavlja rijeena su dva statiki neodre%ena nosaa primjenom metodesila.
Primjer 12.9.
Izranati horizontalno pomjeranje take C na ramu (slika 12.34.), koji je izra%en odstandardnog I 30 profila. Poznato je: E = 2105MPa, F = 16 kN, l = 6 m.
FC
A B
ll/3
l/2
l/2
Slika 12.34. Statiki neodre%en ram
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
31/84
111
Rjeenje:
Ram na slici 12.34. je jednom statiki neodre%en (n = 4 3 = 1). Problem je rijeenmetodom sila. Ekvivalentni sistem je prikazan na slici 12.35.a.
Slika 12.35.a) Ekvivalentni sistemb) Momentni dijagram od jedinine silec) Momentni dijagram od vanjskog optere#enja
Dijagram momenta savijanja od jedinine sile 1Q = 1 prikazan je na slici 12.35. b, a na slici
12.35. c prikazan je dijagram momenta savijanja od vanjskog optere#enja, a vide se ireakcije u osloncima.Kanonska jednaina (12.11) svodi se na
.01111 =+ FQ (a)
Uticajni koeficijent 11 i pomjeranje take F1 su odre%eni pomo#u Vereaginovemetode, koritenjem izraza (10.56).
,3
5
3
2
22 32
2
11 lllll
EIx =+= (b)
to je dobijeno mnoenjem povrine momentnog dijagrama 1M s ordinatom kroz teitesvake povrine (slika 12.35. b).
,48
23
23
2
222
1
2222
1
22
1 31 Fl
FlllFlll
lll
FlEI FX =
+= (c)
gdje je prvi sabirak dobijen mnoenjem povrine u dijagramu MF i ordinate iz dijagrama
1M , a kroz teite prvog dijagrama, a kod druga dva sabirka je bilo obrnuto, jer su obadijagrama pravolinijska i to je bilo mogu#e (poglavlje 10.6).
Nakon uvrtavanja (b) i (c) u (a) dobija se
,048
23
3
5 31
3 = FlQl (d)
F
Q1
a)
1
b)
1
l l
1M
F/2c)
F/2
F
FMF
2
Fl
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
32/84
112
odakle je reakcija veze
kN.6,480
1623
80
231 =
== FQ
Da bi se nalo horizontalno pomjeranje take C, u toj taki se prilae horizontalna jedininasila i crta se momentni dijagram (slika 12.36. a). Pomjeranje ove take se rauna pomo#uVereaginove metode, a koristi se i princip superpozicije. Naime, pretpostavlja se da uzsilu F, kao vanjsko optere#enje djeluje reakcija veze Q1. Zato je nacrtan momentni dijagramod sile Q1 (slika 12.36. b). Sada se mnoe dijagrami na slikama 12.36. a i 12.36. b idijagrami na slikama 12.36. a i 12.35. c.
Slika 12.36. a) Momentni dijagram od jedinine sile u taki Cb) Momentni dijagram od sile Q1
Horizontalno pomjeranje take C je
,23
2
222
1
2222
1
223
2
22
1
3
2
2
1
22
1
2
1
3
2
2
1
222
11111
+
+
++
++
+
+=
llFl
Flll
llll
FllQllllQl
llQ
ll
EIxC
.4857
167
1
3
= QF
EIl
xC (e)
Za profil I 30 aksijalni moment inercije je Ix= 9800 cm4, pa je
m.017,0106,448
5716
16
7
10980010102
6 3865
3
=
=
C
1M
1C
1
l/2
l
Q1
b)
Q1
Q1l Q1l
1QM
a)
1/2 1/2
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
33/84
113
Primjer 12.10.
Izraunati sile u tapovima reetkastog nosaa na slici 12.37. Poznato je: E = 2105MPa, F= 20 kN, A1= 86 cm
2, A2= 14 cm2, A3= A4= 48 cm
2, A5= A6= 35 cm2.
Slika 12.37. Reetkasti nosaoptere#en silom F
Rjeenje:
Reetkasti nosana slici 12.37. ima etiri vora, pa je potreban broj tapova 24 3 = 5, anosaima est tapova. Dakle, on je jednom unutarnje statiki neodre%en (6 5 = 1).
Ekvivalentni sistem je prikazan na slici 12.38. a, a na slikama 12.38. b i c su prikazanepretpostavljene sile u tapovima od jedinine sile i od zadatog optere#enja.
Slika 12.38. a) Ekvivalentni sistemb) Sile u tapovima od jedinine silec) Sile u tapovima od zadatog optere#enja
Kanonska jednaina (12.18) svodi se na
,01111 =+ FQ (a)
4m 4m
F
1
5
432
6
1 3
4
2
1,5m
1,5m
c)
F
S3F
S6F S5F
S4FS2F
b)
12
11
3S
6S 5S
4S2S
a)
F
1 34
2
Q1 Q1
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
34/84
114
a koeficijenti 11 i F1 se rjeavaju prema (12.19), tj.
==
==6
1
16
11
21
11 .,i i
iiiF
iF
i
ii
EA
lSS
EA
lS (b)
Za dati nosaduine pojedinih tapova su:
( ) ( ) m27,45,14m,534m,5,1m,8 21
21
2265
224321 =+===+==== llllll
Sile iS i iFS u pojedinim tapovima nalaze se iz uslova ravnotee vorova reetke (slike12.38. b i c).
&vor 1):
.0sinsin,0
,0coscos1,0
2316
2316
=+=
=++=
SSY
SSX
i
i (c)
Poznato je:
.8,05
4cos;94,0
27,4
4cos
;6,05
3sin;35,0
27,4
5,1sin
21
21
====
====
Iz jednaina (c) se dobija
.22,1,1,2
,06,035,0,08,094,01
36
3636
==
=+=++
SS
SSSS (d)
Zbog simetrije bi#e
., 3465 SSSS == (e)
&vor 2): ( ) ( ) ,090cos90cos,0 24232 =++= SSSYi
odnosno
.47,1
,06,022,12,0sin2
2
2232
=
=+=+
S
SSS (f)
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
35/84
115
&vor 1):
,0sinsin2
,0
,0coscos,0
2316
2316
=+=
=+=
SSF
Y
SSX
i
i
odnosno
.06,035,02
,08,094,0 3636 ==+ SSF
SS (g)
Iz jednaina (g) se dobijaju sile
.645,1,4,1 4356 FFFF SFSSFS ==== (h)
&vor 2): =+= ,sin2,0 232 FSSYi .97,0645,16,022 FFFSF == (i)
Izraunate sile s odgovaraju#im znacima (+ zatezanje, - pritisak) date su u Tabeli 12.1. Unjoj se nalaze pojedini sabirci potrebni za raunanje koeficijenata 11 i F1 (izrazi (b)).
Tabela 12.1. Sile u tapovima i veliine potrebne za njihovo raunanje
ilim
Aim2 1iS iF
S i
ii
A
lS21
i
iiiF
A
lSS 1 11QSi iS
iS
kN
1 8 8610-4
1 0 0,093104
0 0,755F 0,755F 15,12 1,5 1410-4 -1,47 0,97F 0,23104 -0,153F104 -1,11F -0,14F -2,83 5 4810-4 1,22 -1,645F 0,155104 -0,209F104 0,92F -0,725F -14,54 5 4810-4 1,22 -1,645F 0,155104 -0,209F104 0,92F -0,725F -14,55 4,27 3510-4 -2,1 1,4F 0,538104 -0,36F104 -1,585F -0,185F -3,76 4,27 3510-4 -2,1 1,4F 0,538104 -0,36F104 -1,585F -0,185F -3,7
1,709104 -1,291104
Sile u tapovima su izraunate koritenjem izraza (12.20) koji se svodi na
.11
QSSSi
iFi += (j)Iz jednaine (a), a uz koritenje izraza (b), koji su dati u Tabeli 12.1. dobija se generalisanasila:
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
36/84
116
.kN1,15755,0
,0106455,0108545,0,106455,010102
10291,1
,108545,010102
10709,1
11
41
4
4
35
4
1
4
35
4
11
SFQ
FQF
FF
====
=
==
=
Sile u tapovima prema izrazu (j) su:
.kN7,3185,0585,14,1
,kN5,14725,092,0645,1
,kN8,214,011,197,0
65
43
2
======+==
===
FFFSS
FFFSS
FFFS
12.6. Metoda minimuma deformacionog rada
Statiki neodre%eni sistemi se mogu rijeiti i primjenom Kastiljanove (Castiglian) teoreme,koja je dana u poglavlju 10.4. Prema ovoj teoremi, generalisano pomjeranje na mjestu iupravcu djelovanja generalisane sile jednako je parcijalnom izvodu deformacionog rada potoj sili. Poto se konstrukcija elastino deformie i ne smije do#i do loma, pomjeranja namjestu i u pravcu generalisane sile moraju biti jednaka nuli. Te generalisane sile se naznaena ekvivalentnom sistemu, kao to je pokazano u poglavlju 12.5. Broj dopunskih jednainapotrebnih da se rijei statiki neodre%ena konstrukcija jednak je broju generalisanih sila.Polazi se od izraza za deformacioni rad (10.13), za opti sluaj optere#enja, preko koga sedobija izraz za pomjeranje (10.43) primjenom Kastiljanove teoreme. Na osnovu (10.43),ako se sa Qi oznae suvine nepoznate (reakcije oslonaca ili/i unutarnje sile), dobija sesistem linearnih jednaina
( ),,...,,,,0 21 nddi
di QQQFWWQ
Wf ==
= i = 1, 2, , n (12.21)
ili u razvijenom obliku
===
=
++
+
m
j l i
yyym
j l i
y
y
ym
j l i
x
x
x
jjj
dzQ
F
GA
Fdz
Q
M
EI
Mdz
Q
M
EI
M
111
,0... i = 1, 2, , n (12.22)
koji treba rijeiti. U jednaini (12.22) m je broj polja u kojima se mijenjaju izrazi zapresjene sile.
Ako se zanemare svi uticaji osim momenta savijanja, jednaine (12.22) se svode na (12.23)
n.,2,1,i,0m
1j lj
==
=
dzQ
M
EI
M
i
x
x
x (12.23)
Mx je moment savijanja u proizvoljnom presjeku od vanjskog optere#enja i suvinihnepoznatih.
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
37/84
117
Sistem linearnih jednaina (12.21) ili (12.22) kada se rijei dobijaju se suvine nepoznate
koje imaju vrijednosti za koje je deformacioni rad nosaa minimalan, ako je taj nosaodlinearno elastinog materijala i nalazi se u stabilnoj ravnotei. Ovo je dokazano na primjerukonzole koja je oslonjena na kraju prema slici 12.39.a. Ona je jednom stati ki neodre%ena.Ekvivalentni sistem je dat na slici 12.39.b (oslobo%en desni oslonac i naznaenageneralisana sila Q1).
Slika 12.39. a) Statiki neodre%en nosab) Ekvivalentni sistem
Rad vanjskih sila jednak je deformacionom radu (poglavlje 10.1)
.2
111111 qdqd QWQWW == (a)
Wdqje rad kontinualnog optere#enja na svom pomjeranju.Pomjeranje 11 je prema (10.20)
.11111 Q = (b)
Uvrtavanjem (b) u (a) dobija se
,2
111
2111 qdqd QWQW = (c)
a parcijalni izvod deformacionog rada po generalisanoj sili je
,11111
qd Q
Q
W =
(d)
,0112
2
1 >=
Q
Wd (e)
gdje je 11 uticajni koeficijent.
Izraz (e) je uslov za minimum funkcije deformacionog rada.
Ukoliko je neki od oslonaca elastian, npr. oslonac i, njegovo pomjeranje bi#e
q
a) b)
q
Q1
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
38/84
118
,c
Q
Q
W iel
i
d
i ==
= (12.24)
gdje je c krutost opruge. Tako%er, moe biti zadato pomjeranje oslonca o , tj.
.oi
di
Q
W =
= (12.24a)
Ako je reetkasti nosaunutarnje statiki neodre%en moe se rijeiti metodom minimumadeformacionog rada. Naime, izraz za ukupni deformacioni rad obuhvata sve tapove, pa ionaj koji je presjeen jer je suvian sa stanovita statike odre%enosti. Izvod deformacionograda po sili daje pribliavanje krajeva toga tapa na mjestu presjeka, a poto je tap
neprekidan, to pribliavanje mora biti jednako nuli, a sila u tom tapu daje minimalnuvrijednost deformacionog rada.
Slika 12.40. a) Unutarnje statiki neodre%en reetkasti nosab) Ekvivalentni sistem
Nepoznate, suvine, sile se dobijaju iz sistema jednaina
= =
==
= m
i
m
iiij
i
ii
i
j
ii
j
d lSEA
Sl
EA
Q
SS
Q
W
1 1
,0 j = 1, 2, , n, (12.25)
gdje je m broj tapova, a n je broj koji pokazuje koliko puta je reetka statiki neodre%ena.
Sile u tapovima reetke dobijaju se kao posljedica zbirnog uticaja od vanjskog optere#enjai statiki neodre%enih veliina u ekvivalentnom sistemu (slika 12.40.), tj.
=
+=++++=n
jjij
Fininii
Fii QSSQSQSQSSS
12211 ... , (12.26)
F F
a)
F F
Q1
Q1
b)
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
39/84
119
gdje su FiS sile u tapovima od vanjskih uticaja, ijS su sile u tapu jusljed djelovanja
statiki neodre%ene veliine 1=jQ .Primjena metode minimuma deformacionog rada na rjeavanje statiki neodre%enih sistemaobjanjena je u sljede#a dva primjera.
Primjer 12.11.
Rijeiti statiku neodre%enost obostrano ukljetenog luka optere#enog silom F prema slici12.41.
Rjeenje:
Obostrano ukljeten luk na slici 12.41. je tri puta statiki neodre%en. Iz statikih uslova
ravnotee, a zbog simetrije, dobija se da je2
i, FFFMMFF BVAVBABHAH ====
(slika 12.42.a), te ovaj problem postaje dva puta statiki neodre%en. Ekvivalentni sistem jedat na slici 12.42.b. Suvine reakcije veze se nalaze koritenjem metode minimumadeformacionog rada.
Slika 12.42. a) Obostrano ukljeten luk i reakcije vezab) Ekvivalentni sistem
R
BA
F
Slika 12.41. Optere#en, obostrano ukljeten luk
MBMA
F
FAH
FAV
FBH
FBV
a)
R
Q1
F
F/2
Q2
b)
1
1
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
40/84
120
Moment savijanja u presjeku 1 1 je
( ) 21 sincos12QRQRFM += . (a)
Koriste se jednaine (12.23), tj.
.0,021
=
=
l xl x
dlQ
M
EI
Mdl
Q
M
EI
M (b)
U datom primjeru izvodi su
,1,sin21
=
=
Q
MR
Q
M (c)
a.Rddl= (d)
Izrazi (c) i (d) se uvrtavaju u (b) i dobija se
=
+
=
+
2
0
21
2
0
21
,0sin)cos1(2
1
,0sinsin)cos1(2
1
RdQRQRF
EI
RdRQRQRF
EI
x
x (e)
odnosno
=
+
=
+
2
0
22
122
2
0
22
231
33
.0sincos22
,0sinsincossin2
sin2
dRQRQRF
RF
dRQRQRF
RF
(f)
Jednaine (f) se svode na (g)
,02222
,0442
21
21
=+
=+
QRQRFRF
QRQRF
RF
(g)
a njihovo rjeenje je
,)8(2
24,
8
42
2
221FRQFQ
+
=
=
tj.
., 21 BBH MQFQ ==
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
41/84
121
Primjer 12.12.
Ram na slici 12.43. ima konstantnu savojnu krutost (EIx= const.). Odrediti reakcije osloncaB kada se pomjeri vertikalno navie za B . Poznato je: E = 210
5MPa, a = 4 cm, B = 4
cm, popreni presjek je od standardnog profila 40.
Rjeenje:
Ram na slici 12.43. je dva puta statiki neodre%en (n = 5 3 = 2). Ekvivalentni sistem snaznaenim presjecima u kojima se jednaina za moment savijanja mijenja prikazan je naslici 12.44.
Momenti savijanja u presjecima 1-1, 2-2, 3-3 i njihovi izvodi po generalisanim silama su:
.,,
,,
,0,
2
3
1
31221
2
2
1
2122
2
1
1
121
azQ
Ma
Q
MaQaQzQM
aQ
Mz
Q
MzQaQM
zQ
M
Q
MzQM
+=
=
+=
=
=
=
=
=
=
(a)
Aa
a
aB
B
Slika 12.43. Statiki neodre%en ram
2
z
Q1
Q21
1
2
z
z
3
3
Slika 12.44. Ekvivalentni sistem za ram naslici 12.43.
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
42/84
122
Koriste se jednaine 12.21, odnosno 12.23 i 12.24a i dobija se:
.1
,01
0 2
33
0 2
22
0 2
11
0 1
33
0 1
22
0 1
11
B
aaa
x
aaa
x
dzQ
MMdz
Q
MMdz
Q
MM
EI
dzQ
MMdz
Q
MMdz
Q
MM
EI
=
+
+
=
+
+
(b)
Nakon uvrtavanja izraza (a) u jednaine (b) dobija se:
( ) ( )
( ) ( ) .)()(
,0)(
0
12
0 0
122
2
0
12
0
12
Bx
aa a
aa
EIdzazaQazQadzzQaQdzzQ
adzaQazQzdzzQaQ
=++++
=++
(c)
Nakon integriranja dobija se:
.23
11
,03
2
312
12
a
EIQQ
QQ
Bx=
=+ (d)
Suvine reakcije veza su
.2
3,
4
93231 a
EIQ
a
EIQ BxBx
== (e)
Za profil 40 iz tablice [42] je Ix = 846 cm4. Sada se mogu na#i brojne vrijednosti
generalisanih sila
kN.6,1104
1041084610102
2
3
kN,4,2104
1041084610102
4
9
33
2865
2
3
3
2865
1
=
=
=
=
Q
Q
12.7. Metoda deformacija
Statiki neodre%eni sistemi mogu se rijeiti i metodom deformacija. Ova metoda se moekoristiti za rjeavanje statiki neodre%enih konstrukcija s nepomjerljivim i pomjerljivimvorovima, pri emu pojedine grede mogu biti konstantnog ili promjenljivog poprenogpresjeka. Ovde je objanjeno kako se ova metoda koristi pri rjeavanju statiki neodre%enihkonstrukcija sastavljenih od greda konstantnog poprenog presjeka i s nepomjerljivimvorovima (spojnim takama grede), tj. konstrukcija kod kojih dolazi do okretanja vorova,ali nema njihovog linijskog pomjeranja niti dolazi do okretanja greda izme%u vorova. Zatakve konstrukcije mora biti dvostruki broj vorova jednak broju spojnih greda, tj.
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
43/84
123
2n= ng . (12.27)
Kod ove metode, kao i kod metode sila, usvaja se pretpostavka da se svi uticaji nadeformaciju osim momenta savijanja mogu zanemariti. Ova pretpostavka ima veoma maliuticaj na tanost rjeenja, jer je deformacioni rad uzdunih i poprenih sila zanemariv uodnosu na deformacioni rad momenta savijanja (poglavlje 10.1.).Statiki neodre%ena konstrukcija, koja se rjeava metodom deformacija mora se zamijenitidrugim, tzv. ekvivalentnim sistemom za koji se moe postaviti sistem jednaina iz kojih seodre%uju suvine nepoznate. Kod metode sila ekvivalentni sistem se formira tako da senosaoslobodi suvinih veza i na njihovo mjesto se stavljaju nepoznate sile i/ili momenti.Zatim se formira sistem kanonskih jednaina pri emu moraju biti zadovoljena pomjeranjana statiki neodre%enoj konstrukciji (poglavlje 12.5.). Kod metode deformacija ekvivalentnisistem se formira tako da se dodaju dopunske veze i dobija se sistem s potpunonepokretnim vorovima, tj. sistem sastavljen od obostrano ukljetenih greda. Poto se na
stvarnoj konstrukciji vorovi okre#u, oni se na ekvivalentnom sistemu osloba%ajudodavanjem prikljunih momenata i formiraju se dodatne jednaine. Njihov broj jednak jebroju krutih vorova u konstrukciji, dok je kod metode sila broj jednaina bio jednak brojustatike neodre%enosti sistema. Iz tih jednaina se odre%uju uglovi okretanja, tj. ugaonedeformacije, a zatim momenti i sile, dok su se kod metode sila prvo odre%ivale suvine silei/ili momenti.Na slikama 12.45.a i b prikazane su dvije statiki neodre%ene konstrukcije. Prvi ram (slika12.45.a) ima jedan vor (n= 1)u kome su kruto vezane dvije grede (n g= 21= 2), a drugiram (12.45.b) ima etiri vora kojima je spojeno osam greda (24 = 8). Prema tome kod obarama je zadovoljen uslov (12.47.), to znai da su ti ramovi s nepomjerljivim vorovima. Zaove ramove na slikama 12.45.c i d su prikazani ekvivalentni sistemi.
Slika 12.45. a, b) Statiki noedre%eni ramovic, d) Ekvivalentni sistem
1
a)
c)
1
a)
2 3 4
b)
d)
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
44/84
124
Ram na slici 12.45.a je tri puta statiki neodre%en, a ram na slici 12.45.b je 12 puta statiki
neodre%en, te je, pri rjeavanju problema metodom sila, potrebno rijeiti sistem od tri,odnosno 12 kanonskih jedaina. Prvi ram ima jedan vor, a drugi ima etiri vora, te je, prirjeavanju statike neodre%enosti ovih ramova metodom deformacija potrebno napisati irijeiti jednu, odnosno etiri jednaine. Ovi primjeri pokazuju da je pri njihovom rjeavanjumetoda deformacija efikasnija od metode sila. To je naje#e sluaj pri rjeavanju sloenijihramovskih konstrukcija.
Sljede#a analiza treba da pokae kako se dolazi do dopunskih jednaina potrebnih da serijei statiki neodre%ena konstrukcija metodom deformacija.
- Potrebno je formirati ekvivalentni sistem, koji se sastoji iz obostrano ukljetenih greda(slike 12.45. c i d).
- Ukljetenja u vornim takama su elastina i dolazi do okretanja vorova.
- Usvaja se da su uglovi okretanja vorova pozitivni ako je okretanje u smjeru kretanjakazaljke na satu.
- Uglovi okretanja vorova zavise od vanjskog optere#enja i od prikljunih momenata uukljetenjima.
- Prikljuni momenti savijanja na isjeenoj gredi su pozitivni ako su u smjeru kretanjakazaljke na satu, a negativni za obrnuti smjer (slika 12.46.).
Slika 12.46. Znak momenta savijanja za obostrano ukljetenje grede (prikljuni momenti)
- Raunaju se uglovi kretanja vorova primjenom principa superpozicije. Npr. za greduna slici 12.47. ugao okretanja vora A, a , jednak je sumi uglova okretanja tog vora
od momenta u osloncu A (Ma), u osloncu B (Mb) i od vanjskog optere#enja F .
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
45/84
125
Slika 12.47. a) Obostrano kruto ukljetena gredab) Greda s elastinim ukljetenjemc) Dijagram momenta savijanja za gredu optere#enu silomd, e) Dijagrami momenta savijanja za grede optere#ene spregom
- Na osnovu tablinih vrijednosti [42] moe se pisati
.'63 xF
baax EI
lMlMEI += (a)
- Istim postupkom se dobija ugao okretanja vora B, b .
.''36 xF
babx EI
lMlMEI ++= (b)
- Rjeavanjem jednaina (a) i (b)dobijaju se prikljuni momenti
( )
( ).'3''2624
,'2''624
FFx
ax
bx
b
FFx
bx
ax
a
l
EI
l
EI
l
EIM
l
EI
l
EI
l
EIM
++=
++= (c)
- Jednaine (c) piu se u sljede#em obliku
,24
,24
obaa
xb
xb
oabb
xa
xa
Ml
EI
l
EIM
Ml
EI
l
EIM
++=
++=
(d)
odnosno
F
A Ba)
a
b+Mb+Ma
b)Ma
d)
Mb
e)
Ma
MFc)
Mb
F
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
46/84
126
,)2(
,)2(obaabb
oabbaa
MkM
MkM
++=
++=
(12.28)
gdje je
l
EIk x
2= (12.29)
koeficijent krutosti, a veliine oabM iobaM su momenti savijanja koji zavise od optere#enja.
- Za nosas ukljetenim krajevima bi#e
,0== ba (12.30)
pa se dobija da je
., obaboaba MMMM == (12.31)
Ovi momenti optere#enja grede ili optere#enja vorova se mogu na#i u dodatku knjige i uprirunicima, npr. [42,45]. Tako, kod obostrano ukljetene grede optere#ene ravnomjernimkontinualnim optere#enjem momenti optere#enja vorova imaju vrijednost
,12
,1212
222
+==
qlM
qlM
ql oba
oab a u sluaju koncentrisane sile koja djeluje na sredini ti
momenti su ,8,88 +== FlMFlMFlobaoab slika 12.48.
Slika 12.48. a) Obostrano ukljetena greda optere#ena kontinualnim optere#enjemb) Obostrano ukljetena greda optere#ena koncentrisanom silom
- U A i B nisu kruta ukljetenja i javlja se njihovo okretanje. Zato se ti vorovi osloba%aju idodaju se prikljuni momenti abM i baM , koji su posljedica okretanja promatranog vora
na stvarnoj konstrukciji. Ti momenti su
A
a)
M0ab
B
M0baq
l
A
b)
M0ab
B
M0baF
l
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
47/84
127
.)2(
,)2(obaabba
oabbaab
MkM
MkM
++=
++=
(12.32)
Znak prikljunih momenata se usvaja prema slici 12.46.
- Prikljuni momenti, izrazi (12.32), se piu za svaku gredu konstrukcije. Poto osloba%anjejednog vora ima uticaja samo na susjedne vorove, potrebno je izraunati momente zagrede koje idu iz tog vora Mn-1, Mn-2, Npr, u krutom voru N je spojeno vie greda(slika 12.49.) i suma momenata koji djeluju na taj vor mora biti jednaka nuli, tj.
0321 =++= nnnn MMMM . (12.33)
Pojedini momenti savijanja, koji djeluju navor N su prema (12.32):
.)2(
,)2(
,)2(
3333
2222
1111
onnnn
onnnn
onnnn
MkM
MkM
MkM
++=
++=
++=
(12.34)
- Nakon uvrtavanja izraza (12.34) u uslov (12.33) dobija se
,02111
=++ =
=
=
m
i
oini
m
iin
m
iinn Mkk (12.35)
gdje je m broj greda spojenih u jednom voru.Jednaina (12.35) je jednaina okretanja vora i primjenjuje se na svaki vor konstrukcije.Tako se dobija potrebni sistem jednaina analogno kanonskim jednainama kod metodesila.&lan u jednaini (12.35)
=
=
==m
iinnnnn
m
iin kddk
11
2,2 (12.36)
N
2
1
3 Slika 12.49. Tri grede spojene u voru N
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
48/84
128
je dijagonalni lan, a lan
=
=m
in
oin SM
1
(12.37)
predstavlja optere#enje vora.Jednaina okretanja vora (12.35) uz (12.36) i (12.37) glasi
.01
=++ =
n
m
iiinnn Skd (12.38)
- U statiki neodre%enoj konstrukciji neke grede mogu na jednom kraju imati nalijeganje uvidu zgloba (slika 12.50.). U tom sluaju je prikljuni moment jednak nuli, tj.
( ) ,02 =++= oannaan MkM (12.39)
pa se dobija da je ugao
+=
k
Moanna 2
1 (12.40)
i ne treba ga odre%ivati iz jednaine vora.
- Zglavkasto vezivanje grede ima uticaj na vor s kojim je povezana greda, a to znai da #e
jednaina vora (12.38) za vor N biti
.0=++++ nccbbaann Skkkd (e)
Uvrtavanjem (12.40) u (e) dobija se
( ) ( ) ,05,05,0 =+++ oannccbbnan MSkkkd (f)
q
A
C
B
N
Slika 12.50. Statiki neodre%enakonstrukcija s gredom koja najednom kraju ima nepominioslonac
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
49/84
129
ili op#enito jednaina okretanja vora N je
,01
=++ =
on
m
iiin
on Skd (12.41)
gdje je m broj greda u voru N koje nisu zglavkasto vezane (na slici 12.50. m = 2), a
,5,0 anon kdd = (12.42)
,5,0 oannon MSS = (12.43)
Ako u jednom voru ima vie greda koje su na drugom kraju zglavkasto oslonjene, tada se
u izrazima (12.42) i (12.43) umjesto ka, odnosnooanM pie suma tih veliina za one grede
koje na suprotnom kraju imaju zglob, tj.
,5,01
=
=p
iin
on kdd (12.44)
.5,01
=
=P
i
oinn
on MSS (12.45)
gdje je p broj greda koje na suprotnom kraju imaju zglob.
- Ako postoji prepust s optere#enjem, uraunava se u optere#enje vora Sn, tj.
k
m
i
oinn MMS += = 1 (12.46)
Napomena:- Za simetrian nosa sa simetrinim optere#enjem (slika 12.51.), uglovi okretanja lijevo idesno od ravni simetrije su istog intenziteta a suprotnog smjera, tj. 12 = .
1 2
Slika 12.51. Simetrian nosasasimetrinim optere#enjem
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
50/84
130
- Ako kod neke konstrukcije nije zadovoljen uslov za nepomjerljivost vorova, tj.
g nn 2 , tada je potrebno tu konstrukciju poduprijeti na jednom ili vie mjesta da sedobije konstrukcija s nepomjerljivim vorovima. Npr. na slici 12.52. prikazan je ram s trivora i sedam greda (237). Da bi on bio nepomjerljiv, poduprt je u voru 3, tj. dodat jejedan oslonac (23+1=7).
Sljede#i primjer je rijeen primjenom metode deformacija.
Primjer 12.13.
Za zadani ram i optere#enje prema slici 12.53. nacrtati dijagrame savijanja i transverzalnihsila. Poznato je: F = 20 kN, q = 10 kN/m.
1
3
2
4
F
2m 4m
Ix
2Ix
qIx
4m
2m
Slika 12.53. Statiki neodre%enram
1 32
Slika 12.52. Ram poduprt uvoru 3
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
51/84
131
Rjeenje:
Ram na slici 12.53. rijeen je metodom deformacija.Prema jednaini okretanja vora (12.41) za vor 1 je:
.0141421211 =+++oo Skkd (a)
Koeficijenti krutosti se raunaju prema (12.29):
.2
22
,5,0
4
22
,4
222
4114
14
31
13
13
2112
12
12
kEIEI
l
EIk
kEIEI
l
EIk
kEIIE
l
EIk
xxx
xxx
xxx
====
====
====
(b)
Dijagonalni lan je prema (12.42) i (12.36)
,5,0 1311 kddo =
a
( ) ,55,02)(2 1413121 xxxx EIEIEIEIkkkd =++=++= pa je
.75,45,05,051 xxxo EIEIEId == (c)
Optere#enje vora je prema (12.46) i (12.43) jednako:
.5,0
,
3111
1413121
oo
kooo
MSS
MMMMS
=
+++= (d)
Momenti optere#enja vorova za kruto ukljetenje se odre%uju iz tablica [45].
Slika 12.54. Elementi ramovske konstrukcije
21
qMo21
Mo12
a)
q M21M12
Fv1 Fv2z
c)
MK
F
b)
1
3
M13
FH3
4
M41
FH4
M141
d)
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
52/84
132
Za optere#enje prema slici 12.54.a bi#e
340
12,
340
12410
12
2
21
22
12 ===== qlMqlM oo kNm, (e)
a moment konzole (slika 12.54.b) je
40220 === KK FlM kNm. (f)
Za dijelove 13 i 14 bi#e
.0,0 41143113 ====oooo MMMM (g)
Iz (d) , a uz koritenje vrijednosti datih sa (e), (f) i (g) dobija se
67,26403
401 =+=oS kNm. (h)
Jednaina (a), nakon uvrtavanja (c) i (h), glasi067,2675,4 1 =+xEI , (i)
jer je 042 == .
,614,5
1xEI
= (k)
a ugao obrtanja u zglobu prema (12.40) je
x
o
EIk
M 807,2
2
1
31
3113 =
+= . (l)
Prema (12.32), a uz (b), (j), (k), (l), (e) i (g) prikljuni momenti su:
( )
( )
( )
( )
( )
( ) kNm.614,5614,52
kNm,228,11228,11
2
,02
kNm,21,4807,2228,11
5,02
kNm,716,733,13614,5
2
kNm,558,2433,13228,112
41144141
14411414
31133131
13311313
21122121
12211212
=
=++=
=
=++=
=++=
=
+=++=
=+
=++=
=
=++=
xx
o
xx
o
o
xxx
o
xx
o
xx
o
EIEIMkM
EIEIMkM
MkM
EIEIEIMkM
EIEIMkM
EIEIMkM
(m)
Provjera: Suma momenata za vor 1 mora biti jednaka nuli (izraz (12.33)), tj.
.040228,1121,4558,241413121 =+=+++= KMMMMM Da bi se nacrtao dijagram momenata savijanja, potrebno je izraunati ekstremnu vrijednostmomenta savijanja na dijelu rama 12. Vertikalne reakcije u 1 i 2 se dobijaju iz stati kihuslova ravnotee (slika 12.54.c):
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
53/84
133
kNm.75,42
421,210558,24421,221,24
2
m,421,210
21,24,,0
.kN41,24,79,1540,,0
,79,15,558,242
410
716,74,02,0
2
2
121
1
1121
2
2
212
2
2121
=
=
==
====
===+=
=
+==+=
qzMzFM
zFqzF
FFqlFFF
kNFFM
ql
MlFM
Ve
VT
VVVVV
V
VV
Slika 12.55. a) Dijagram momenata savijanjab) Dijagram transverzalnih sila
Da bi se nacrtao dijagram transverzalnih sila potrebno je odrediti horizontalne reakcije u
vezama 3 i 4 (slika 12.54.d) i one su:
=
+===
====
kN.4,82
2,116,5,0,0
kN,05,14
21,4,0,0
4144141
31331
HH
HH
FMMlFM
FMlFM
Dijagrami momenata savijanja i transverzalnih sila prikazani su na slici 12.55.
40
5,624,56
11,23
4,2
4,75
7,7
M
a)
24,2
8,4
2015,8
1,05
FT
b)
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
54/84
134
12.8. Metoda Krosa (Cross)
Za rjeavanje statiki neodre%enih konstrukcija, pored analitikih metoda, koriste se iiteracione metode, a jedna od njih je metoda Krosa (Hardy Cross). Ova metoda koristipoznate principe metoda deformacija i superpozicije i do rjeenja se dolazi sukcesivnimpribliavanjem. Koritenjem ove metode proraun statiki neodre%enih sistema svodi se nanajjednostavnije aritmetike radnje. Kod ove metode se ne radi s uglovima okretanja kaokod metode deformacija, ve# se oni transformiu u momente i proraun se radi s timmomentima.Proraun konstrukcije pomo#u metode Krosa polazi od pretpostavke da su svi elementikonstrukcije s nepomjerljivim vorovima kruto ukljeteni. Zatim se izraunavaju momentiukljetenja pojedinih elemenata. U svakom voru #e se javiti tzv. optere#enje vora
= .0nin MM (12.47)
Poto su vorovi pomjerljivi, potrebno je u svakom voru dodati tzv. izravnavaju#imoment, koji se po odre%enom zakonu raspodjeljuje na sve grede vezane u vor, a utie ina susjedne vorove. Tako se dobijaju popravljene vrijednosti momenata ukljetenja zapojedine elemente konstrukcije. Da bi se postigla zadata tanost rjeenja, potrebno jepostupak ponoviti s popravljenim vrijednostima momenata u vornim takama elemenata.Da bi se dobili izrazi za prikljune momente od kojih se polazi u metodi Krosa posmatra segreda na jednom kraju kruto ukljetena a na drugom oslonjena i izloena djelovanjumomenta savijanjaMa(slika 12.56.a). Problem je statiki neodre%en. Da bi se rijeio, nosase osloba%a veze u A i na slici 12.56.b je naznaena generalisana sila Q, a zatim seprimjenjuje integraciona metoda (poglavlje 12.2.).
Slika 12.56. a) Statiki neodre%ena gredab) Ekvivalentni sistemc) Dijagram momenta savijanja
Polazi se od jednaine elastine linije i rauna se nagib i ugib, tj.
,'' ax MQzyEI = (a)
B zA
Ma
a)
c)
MMa
Mb
Ma Mb
l
b)
Q
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
55/84
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
56/84
136
Ukoliko je u B oslonac (slika 12.57.), nagib u A je [45]
x
aa EI
lM
3
1= , (j)
a moment savijanja je
aax
a Ekl
IEM 33 == (k)
ili
aa EkM '4= , (12.51)
gdje je
kl
Ikk x 75,0
4
3
4
3' === . (12.52)
Slika 12.57. Prosta greda optere#ena spregom
Dakle, koeficijent krutosti za ukljetenje je k, a za zglobnu vezu je k ' = 0,75k.
Ako su u voru N kruto vezane npr. tri grede (slika 12.58), tada je uslov ravnotee togvora
,321 nnnn MMMM ++= (12.53)
a svi prikljuni elementi su okrenuti za ugao n .
B
A
Ma
l
N1
2
3
Mn
Ix1
Ix2
Ix3
Slika 12.58. Tri grede kruto vezane uvoru N
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
57/84
137
Koriste#i izraz (12.49) moe se pisati uslov ravnotee (12.53)
=
=
++=
m
iinn
xxxn kEl
I
l
I
l
IEM
13
3
2
2
1
1 44 , (12.54)
gdje je m broj greda u voru N.Ugao okretanja je
=
ii
nn
kE
M
4
, (12.55)
a prikljuni momenti su na osnovu (12.49) i (12.55)
,,, 332
21
1 n
ii
nn
ii
nn
ii
n Mk
kMM
k
kMM
k
kM
=== (l)
ili uopteno
,nin
ii
ini MM
k
kM ==
(12.56)
gdje je
=
ii
ii
k
k (12.57)
razdjelni koeficijent.U ukljetenjima se pojavljuju momenti, na osnovu (12.48)
.2
1,
2
1,
2
1332211 nnnnnn MMMMMM === (m)
Ako je neki element na drugom kraju vezan zglobom (slika 12.59.), mijenja se samomoment savijanja za taj element, tj.
.43 3
3 n
ii
n Mk
kM
= (12.58)
N1
2
3
Mn
Slika 12.59. Grede kruto vezane uvoru N
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
58/84
138
Sada izraz (12.54) glasi
),'(4 321 kkkEM nn ++= (12.59)gdje je
.4
3' 33 kk = (n)
Dopunski moment je jednak optere#enju vora, tj.
.ni
nin SMM == (12.60)Poto nema krutih veza, potrebno je te dopunske momente ukloniti, to se ini mnoenjemistih razdjelnim koeficijentom i stavljanjem suprotnog smjera. To se radi postepeno od
vora do vora i pri tome dolazi do okretanja vora i do njegovog uravnoteavanja. Zato seovi momenti zovu izravnavaju#i. Naime, ti momenti su jednaki zbiru svih momenata kojidjeluju na taj vor pomnoeno s razdjelnim koeficijentom, a suprotnog znaka.
.
,1
=
===
ini
nini
nni
m
ininini
k
k
SMM
(12.61)
Izravnavaju#i moment u jednom voru elementa izaziva moment u drugom voru togelementa i to je prenosni moment (izraz (12.56)).Iz prethodnog izlaganja je jasno da- prvo treba izraunati razdjelne koeficijente preko koeficijenata krutosti,
- zatim se odre%uju prikljuni momenti za sve elemente pretpostavljaju#i da su vorovinepomini,- poto se vorovi okre#u, vri se izravnavanje momenata i pri tome se koriste razdjelni
koeficijenti da se odrede pripadaju#i momenti za svaki element,- sljede#i korak je raunanje prenosnih momenata u susjednim vorovima, koji su
posljedica izravnavanja.
Izravnavanje se moe raditi istovremeno na svim vorovima ili postepeno jedan za drugim.Nakon prvog izravnavanja javljaju se prikljuni momenti ija je veliina jednaka zbirumomenata punog ukljetenja, izravnavaju#eg i prenosnog momenta. Ako zbir tih momenatau vorovima nije nula, to znai da prikljuni momenti za pojedine vorove nisu u ravnotei.Zato se vri ponovno izravnavanje i dobijaju se sekundarni momenti, koji su jednakipolovini izravnavaju#ih momenata. Postupak se ponavlja dok se ne dobije eljena tanost.
Napomena:Ako je konstrukcija simetrina a i optere#enje (slika 12.51.), moe se rjeavati samo njenapolovina, ali je potrebno za element koji je presjeen s ravni simetrije uzeti dva puta manjukrutost, tj.
.2
11212
* kk = (12.62)
Ako je konstrukcija simetrina a optere#enje antisimetrino i tada se rjeava samo njenapolovina, a uzima se 1,5 puta ve#a krutost, tj.
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
59/84
139
.5,1 1212* kk = (12.63)
Sljede#i primjeri su rijeeni metodom Krosa.
Primjer 12.14.
Za zadani ram i optere#enje (slika 12.60.) potrebno je:a) odrediti suvine statike veliine metodom Krosa,b) nacrtati dijagrame momenata savijanja i transverzalnih sila,c) dimenzinisati ram ako je ura%en od standardnog I profila.
Poznato je: q = 20 kN/m, F = 20 kN, F1= 40 kN i dozvoljeni napon d= 120 MPa.
Slika 12.60. Statiki neodre%en ram
Rjeenje:
a) Ram na slici 12.60. rijeen je metodom Krosa. Prvo su odre%eni koeficijenti krutostiprema izrazima (12.50) i (12.62), za krutu vezu i za element koji je presjeen s ravnisimetrije
1 3
1F 1F
F F
2 4
q
1,5m 6m 1,5m
6m
3m
ravansimetrije
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
60/84
140
.4
,1262
1
5,0,6*1312
13
*
1312
x
xxxx
Ikkk
II
kk
I
l
I
k
=+=
=====
Razdjelni koeficijenti su prema (12.57)
.33,03
1;67,0
3
2 13*13
1212 ====== k
k
k
k
Momenti optere#enja vorova za kruta ukljetenja i moment konzole su [45]:
kNm.305,120
kNm,60,6012
620
12
kNm,30,308
6408
1
31
22
13
211
12
===
==
==
====
FlM
Mql
M
MlFM
K
oo
oo
Slika 12.61. Elementi rama s krutim ukljetenjima
Optere#enje vora prema (12.60) je
==++== .kNm60306030131211 Koo MMMMS
Izravnavaju#i momenti se raunaju prema (12.61)
kNm.40603
2,2060
3
1
,
1213 ====
=
MM
SM nnini
Izravnavaju#i moment u ukljetenju je prema (12.48)
q MO
31Mo13
MK
FMo21
1F
Mo12
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
61/84
141
202
1
1221 ==MM kNm.
Izraunati momenti savijanja su upisani na emi na slici 12.62.a.
Slika 12.62. a) ematski prikaz ramab, c) Elementi rama s optere#enjima
Konani momenti savijanja su:
4013 =M kNm, 7012=M kNm, 1021 =M kNm.
b) Da bi se nacrtao dijagram momenata savijanja potrebno je na#i moment savijanja u jodvije karakteristine take. Za element 12 (slika 12.62.b) prvo je odre%ena horizontalnareakcija u ukljetenju, a zatim vrijednost momenta savijanja na mjestu djelovanja sile F1.
==+= kN,10,034070106,0 221 HH FFM
M' = 103 10 = 20 kNm.Za element 13 (slika 12.62.c) zbog simetrinosti optere#enja zna se da je ekstremni momentna sredini.
502
32040360,kNm60
2
620 21 =
==
= eV MF kNm.
Dijagram momenata savijanja prikazan je na slici 12.63.a, a transverzalnih sila na slici12.63.b.
70
2
1
40
FH2
b)
q40
FV1
-30
304070
-4020
-601/3
2/3
-3020
-10
a)
10
40
c)
-
8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci
62/84
142
Slika 12.63. a) Dijagram momenata savijanjab) Dijagram transverzalnih sila
c) Dimenzionisanje rama se vri na osnovi maksimalnog momenta savijanja i dozvoljenognapona (izraz (7.48)).
.cm3,583,10120
1070,kNm70
,
33
6
max
maxmax
max
=
==
xx
dxx
WWM
W
My
I
M
Iz tablica [42] se usvaja profil I30 za koji jeIx= 9800 cm
4
, Wx= 653 cm
3
.
Primjer 12.15.
Odrediti dijagram momenta savijanja za konstrukciju prema slici 12.64. i za datooptere#enje. Koristiti metodu Krosa. Poznato je: q = 20 kN/m, F = 40 kN,