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Solitäre Wellen & SolitonenSolitäre Wellen & Solitonen Einführung (Entdeckung der Solitonen)Einführung (Entdeckung der Solitonen) Korteweg – de – Vries – GleichungKorteweg – de – Vries – Gleichung Fermi – Pasta – Ulam – ProblemFermi – Pasta – Ulam – Problem Arbeiten von Zabusky & KruskalArbeiten von Zabusky & Kruskal Die Sine – Gordon – GleichungDie Sine – Gordon – Gleichung Grundprinzipien für lineare Wellen (Ausbreitung)Grundprinzipien für lineare Wellen (Ausbreitung) Elementare Ideen zur Ausbreitung nichtlinearer Elementare Ideen zur Ausbreitung nichtlinearer
WellenWellen
Die Entdeckung der SolitonenDie Entdeckung der SolitonenIch beobachtete die Bewegung eines Bootes, das von einem Pferdegespann ziemlich rasch einen engen Kanal entlang gezogen wurde, als das Boot plötzlich anhielt nicht jedoch die Wassermasse im Kanal , die das Boot in Bewegung gesetzt hatte; sie sammelte sich rund um den Schiffsbug in einem Zustand wilder Erregung, ließ das Schiff dann plötzlich hinter sich , rollte mit hoher Geschwindigkeit vorwärts, nahm dabei die Form einer großen einzelnen Erhöhung an, ein abgerundeter , glatter, wohldefinierter Haufen Wasser, der entlang dem Kanal anscheinend ohne Formveränderung oder Geschwindigkeitsabnahme seinen Lauf nahm. Ich begleitete diese Welle auf meinem Pferd und überholte sie , während sie sich immer noch mit einer Geschwindigkeit von etwa acht oder neun Meilen pro Stunde bewegte, wobei sie ihre ursprüngliche Gestalt von etwa 30 Fuß Länge und ein bis eineinhalb Fuß Höhe beibehielt. Die Höhe nahm allmählich ab, und nachdem ich das ganze für etwa ein oder zwei Meilen beobachtet hatte, verlor ich es in den Windungen des Kanals aus dem Auge.
Die Entdeckung der Solitonen Die Entdeckung der Solitonen Was passiert einer gewöhnlichen Welle in einem sehr tiefen Kanal ???
Funktionenreihe nach Fourier:
2
0
2
0
2
0
0
1
sin1
cos2
1
2
1
sincos
dxnxxfb
dxnxxfa
dxxfamit
anxbnxaxf
n
n
nnnnn
Verschiedene Frequenzen
Verschiedene Geschwindigkeiten
Die Entdeckung der SolitonenDie Entdeckung der Solitonen
Dispersion = Auseinanderlaufen von Wellen verschiedener Frequenzen
Russell‘s Welle Keine Dispersion
Warum ?
Nichtlineare Kopplung
Die Entdeckung der SolitonenDie Entdeckung der SolitonenRussell‘s Experimente
Translationswellen
Geschwindigkeit Amplitude
Die Entdeckung der SolitonenDie Entdeckung der Solitonen
Die Entdeckung der SolitonenDie Entdeckung der Solitonen
Alles beim Alten außer Kleine Phasenverschiebung
Scheinbar einzelne Welle teilt sich auf
schnelllangsam
? Gedächtnis ?
Die Entdeckung der SolitonenDie Entdeckung der Solitonen
Soliton Gebrochene Welle
Korteweg-de-Vries-GleichungKorteweg-de-Vries-Gleichung
10 Jahre nach Russell‘s Tod – 2 Holländer folgende Formel hergeleitet:
Umskalierung
Suchen Translationsinvariante Lösung
D.J.Korteweg
Korteweg-de-Vries-GleichungKorteweg-de-Vries-Gleichung
Translationsinvariante Lösung der Form:
mit:
Forderung:
Lösung:
Fermi-Pasta-Ulam-ProblemFermi-Pasta-Ulam-ProblemVerknüpfung von: Nichtlinearem Problem mit KDV-Gleichung !!!
Betrachte:N N+1N-1
Nur Ww. unter
Nachbarn
Bewegungsgleichung:
Fermi-Pasta-Ulam-ProblemFermi-Pasta-Ulam-Problem
Bsp‘s:
…sind so gewählt, dass die max. Auslenkung von Q herrvorgerufen durch die Nichtlinearitäten sehr klein sein soll !!
Fermi-Pasta-Ulam-ProblemFermi-Pasta-Ulam-Problem
Numerisch Integrieren Anfangsdaten eines Sinus
Qn in eine kontinuierliche Form bringen mit:
Mac-Laurin-Erweiterung
Bewegungsgleichung:
Ziel: In die KDV-Gleichung umschreiben
Fermi-Pasta-Ulam-ProblemFermi-Pasta-Ulam-Problem Betrachte: f….als Mac-Laurin-Reihe:
Die Wahl von f wie in (1) führt nun zu:
Boussinesq-Gleichung!!!
mit:
Fermi-Pasta-Ulam-ProblemFermi-Pasta-Ulam-ProblemLösung der Boussinesq-Gln.ist (für endlose Kette):
Ziel: Wollen die Boussinesq-Gln. auf die KDV-Gln. reduzieren!!!
Skalierung: für…x,t,u, + neuen Parameter einführen
Entwickeln: u in …
Konsistenz nur wenn:
Fermi-Pasta-Ulam-ProblemFermi-Pasta-Ulam-Problem Die KDV-Gleichung erhält man wenn man die Gln. für u(1) integriert:
Für kubisch-nichtlineare Ketten mit f(Q) wie in (2) erhält man:
Müssen r = 0 wählen:
Konsistenz nur wenn:
Integration führt dann auf:
Modifizierte KDV-Gleichung
Zabusky & KruskalZabusky & Kruskal
Welle die sich ohne Änderung der Form fortpflanzt und ein lokales Profil besitzt
Def: ……..“Solitäre Welle“
Soliton:
KDV-Gleichung: ….Multiplizierten den 3-ten Ableitungsterm mit Faktor: 0,022
& Periodische Randbedingungen:
Ergebnis: ….Welle mit stabiler Amplitude & fast identisches Profil wie“ Solitäre . Welle!“
Viel wichtiger als die Form ist die Teilcheneigenschaft !!!
….Taucht erstmals auf in den Arbeiten von Z & K
Zabusky & KruskalZabusky & KruskalKDV-Soliton….
MKDV-Soliton….
(sech)2 - Form
sech - Form
Ziel: …. Wollen Modell studieren für den Stoß zweier Solitonen
… müssen die KDV – Gln. erstmal in eine homogene Gln. transformieren.
…Ausgangspunkt ist die KDV – Gleichung in der Form:
Folgt eine in f homogene Gleichung:
Cole – Hopf - Transformation
Zabusky & KruskalZabusky & Kruskal Ziel: … Wollen diese Gleichung lösen
Suchen eine Lösung der Form:
Zabusky & KruskalZabusky & Kruskal
Weil lineare Gln.: …soviele Exponentialfkt. einfügen wie man will
Wählen nur zwei Stück :
Exakte Lösung von f(1) einsetzen in rechte Seite obiger Gln.
Zabusky & KruskalZabusky & KruskalIntegration gibt:
??? Endlos ???:
Setzen Lsg. von f(1) und f(2) in die rechte Seite ein:
Für alle folgenden Iterationen gilt:
Absolut notwendig damit wir eine exakte Lsg. erhalten !!!
Wir erhalten somit als exakte Lsg. :
Die Sine – Gordon – GleichungDie Sine – Gordon – GleichungKlein – Gordon – Gleichung:
Herleitung aus der Lagrangedichte:
Skyrme (1958): „Nichtlineare Feldtheorie“
Suchen nach stabilen Wellenlösungen: ( Mit Lorentzinvarianz )
Die Sine – Gordon - GleichungDie Sine – Gordon - GleichungKink
Kollision zweier Kinks
1875 zeigte Bäcklund den Aufbau einer Lösungshierarchie
Bäcklund - Transformation
Die Sine – Gordon - GleichungDie Sine – Gordon - Gleichung
Die Sine – Gordon - GleichungDie Sine – Gordon - Gleichung Ziel: Suchen die Bäcklundtransformierte für die Sine – Gordon - Gleichung
Betrachte: Allgemeine nichtlineare Klein – Gordon – Gleichung:
In den Koordinaten:
Annahme: Beide Lösungen sind unabhängig:
Betrachte: Gleichungspaar:
Mit den Variablen:
Die Sine – Gordon - GleichungDie Sine – Gordon - GleichungBisher:
Linearkombination:
Ableiten:
Form von „F,g und f“ nicht spezifiziert
Obige Form soll dazu dienen die Ableiungsterme für und tin zwei Gleichungen zu entkoppeln. Ableiten obiger Gleichung führt zu:
Wenn und ‘unabhängige Lösungen sind, finden wir:
Die Sine – Gordon - GleichungDie Sine – Gordon - Gleichung Muß eine Konstante sein !!!
Betrag von ist nicht so wichtig wie sein Vorzeichen:
Mit:
folgt:
Sine – Gordon = NLKG + Bäcklundtransformation
Die Sine – Gordon - GleichungDie Sine – Gordon - Gleichung
Sei eine Lsg. gegeben: 2-parametrige Familie von verwandten Lsg.
Einfachste Lösung:
Einsetzen + Integration:
Entspricht der Single – Kink – Lösung !
Weitere Lösungen durch geometrische Konstruktion:
Kommutativ !!!0
21
3
a1a2
a1a2
Die Sine – Gordon - GleichungDie Sine – Gordon - Gleichung
Insgesamt erhält man also:
Mit den Single-Kink-Lösungen:
Und der Lösung:
Grundprinzipien für lineare WellenGrundprinzipien für lineare WellenElementarste lineare Welle:
Klein – Gordon – Gleichung:
Hat die Dispersionsrelation:
Phasengeschwindigkeit: Gruppengeschwindigkeit:
Dispersionsrelation:
Bsp:
Grundprinzipien für lineare WellenGrundprinzipien für lineare Wellen
Wenn (k) komplex:
Harmonische Lösungen wachsen dann exponentiell und:
Instabil für:
Zerfallen exponentiell für:
Schwierig wenn:
…Hierbei ist L ein linearer Operator
Grundprinzipien für lineare WellenGrundprinzipien für lineare WellenBsp.
Wenn Folgt:
Reine Dispersionsgleichung mit:
Obige Gleichung ist ein brauchbares Beispiel für das Anfangswertproblem
Wenn reell und positiv, dann ist die Gleichung dissipativ mit:
Grundprinzipien für lineare WellenGrundprinzipien für lineare WellenSeien die Anfangswerte gegeben durch:
Ziel ist die Bestimmung von:
Anfangswerte gegeben durch Fourier
Für ein allgemeines lineares Gln-Sys. ist = (k) ,wie oben, erhält man ein Lsg. Für alle t >0 durch:
Grundprinzipien für lineare WellenGrundprinzipien für lineare WellenWählen nun (x,t) wie folgt:
Vertauschen die Integrationen:
Mit:
Müssen die beiden Integrale abschätzen
I2 ist ungerade deshalb:
I1 kann man wie folgt abschätzen:
Grundprinzipien für lineare WellenGrundprinzipien für lineare WellenAlso:
Ableiten nach a und integrieren gibt:
Mit:
Folgt:
Als Ergebnis erhalten wir also:
Grundprinzipien für lineare WellenGrundprinzipien für lineare Wellen
0
Unterschied Dissipation und Dispersion
Gaussfkt. für Anfangswerte:
Ergebnis ist:
Wenn reell und positiv ist dann… für
Wenn: dann oszilliert
Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenLineare Version der KDV in der Form:
Ist eine rein dispersive Gleichung !
Der uxxx-Term bringt dispersive Effekte in die dispersionslose Gleichung
Mit:
Betrachte nun:
Problem: …Entwicklung der Anfangswerte
Für die dispersionslose Gleichung:
Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenAnalogie:
Hat als Lösung:
Welche sich mit der Geschwindigkeit u0 ausbreitet.
Mit gegebenen Anfangswerten:
Lautet die komplette Lösung:
Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenUmschreiben in:
Nachprüfen: und
gibt
Welches für Lösungen von …gilt:
Für die meisten Funktionen auch nicht einfacher!
Aber:…
Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenDie funktionale Gleichung ist dann:
Dies wird gelöst von:
t = 0,0 t = 0,5
t = 1,0 t = 1,5
u
u
Minimale Brechzeit:
Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer Wellen
Mehrwertigkeit interpretieren als Diskontinuität für t >Brechzeit:
Galilei-Transformation führt auf:
Ersetzen die Mehrwertigkeit durch Diskontinuität !!!
u
X
Problem: Wo fügt man die Diskontinuität ein ???
Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer Wellen
Fläche unter den Anfangsdaten:
Flächen unter dem Dreieck:
Ähnliche Dreiecke:
Man erhält:
Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer Wellen
Ergebnis:
Ohne Dispersiven-Term tritt Mehrdeutigkeit nach endlicher Zeit auf !!!
Durch Einführung von uxxx-Term wird Mehrdeutigkeit verhindert
Durch den Zabusky-Term wird Mehrdeutigkeit auf alle Zeiten verhindert
Dispersion wirkt der Tendenz der NL Diskontinuitäten zu bilden entgegen !!!
Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenEinführung von Dissipation durch:
Dies ergibt die Burger-Gleichung:
Kann linearisiert werden durch Cole-Hopf-Transformation
Man erhält:
Mit:
Folgt:
Schließlich:
Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer Wellen
KDV ist die einfachste dispersive Erweiterung von
Burger ist die einfachste dissipative Erweiterung von
Einfachste Lösung der Burger-Gleichung ist von Taylor
u
x
Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer Wellen
Nichtlinearität
Dispersion
Soliton
Wechselwirkung
Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer Wellen
Nichtlinearität
Dispersion
Soliton
Wechselwirkung
Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer Wellen
Nichtlinearität
Dispersion
Soliton
Wechselwirkung
Ausbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer WellenAusbreitung Nichtlinearer Wellen
Nichtlinearität
Dispersion
Soliton
Wechselwirkung