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Sobre relaciones asintóticas desistemas ortogonales tipo Sóbolev
Xiury Noraya Hortua Tamayo
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ciencias y Educación
Proyecto Curricular de Matemáticas
Bogotá, Colombia
2019
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Sobre relaciones asintóticas desistemas ortogonales tipo Sóbolev
Xiury Noraya Hortua Tamayo
Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al t́ıtulo de
Matemática
Director:
Luis Oriol Mora Valbuena
Profesor
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ciencias y Educación
Proyecto Curricular de Matemáticas
Bogotá, Colombia
2019
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Dedicado a:
A mi familia, en especial a la memoria de mi
mamá.
”No llueve eternamente”
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Agradecimientos
Inicialmente quiero dar las gracias al Profesor Luis Oriol Mora por toda su paciencia y
apoyo, por su disposición para ofrecerme conocimientos sólidos y sacar este proyecto adelante.
En segundo lugar quiero dar las gracias a toda mi familia; a mi papá, por todo su apoyo,
por todo su amor, por hacer lo mejor cada d́ıa para cubrir todos estos años la ausencia de
mi mamá quien a pesar de no estar f́ısicamente conmigo ha vivido y vivirá para siempre
en mi corazón y en mi memoria, a ella también gracias por dejarme los sentimientos más
desinteresados que he podido ver en la esencia de alguien. A mis hermanos; por la paciencia
y el entendimiento en todos esos d́ıas de estres, por quererme a pesar de mis malos ratos
donde mi forma de tratar los problemas no es muy inteligente, gracias a ellos por ser mi
motor de fuerza en cada momento de flaqueza, gracias porque ellos me recuerdan la razón
por la cual estoy aqúı. Gracias a mis abuelitos, a mi abuela por todo el amor y la paciencia,
por cada café en cada noche de desvelo, gracias a ellos por todas las enseñanzas que me han
regalado. Gracias a mis t́ıos, en especial a mi t́ıa Mary y a mi t́ıo Jhon, que siempre creyeron
en mı́ y me apoyaron en cada cosa que necesité.
Y por último, y no por ello menos importante, quiero agradecer a mis amigos, gracias por
las risas, por los aprendizajes, por estar ah́ı a pesar de todo, gracias por la confianza y por
darme la oportunidad de estar en sus vidas.
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Contenido
Agradecimientos VII
Introducción XI
1. Resultados Preeliminares 1
1.1. Conceptos básicos de Álgebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Elementos de Análisis Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Espacios Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2. Espacios Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3. Espacios con producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4. Conjuntos Ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Elementos de Teoŕıa de la Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2. Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3. Funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.4. Espacio L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. Polinomios Ortogonales 21
2.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. Asintoticidad para Polinomios ortogonales tipo Sóbolev 29
3.1. Sistemas ortonormales de polinomios : Comparación . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2. Relación asintótica para c /∈ supp(µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3. Relación asintótica para c ∈ supp(µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Conclusiones 49
Consideraciones 51
Bibliograf́ıa 53
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Introducción
La teoŕıa general de polinomios ortogonales ha sido de gran utilidad en distintas áreas
de las matemáticas, en f́ısica, en ingenieŕıa. En temas como; resolución de ecuaciones dife-
renciales, aproximación númerica, análisis combinatorio, entre otros. Existen varias familias
de polinomios ortogonales, polinomios como los de Chebyshev, Legendre, Jacobi, Hermite,
Laguerre, que han permitido fortalecer la teoŕıa con resultados fructuosos en aplicaciones,
éstos tipos de sistemas pueden encontrarse en [4] y [10].
La importancia de los polinomios ortogonales, fue para el autor de este trabajo la moti-
vación principal de desarrollar su monograf́ıa de grado esta área. Para lo cual se propuso
estudiar el art́ıculo Relative Asymptotics for Orthogonal Polynomials with a Sobo-
lev Inner Product [6, Marcellán & Van Assche ].
El art́ıculo antes mencionado investiga la relación que existe entre los sistemas ortogonales
de polinomios con un producto interno tipo Sóbolev, es decir, de la siguiente forma,
〈f, g〉 =n∑i=0
∫ ba
f (i)g(i)(x)dµi(x),
donde µi, i = 0, 1, · · · , n son medidas positivas que pertenecen al espacio de SóbolevWn,2[a, b].El art́ıculo estudia el caso particular cuando n = 1, éste define un sistema ortonormal de
polinomios {qn(x)}. También, presenta sistemas de polinomios definidos por una medidaque pertenece a la clase de Nevai M(0, 1). Realiza un estudio de la relación asintótica entre
el sistema de polinomios generado por la medida de Nevai y el sistema de polinomios tipo
Sóbolev. Establece una relación de recurrencia de 5 términos para el sistema ortonormal de
polinomios tipo Sóbolev.
Al realizar la lectura del art́ıculo se encontraron inconvenientes relacionados con la com-
prensión de los argumentos usados en la teoŕıa ah́ı establecida.
Por la razón anteriormente expuesta, este trabajo propone:
Realizar una śıntesis teórica de las teoŕıas que cobijan los principales conceptos alĺı
usados.
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xii CONTENIDO
Detallar las demostraciones de los teoremas establecidos de la relación asintótica entre
los sitemas ortonormales expuestos en el art́ıculo.
Por consiguiente, para lograr los propósitos anteriores:
Se realiza un seminario sobre teoŕıa general de polinomios ortogonales.
Se lee el art́ıculo en compañ́ıa del director y se detectan las áreas teóricas principa-
les donde se soporta el art́ıculo. Encontrándose las áreas de álgebra lineal, análisis
funcional, teoŕıa de la medida y teoŕıa general de polinomios ortogonales.
El autor junto con el director hace una búsqueda de bibliograf́ıa necesaria para hacer el
estudio de las áreas principales, esta búsqueda se realiza tomando la bibliograf́ıa suge-
rida por el art́ıculo y dada la imposibilidad de algunos textos, se realiza una búsqueda
de bibliograf́ıa pertinente al alcance.
El estudio se reporta orgranizado en tres caṕıtulos. El caṕıtulo 1, incluye los resultados
preeliminares dividido en tres secciones; conceptos básicos de álgebra lineal, elementos de
análisis funcional y elementos de teoŕıa de la medida, en cada sección se hace una śıntesis
teórica que contiene los resultados necesarios para el propósito del estudio. En el caṕıtulo 2
se establece los conceptos básicos de la teoŕıa general de polinomios ortogonales; funcional
de momentos, la relación de recurrencia de 3 términos, el teorema de Favard, la Fórmula de
Christoffel Darboux. En el caṕıtulo 3, dividido en tres secciones se presenta la comparación de
los sistemas ortonormales pn(x) y qn(x), la relación asintótica para c /∈ supp(µ) y la relaciónpara c ∈ supp(µ). Se establecen las conclusiones y algunas consideraciones, finalmente sereportan las referencias bibliográficas.
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Caṕıtulo 1
Resultados Preeliminares
En este caṕıtulo se incluyen los conceptos teóricos necesarios que soportan los argumen-
tos teóricos del art́ıculo estudiado. Algunos conceptos como espacio vectorial, funcional de
momentos, sistema ortogonal de polinomios, medida, espacios de Sóbolev, entre otros.
1.1. Conceptos básicos de Álgebra lineal
En esta sección se incluyen los conceptos principales del álgebra lineal, estos conceptos en
su mayoŕıa, son tomados de [1, 7] a menos que se especifique lo contrario.
1.1.1. Espacios vectoriales
Definición 1.1 (Espacio vectorial) Sea V un conjunto no vaćıo y F un campo, se dice
que V es un espacio vectorial sobre F si satisface los siguientes axiomas.
Axiomas de clausura
1. Clausura de la adición. Para todo x, y ∈ V se tiene un único elemento asociadollamado la suma de éstos dos, tal que x+ y ∈ V .
2. Clausura de la multiplicación.
Para todo x ∈ V y α ∈ F , existe un único elemento asociado llamado el producto deéstos dos, tal que αx ∈ V .
Axiomas para la adición
3. Ley conmutativa. Para todo x, y ∈ V se tiene que x+ y = y + x.
4. Ley asociativa. Si x, y, z ∈ V cualesquiera, entonces (x+ y) + z = x+ (y + z).
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2 1 Resultados Preeliminares
5. Existencia del elemento neutro. Existe un único elemento e ∈ V , tal que x+ e =e+ x = x para todo x ∈ V .
6. Existencia del elemento opuesto. Para todo x ∈ V , existe un único elemento enV denotado por −x tal que x+ (−x) = e.
Axiomas para la multiplicación
7. Ley asociativa. Para todo x ∈ V y α, β ∈ F , se tiene α(βx) = (αβ)x.
8. Ley distributiva para la adición de elementos de V . Para todo x, y ∈ V y paratodo α ∈ F , se cumple que α(x+ y) = αx+ αy.
9. Ley distributiva para la adición de elementos de F . Para todo x ∈ V y todopar de escalares α, β ∈ F , se tiene que (α + β)x = αx+ βx.
10. Existencia del elemento identidad Existe un único elemento en F diferente de 0
denotado por 1 tal que para todo x ∈ V se tiene 1x = x.
Ejemplo 1.1 El conjunto de todas las funciones en un intervalo dado [a, b] define un espacio
vectorial sobre el campo de los reales.
Definición 1.2 (Subespacio) Dado un espacio vectorial V y sea S un subconjunto no
vaćıo de V . Si S es también un espacio vectorial, entonces S se llama subespacio de V .
Ejemplo 1.2 El conjunto de todas las funciones continuas en un intervalo [a, b], forma
también un espacio vectorial que se denota como C(a, b), éste en particular es un subespacio
del espacio vectorial de las funciones sobre el campo de los reales. Por otro lado el conjunto de
los polinomios en un intervalo [a, b] es un subespacio del espacio de las funciones continuas
sobre un intervalo [a, b].
A continuación se introduce el concepto de combinación lineal para aśı poder definir in-
dependencia lineal y base para un espacio vectorial.
Definición 1.3 (Combinación lineal) Sea S un subconjunto no vaćıo de un espacio vec-
torial V . Un elemento x ∈ V de la forma
x =n∑i=1
cixi,
en donde x1, ..., xn pertenecen todos a S y c1, ..., cn pertenecen al campo F , se denomina
combinación lineal de elementos de S. El conjunto de todas las combinaciones lineales de
elementos de S satisface los axiomas de clausura y por tanto es un subespacio de V .
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1.1 Conceptos básicos de Álgebra lineal 3
Definición 1.4 (Conjunto Linealmente Independiente) Sea S ⊂ V con S 6= ∅, se diceque S es linealmente independiente si toda combinación lineal
n∑i=1
cixi = 0,
implica que ci = 0 para todo i = 1, ..., n, donde x1, ..., xn ∈ S y c1, ..., cn ∈ F .
Definición 1.5 (Generado de un subconjunto) El generado de un subconjunto A ⊂ Ves el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de A. El generado de A es
un subespacio de V .
Definición 1.6 (Base) Se dice que un conjunto S de un espacio vectorial V no necesaria-
mente de dimensión finita es una base de Hamel para V , si éste es linealmente independiente
y genera a V . Cuando V tiene una base finita, V tiene dimensión finita, sea n el número de
elementos de ésta base, entonces se dice que dimV = n. Si no existe una base finita para V ,
se dice que V es de dimensión infinita.
Ejemplo 1.3 El conjunto {Pk|Pk tiene grado k} en un intervalo [a, b] donde k ∈ N, es unabase para el espacio de polinomios en un intervalo [a, b].
Para verificar que {Pk|Pk tiene grado k} donde k ∈ N es una base para el espacio depolinomios en un intervalo [a, b], basta con demostrar que el conjunto es linealmente inde-
pendiente. Se tiene que{Pk|Pk tiene grado k} es distinto de vaćıo, por tanto si se toma lacombinación lineal
n∑i=1
αiPki = 0,
se debe demostrar que αi = 0 para todo i = 1, ..., n.
Se tiene que α1 = 0 para n = 1. Suponiendo ahora que se cumple para n, es decir que
αi = 0 para todo i = 1, ..., n. Se procede ahora a demostrar para n+ 1, es decir que si
n+1∑i=1
αiPki = 0,
se debe demostrar que αi = 0 para todo i = 1, ..., n+ 1. Como
n+1∑i=1
αiPki = 0,
entonces al derivar la ecuación anterior n+1 veces se encuentra que αn+1 = 0. Por hipótesis
de inducción se tiene que si
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4 1 Resultados Preeliminares
n∑i=1
αiPki = 0,
entonces αi = 0 con i = 1, ..., n.
Con lo cual se concluye que {Pk|Pk tiene grado k} donde k ∈ N es un conjunto linealmenteindependiente y por tanto una base para el espacio vectorial de todos los polinomios.
1.1.2. Determinantes
En esta sección se incluyen las definiciones de matriz, determinante y sus propiedades.
Definición 1.7 (Matriz) Una matriz es un arreglo rectangular de escalares. El arreglo se
representa como:
A = [aij] =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
am1 am2 · · · amn,
con aij ∈ F , donde F es un campo. Una matriz con m filas y n columnas se llama matrizde m× n. Se dice que una matriz de n× n es cuadrada y de orden n.
Después de definir lo que es una matriz, se procede a dar la definición de determinante y sus
propiedades.
Definición 1.8 (Determinante) Se llama determinante de una matriz cuadrada de orden
n
A = [aij] =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
an1 an2 · · · ann
al escalar denotado por |A| tal que
|A| =n∑i=1
(−1)i+jaji|Aij|
donde |Aij| es el valor del determinante de la matriz inicial A que resulta al eliminar laj−ésima fila y la i−ésima columna y el cual recibe el nombre de menor con respecto a laj−ésima fila y la i−ésima columna, con i, j = 1, ..., n.
El determinante de una matriz cumple las siguientes propiedades:
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1.2 Elementos de Análisis Funcional 5
1 SeaA′ la matriz que resulta de multiplicar una fila(o columna) por un escalar t, entonces
|A′| = t|A|.
2 Si B es la matriz que resulta al sumar un vector α a una fila de la matriz A y C la
matriz que cambia dicha fila por el vector α, entonces
|B| = |A|+ |C|.
3 El determinante de la matriz A se anula si dos de sus filas (o columnas) son iguales.
4 Si A′ es la matriz que resulta al intercambiar dos filas(o dos columnas) de la matriz A,
entonces
|A′| = −|A|.
5 Si A′ es la matriz que resulta después de sumar un múltiplo de una fila(o columna) a
otra de la matriz A, entonces
|A| = |A′|
6 Sea At la matriz traspuésta de A, entonces
|A| = |At|.
1.2. Elementos de Análisis Funcional
En esta sección se incluyen algunas definiciones necesarias para comprender el concepto
de espacios normados, espacios con producto interno, funcional, conjunto ortonormal, entre
otros. Estos conceptos son parte fundamental de éste trabajo y por tanto constituyen también
una de las bases principales de su desarrollo. Su teoŕıa está basada principalmente en el texto
[5].
1.2.1. Espacios Métricos
Para el apartado actual se definen los conceptos de espacio métrico y convergencia en
espacios métricos. La teoŕıa presentada en este item es importante para comprender las
definiciones de completitud y compacidad.
Definición 1.9 (Espacio Métrico) Un espacio métrico es un par (X, d), donde X es un
conjunto y d es una métrica sobre X, es decir, d es una función definida de X ×X a R talque para cualesquiera x, y, z ∈ X se cumple que
M1. d(x, y) > 0.
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6 1 Resultados Preeliminares
M2. d(x, y) = 0 si y sólo si x = y.
M3. d(x, y) = d(y, x).
M4. d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y) (Desigualdad triangular).
Para poder definir un conjunto abierto, se necesita primero definir el concepto de bola
abierta.
Definición 1.10 (Bola abierta) Sea x0 ∈ X, donde X es un espacio métrico, y sea r ∈ Rmayor a cero, entonces se define la bola abierto con centro en x0 y radio r como el conjunto
B(x0; r) = {x ∈ X|d(x, x0) < r}.
Definición 1.11 (Conjunto abierto, conjunto cerrado) Un subconjunto M de un es-
pacio métrico X se dice abierto si para todo x ∈ M existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ M . Unsubconjunto C de X se dice cerrado si su complemento X − C es abierto.
La convergencia en espacios métricos forma los cimientos para el estudio de los espacios
completos. Como en este documento se trabaja sobre espacios completos, no se puede pres-
cindir de éstos conceptos. Por ello, a continuación se dan las definiciones correspondientes a
convergencia, suseción de Cauchy y espacio completo.
Definición 1.12 (Convergencia de una sucesión.) Una sucesión (xn) en un espacio métri-
co (X, d) se dice que es convergente si existe x ∈ X tal que
ĺımn→∞
d(xn, x) = 0
x se llama el limite de (xn).
Existen varios criterios de convergencia de sucesiones, uno de éstos criterios es el criterio
de Stolz-Césaro, el cual es importante para definir los relativos asintóticos de los sistemas
ortonormales de polinomios en el caṕıtulo 3. Esta demostración es tomada de [3].
Lema 1.1 (Criterio de Stolz-Césaro) Sean xn y yn (n = 0, 1, 2, ...) sucesiones a valor
real, donde yn es monótona creciente distinta de cero para todo n, y el limite de yn cuando
tiende a infinito diverge. Si además,
ĺımn→∞
xn+1 − xnyn+1 − yn
= L,
entonces
ĺımn→∞
xnyn
= L.
1
1Existen dos partes del criterio de Stolz-Césaro, sin embargo sólo se demuestra la parte b, dado que es la
única que se utiliza en el presente documento.
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1.2 Elementos de Análisis Funcional 7
Demostración
Se tiene que para todo � > 0 tan pequeño como se quiera, existe m ∈ N tal que para∀n > m, se cumple que
(L− �)(yn − ym) < xn − xm < (L+ �)(yn − ym).
Entonces, como yn es positivo
(L− �)(
1− ymyn
)+xmyn
<xnyn
< (L+ �)
(1− ym
yn
)+xmyn.
Ahora, como ĺımn→∞ yn = +∞ se tiene entonces que
ĺımn→∞
[(L− �)
(1− ym
yn+xmyn
)]= L− �
y
ĺımn→∞
[(L+ �)
(1− ym
yn+xmyn
)]= L+ �.
Con lo cual se obtiene
L− � ≤ ĺım infn→∞
xnyn≤ ĺım sup
n→∞
xnyn≤ L+ �.
Como éste ĺımite es independiente de n, y se cumple para todo �, entonces de las desigual-
dades se tiene que el ĺımite es igual a L. Ésto es,
ĺımn→∞
xnyn
= L
�
Definición 1.13 ( Sucesión de Cauchy, Completitud) Una sucesión (xn) en un espa-
cio métrico (X, d) se dice que es de Cauchy si para todo � > 0 existe un natural N tal que
d(xm, xn) < � para cada m,n > N . El espacio X se dice que es completo si cada sucesión de
Cauchy converge en X.
Un ejemplo de espacios completos son R y C.
A continuación se da la definición de conjunto compacto, esta definición es relevante a la
hora de tratar con medidas que pertenecen a clases de Nevai. Sin embargo, estas dos últimas
menciones se explican con detalle más adelante.
Definición 1.14 (Compacidad) Un espacio métrico X se dice que es compacto si cada
sucesión en X tiene una subsucesión convergente. Un subconjunto M de X se dice que es
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8 1 Resultados Preeliminares
compacto si M es compacto considerado como subespacio de X, ésto es, si cada sucesión en
M tiene una subsucesión convergente a un elemento de M .2
A continuación, se presenta la definición de punto de acumulación, clausura de un conjunto
y conjunto denso, este último concepto es fundamental para resultados que se muestran más
adelante.
Definición 1.15 (Punto de acumulación, Clausura de un conjunto) Si M es un sub-
conjunto de un espacio métrico X. Entonces un punto x0 de X(no necesariamente de M)
es llamado punto de acumulación de M si cada bola abierta con centro en x0 contiene al
menos un punto y ∈ M distinto de x0. El conjunto de todos los puntos de M y puntos deacumulación de M es llamado clausura de M y está denotado por M .
Definición 1.16 (Conjunto denso, espacio separable) Un subconjunto M de un espa-
cio métrico X, se dice que es denso en X, si
M = X.
X se dice que es separable si éste contiene un conjunto enumerable que es denso en X.
1.2.2. Espacios Normados
Es primordial definir lo que es una norma, espacio normado, espacio de Banach, puesto
que dichas definiciones son indispensables para comprender la teoŕıa de conjuntos ortonor-
males.
A continuación se define lo que es una norma para un espacio vectorial V .
Definición 1.17 (Espacio Normado) Una norma sobre un espacio vectorial V es una
función a valor real ‖‖: V −→ R, que satisface las siguientes propiedades
N1. ‖ v ‖> 0 para todo v ∈ V .
N2. ‖ v ‖= 0 si y sólo si v = 0.
N3. ‖ αv ‖= |α| ‖ v ‖ para todo v ∈ V y α ∈ R.
N4. ‖ u+ v ‖6‖ u ‖ + ‖ v ‖ para todo u, v ∈ V (Desigualdad triangular).
2Se tiene que hay otros dos tipos de compacidad, sin embargo para espacios métricos los tres conceptos
coinciden.
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1.2 Elementos de Análisis Funcional 9
El espacio vectorial V se dice que es normado bajo la norma ‖ · ‖ y se nota como (V, ‖ · ‖).En caso de que la condición (N2) no se cumpla, se tiene que ‖ · ‖ es una semi norma paraV .
Un espacio normado sobre V define una métrica d sobre V , la cual está dada por
d(x, y) =‖ x− y ‖,
con lo cual se tiene que todo espacio normado es un espacio métrico.
Un espacio normado completo se dice que es un espacio de Banach.
Por ejemplo, Rn y Cn son espacios normados bajo la norma
‖ x ‖=
(n∑j=1
|xj|2),
además por ser completos son también espacios de Banach.
También se tiene que el conjunto de todas las funciones continuas sobre un intervalo [a, b],
notado por C[a, b] es un espacio de Banach bajo la norma
‖ x ‖= máxt∈[a,b]
|x(t)|.
En éste trabajo es de particular interés el espacio L2[a, b], el cual se define después de dar
la teoŕıa necesaria para su comprensión, éste espacio es normado bajo la norma
‖ x ‖2=(∫ b
a
|x(t)|2dt)1/2
.
Definición 1.18 (Base de Schauder) Si un espacio normado X contiene una sucesión
(en) con la propiedad de que para cada x ∈ X existe una única sucesión de escalares αn talque
‖ x− (α1e1 + · · ·+ αnen) ‖→ 0 cuando n→∞,
entonces se dice que (en) es una base de Schauder para x.
Definición 1.19 (Operador Lineal) Un operador lineal T es una función de un espacio
Vectorial V a un espacio vectorial W sobre el mismo campo F , tal que para todo x, y ∈ V ypara todo α ∈ F , se tiene que
T (x+ y) = T (x) + T (y)
T (αx) = αT (x).
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10 1 Resultados Preeliminares
Un ejemplo de operador lineal, es T (x) = 0 para todo x ∈ V , este operador es usualmentellamado el operador nulo. El kernel de T es el conjunto de todos los elementos x ∈ V paralos cuales T (x) = 0, es notado por N(T ).
El operador definido como T : V −→ V tal que T (x) = x para todo x ∈ V , es llamado eloperador lineal unitario.
Como en éste trabajo el espacio de todos los polinomios es de vital importancia, un ejem-
plo fundamental es el operador diferenciación definido del espacio de polinomios sobre el
intervalo [a, b] tal que T (p(t)) = p′(t) para cada p ∈ P.
Otro ejemplo importante hace referencia al operador integración definido de C[a, b] a los
reales tal que
T (x(t)) =
∫ ta
x(τ)dτ.
Definición 1.20 (Operador Lineal Acotado) Sean V,W espacios normados y T : V −→W un operador lineal. El operador lineal se dice que es acotado si existe un número real c
tal que para todo x ∈ V ,
‖ T (x) ‖6 c ‖ x ‖ .
De los ejemplos anteriores, se tiene que el operador nulo, el operador identidad y el ope-
rador integración son acotados. Pero el operador diferenciación no lo es.
Para dar fin a la teoŕıa de este apartado, se define por último el concepto de funcional,
este concepto es importante puesto que en el presente trabajo se trabaja sobre funcionales
de momentos los cuales definen un sistema ortogonal de polinomios.
Definición 1.21 (Funcional Lineal) Un funcional lineal f es un operador lineal con do-
minio en un espacio vectorial V y rango en el campo de escalares F de V , es decir
f : D(V ) −→ F,
donde F = R o F = C.
1.2.3. Espacios con producto interno
En esta sección se incluyen los conceptos de producto interno, conjuntos ortonormales,
espacio de Hilbert, entre otros. Estos conceptos son importantes porque permiten la com-
prensión de conceptos que se presentan más adelante.
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1.2 Elementos de Análisis Funcional 11
Definición 1.22 (Producto interno) Sea V un espacio vectorial, se dice que un producto
interno para V es una función de V × V al campo escalar F de V , tal que para cada parde vectores x, y ∈ V asocia un escalar en F notado por 〈x, y〉, llamado el producto internoentre x, y, y el cual cumple las siguientes propiedades para todo x, y, z ∈ V y α ∈ F
PI1. 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉.
PI2. 〈αx, y〉 = α 〈x, y〉.
PI3. 〈x, y〉 = 〈y, z〉.
PI4. 〈x, x〉 ≥ 0.
PI5. 〈x, x〉 = 0 si y sólo si x = 0.
Se tiene que V es un espacio de producto interno con respecto a 〈, 〉. Por otro lado se tieneque un producto interno sobre V define también una norma sobre V dada por ‖ x ‖=
√〈x, x〉
y una métrica dada por d(x, y) =‖ x − y ‖=√〈x− y, x− y〉. Por tanto se tiene que un
espacio con producto interno es un espacio normado, y por ende un espacio métrico. Un
espacio con producto interno completo se dice que es un espacio de Hilbert, aśı todo espacio
de Hilbert es también un espacio de Banach.
Algunos ejemplos de espacios con producto interno son;
1 Rn es un espacio de Hilbert bajo el producto interno
〈x, y〉 =n∑i=1
xi · yi,
donde x = (x1, · · · , xn) y y = (y1, · · · , yn).
2 Cn es un espacio de Hilbert bajo el producto interno
〈x, y〉 =n∑i=1
xi · yi,
donde x = (x1, · · · , xn) y y = (y1, · · · , yn).
3 El espacio L2[a, b] define un producto interno que se deriva de la norma dada anterior-
mente en el apartado de espacios normados el cual se define por
〈x, y〉 =∫ ba
x(t)y(t)dt,
suponiendo que las funciones están dadas en el espacio vectorial de los complejos C.
-
12 1 Resultados Preeliminares
1.2.4. Conjuntos Ortonormales
A continuación, se establecen las definiciones y teoremas más relevantes sobre conjuntos
ortonormales.
Definición 1.23 (Conjuntos ortonormales) Un conjunto ortogonal M de un espacio con
producto interno V , es un subconjunto de V cuyos elementos son pares ortogonales, ésto es,
para todo x, y ∈M se tiene que
〈x, y〉 ={
0 if x 6= y1 if x = y
.
Si además se tiene que ‖ x ‖= 1 para todo x ∈ M , entonces se dice que M es un conjuntoortonormal.
Lema 1.2 Un conjunto ortonormal es linealmente independiente.
Si se tiene una sucesión ortonormal {e1, e2, · · · , en, · · · } de un espacio con producto internoV y además se tiene que x pertenece al generado de {e1, e2, · · · , en} donde n es fijo, entoncesla expansión de Fourier del elemento x, está dada por
x =n∑k=1
〈x, ek〉 ek. (1-1)
En efecto, cómo {e1, e2, · · · , en} es una base para su generado, entonces se puede repre-sentar a x como combinación lineal de los elementos, ésto es
x =n∑k=1
akek,
donde ak son escalares del campo.
Por otro lado
〈x, ej〉 =
〈n∑k=1
akek, ej
〉=
n∑k=1
ak 〈ek, ej〉 = aj,
por tanto los coeficientes de la combinación lineal están dados por 〈x, ek〉.
Se puede obtener una sucesión ortonormal a partir de una sucesión dada (xn). Este proceso
es extenso y constructivo y recibe el nombre de Proceso de Gram-Schmidt de ortonor-
malizar una sucesión linealmente independiente bajo la propiedad de que dado un n fijo,
entonces
span{e1, ..., en} = span{x1, ..., xn}.
-
1.2 Elementos de Análisis Funcional 13
Proceso de Gram Schmidt
Sea la base ortonormal que se busca {e1, ..., en} dada una base linealmente independiente{x1, ..., xn}, el proceso de Gram Schmidt está dado por los siguientes pasos
1 e1 =x1‖x1‖ .
2 x2 puede escribirse de la forma x2 = 〈x2, e1〉 e1 + v2, entonces v2 = x2 − 〈x2, e1〉 e1 elcual es un vector distinto de cero dado que (xj) es linealmente independiente, por tanto
v2 ⊥ e1 dado que 〈v2, e1〉 = 0, aśı que
e2 =v2‖ v2 ‖
.
3 x3 puede escribirse de la forma x3 = 〈x3, e1〉 e1 + 〈x3, e2〉 e2 + v3, entonces v3 = x3 −〈x3, e1〉 e1−〈x3, e2〉 e2 el cual es un vector distinto de cero dado que (xj) es linealmenteindependiente, por tanto v3 ⊥ e1 y v3 ⊥ e2 dado que 〈v3, e1〉 = 0 y 〈v3, e2〉 = 0, aśı que
e3 =v3‖ v3 ‖
....
El n−ésimo paso continua tomando el vector
vn = xn −n−1∑k=1
〈xn, ek〉 ek,
el cual es distinto de cero y es ortogonal a e1, · · · , en−1. Por tanto, de ésto se tiene que
en =vn‖ vn ‖
.
Dada la importancia de los espacios de Hilbert, se introduce el siguiente resultado
Teorema 1.1 Si H un espacio de Hilbert separable , entonces existe un conjunto ortonormal
en H.
Demostración
Dado que H es separable, entonces se puede tomar una sucesión {Ek}∞k=1 ∈ H tal que laclausura de su generado es igual a H. Aśı, si se toma una subsucesión, entonces para n ∈ N,En+1 /∈ span{Ek}nk=1. Por tanto se puede aplicar el proceso de Gramm-Schmidt a {Ek}∞k=1
-
14 1 Resultados Preeliminares
inductivamente, y aśı como resultado se tiene un sistema ortonormal {ek}∞k=1 ∈ H, dondeSpan({ek}∞k=1) = Span({Ek}∞k=1) = H. �
Es posible representar a un funcional lineal acotado en un espacio de Hilbert como el
producto interno del espacio. Éste resultado es llamado el Teorema de Riesz y dice lo
siguiente.
Teorema 1.2 (Teorema de Riesz.) Cada funcional lineal acotado f sobre un espacio de
Hilbert H puede ser representado en términos de un producto interno, llamado
f(x) = 〈x, z〉
donde z depende de f , y está únicamente determinado por f y tiene norma
‖ z ‖=‖ f ‖ .
Teorema 1.3 (Teorema aproximación de Weierstrass) El conjunto de todos los poli-
nomios con coeficientes reales es denso en C[a, b]. Por tanto para cada x ∈ C[a, b] y dado� > 0 entonces existe un polinomio p tal que |x(t)− p(t)| < � para todo t ∈ [a, b].
1.3. Elementos de Teoŕıa de la Medida
En la presente sección se introducen espacios que ya se hab́ıa mostrado como ejemplo el
espacio L2(a, b) el cual no habia sido definido debido a que la teoŕıa necesaria para ello se
presenta a partir de ahora.
Para poder definir el espacio L2(a, b), es necesario dar algunas definiciones como lo son
sigma álgebra, medida, integral de Lebesgue, entre otros. Para ello se toma como libro
principal [2] a menos de que se indique lo contrario.
1.3.1. Funciones medibles
Para poder definir la integral de Lebesgue, en principio se debe introducir las definiciones
previas, éstas son σ−álgebra, conjunto medible, función medible, entre otros.
Definición 1.24 (σ−álgebra) Una familia F de subconjuntos de X se dice que es unaσ−álgebra si se cumple que
1 ∅, X ∈ F .
2 Si A ∈ F , entonces Ac = X − A ∈ F .
3 Si (An) es una sucesión de conjuntos en F , entonces la unión enumerable⋃∞n=1An ∈ F .
-
1.3 Elementos de Teoŕıa de la Medida 15
El par ordenado (X,F) es llamado espacio medible.
Ejemplos 1.4 Sea X cualquier conjunto y sea F = P(X) entonces (X,F) es unespacio medible.
Sea un conjunto X y F = {∅, X}, entonces (X,F) es un espacio medible.
Sea X = R. Se dice que el álgebra de Borel B es la familia generada por todos losintervalos abiertos (a, b) ∈ R. ésta álgebra también es generada por todos los intervaloscerrados [a, b] ∈ R. Cualquier conjunto en B es llamado conjunto de Borel.
A continuación se da la definición de función medible.
Definición 1.25 (Función medible) Una función f de X a R se dice que es medible sipara cada real α el conjunto
{x ∈ X : f(x) > α} ∈ F .
El conjunto de todas las funciones medibles de X se nota como M(X,F). El conjunto delas funciones medibles no negativas de X se nota como M+(X,F)
Ejemplos 1.5 Cualquier función constante se tiene que es medible. Si f(x) = c para
todo x ∈ X y sea α ≥ c, entonces {x ∈ X : f(x) > α} = ∅ ∈ F y en el caso α < c,entonces {x ∈ X : f(x) > α} = X ∈ F .
Se tiene que si E ∈ F , entonces la función caracteŕıstica de E definida por
χE =
1 si x ∈ E
0 si x /∈ Ees medible.
Si X = R y F es el álgebra de Borel B, entonces se tiene que cualquier función continuaf : R −→ R es Borel medible. También se tiene que cualquier función monótona en Res Borel medible.
Como resultados importantes si f, g son medibles, entonces también se tiene que las fun-
ciones
cf, f 2, f + g, fg, |f |, f−1
son medibles.
Por otro lado si f es cualquier función de X a R, y sean f+ llamada parte positiva de fy f− llamada parte negativa de f , funciones no negativas que se definen sobre X por
f+(x) = sup{f(x), 0}, f−(x) = sup{−f(x), 0},
entonces
f = f+ − f− y |f | = f+ + f−.
-
16 1 Resultados Preeliminares
1.3.2. Medidas
En esta sección se incluye el concepto de medida, pero para ello primero se deben dar
algunas definiciones previas como espacio medible. Puesto que las medidas son funciones
que están definidas de X a R o R(los reales extendidos) y cumplen ciertas condicionesespeciales.
Definición 1.26 (Medida) Una medida es una función a valor real extendido µ definida
sobre una σ−álgebra F se subconjuntos de X tal que
1 µ(∅) = 0.
2 µ(E) ≥ 0 para todo E ∈ F .
3 µ es contable aditiva en el sentido de que si (En) es cualquier sucesión disjunta de
conjuntos de F , entonces
µ
(∞⋃n=1
En
)=∞∑n=1
µ (En) .
Ejemplos 1.6 Sea X el conjunto de los números naturales, y sea F = P(X). SiE ∈ F se define µ(E) como el número de elementos de E en caso de que E sea finito,si E es un conjunto no finito entonces µ(E) = ∞. Se tiene que µ es una medida, lacual es conocida como la medida de conteo sobre los naturales.
Sea X = R y F = B el álgebra de Borel, entonces existe una medida λ definidasobre B, que además es única y coincide con la longitud de intervalos abiertos, es decirλ(E) = b− a. ésta medida es llamada la medida de Lebesgue.
Sea X = R y F = B el álgebra de Borel, y sea f una función continua monótonacreciente entonces existe una medida λj definida sobre B tal que si E = (a, b), entoncesλj(E) = f(b)− f(a). ésta medida es llamada la medida de Borel-Stieltjes generada porf .
Definición 1.27 (Espacio de medida) Un espacio de medida es una tripla (X,F , µ) queconsiste en un conjunto X, una σ−álgebra F de subconjuntos de X, y una medida µ definidasobres F .
Se dice que una proposición es verdadera µ−casi toda parte si existe un subconjuntoN ∈ F con µ(N) = 0 tal que la proposición se cumple para todo x ∈ N c.
Por ejemplo, se dice que dos funciones f, g son iguales µ−casi toda parte si existe unconjunto N con medida cero, tal que f(x) = g(x) para todo x ∈ N c. De la misma forma,se dice que una sucesión (fn) de funciones en X converge µ−casi toda parte si existe unconjunto N ∈ F de medida cero tal que f(x) = ĺım fn(x) para todo x ∈ N c.
-
1.3 Elementos de Teoŕıa de la Medida 17
Definición 1.28 (Medidas absolutamente continuas ) Una medida λ sobre F se diceabsolutamente continua con respecto a una medida µ sobre F si E ∈ F y µ(E) = 0 implicaque λ(E) = 0 para cualquier conjunto E ∈ F .
Definición 1.29 (Soporte) El soporte de una medida µ corresponde al conjunto cerrado
de todos los puntos x ∈ X para los cuales µ(x) 6= 0. Se denota de aqúı en adelante comosupp(µ).
1.3.3. Funciones integrables
A continuación se introducen las nociones básicas para definir funciones integrables, en
principio se define para funciones no negativas, después se da la definición para una función
sin importar si ésta es negativa. Es importante mencionar que cada vez que se escriba M+
se entiende que se habla de M+(X,F).
Definición 1.30 (Función simple) Una función a valor real es simple si ésta tiene úni-
camente un número finito de valores.
Una función medible simple ϕ puede ser representada de la forma
ϕ =n∑j=1
ajχEj , (1-2)
donde aj ∈ R y χEj es la función caracteŕıstica de un conjunto Ej ∈ X.
Se dice que ϕ tiene representación única estándar si cada aj es distinto y si Ej son conjuntos
no vaćıos disjuntos.
Definición 1.31 (Integral de una función simple) Si ϕ es una función en M+ con re-
presentación estándar (1-2), se define la integral de ϕ con respecto a µ como el número real
extendido ∫ϕdµ =
n∑j=1
ajµ(Ej). (1-3)
Definición 1.32 (Integral de una función en M+) Si f ∈ M+, se define la integral def con respecto a la medida µ como el valor real extendido∫
fdµ = sup
∫ϕdµ, (1-4)
donde el supremo se extiende sobre todas las funciones simples ϕ ∈M+ tales que 0 ≤ ϕ(x) ≤f(x) para todo x ∈ X.
-
18 1 Resultados Preeliminares
Si f ∈M+ y e ∈ F entonces se define la integral de f sobre E con respecto a µ como∫E
fdµ =
∫fχEdµ. (1-5)
Las definiciones dadas anteriormente estaban dadas para funciones en M+, a partir de
ahora se tratan las integrales de funciones medibles tanto negativas como no negativas.
Definición 1.33 (L(X,F , µ)) La colección L = L(X,F , µ) , consiste en el conjunto detodas las funciones medibles a valor real f definidas en X, tal que sus partes positiva y
negativa f+, f− tienen integrales finitas con respecto a µ. Aśı, se define la integral de f con
respecto a µ como ∫fdµ =
∫f+dµ−
∫f−dµ. (1-6)
Se tiene que si E ∈ F , entonces∫E
fdµ =
∫E
f+dµ−∫E
f−dµ. (1-7)
A continuación se presentará el teorema más importante para la convergencia de funciones
integrables.
Teorema 1.4 (Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue) Sea (fn) una
sucesión de funciones integrables que converge casi en toda parte a una función medible f
a valor real. Si existe una función integrable g tal que |fn| ≤ g para todo n, entonces f esintegrable y ∫
fdµ = ĺım
∫fndµ. (1-8)
1.3.4. Espacio L2
Para culminar este caṕıtulo se introduce un espacio bastante importante, el espacio L2, el
cual es especial porque permite solucionar gran parte de la teoŕıa presentada en el caṕıtulo
3, pues básicamente los funcionales de momentos que definen los sistemas ortogonales de
polinomios, son integrales de Lebesgue.
A continuación se presentan algunos resultados importantes.
Definición 1.34 Sea (X,F , µ) un espacio de medida. Si f ∈ L(X,F , µ), se define la semi-norma sobre L(X,F , µ)
Nµ(f) =
∫|f |dµ. (1-9)
Además se tiene que L(X,F , µ) es un espacio vectorial.
-
1.3 Elementos de Teoŕıa de la Medida 19
Definición 1.35 (µ-equivalencia) Dos funciones en L(X,F , µ) se dicen que son µ− equi-valentes si éstas son iguales µ-casi toda parte. La clase de equivalencia determinada por
f en L se denota por [f ] y consiste en el conjunto de todas las funciones en L que son
µ-equivalentes a f . El espacio de Lebesgue L1 = L1(X,F , µ) consiste de todas las clasesµ−equivalentes en L. Si [f ] ∈ L1, entonces se define su norma por
‖ [f ] ‖1=∫|f |dµ. (1-10)
Teorema 1.5 El espacio de Lebesgue L1(X,F , µ) es un espacio lineal normado.
Definición 1.36 (Espacio L2) El espacio L2 = L2(X,F , µ) consiste de todas las clasesµ−equivalentes de funciones medibles a valor real f donde |f |2 tiene integral finita con res-pecto a µ sobre X. Su norma está dada por
‖ f ‖2={∫|f |2dµ
}1/2. (1-11)
L2 es un espacio normado que además es completo. Por tanto L2 es un espacio de Banach.
Teorema 1.6 (Desigualdad de Cauchy-Bunyakovskǐi-Schwarz) Si f y g pertenecen
a L2, entonces fg es integrable y∣∣∣∣∫ fgdµ∣∣∣∣ 6 ∫ |fg|dµ 6‖ f ‖2‖ g ‖2 .Teorema 1.7 El conjunto de las funciones continuas C[a, b] es un subconjunto denso de
L2(a, b)
Definición 1.37 (Sucesión de Cauchy en L2.) Una sucesión (fn) en L2 es una sucesión
de Cauchy en L2 si para cada número positivo ε existe un número natural M(ε) tal que si
m,n > M(ε), entonces ‖ fm − fn ‖2< ε. Una sucesión (fn) en L2 converge a una funciónf en L2 si para cada número positivo ε existe un número natural N(ε) tal que si n > N(ε),entonces ‖ f − fn ‖2< ε. Un espacio normado lineal es completo si cada sucesión de Cauchyconverge a un elemento del espacio.
Se tiene que L2(a, b) define un producto interno y toda sucesión de Cauchy converge
en L2(a, b) por el teorema de Weierstrass, por ende L2(a, b) es un espacio de Hilbert que
además tiene una base de Schauder y por tanto es separable, de tal forma que L2(a, b) tiene
un conjunto ortogonal.
-
Caṕıtulo 2
Polinomios Ortogonales
La teoŕıa general de los polinomios ortogonales permite ejemplificar un sistema ortonormal
de polinomios en espacios de Sóbolev, estos polinomios son muy especiales debido a que se
trabaja también con sus derivadas.
Por consiguiente, en el presente caṕıtulo se incluyen parte de los conceptos principales de
la teoŕıa de polinomios ortogonales.
La bibliograf́ıa usada corresponde a [10, 4], a menos que se especifique lo contrario.
2.1. Conceptos básicos
Definición 2.1 (Funcional de Momentos.) Un Funcional de momentos L es unatransformación C−lineal del espacio C[x] de los polinomios con coeficientes complejos en elcampo C de los números complejos.
Definición 2.2 (Sistema de polinomios ortogonales.) Se dice que un sistema {Pn(x)|n >0} de polinomios mónicos es un sistema ortogonal con respecto a un funcional demomentos L si
Pn(x) es de grado n, (2-1)
y
L(Pn(x) · Pm(x)) = λn · δmn, n,m > 0. (2-2)
Donde λ0 = 1, λn 6= 0 para todo n ≥ 1.
Si un funcional de momentos L admite un sistema mónico ortogonal de polinomios, sedice que L es regular.
Se tiene que todo sistema de polinomios ortogonales cumple una relación de recurrencia
de tres términos, por ello a continuación se presenta el teorema principal de ésta teoŕıa, este
-
22 2 Polinomios Ortogonales
resultado es atribuido a Favard, y es útil a la hora de determinar un funcional L para el cualcierto sistema de polinomios sea un sistema ortogonal.
Teorema 2.1 Si {Pn(x)|n > 0} es un sistema de polinomios mónicos, ortogonal con respectoa un funcional de momentos L y dadas las condiciones iniciales
P−1(x) = 0, P0(x) = 1, (2-3)
existen números complejos Bn, Cn, n > 0, tales que
Cn 6= 0, para n > 1, (2-4)
y
xPn(x) = Pn+1(x) +BnPn(x) + CnPn−1(x), n > 0. (2-5)
De forma rećıproca, si {Pn(x)|n > 0} es un sistema de polinomios mónicos determinadopor una relación de recurrencia (2-5) con las condiciones iniciales (2-3), que cumplen la
ecuación (2-4), entonces existe un funcional L para el cual {Pn(x)|n > 0} es un sistemaortogonal de polinomios mónicos.
Este funcional está determinado por los coeficientes Ci con i = 1, ..., n de la siguiente
manera
λn = L(P 2n(x)) = C1 · · ·Cn, (2-6)
y
L(1) = 1;L(Pn(x)) = 0, n > 1. (2-7)
Demostración
⇒ Por (2-1) se tiene que {Pn(x)|n > 0} es de grado n, aplicando el teorema (1.3) esademás una base de C[x]. Entonces se puede escribir a xPn(x) como combinación lineal decada Pi(x), es decir
xPn(x) =n+1∑i=0
Ci,nPi(x), n > 1, (2-8)
donde los Ci,n son números complejos y Cn+1,n = 1 puesto que xPn(x) y Pn+1(x) son poli-
nomios mónicos.
Cuando n = 0 entonces
xP0(x) = C0,0P0(x) + C1,0P1(x),
-
2.1 Conceptos básicos 23
con lo cual se verifica (2-5), dado que P−1(x) = 0.
Cuando n = 1, se tiene
xP1(x) = C0,1P0(x) + C1,1P1(x) + C2,1P2(x),
como C2,1 = 1, entonces se verifica también la ecuación (2-5) cuando n = 1.
Ahora se prueba la relación para n ≥ 2, para ello se multiplica a ambos lados de la ecuación(2-8) por Pk(x), donde 0 6 k 6 n− 2, con lo cual se tiene
xPk(x)Pn(x) =n+1∑i=0
Ci,nPi(x)Pk(x). (2-9)
Pero de (2-8), se tiene también que
xPk(x) =k+1∑i=0
Ci,kPi(x).
Multiplicando esta ecuación por Pn(x)
xPk(x)Pn(x) =k+1∑i=0
Ci,kPi(x)Pn(x), (2-10)
por tanto, al evaluar el funcional en (2-10) se cumple
L(xPk(x)Pn(x)) =k+1∑i=0
Ci,kL(Pi(x)Pn(x)), 0 6 k 6 n− 2.
Como k 6 n−2,entonces para i 6 k+1, se cumple que i 6 n−1 < n, y además k+1 < n.
Al hacer uso de la definición (2.2), se tiene que
L(xPk(x)Pn(x)) =k+1∑i=0
Ci,kL(Pi(x)Pn(x)) =k+1∑i=0
Ci,k · 0 = 0.
Por otro lado al evaluar el funcional en la ecuación (2-9) y usando la definición (2.2), se
cumple
L(xPk(x)Pn(x)) =n+1∑i=0
Ci,nL(Pi(x)Pk(x)) = Ck,nλk,
puesto que k < n, al igualar los funcionales de momentos
L(xPk(x)Pn(x)) = Ck,nλk = 0,
-
24 2 Polinomios Ortogonales
y dado que λk 6= 0,Ck,n = 0, 0 6 k 6 n− 2.
Entonces al reemplazar cada constante Ck,n en la ecuación (2-8), y dado que Cn+1,n = 1
se tiene que
xPn(x) = Pn+1(x) + Cn,nPn(x) + Cn−1,nPn−1(x), n > 0.
Como Cn,n y Cn−1,n son números complejos entonces Cn,n = Bn, y Cn,n−1 = Cn.
Esto demuestra la relación (2-5).
Para n > 1 se cumple que
xPn−1(x) = Pn(x) +Bn−1Pn−1(x) + Cn−1Pn−2(x)
al multiplicar por Pn(x), se tiene que
xPn−1(x)Pn(x) = P2n(x) +Bn−1Pn(x)Pn−1(x) + Cn−1Pn−2(x)Pn(x),
aplicando el funcional a ambos lados de la ecuación, y resolviendo se tiene que
L(xPn−1(x)Pn(x)) = L(P 2n(x)).
Por otro lado, se cumple también que
xPn(x) = Pn+1(x) +BnPn(x) + CnPn−1(x).
Multiplicando por Pn−1(x) a ambos miembros de la ecuación (2-5) y a su vez evaluando
en el funcional de momentos,
L(xPn−1(x)Pn(x)) = CnL(P 2n−1(x)),
e igualando ambas partes
L(P 2n(x)) = CnL(P 2n−1(x)). (2-11)
Como para n > 1, L(P 2n(x)) y L(P 2n−1(x)) son no nulos, entonces Cn 6= 0 para todo n. Esdecir que al evaluar con recurrencia el funcional con ayuda de la fórmula anterior, se cumple
que, L(P 2n(x)) = C1 · · · · · Cn. Además las condiciones iniciales y la relación de recurrenciadeterminan únicamente al sistema de polinomios.
A continuación se presenta la prueba de lo que se conoce como el teorema de Favard
⇐) Se supone ahora que {Pn(x)} satisface la relación de recurrencia y las condicionesiniciales, además de ser de grado n. Como Pn(x) tiene grado n para todo n > 0, entonces{Pn(x)|n > 0} es una base para C[x]. Por lo tanto, si se define L por la relación (2-7) y se
-
2.1 Conceptos básicos 25
extiende por linealidad a todo C[x], L es una transformación lineal de C[x] en C.
Se verifica que L satisface la definición de sistema de polinomios ortogonales. En primerlugar, se nota que para m > 0 fijo,
L(xmPn(x)) = 0 (2-12)
para todo n > m. Haciendo inducción sobre m, si m = 0, entonces L(Pn(x)) = 0.
Suponiendo ahora que L(xmPn(x)) para m y que n > m+1. Entonces se tiene que n > m,n− 1 > m y n+ 1 > m. Usando la hipótesis se sabe que
xm+1Pn(x) = xmPn+1(x) +Bnx
mPn(x) + CnxmPn−1(x).
Por otro lado, la hipótesis de inducción asegura que
L(xm+1Pn(x)) = 0.
Por tanto se tiene que para m 6= n, L(Pm(x)Pn(x)) = 0.
Finalmente se demuestra que L(P 2n(x)) 6= 0, si se multiplica la ecuación de la relación derecurrencia por Pn−1(x) y se evalúa en el funcional, se tiene que
L(P 2n(x)) = CnL(P 2n−1(x)) = · · · = Cn · · · · · C1L(1 · 1) = Cn · · · · · C1.
Como cada Cn es diferente de cero, entonces finalmente se tiene que L(P 2n(x)) 6= 0. Y aśıL es un funcional para el sistema de polinomios que satisface la relación de recurrencia, elcual es único y está determinado por las condiciones iniciales del funcional. �
A continuación se establece un resultado importante para establecer cuando un funcional
de momentos puede definir un sistema de polinomios ortogonales.
Teorema 2.2 Si L es un funcional de momentos con L(1) = 1, y si cn = L(xn) es el n-ésimo momento de L para todo n ≥ 0, una condición necesaria y suficiente para que L searegular es que
Γn :=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣c0 c1 · · · cnc1 c2 · · · cn+1...
.... . .
...
cn cn+1 · · · c2n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0, n ≥ 0. (2-13)
-
26 2 Polinomios Ortogonales
Demostración
Para iniciar la demostración de este teorema, se supone la veracidad de (2-13). Por ende
P0(x) = 1 y
Pn(x) =1
Γn−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣c0 c1 · · · cn...
.... . .
...
cn−1 cn · · · c2n−11 x · · · xn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , n ≥ 1. (2-14)Si m ≤ n,
L(xmPn(x)) =1
Γn−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣c0 c1 · · · cn...
.... . .
...
cn−1 cn · · · c2n−1L(xm) L(xm+1) · · · L(xm+n)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . (2-15)
Dado que la fila (L(xm),L(xm+1), · · · ,L(xm+n)) = (cm, cm+1, · · · , cm+n) coincide con unade las filas del determinante en caso de que m < n entonces se tiene la siguiente expresión
L(xmPn(x)) = 0.
Cuando m = n
L(xnPn(x)) =Γn
Γn−16= 0
puesto que
L(Pn(x)Pn(x)) = L(xnPn(x)).
Con lo cual queda demostrado que
L(xnPn(x)) = L(P 2n(x)) =Γn
Γn−16= 0.
Se supone ahora que L es regular, donde Pn(x) corresponde a su sistema de polinomiosmónicos ortogonales, y se demuestra que Γn 6= 0 para todo n ≥ 0. De esta forma, realizandola prueba por inducción.
Para n = 0, Γ0 = 0 = L(1) = 1 6= 0.
Se supone que la propiedad es válida para n = k, es decir, Γk 6= 0, y se demuestra para n+1.
-
2.1 Conceptos básicos 27
Sea aśı
P (x) =1
Γk
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
c0 · · · ck ck+1c1 · · · ck+1 ck+2...
. . ....
...
ck · · · c2k c2k+11 · · · xk xk+1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, (2-16)
entonces P (x) corresponde a un polinomio de grado k + 1, con lo cual P (x) puede ser
representado como combinación lineal de los polinomios de grado a lo sumo k + 1, esto es
P (x) = Pk+1(x) + akPk(x) + · · ·+ a0P0(x) ai ∈ C. (2-17)
De lo anterior , si m < k + 1, se tiene que
L(xmP (x)) = 0,
y en consecuencia para m < k + 1,
L(Pm(x)P (x)) = 0,
aśı al multiplicar por Pm(x) a ambos lados de la igualdad (2-17) con m = 0, 1, 2, · · · , k yal evaluar en el funcional L, se tiene que am = 0,m = 0, 1, 2, · · · , k, es decir que se verificaP (x) = Pk+1(x).
Por otro lado,
L(xk+1Pk+1(x)) = L(P 2k+1(x)),
lo cual es distinto de cero, y por ende
Γk+1Γk
= L(P 2k+1(x)) 6= 0.
Con lo cual se concluye la demostración.
�
Se tiene que todo sistema de polinomios que satisface la relación de recurrencia de 3
términos dada en (2-5), satisface la identidad de Chistoffel-Darboux, esta identidad es
indispensable en la teoŕıa de polinomios ortogonales, gracias a ella se pueden deducir los
resultados que conducen a concluir la relación de asintoticidad en el caṕıtulo 3.
-
28 2 Polinomios Ortogonales
Teorema 2.3 (Identidad de Christoffel-Darboux) Sea {Pn(x)} un sistema de polino-mios que satisface la relación de recurrencia (2-5) donde Cn 6= 0 para n ≥ 0, entonces sesatisface la siguiente relación
n∑k=0
Pk(x)Pk(y)
C0C1C2 · · ·Ck=
1
C0C1C2 · · ·Cn· Pn+1(x)Pn(y)− Pn(x)Pn+1(y)
x− y. (2-18)
Demostración
De la relación de recurrencia (2-5) se satisfacen para n > 0 las ecuaciones
xPn(x)Pn(y) = Pn+1(x)Pn(y) +BnPn(x)Pn(y) + CnPn−1(x)Pn(y),
yPn(y)Pn(x) = Pn+1(y)Pn(x) +BnPn(y)Pn(x) + CnPn−1(y)Pn(x).
Restando las identidades anteriores se tiene que
(x− y)Pn(x)Pn(y) = Pn+1(x)Pn(y)− Pn+1(y)Pn(x)− Cn[Pn(x)Pn−1(y)− Pn(y)Pn−1(x)].
Por otro lado si se denota 1C0C1C2···Cn ·
Pn+1(x)Pn(y)−Pn(x)Pn+1(y)x−y como Fn(x, y), entonces
Pn(x)Pn(y)
C0C1C2 · · ·Cn=Fn(x, y)− Fn−1(x, y)
x− y.
Si se aplica sumatoria a ambos lados con i = 0, 1, 2, · · · , n, se sigue
n∑k=0
Pk(x)Pk(y)
C0C1C2 · · ·Ck=
n∑i=0
Fk(x, y)− Fk−1(x, y)x− y
.
Dado que el lado derecho de la ecuación corresponde a una sumatoria telescópica, y debido
a las condiciones iniciales de los polinomios se sabe que F−1(x, y) = 0, por tanto
n∑k=0
Pk(x)Pk(y)
C0C1C2 · · ·Ck=Fn(x, y)
x− y=
1
C0C1C2 · · ·Cn· Pn+1(x)Pn(y)− Pn(x)Pn+1(y)
x− y.
Lo cual demuestra la identidad de Christoffel-Darboux. �
Definición 2.3 Sea E ⊂ (−∞,∞) un conjunto cerrado, un funcional de momentos L sedice que es definido positivo sobre E si y sólo si L(π(x)) > 0 para cada polinomio real π(x)
que es no negativo sobre E y no se hace cero sobre E. Este conjunto se denomina el soporte
de L y de denota por supp(L).
-
Caṕıtulo 3
Asintoticidad para Polinomios
ortogonales tipo Sóbolev
La teoŕıa planteada en los caṕıtulos anteriores se presentó con el fin de introducir el
presente caṕıtulo, dicha teoŕıa es necesaria para las definiciones y teoremas que se presentan
a partir de ahora. El presente caṕıtulo está basado en el art́ıculo [6], sin embargo, se toman
en consideración algunos conceptos y resultados de los art́ıculos [8, 9].
Definición 3.1 (Espacios Sóbolev, Wm,2(a, b) ) Sea (a, b) un intervalo abierto, se define
el espacio de Sóbolev como el conjunto
Wm,2(a, b) = {f ∈ L2(a, b) : f (k) ∈ L2(a, b); k = 0, 1, ..,m}, (3-1)
donde f (k) representa la k-ésima derivada de la función f , y Wm,2(a, b) ⊂ L2(a, b).
El espacio Wm,2(a, b) es muy importante para el estudio que se realiza, pues los sistemas or-
tonormales de polinomios estudiados aqúı se encuentran en el espacio de Sóbolev Wm,2(a, b).
Para poder definir los sistemas de polinomios ortogonales correspondientes a este estudio,
primero se introduce el producto interno definido en los espacios de Sóbolev.
Definición 3.2 Suponga que µk(k = 0, 1, 2, ...,m) son medidas positivas sobre el intervalo
abierto (a, b), entonces se define el producto interno tipo Sóbolev como
〈f, g〉 =m∑k=0
∫ ba
f (k)(x)g(k)(x)dµk(x),
donde f, g ∈ Wm,2(a, b).
A continuación se da el concepto de clases de Nevai, estas clases son importantes porque
la medida trabajada se encuentra en la clase de Nevai M(0, 1).
-
30 3 Asintoticidad para Polinomios ortogonales tipo Sóbolev
Definición 3.3 (Clases de Nevai M(s, r)) Sea r ≥ 0 y s ∈ R, se define la clase M(s, r)como
M(s, r) =
{{an, bn}∞n=0; an > 0, bn ∈ R| ĺım
n→∞an =
r
2∧ ĺım
n→∞bn = s
}. (3-2)
Se dice que una medida µ pertenece a la clase de Nevai M(s, r), si el sistema ortogonal de
polinomios {pn(x)} respecto a la medida µ cumple la relación de recurrencia de tres términoscuyos coeficientes son sucesiones que pertenecen a M(s, r), es decir
xpn(x) = an+1pn+1(x) + bnpn(x) + anpn−1(x). (3-3)
Además, si µ ∈ M(s, r) entonces, supp(µ) = [s − r, s + r] ∪ S donde S es un conjuntoacotado y enumerable con puntos de acumulación en {s− r, s+ r}.
Se considera desde ahora el caso donde el producto interno tipo Sóbolev está dado por
〈f, g〉 =∫ 1−1f(x)g(x)dµ(x) + λf ′(c)g′(c), (3-4)
donde c ∈ R, λ > 0, y µ ∈M(0, 1).
El producto interno con respecto a la medida µ está dado por
〈f, g〉µ =∫ 1−1f(x)g(x)dµ(x). (3-5)
3.1. Sistemas ortonormales de polinomios : Compara-
ción
Sea {pn(x)} (n = 0, 1, 2, ...) el sistema ortonormal de polinomios con respecto a la medidaµ, como µ pertenece a la clase Nevai M(0, 1), entonces se tiene que el sistema de polino-
mios {pn(x)} cumple la relación de recurrencia de tres términos (3-3) donde los coeficientessatisfacen las ecuaciones
ĺımn−→∞
an =1
2, ĺım
n−→∞bn = 0.
Por otro lado, se define el Kernel del sistema ortonormal de polinomios {pn(x)}, como
Kn(x, y) =n∑k=0
pk(x)pk(y). (3-6)
Al derivar la ecuación (3-6) anterior, se tienen las derivadas de primer y segundo orden
del Kernel, por tanto se introduce la siguiente notación
-
3.1 Sistemas ortonormales de polinomios : Comparación 31
K(1,0)n (x, y) =n∑k=0
p′k(x)pk(y) =∂
∂xKn(x, y), (3-7)
K(1,1)n (x, y) =n∑k=0
p′k(x)p′k(y) =
∂2
∂x∂yKn(x, y). (3-8)
A continuación, se presenta el teorema que expresa el sistema de polinomios {qn(x)} conrespecto al sistema de polinomios {pn(x)}.
Teorema 3.1 Sean qn = γ′nx
n + · · ·+ γ′1x+ γ′0 y pn(x) = γnxn + · · ·+ γ1x+ γ0, entonces secumple que
qn(x) =γ′nγnpn(x)− λq′n(c)K
(1,0)n−1 (c, x), (3-9)
donde
γ′nγn
=
√√√√1 + λK(1,1)n−1 (c, c)1 + λK
(1,1)n (c, c)
(3-10)
y
q′n(c) =p′n(c)√
(1 + λK(1,1)n−1 (c, c))(1 + λK
(1,1)n (c, c))
. (3-11)
Demostración
Como {pn(x)} representa una base para Pn entonces qn(x) se puede representar comocombinación lineal de dicha base, ésto es
qn(x) =n∑k=0
ak,npk(x). (3-12)
Se tiene que la expansión de Fourier de qn(x) en términos del sistema ortonormal {pn(x)},está dado por,
qn(x) =n∑k=0
ak,npk(x) =n∑k=0
〈qn(x), pk(x)〉µ pk(x), (3-13)
es decir,
ak,n =
∫ 1−1qn(x)pk(x)dµ(x) = 〈qn, pk〉 − λq′n(c)p′k(c).
Expandiendo (3-12), se sigue que
-
32 3 Asintoticidad para Polinomios ortogonales tipo Sóbolev
γ′0 + γ′1x+ · · ·+ γ′nxn = a0,np0(x) + a1,np1(x) + · · ·+ an,npn(x)
= a0,nγ11 + a1,n(γ12 + γ22x) + · · ·+ an,n(γ0 + γ1x+ · · ·+ γnxn).(3-14)
Igualando los coeficientes de los términos xn, entonces γ′n = γan,n es decir que cuando
k = n el coeficiente corresponde a an,n =γ′nγn
. Cuando k < n, ak,n = −λq′n(c)p′k(c) por laortogonalidad de los polinomios 〈qn, pk〉 = 0. Sustituyendo estos coeficientes en (3-12) setiene que
qn(x) =γ′nγnpn(x) +
n−1∑k=0
(−λq′n(c)p′k(c))pk(x)
=γ′nγnpn(x)− λq′n(c)
n−1∑k=0
p′k(c)pk(x)
=γ′nγnpn(x)− λq′n(c)K
(0,1)(n−1)(c, x),
lo cual verifica (3-9).
Ahora, de (3-13) multiplicando a ambos lados de la ecuación por qn(x) y definiendo el
producto interno de la medida µ,∫ 1−1q2n(x)dµ(x) =
∫ 1−1
n∑k=0
ak,npk(x)qn(x)dµ(x)
=n∑k=0
a2k,n.
(3-15)
Reemplazando los coeficientes ak,n en (3-15)∫ 1−1q2n(x)dµ(x) =
(γ′nγn
)2+
n−1∑k=0
(−λq′n(c)p′k(c))2
=
(γ′nγn
)2+ λ2[q′n(c)]
2
n−1∑k=0
[p′k(c)]2
=
(γ′nγn
)2+ λ2[q′n(c)]
2K(1,1)n−1 (c, c).
(3-16)
Tomando el producto interno de qn(x),
〈qn(x), qn(x)〉µ = 〈qn(x), qn(x)〉+ λ[q′n(c)]2,
aśı, al usar la ortonormalidad de qn(x) con su producto interno respectivo∫ 1−1q2n(x)dµ(x) = 1− λ[q′n(c)]2. (3-17)
-
3.1 Sistemas ortonormales de polinomios : Comparación 33
Igualando (3-16) y (3-17)
1− λ[q′n(c)]2 =(γ′nγn
)2+ λ2[q′n(c)]
2K(1,1)n−1 (c, c) (3-18)
[q′n(c)]2 =
1− (γ′n/γn)2
λ(1 + λK(1,1)n−1 (c, c))
. (3-19)
Por otro lado, si se deriva qn(x) en (3-12), y se toma x = c
q′n(x) =∂
∂x
(n∑k=0
ak,npk(x)
)
= ak,n
n∑k=0
p′k(x)
q′n(x) =n∑k=0
ak,np′k(c)
=γ′nγnp′n(c) +
n−1∑k=0
(−λq′n(c)p′k(c))p′k(c)
=γ′nγnp′n(c)− λq′n(c)K
(1,1)n−1 (c, c),
despejando se obtiene entonces
q′n(c) =(γ′n/γn)p
′n(c)
1 + λK(1,1)n−1 (c, c)
. (3-20)
Al elevar (3-20) al cuadrado e igualar con (3-18), entonces
(γ′n/γn)2[p′n(c)]
2
[1 + λK(1,1)n−1 (c, c)]
2=
1− (γ′n/γn)2
λ(1 + λK(1,1)n−1 (c, c))
,
y aśı despejando γ′n
γn, (
γ′nγn
)2=
1 + λK(1,1)n−1 (c, c)
1 + λK(1,1)n (c, c)
,
lo cual verifica (3-10).
Finalmente, reemplazando γ′n
γnen (3-20)
q′n(c) =p′n(c)√
(1 + λK(1,1)n−1 (c, c))(1 + λK
(1,1)n (c, c))
, (3-21)
ésto completa la demostración del teorema. �
-
34 3 Asintoticidad para Polinomios ortogonales tipo Sóbolev
3.2. Relación asintótica para c /∈ supp(µ)Con la intención de atender los propósitos del presente trabajo, esta sección presenta la
relación asintótica entre los sistemas de polinomios {pn(x)} y {qn(x)}, ya que ésta determinaque tan cerca está un sistema de polinomios del otro a medida que estos crecen considera-
blemente.
Teniendo en cuenta que µ ∈M(0, 1) entonces se tiene que supp(µ) = [−1, 1]∪E donde Ees un conjunto acotado y contable con puntos de acumulación en {−1, 1}.
También se cumplen las siguientes relaciones
ĺımn−→∞
pn−1(x)
pn(x)=
1
x+√x2 − 1
, (3-22)
ĺımn−→∞
1
n
p′n(x)
pn(x)=
1√x2 − 1
, (3-23)
ĺımn−→∞
p′n−1(x)
p′n(x)=
1
x+√x2 − 1
, (3-24)
uniformemente para x en conjuntos compactos de C \ supp(µ).
Teorema 3.2 Sea {qn(x)} el sistema ortonormal de polinomios para el producto interno(3-4), y sea {pn(x)} es sistema ortonormal de polinomios para la medida µ. Si µ ∈ M(0, 1)y c ∈ R \ supp(µ) entonces
ĺımn−→∞
qn(x)
pn(x)=
1
|c+√c2 − 1|
(1−
√c2 − 1
x+√x2 − 1
(x+√x2 − 1− (c+
√c2 − 1))
x− c
), (3-25)
uniformemente para x sobre subconjuntos compactos de C \ (supp(µ) ∪ {c}).
Demostración
De la relación (3-9) se tiene que
qn(x) =γ′nγnpn(x)− λ
γ′nγn
p′n(c)K(1,0)n−1 (c, x)
1 + λK(1,1)n−1 (c, c)
,
de esta forma sustituyendo en el ĺımite, se sigue que
ĺımn→∞
qn(x)
pn(x)= ĺım
n→∞
γ′nγn
(pn(x)
pn(x)− λ
p′n(c)K(1,0)n−1 (c, x)
(1 + λK(1,1)n−1 (c, c))pn(x)
). (3-26)
Se soluciona cada ĺımite, para ello primero se calcula ĺımn→∞γ′nγn
, ésto es
-
3.2 Relación asintótica para c /∈ supp(µ) 35
ĺımn→∞
γ′nγn
= ĺımn→∞
√√√√1 + λK(1,1)n−1 (c, c)1 + λK
(1,1)n (c, c)
=
√√√√ ĺımn→∞
1 + λK(1,1)n−1 (c, c)
1 + λK(1,1)n (c, c)
.
Para hallar el ĺımite se hace uso del criterio de Stolz parte b, ver en [3, pag; 378], para
ello se tiene que 1 + λK(1,1)n (c, c) es una sucesión estrictamente creciente, cuyo ĺımite tiende
a infinito, y además
ĺımn→∞
1 + λK(1,1)n (c, c)− (1 + λK(1,1)n−1 (c, c))
1 + λK(1,1)n+1 (c, c)− (1 + λK
(1,1)n (c, c))
= ĺımn→∞
λK(1,1)n (c, c)− λK(1,1)n−1 (c, c)
λK(1,1)n+1 (c, c)− λK
(1,1)n (c, c)
= ĺımn→∞
[p′n(c)]2
[p′n+1(c)]2
=
(ĺımn→∞
p′n(c)
p′n+1(c)
)2.
Haciendo uso de (3-22),
ĺımn→∞
1 + λK(1,1)n (c, c)− (1 + λK(1,1)n−1 (c, c))
1 + λK(1,1)n+1 (c, c)− (1 + λK
(1,1)n (c, c))
=
(1
c+√c2 − 1
)2.
Finalmente por criterio de Stolz
ĺımn→∞
1 + λK(1,1)n (c, c)− (1 + λK(1,1)n−1 (c, c))
1 + λK(1,1)n+1 (c, c)− (1 + λK
(1,1)n (c, c))
= ĺımn→∞
1 + λK(1,1)n−1 (c, c)
1 + λK(1,1)n (c, c)
=
(1
c+√c2 − 1
)2,
aśı se tiene que el ĺımite está dado por
ĺımn→∞
γ′nγn
=1
|c+√c2 − 1|
. (3-27)
Solucionando ahora
ĺımn→∞
λp′n(c)K(1,0)n−1 (c, x)
(1 + λK(1,1)n−1 (c, c))pn(x)
= ĺımn→∞
[p′n−1(c)]2λp′n(c)K
(1,0)n−1 (c, x)
[p′n−1(c)]2(1 + λK
(1,1)n−1 (c, c))pn(x)
= ĺımn→∞
λ[p′n−1(c)]2
(1 + λK(1,1)n−1 (c, c))
· ĺımn→∞
p′n(c)K(1,0)n−1 (c, x)
[p′n−1(c)]2pn(x)
,
usando la igualdad
λ[p′n−1(c)]2
(1 + λK(1,1)n−1 (c, c))
= 1−1 + λK
(1,1)n−2 (c, c)
1 + λK(1,1)n−1 (c, c)
-
36 3 Asintoticidad para Polinomios ortogonales tipo Sóbolev
y haciendo uso nuevamente del criterio de Stolz, como en el ĺımite anterior
ĺımn→∞
λ[p′n−1(c)]2
(1 + λK(1,1)n−1 (c, c))
= ĺımn→∞
1−1 + λK
(1,1)n−2 (c, c)
1 + λK(1,1)n−1 (c, c)
= 1− 1(c+
√c2 − 1)2
=c2 + 2
√c2 − 1 + c2 − 1− 1
(c+√c2 − 1)2
=2(c+
√c2 − 1)(
√c2 − 1)
(c+√c2 − 1)2
=2√c2 − 1
c+√c2 − 1
. (3-28)
Por otro lado, se tiene
ĺımn→∞
K(1,0)n−1 (c, x)p
′n(c)
[p′n−1]2pn(x)
,
de la fórmula de Christoffel-Darboux
Kn−1(x, c) =n−1∑k=0
pk(x)pk(c) = anpn(x)pn−1(c)− pn(c)pn−1(x)
x− c,
al derivar el kernel con respecto a c, entonces
K(1,0)n−1 (x, c) =
∂
∂canpn(x)pn−1(c)− pn(c)pn−1(x)
x− c
= an
[(x− c)(pn(x)pn−1(c)− pn(c)pn−1(x))′ − (pn(x)pn−1(c)− pn(c)pn−1(x))(x− c)′
(x− c)2
]= an
pn(x)p′n−1(c)− p′n(c)pn−1(x)
x− c+ an
pn(x)pn−1(c)− pn(c)pn−1(x)(x− c)2
.
Reemplazando esto en
ĺımn→∞
K(1,0)n−1 (c, x)p
′n(c)
[p′n−1(c)]2pn(x)
,
entonces
-
3.2 Relación asintótica para c /∈ supp(µ) 37
ĺımn→∞
K(1,0)n−1 (c, x)p
′n(c)
[p′n−1(c)]2pn(x)
=1
(x− c)ĺımn→∞
an[pn(x)p
′n−1(c)− p′n(c)pn−1(x)]p′n(c)
[p′n−1(c)]2pn(x)
+1
(x− c)2ĺımn→∞
an[pn(x)pn−1(c)− pn(c)pn−1(x)]p′n(c)
[p′n−1(c)]2pn(x)
=1
(x− c)ĺımn→∞
an
(pn(x)
pn(x)·p′n−1(c)
p′n−1(c)· p
′n(c)
p′n−1(c)− (p
′n(c))
2
(p′n−1(c))2· pn−1(x)pn(x)
)+
1
(x− c)2ĺımn→∞
an
(pn(x)
pn(x)· pn−1(c)p′n−1(c)
· p′n(c)
p′n−1(c)− pn(c)p′n−1(c)
· pn−1(x)pn(x)
· p′n(c)
p′n−1(c)
)=
1
(x− c)ĺımn→∞
an
(p′n(c)
p′n−1(c)− (p
′n(c))
2
(p′n−1(c))2· pn−1(x)pn(x)
)+
1
(x− c)2ĺımn→∞
an
(pn−1(c)
p′n−1(c)· p
′n(c)
p′n−1(c)− pn(c)p′n−1(c)
· pn−1(x)pn(x)
· p′n(c)
p′n−1(c)
)=
1
(x− c)ĺımn→∞
an
(p′n(c)
p′n−1(c)− (p
′n(c))
2
(p′n−1(c))2· pn−1(x)pn(x)
)+
1
(x− c)2ĺımn→∞
an
(n
n
pn−1(c)
p′n−1(c)
p′n(c)
p′n−1(c)− nn
pn−1(c)
pn−1(c)
pn(c)
p′n−1(c)
pn−1(x)
pn(x)
p′n(c)
p′n−1(c)
)=
1
(x− c)ĺımn→∞
an
(p′n(c)
p′n−1(c)− (p
′n(c))
2
(p′n−1(c))2· pn−1(x)pn(x)
)
+1
(x− c)2ĺımn→∞
an
1n 1p′n−1(c)npn−1(c)
p′n(c)
p′n−1(c)− 1n
1
p′n−1(c)
pn−1(c)
pn(c)
pn−1(c)
pn−1(x)
pn(x)
p′n(c)
p′n−1(c)
.
Aplicando (3-22), (3-23) y (3-24), y dado que ĺımn→∞ an =12,
ĺımn→∞
=K
(1,0)n−1 (c, x)p
′n(c)
[p′n−1(c)]2pn(x)
1
2(x− c)·(c+√c2 − 1− (c+
√c2 − 1)2 · 1
x+√x2 − 1
)+
1
(x− c)2
[(ĺımn→∞
1
n
)·(
1
2
√c2 − 1 · (c+
√x2 − 1)− (
√c2 − 1)(c+
√c2 − 1)2
x+√x2 − 1
)].
(3-29)
En vista que
ĺımn→∞
1
n= 0,
entonces (3-29) se reduce a
ĺımn→∞
K(1,0)n−1 (c, x)p
′n(c)
[p′n−1(c)]2pn(x)
=1
2·(
(c+√c2 − 1)[x+
√x2 − 1− c+
√c2 − 1]
(x+√x2 − 1)(x− c)
). (3-30)
-
38 3 Asintoticidad para Polinomios ortogonales tipo Sóbolev
Finalmente sustituyendo las ecuaciones (3-27), (3-28) y (3-30) en la ecuación (3-26),
ĺımn→∞
qn(x)
pn(x)=
1
|c+√c2 − 1|
·(1− −2
√c2 − 1
c+√c2 − 1
(c+√c2 − 1)
2(x+√x2 − 1)
(x+√x2 − 1− (c+
√c2 − 1))
x− c
)=
1
|c+√c2 − 1|
(1−
√c2 − 1
x+√x2 − 1
(x+√x2 − 1− (c+
√c2 − 1))
x− c
).
Puesto que los ĺımites son uniformes sobre x en subconjuntos compactos de C\(supp(µ)∪{c}),se concluye la demostración. �
Es notorio que la relación entre ambos sistemas de polinomios puede alejarse dependiendo
del punto c que se tome, es decir, que ambos sistemas pueden no acercarse a medida que n
tienda a infinito.
3.3. Relación asintótica para c ∈ supp(µ)En la sección anterior se estudió el comportamiento asintótico de los polinomios ortonor-
males {pn(x)} y {qn(x)} para un punto de masa que no se encuentra en el soporte.
Por otro lado, el estudio no es el mismo para un c que śı se encuentra en supp(µ). Por
tanto, esta sección establece un estudio para cuando c ∈ supp(µ).
Recordando que µ ∈M(0, 1), se tiene el siguiente resultado para x ∈ supp(µ)
ĺımn→∞
p2n(x)
Kn−1(x, x)= 0. (3-31)
Inicialmente el estudio para c ∈ supp(µ) requiere introducir otra medida µ2 distinta a µ.Se tiene que dµ2 = (x− c)2dµ(x), donde µ2 es absolutamente continua con respecto a µ.
De la relación expuesta en el parrafo anterior, se tiene como consecuencia de clases de
Nevai, que si µ ∈M(0, 1) entonces µ2 ∈M(0, 1).
Lema 3.1 Sea pn(x;µ2) el sistema ortonormal de polinomios con respecto a µ2 y denotando
su núcleo relacionado por Kn(x, y;µ2). Si pn(x) es el sistema ortonormal de polinomios con
respecto a µ y Kn(x, y) su núcleo, entonces
(x− c)pn−1(x;µ2) =
√Kn−1(c, c)
Kn(c, c)
(pn(x)−
pn(c)
Kn−1(c, c)Kn−1(x, c)
)(3-32)
-
3.3 Relación asintótica para c ∈ supp(µ) 39
y
(x− c)(y − c)Kn−1(x, y;µ2) = Kn(x, y)−Kn(x, c)Kn(y, c)
Kn(c, c). (3-33)
Demostración
Para comenzar la demostración se denota el espacio lineal de polinomios a lo más de
grado n como Pn, y dado que {pk(x;µ2)} es un sistema ortonormal de polinomios entoncesel sistema {(x− c)pk(x;µ2) : k = 0, 1, · · · , n− 1}∪{Kn(x, c)} representa una base ortogonalen L2(µ) para Pn. Es decir que en L2(µ) se tiene que
Pn = (x− c)Pn−1 ⊕⊥ L{Kn(x, c)} (3-34)= (x− c)Pn−2 ⊕⊥ L{Kn(x, c), (x− c)pn−1(x;µ2)}, (3-35)
donde L{f1, · · · , fk} denota al espacio lineal generado por las funciones f1, · · · , fk. Se sabetambién que {pk(x) : k = 0, 1, · · · , n}} es una base ortonormal en L2(µ) para Pn, puesto quees el sistema de polinomios para dicha medida, de lo cual se sigue la relación
Pn = Pn−1 ⊕⊥ L{pn(x)} (3-36)
que se mantiene en L2(µ).
De (3-34) se tiene que
Pn−1 = (x− c)Pn−2 ⊕⊥ L{Kn1(x, c)},
y al asociar esto con (3-36), se sigue que
Pn = (x− c)Pn−2 ⊕⊥ L{pn(x), Kn−1(x, c)}.
De esta forma, de lo anterior y de (3-35),
L{Kn(x, c), (x− c)pn−1(x;µ2)} = L{pn(x), Kn−1(x, c)}.
Por tanto, en particular, el polinomio (x − c)pn−1(x;µ2) puede ser representado comocombinación lineal de pn(x) y Kn−1(x, c), es decir que
(x− c)pn−1(x;µ2) = Apn(x) +BKn−1(x, c), (3-37)
para algún A,B ∈ R. Si se hace x = c en (3-37), se tiene entonces
(x− c)pn−1(x;µ2) = Apn(x) +BKn−1(x, c)0 = Apn(c) +BKn−1(c, c)
B = − Apn(c)Kn−1(c, c)
.
-
40 3 Asintoticidad para Polinomios ortogonales tipo Sóbolev
Con lo cual (3-37) se transforma en
(x− c)pn−1(x;µ2) = Apn(x)−Apn(c)
Kn−1(c, c)Kn−1(x, c). (3-38)
Y al aplicar el producto interno correspondiente a la medida µ a ambos lados de la igualdad,
entonces
〈(x− c)pn−1(x;µ2), (x− c)pn−1(x;µ2)〉µ = 〈Apn(x)−BKn−1(x, c), Apn(x)−BKn−1(x, c)〉µ(∫ 1−1
((x− c)pn−1(x;µ2))2dµ)1/2
=
(∫ 1−1
(Apn(x)−BKn−1(x, c))2dµ)1/2
(3-39)
(∫ 1−1
(pn−1(x;µ2))2dµ2
)1/2=
(∫ 1−1A2[pn(x)]
2 − 2Apn(x)BKn−1(x, c) +B2[Kn−1(x, c)]2dµ)1/2
.
(3-40)
Por ortonormalidad de los polinomios pk(x;µ2) entonces
(∫ 1−1
(pn−1(x;µ2))2dµ2
)1/2= 1,
de igual forma usando la ortonormalidad de pn(x),∫ 1−1A2[pn(x)]
2dµ = A2,
teniendo en cuenta que Kn−1(x, c) =∑n−1
i=0 pi(x)pi(c)
∫ 1−1−2Apn(x)BKn−1(x, c)dµ = 0
y ∫ 1−1B2[Kn−1(x, c)]
2dµ = B2Kn−1(c, c).
Sustituyendo los valores de éstas tres integrales en (3-40), se tiene que
1 =√A2 +B2Kn−1(c, c).
-
3.3 Relación asintótica para c ∈ supp(µ) 41
Reemplazando B = − Apn(c)Kn−1(c,c)
1 =
√A2 +
A2[pn(c)]2
[Kn−1(c, c)]2Kn−1(c, c)
= A
√1− [pn(c)]
2
[Kn−1(c, c)]2Kn−1(c, c)
= A
√Kn(c, c)
Kn−1(c, c).
Es decir que
A =
√Kn−1(c, c)
Kn(c, c).
Aplicando ésta igualdad en (3-38)
(x− c)pn−1(x;µ2) =
√Kn−1(c, c)
Kn(c, c)
(pn(x)−
pn(c)
Kn−1(c, c)Kn−1(x, c)
), (3-41)
lo cual demuestra (3-32).
Para demostrar (3-33) se tiene en cuenta que para un elemento y fijo (x−c)(y−c)Kn−1(x, y;µ2)−Kn(x, y) ∈ Pn, es decir que éste elemento se puede escribir como combinación lineal dadapor la base en (3-34), es decir
(x− c)(y − c)Kn−1(x, y;µ2)−Kn(x, y) =n−1∑i=0
ci(x− c)pi(x;µ2) + cnKn(x, c). (3-42)
Al multiplicar a ambos lados por (x− c)pk(x;µ2) y al aplicar la integral con respecto a lamedida µ
Si k < n, al multiplicar a ambos lados por (x− c)pk(x;µ2) y al aplicar la integral conrespecto a la medida µ
∫ 1−1
((x− c)(y − c)Kn−1(x, y;µ2)−Kn(x, y))(x− c)pk(x;µ2)dµ
=
∫ 1−1
(n−1∑i=0
ci(x− c)pi(x;µ2) + cnKn(x, c)
)(x− c)pk(x;µ2)dµ.
Por otro lado se tienen las siguientes consecuencias , usando la igualdad (3-32)
-
42 3 Asintoticidad para Polinomios ortogonales tipo Sóbolev
∫ 1−1Kn(x, c)(x− c)pk(x;µ2)dµ
=
∫ 1−1Kn(x, c)
√Kk(c, c)
Kk+1(c, c)
(pk+1(x)−
pk+1(c)
Kk(c, c)Kk(x, c)
)dµ
=
√Kk(c, c)
Kk+1(c, c)
(∫ 1−1Kn(x, c)pk+1(c)dµ−
∫ 1−1Kn(x, c)
pk+1(c)
Kk(c, c)Kk(x, c)dµ
)
=
√Kk(c, c)
Kk+1(c, c)
(pk+1(c)−
pk+1(c)
Kk(c, c)Kk(c, c)
)= 0
y
∫ 1−1
(n−1∑i=0
ci(x− c)pi(x;µ2)
)(x− c)pk(x;µ2)dµ =
∫ 1−1
(n−1∑i=0
cipi(x;µ2)
)pk(x;µ2)dµ2
= ck.
Por tanto los coeficientes ck están dados por
ck =
∫(x− c)2(y − c)Kn−1(x, y;µ2)pk(x;µ2)dµ(x)−
∫Kn(x, y)(x− c)pk(x;µ2)dµ(x).
De ∫(x− c)2(y − c)Kn−1(x, y;µ2)pk(x;µ2)dµ(x)
y usando dµ2 = (x− c)dµ, y la ortonormalidad de pk(x;µ2) con respecto a µ2∫(x− c)2(y − c)Kn−1(x, y;µ2)pk(x;µ2)dµ(x) =
∫(y − c)Kn−1(x, y;µ2)pk(x;µ2)dµ2(x)
= (y − c)pk(y;µ2).
Para
ck =
∫Kn(x, y)(x− c)pk(x;µ2)dµ(x),
aplicando nuevamente (3-32)
-
3.3 Relación asintótica para c ∈ supp(µ) 43
∫ 1−1Kn(x, y)(x− c)pk(x;µ2)dµ =
∫ 1−1Kn(x, y)
√Kk(c, c)
Kk+1(c, c)
(pk+1(x)−
pk+1(c)
Kk(c, c)Kk(x, c)
)dµ
=
√Kk(c, c)
Kk+1(c, c)
(∫ 1−1Kn(x, y)pk+1(c)dµ−
∫ 1−1Kn(x, y)
pk+1(c)
Kk(c, c)Kk(x, c)dµ
)
=
√Kk(c, c)
Kk+1(c, c)
(pk+1(y)−
pk+1(c)
Kk(c, c)Kk(y, c)
)= (y − c)pk(y;µ2).
Por tanto al reemplazar dichos valores
ck = (y − c)pk(y;µ2)− (y − c)pk(y;µ2) = 0, siempre que k < n.
Finalmente si se sustituyen los valores de ck en (3-42)
(x− c)(y − c)Kn−1(x, y;µ2)−Kn(x, y) = cnKn(x, c),
de lo anterior y haciendo x = c, entonces
cn = −Kn(c, y)
Kn(c, c).
Sustituyendo cn
(x− c)(y − c)Kn−1(x, y;µ2)−Kn(x, y) = −Kn(c, y)
Kn(c, c)Kn(x, c), (3-43)
por tanto,
(x− c)(y − c)Kn−1(x, y;µ2) = Kn(x, y)−Kn(c, y)
Kn(c, c)Kn(x, c), (3-44)
lo que demuestra (3-33), concluyendo aśı la demostración del lema. �
A continuación se demuestra la relación asintótica entre [p′n(c)]2 y su Kernel, este teo-
rema es útil para establecer el comportamiento asintótico entre {qn(x)} y {pn(x)} parac ∈ supp(µ).
Teorema 3.3 Suponga que µ ∈M(0, 1) y c ∈ [−1, 1] entonces
ĺımn→∞
[p′n(c)]2
K(1,1)n−1 (c, c)
= 0. (3-45)
-
44 3 Asintoticidad para Polinomios ortogonales tipo Sóbolev
Demostración
Como µ2 ∈M(0, 1) entonces de (3-31) se cumple también que
ĺımn→∞
p2n−1(c;µ2)
Kn−2(c, c;µ2)= 0. (3-46)
Al derivar (3-32) con respecto a x, entonces
∂
∂x(x− c)pn−1(x;µ2) =
∂
∂x
√Kn−1(c, c)
Kn(c, c)
(pn(x)−
pn(c)
Kn−1(c, c)Kn−1(x, c)
),
p′n−1(x;µ2) + (x− c)pn−1(x;µ2) =
√Kn−1(c, c)
Kn(c, c)
(p′n(x)−
pn(c)
Kn−1(c, c)K
(1,0)n−1 (x, c)
),
sustituyendo x = c
pn−1(c;µ2) =
√Kn−1(c, c)
Kn(c, c)
(p′n(c)−
pn(c)
Kn−1(c, c)K
(1,0)n−1 (c, c)
).
Realizando el mismo procedimiento con (3-33),
∂
∂x(x− c)(y − c)Kn−2(x, y;µ2) =
∂
∂xKn−1(x, y)−
Kn−1(x, c)Kn−1(y, c)
Kn−1(c, c),
(y− c)Kn−2(x, y;µ2) + (x− c)(y− c)K(1,0)n−2 (x, y;µ2)Kn−1(x, y)(1,0)−Kn−1(x, c)
(1,0)Kn−1(y, c)
Kn−1(c, c),
sustituyendo x = c
(y − c)Kn−2(x, y;µ2)+ = Kn−1(c, y)(1,0) −Kn−1(c, c)
(1,0)Kn−1(y, c)
Kn−1(c, c),
derivando con respecto a y
∂
∂y(y − c)Kn−2(x, y;µ2) =
∂
∂yKn−1(c, y)
(1,0) − Kn−1(c, c)(1,0)Kn−1(y, c)
Kn−1(c, c),
(y − c)K(0,1)n−2 (x, y;µ2) +Kn−2(x, y;µ2) = Kn−1(c, y)(1,1) −Kn−1(c, c)
(1,0)K(1,0)n−1 (y, c)
Kn−1(c, c).
Si se hace y = c, entonces se obtiene
Kn−2(c, c;µ2) = K(1,1)n−1 (c, c)−
[K(1,0)n−1 (c, c)]
2
Kn−1(c, c)6 K(1,1)n−1 (c, c),
-
3.3 Relación asintótica para c ∈ supp(µ) 45
al sustituir estos valores se tiene como consecuencia
p2n−1(c;µ2)
Kn−2(c, c;µ2)>Kn−1(c, c)
Kn(c, c)·
(p′n(c)− (pn(c)/Kn−1(c, c))K(1,0)n−1 (c, c))
2
K(1,1)n−1 (c, c)
. (3-47)
De dondeKn−1(c, c)
Kn(c, c)=
1
1 +p2n(c)
Kn−1(c, c)
.
Haciendo uso de (3-31)
ĺımn→∞
Kn−1(c, c)
Kn(c, c)= ĺım
n→∞
1
1 +p2n(c)
Kn−1(c, c)
= 1.
Si se hace uso de la desigualdad de Cauchy-Schwarz en la derivada con respecto a x del
kernel, entonces
|K(1,0)n−1 (c, c)|2 =∣∣∣∣ n−1∑i=0
p′i(c)pi(c)
∣∣∣∣2 6 K(1,1)n−1 (c, c)Kn−1(c, c),al aplicar ráız a ambos lados de la desigualdad y al despejar el kernel
|K(1,0)n−1 (c, c)|√K
(1,1)n−1 (c, c)
≤√Kn−1(c, c).
Como |pn(c)|Kn−1(c,c)
≥ 0, al multiplicar esto a ambos lados de la desigualdad anterior
|pn(c)|Kn−1(c, c)
|K(1,0)n−1 (c, c)|√K
(1,1)n−1 (c, c)
≤√Kn−1(c, c) ·
|pn(c)|Kn−1(c, c)
,
usando (3-31) y dado que
|pn(c)|Kn−1(c, c)
|K(1,0)n−1 (c, c)|√K
(1,1)n−1 (c, c)
≥ 0.
Entonces se concluye que
ĺımn→∞
|pn(c)|Kn−1(c, c)
|K(1,0)n−1 (c, c)|√K
(1,1)n−1 (c, c)
= 0.
Para concluir, se sigue de la ecuación (3-46), y de los ĺımites anteriores
-
46 3 Asintoticidad para Polinomios ortogonales tipo Sóbolev
ĺımn→∞
p2n−1(c;µ2)
Kn−2(c, c;µ2)> ĺım
n→∞
Kn−1(c, c)
Kn(c, c)·
(p′n(c)− (pn(c)/Kn−1(c, c))K(1,0)n−1 (c, c))
2
K(1,1)n−1 (c, c)
0 > ĺımn→∞
p′2n (c)
K(1,1)n−1 (c, c)
.
Puesto que p′2n (c)
K(1,1)n−1 (c,c)
≥ 0, se sigue que
ĺımn→∞
p′2n (c)
K(1,1)n−1 (c, c)
= 0.
Con lo cual se finaliza la demostración. �
Con las demostraciones anteriores expuestas en el presente caṕıtulo, ya se tienen los resul-
tados necesarios para probar la asintoticidad del cociente de ambos sistemas de polinomios
con c ∈ supp(µ). El siguiente teorema da dicha relación.
Teorema 3.4 Sea qn(x) = γ′nx
n+ · · · un sistema ortonormal de polinomios para el productointerno (3-4) y pn(x) = γnx
n + · · · un sistema ortonormal de polinomios con respecto a lamedida µ. Suponga que µ ∈M(0, 1) y c ∈ [−1, 1], entonces
ĺımn→∞
γ′nγn
= 1, (3-48)
y
ĺımn→∞
q′n(c)p′n(c) = 0. (3-49)
Además se tiene el comportamiento asintótico relativo
ĺımn→∞
qn(x)
pn(x)= 1, (3-50)
uniformemente para x sobre subconjuntos compactos de C \ supp(µ).
Demostración
Para demostrar (3-48), se parte de que
ĺımn→∞
γ′nγn
= ĺımn→∞
√√√√1 + λK(1,1)n−1 (c, c)1 + λK
(1,1)n (c, c)
,
para calcular el ĺımite a lado izquierdo se halla ĺımn→∞1+λK
(1,1)n−1 (c,c)
1+λK(1,1)n (c,c)
.
Usando (3-45)
-
3.3 Relación asintótica para c ∈ supp(µ) 47
ĺımn→∞
1 + λK(1,1)n−1 (c, c)
1 + λK(1,1)n (c, c)
= ĺımn→∞
1 + λK(1,1)n−1 (c, c)
K(1,1)n−1 (c, c)
1 + λK(1,1)n (c, c)
K(1,1)n−1 (c, c)
= ĺımn→∞
1
K(1,1)n−1 (c, c)
+λK
(1,1)n−1 (c, c)
K(1,1)n−1 (c, c)
1
K(1,1)n−1 (c, c)
+λK
(1,1)n