SOAL DAN SOLUSI PENYISIHAN
KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011
(90 menit)
1. Misalkan 39
9)(
x
x
xf . Maka nilai dari ...1996
1995...
1996
2
1996
1fff
a. 2
1995 b.
3
1995 c.
4
1995 d.
3
1996 e.
4
1996
Solusi :
39
9)(
x
x
xf
xx
x
xf93
3
39
9)1(
1
1
11)( xfxf
1996
998
1996
999
1996
997...
1996
1995
1996
1
1996
1995...
1996
2
1996
1ffffffff
2
1995
33
3997
2
1997.1
1996
1995...
1996
2
1996
1ffff
Jawaban : A
2. 5 ekor kambing memakan rumput seluas 5 kali ukuran lapangan bola dalam 5 hari. Maka hari yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali lapangan bola adalah ... a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6
Solusi :
5 ekor ~ 5 lapangan bola dalam 5 hari
1 ekor ~ 1 lapangan bola dalam 5 hari
Jadi , 3 ekor kambing dapat menghabiskan rumput seluas 3 kali lapangan bola dalam 5 hari. Jawaban : D
3. Pada kubus ABCD.EFGH , P adalah titik tengah FG dan Q adalah titik tengah EH. Jika Ѳ adalah sudut antara bidang ABGH dan bidang ABPQ , maka tan Ѳ adalah ...
a. b. c. d. e.
Solusi :
Misalkan AB = 2 , maka BP = dan BG = 2 Aturan kosinus (PG)2 = (PB)2 + (BG)2 – 2.PB.BG. cosѲ
1 = 5 + 8 - 2 . 2 cos Ѳ
1 = 13 - 4 cos Ѳ
Cos Ѳ =
1
3
Jadi , tan Ѳ =
Jawaban : C
4. Jika 111 1
2x , maka nilai
5 4 3 2004(2 2 53 57 54)x x x x adalah ...
a. -10 b.10 c.0 d.-1 e.1
F
Ѳ
P Q
Ѳ
Solusi :
111 1
2x 2 111 1x 2 1 111x ( Kuadratkan kedua ruas)
2
2
2
2
(2 1) 111
4 4 1 111
4 4 110 0
2 2 55 0...(1)
x
x x
x x
x x
Kalikan (1) dengan 3x ……. 5 4 3
2 2 55 0x x x …(2)
Kalikan (1) dengan x ……… 3 22 2 55 0x x x …(3)
Kalikan (1) dengan 1 …….. 22 2 55 0x x …(4)
Jumlahkan (2)(3)(4), maka diperoleh: 5 4 3
2 2 53 57 55 0x x x x 5 4 3 2004
(2 2 53 57 54)x x x x =5 4 3 2004
(2 2 53 57 55 1)x x x x
2004
2004
(0 1)
( 1)
1
Jawaban : E
5. Tentukan jumlah semua angka hasil penjabaran :
777.777.777.777.7772 – 222.222.222.222.2232
a. 148 b. 84 c. 74 d. 69 e. 79
Solusi :
prinsip: ))(()(22
bababa
000.000.000.000.000.554.555.555.555.555
)554.555.555.555.555)(000.000.000.000.000.1(
223.222.222.222.222777.777.777.777.77722
Maka, jumlah semua angkanya adalah (5x14)+(4x1) = 74 Jawaban : C
6. Segitiga ABC siku-siku di C. Garis bagi dalam sudut BAC dan ABC memotong sisi BC dan CA
berturut-turut di titik P dan Q. Titik M dan N masing-masing terletak pada sisi AB sehingga PM dan QN tegak lurus AB. Tentukan besar ∠MCN. a. 150 b.300 c.450 d.600 e.750
Solusi :
Dibuat CL dengan L terletak pada AB sehingga CL tegak lurus AB. Segitiga-segitiga ΔACB, ΔANQ, ΔALC, ΔCLB dan ΔPMB semuanya sebangun. Misalkan ∠MCL = x Karena PM sejajar CL maka ∠MCL = ∠PMC = x Pada ΔAPC dan APM, ketiga sudut segitiga tersebut sama serta AP merupakan hipotenusa kedua segitiga sehingga ΔAPM dan ΔAPC kongruen (sama dan sebangun). � PC = PM Karena PC = PM maka ΔCPM sama kaki. � ∠PCM = ∠PMC = ∠MCL = x Misalkan ∠NCL = y Karena QN sejajar CL maka ∠NCL = ∠QNC = y Pada ΔBQC dan BQN, ketiga sudut segitiga tersebut sama serta BQ merupakan hipotenusa kedua segitiga sehingga ΔBQN dan ΔBQC kongruen (sama dan sebangun). � QC = QN Karena QC = QN maka ΔCQN sama kaki. � ∠QCN = ∠QNC = ∠NCL = y ∠MCN = ∠MCL + ∠NCL ∠MCN = ½ (∠BCL + ∠ACL) ∠MCN = ½ ∠ACB
∠MCN = 45o
Jawaban : C
7. B-1 adalah invers matriks B . Jika B = ( ) dan AB-1 = ( ). Determinan matriks
A adalah …. a. 1 b. 8 c. 27 d.32 e. 64
Solusi :
|B| = 1 3 -1 1 3 2 1 0 2 1
1 0 2 1 0 = ( 2 + 0 + 0 ) – ( -1 + 0 (2)) = -9 |AB-1| = 2 -1 1 2 -1 -1 1 0 -1 1 0 1 -2 0 1 = (-4 + 0 -1 ) – ( 0 + 0 – 2 ) = -3 |AB-1| = |A| |B-1|
|AB-1| = |A| . maka |A| = |AB-1| . |B|
= (-3) x (-9) = 27 Jawaban : C
8. Tentukan nilai minimum dari 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 dengan tiap – tiap “0” artinya “+” atau “kali” . a. 36 b. 40 c. 44 d. 45 e. 84
Solusi :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 1 x 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44 Maka nilai minimum yang didapat 44 Jawaban : C
9. Suatu segitiga sisi-sisinya 4, 6, . Luas segitiga itu adalah..
a. b. c. d. e.
Solusi :
S = (a+b+c) = (4+6+4 ) = 5 +
L =
=
=
=
= Jawaban : B
10. Jika diketahui f(x)=2x+1 dan g(f(x))=x2+3x+1, berapakah g(3)? a. 71 b. 19 c. 11 d. 5 e. 0
Solusi :
g(f(x)) = x2+3x+1 g(2x+1) = x2+3x+1 g(3) = 12 + 3 . 1 + 1 = 5 Jawaban : D
11. ( 1- ) ( 1- ) ( 1- ) … ( 1- ) = …
a. b. c. d. e.
Solusi :
. . … . =
Jawaban : C
12. Jika S = 1! + 2! + 3! + … + 99!, maka angka satuan dari S adalah … a. 9 b. 8 c. 5 d. 3 e. 0
Solusi :
1! = 1 2! = 2 . 1 = 2 3! = 3 . 2 .1 = 6 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 Maka angka satuan dari S adalah 1 + 2 + 6 + 4 = 13
Jawaban : D
13. = …
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
Solusi :
. = = = 1
Jawaban : A
14. Jika 3log4 = a dan 3log5 = b, maka 8log20 = …
a. b. c. d. e.
Solusi :
8log20 = (3log20) / (3log8) = (3log4 + 3log5) / (3log2 + 3log4)
=
= =
Jawaban : E
15. Uang Pecahan 1000-an sebanyak 500 lembar dibagi ke lima orang sebanyak a1, a2, a3, a4, a5, dimana
a1 > a2 > a3 > a4 > a5.
(2a2 – a1)(2a3 – a2)(2a4 – a3)(2a5 – a4)(2a5 – a1) adalah prima. Sisa uangnya ditabung. Ternyata,
sisa uangnya yang ditabung juga prima. Berapakah banyak uangnya yang ditabung?
a. Rp 127.000,00 c.Rp 373.000,00 e.Rp 311.000,00
b.Rp 187.000,00 d. Rp 137.000,00
Solusi :
Misal :
a1 = X
Maka
a2 = 2X - 1
a3 = 4X – 3
a4 = 8X – 7
a5 = 16X – 15
karena 2a5 – a1 = prima (diketahui)
Maka
32X – 30 – X = prima
31X – 30 = prima
X ≠ 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30
X terkecil = 7
Tapi 31X – 30 = 187 = 11 x 17
X selanjutnya = 11
341 – 30 = 311 prima
Namun sisanya 189 bukan prima
X selanjutnya = 13
403 – 30 = 373 prima
Sisanya = 127 prima
Jadi, yang ditabung : Rp 127.000,00
Jawaban : A
16. Berdasarkan deret bilangan berikut, tentukan urutan selanjutnya!
3, 1, 1, 9, 31, 73, …
a. 121 c.141 e.161
b. 131 d.151
Solusi :
3 1 1 9 31 73
(-1)3 (0)3 13 23 33 43 -1 0 1 8 27 64 125
(-2)2 (-1)2 02 12 22 32 4 1 0 1 4 9 16 +
3 1 1 9 31 73 141
n3 + (n – 1)2
Jawaban : C
17. Jika lim aX + b – X1/2 = 3 X 4 X – 4 4
Nilai a + b sama dengan …
a. 3 c. 1 e. -1
b. 2 d. 0
Solusi :
(1). aX + b - X1/2 bernilai 0 untuk X = 4.
Jadi : 4a + b – 2 = 0 b = 2 – 4a
(2). lim aX + b – X1/2 = 3 X 4 X – 4 4
lim aX- 4a + 2 – X1/2 = 3 X 4 X – 4 4
lim a(X – 4) (X1/2 – 2) 3 X 4 X – 4 (X1/2 – 2) (X1/2 + 2) = 4
a = ¼ + ¾ maka a = 1
b = 2 – 4.1 = -2
Jadi, a + b =1 + (-2) = -1
Jawaban : E
18. Hitunglah nilai x jika :
X =
a. 14 atau 24 c. 0 atau 14 e. 0 atau 34
b. 0 atau 24 d. 14 atau 34
Solusi :
+ =
=
=
. =
= 2
= 2
(2 )2 + 4(3x + 4) = 4 (3x - 4) + 4 ( 3x + 4 )
= 4 (6x)
= 24 x
X =
X2 = 24 x
Jadi x = 24 atau x = 0
Jawaban = B
19. Nilai cos 22.50 – sin 22.50 cot 11.250 sama dengan …..
a. √2 + 1 b. √2 - 1 c. 0 d. 1 e. -1
Jawaban = E
Solusi :
cos 22.50 – sin 22.50 cot 11.250 = 22.50 – sin 22.50 cos 11.250
sin 11.250
= sin 11.250 cos 22.50 – cos 11.250 sin 22.250
sin 11.250
= sin (11.250 – 22.50) = - sin11.250 = -1
Sin 11.250 sin 11.250
20. Matriks B adalah invers matriks A, matriks D adalah invers matriks C dan A . B . C = D, maka yang merupakan matriks identitas adalah… a. A2 b. B2 c. C2 d. D2 e. A . C2
Solusi :
B = A-1 maka AB = I D = C-1 maka CD = I ABCD = I. Karena ABC =D, maka (ABC) D = I D2 = I
Jawaban : D
21. Daftar distribusi frekuensi di bawah ini menunjukkan hasil tes matematika pada 30 siswa. Yang berhasil adalah siswa yang memperoleh nilai kebih dari 52,5 maka banyaknya siswa yang berhasil …..
a. 20 orang b. 21 orang c. 23 orang d. 24 orang e. 25 orang
Nilai Frekuensi
21-30 1
31-40 1
41-50 3
51-60 10
61-70 8
71-80 5
81-90 2
Solusi :
Langkah 1 : Xk = 52,5 terletak pada kelas 51-60
Dengan demikian :
Tb – 51 – 0,5 = 50,5 ; ∑fs = 1 + 1 + 3 = 5
f(Xk) = 10 ; dan C = (60 – 51) + 1 = 10
Langkah 2 : Xk = Tb + k - ∑fs . C f(Xk)
52,5 = 50,5 + k – 5 . 10 10
52,5 = 50,5 + k – 5 maka k = 7
Kesimpulan : Yang mendapat nilai < 52,5 sebanyak 7 orang (tidak lulus). Berarti yang lulus sebanyak
(30 – 7) = 23 orang.
Jawaban : C
22. Misalkan m dan n bilangan bulat positif yang memenuhi
Berapakah m2 + n2 ? a. 100 b. 200 c. 300 d. 400 e. 500
Solusi :
Didapat m = 2, n = 14 jadi m2 + n2 = 22 + 142 = 4 + 196 = 200
Jawaban : B
23. . = … a. 0 b. 1 c. 2 d. x e. x2
Solusi :
. . =
. . =
=
=
= 1
Jawaban : B
24. Jika a = 0,111111.… dan b = 0,333333.… ,maka nilai dari (a log b) adalah…
a. b. c. 1 d. 2 e. 3
Solusi :
a = 0,111111…. = = 3-2
b = 0,333333…. = = 3-1
a log b = = ½
Jawaban : B
25. Persegi panjang ABCD, AB = 4 dan BC = 6. Persegi panjang tersebut dilipat sepanjang diagonal BD. Titik P pada AD di mana AD dan lipatan BC berpotongan (lihat gambar di bawah), maka tentukan luas ΔBPD !!
Solusi :
A P D
B C
Maka, luas ΔBPD = luas ΔBAD – luas ΔBAP
=
Maka luas ΔBPD = luas ΔBAD – luas ΔBAP
=
=
A P D
B C
a.
b.
c.
d.
e.
β
β
α
α
θ
θ
β = tan-1 ( ) = 56,31o
α = tan-1 ( ) = 33,69o
θ = β – α = 56,31o - 33,69o = 22,62o
γ = 180o – 90o – θ = 180o – 90o – 22,62o = 67,38o
Menggunakan Aturan Sin :
P D
X = 1,6667 = 1
γ θ
γ γ
Jawaban : B
26. - = 3
+ = 1
Tentukan penyelesaian dari persamaan diatas:
a. x=2, y=1 b. x=-2, y=1 c. x=2, y=-1 d.x=-1, y=-2 e. x=1, y=2
Solusi :
mis : a =
b =
52a – 4b = 3
4a + 2b = 1 a = , b =
2x-3y+5 = 12
3x+2y-1 = 1 x = 2, y = -1
Jawaban : C
27. + x dan y mempunyai pangkat yang sama pada suku ke -…
a. 9 b. 10 c. 11 d. 12 e. 13
Solusi :
+ = . + .
Andaikan x dan y mempunyai pangkat yang sama pada suku ke k + 1, maka :
. . . = . . . = .
21
21 21
21 - k k
Pangkat x = Pangkat y
=
63 = 7k
Maka, k = 9
Jadi, k + 1 = 9 + 1 = 10
Jawaban : B
28. Sisa 31990 jika dibagi 41 adalah ….
b. 31 b. 32 c. 21 d. 22 d. 11
31990 34 x 497 + 2 mod (41)
(34)497 x 32 mod (41)
(2 x 41 – 1)497 x 9 mod (41)
(-1)497 x 9 mod (41)
-9 mod (41)
(41 – 9) mod (41)
32 mod (41)
Jadi, sisa 31990 jika dibagi 41 adalah 32.
Jawaban : B
29. Sebuah bola tennis dijatuhkan dari ketinggian 7,5 m dan memantul kembali dengan ketinggian 4/5
kali tinggi semula.Pemantulan terjadi terus-menerus sampai bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan
bola yang terjadi adalah ….
a. 45 m b. 47,5 m c. 67,5 m d. 75 m e. 55 m
Solusi :
S = 7,5 + 2 6 + 24/5 + 96/25 + …
= 7,5 + 2 6 = 7,5 + 2 . 30 = 67,5 m
1 – 4/5
Jawaban : C
30. Suatu bilangan X terdiri dari dua angka. Jika bilangan itu ditambah dengan 45, didapat bilangan yang
terdiri dari dua angka itu juga dalam urutan terbalik. Jika diantara angka puluhan dan satuan
disisipkan angka 0 maka diperoleh bilangan yang nilainya 7 2/3 kali nilai bilangan X . Bilangan X itu
adalah ….
a. 16 b. 27 c. 38 d. 75 e. 55
Solusi :
Misalkan bilangan itu ab, maka :
ab + 45 = ba a0b = 7 2/3 x ab
10a + b + 45 = 10b + a 100a + b = 23/3 (10a + b)
a = b -5 300a + 3b = 230a + 23b
70a = 20b
7a = 2b
7 (b-5) = 2b
7b – 35 = 2b, maka b = 7
a = 2
jadi bilangan X itu adalah 27
Jawaban : B
31. Pada dasar sebuah tong terdapat 3 buah kran. Dari keadaan penuh, dengan membuka keran
pertama dan kedua saja, tong itu dapat dikosongkan dalam waktu 70 menit ; jika yang dibuka keran
pertama dan keran ketiga saja, tong itu kosong dalam waktu 84 menit ; jika yang dibuka keran kedua
dan ketiga saja, tong itu kosong dalam waktu 140 menit. Jika ketiga keran dibuka secara bersamaan,
tong dapat dikosongkan dalam waktu ….menit
a. 45 b. 50 c. 55 d. 60 e. 65
Solusi :
v1 + v2 = x/70
v1 + v3 = x/84
v2 + v3 = x/140
+
2 (v1 + v2 +v3) = x/70 + x/84 + x/140
2 (v1 + v2 +v3) = 6x/420 + 5x/420 + 3x/420 = 14x/420 = x/30
v1 + v2 +v3 = x/60
jadi jika ketiga keran itu dibuka bersama, maka tong dapat dikosongkan dalam waktu 60 menit.
Jawaban : D
32. Suatu garis dengan kedua titik ujungnya pada ellips disebut tali busur ellips. Salah satu tali busur
ellips 25x2 + 4y2 = 100 mempunyai titik tengah (1,-4). Persamaan tali busur tersebut adalah ….
a. 3x - 2y -11 = 0
b. 5x - 4y - 21 = 0
c. 8x - 5y - 28 = 0
d. 25x - 4y - 41 = 0
e. 25x - 16y - 89 = 0
Solusi :
25x2 + 4y2 = 100
50x + 8y y’ = 0
50. 1 + 8 . -4 . y’ = 0 maka m = y’ = 25/16
Persamaan tali busur : y –y1 = m (x – x1)
y + 4 = 25/16 (x - 1)
16y + 64 = 25x – 25
25x – 16y -89 = 0
Jawaban : E
33. Diketahui segitiga ABC dengan sin A : sin B : sin C = 7 : 8 : 9, maka tentukanlah nilai dari
cos A : cos B : cos C !!
a. 7:8:9 b. 9:8:7 c. 14:11:6 d. 6:11:14 e. 18:16:14
Solusi :
Karena = = , maka sin A : sin B : sin C = a : b : c a=7, b=8, c=9
cos A = = 14
cos B = = 11
cos C = = 6
cos A : cos B : cos C = 14 : 11 : 6
Jawaban : C
34. Jika tan 15o = p. Nilai dari = …
a.
b.
c.
d.
e.
Solusi :
= = =
Jawaban : E
35. Nilai (sin . sin . sin . sin ) sama dengan..
a.
b.
c.
d.
e.
Solusi :
, maka
sin . sin . sin . sin = sin . sin . sin
= . . sin
= .
= .
=
=
Jawaban : B
36. Ingkaran dari ”Ada peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 yang tidak suka belajar
Matematika” adalah…
a. Ada peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 yang suka belajar Matematika
b. Semua peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 suka belajar Matematika
c. Semua peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 tidak suka belajar
Matematika
d. Beberapa peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 suka belajar Matematika
e. Beberapa peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 tidak suka belajar
Matematika
Solusi :
Ingkaran dari ada semua
Ingkaran dari tidak suka suka
Jadi,
Ingkaran dari ”Ada peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 yang tidak suka belajar
Matematika” adalah :
Semua peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 2011 suka belajar Matematika
Jawaban : B
37. Batasan nilai h agar titik R (h, -1) yang terletak di luar lingkaran
x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 adalah…
f. -1 < h < 5
g. -5 < h < 1
h. h < -5 atau h>1
i. h < -1 atau h > 5
j. h < -1 atau h < 5
Solusi :
Persamaan Lingkaran
x2 + y2 - 4x + 2y – 4 = 0
Titik R (h, -1) terletak di luar lingkaran
h2 + (-1)2 – 4(h) + 2(-1) – 4 > 0
h2 + 1 – 4h – 2 – 4 > 0
h2 – 4h – 5 > 0
(h – 5)(h + 1) > 0
h < -1 atau h > 5
Jadi, batasan nilai h adalah h < -1 atau h > 5
Jawaban : D
-1 5
38. Berapakah koordinat titik pada garis penghubung A(2, 0, 6) dan B(2, 4, 6) di dalam dengan
perbandingan 3 : 1 ?
a. (2, 6, 3) b. (6, 2, 3) c. (3, 6, 2) d. (2, 3, 6) e. (3, 2, 6)
Solusi :
Misalkan titik tersebut adalah C, maka
AC : CB = 3 : 1
Koordinat titik C adalah
39. Jika y = | cos x | maka dy/dx = ….
a. - | sin x | b. – sin x c. d. e. |sin x |
Solusi :
y = | cos x | maka y2 = cos2 x
2y y’ = 2 cos x . (-sin x)
y’ = =
Jawaban : D
2
4
6
2
0
6
3 1 +
3 + 1
C = =
2
3
6
Jadi, koordinat titik C = (2, 3, 6)
Jawaban : D
40. x dan y bilangan nyata, x > 1999 dan y > 2000. Jika 1999 +
2000 = ½ (x2 + y2), maka nilai x + y = ….
a. 3999
b. 3999
c. 7998
d. 7998
e. 3999
Solusi :
1999 + 2000 = ½ (x2 + y2)
2. 1999 + 2.2000 = (x2 + y2)
Misalkan x2 – 19992 = a2 dan y2 – 20002 = b2
Maka 2.1999a + 2.2000b = a2 + 19992 + b2 + 20002
a2 - 2.1999a + 19992 + b2 - 2.2000b + 20002 = 0
(a - 19992) + (b - 20002) = 0, haruslah :
a = 1999 dan b = 2000
x2 – 19992 = 19992 maka x = 1999
y2 – 20002 = 20002 maka y = 2000
jadi, x + y = 1999 + 2000 = 3999
Jawaban : A