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Sistemi in moto relativo traslazionale
Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante
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Il caso unidimensionale (traslazione dei sistemi di riferimento e moto dei corpi nella stessa direzione)
Il caso bidimensionale (traslazione dei sistemi di riferimento e moto dei corpi nel piano)
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Jill e Jack stanno viaggiando nello stesso pulman. Jill vede Jack fermo rispetto a se stessa e rispetto al pulman e lo stesso è per Jack.
Sistemi di riferimento in moto traslazionale: il caso unidimensionale
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Jill e Jack stanno viaggiando nello stesso pulman. Jill vede Jack fermo rispetto a se stessa e rispetto al pulman e lo stesso è per Jack.
Un osservatore che vede passare il pulman attribuisce a Jill e Jack la stessa velocità del pulman (25 mph)
Il caso unidirezionale
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Jill lancia ora a Jack un dolce a 30mph.
Un’osservatrice che cammina in bicicletta nella stessa direzione del pulman a 10mph dirà che Jill e Jack hanno una velocità pari a 25-10=15mph mentre il dolce ha la velocità di 30+25-10=45mph
Passare da un sistema di riferimento ad un altro (fiume, uomo che cammina, barche)
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Il caso unidirezionale (trattazione quantitativa)
Poiché tutto avviene in un’unica direzione le grandezze in gioco possono essere trattate come grandezze scalari.Se si indica con xa la posizione del corpo in movimento (biscottino,
Jill o Jack) rispetto ad un sistema di riferimento fisso (detto anche assoluto), con xr la stessa posizione ma rispetto al sistema di
riferimento in moto, cioè solidale con il pulman, (detto sistema relativo) e con xo la posizione del sistema relativo rispetto a quello
assoluto si ha:
xa
xrxo
xrxa xo= +
vrva vo= +derivando
araa ao= +
Derivando ancora
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araa ao= +
Si osservi che l’accelerazione osservata nel sistema di riferimento relativo è diversa da quella osservata nel sistema assoluto. Si può infatti ricavare facilmente
ar ao= aa+
Nei due sistemi di riferimento si osserveranno variazioni diverse della velocità.Da tutto ciò nascono le così dette forze fittizie.
-
![Page 10: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/10.jpg)
![Page 11: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/11.jpg)
Cosa succede in treno
Cosa succede in autoSenza cinture Con cinture
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Sistemi di riferimento in moto traslazionale: il caso bidimensionale
In questo caso tutte le relazioni precedenti vanno scritte in forma vettoriale
rrra ro= +
vrva vo= +
araa ao= +
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Occorre osservare che le traiettorie dei corpi nei due sistemi di riferimento appaiono completamente diverse, anche se il sistema relativo non è accelerato rispetto a quello assoluto.
Caso di un corpo che si muove con accelerazione costante (oggetto lasciato cadere dal treno)
Ancora un esperimento lungo il fiume (caso bidimensionale)
Un esperimento reale
Caso di un corpo che si muove con accelerazione costante (oggetto lasciato cadere da un aereo)
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Si osservi che le traiettorie del corpo appaiono diverse nei due sistemi di riferimento, in questo come in tutti gli altri esempi precedenti.Poiché in tutti i casi fin qui esaminati il sistema di riferimento realtivo ha accelerazione nulla rispetto a quello assoluto, in entambi verranno osservate le stesse accelerazioni (ossia entrambi gli osservatori diranno che i corpi hanno accelerazione g rivolta verso il basso.
![Page 15: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/15.jpg)
E’ noto che quando una barca attraversa un fiume, la corrente di questo trascina la barca.
Moto di una barca in un fiume (attraversamento)
![Page 16: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/16.jpg)
X
Y
i
j
Y’
X’i’
j’
Velocità angolare costanteQuando il sistema di riferimento relativo ruota l’operazione di derivazione sui vettori e risulta più complicata poiché varia anche l’orientazione dei versori
rr vr
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X
Y
i
j
Y’
X’
i’j’
Velocità angolare costanteQuando il sistema di riferimento relativo ruota l’operazione di derivazione sui vettori e risulta più complicata poiché varia anche l’orientazione dei versori
rr vr
![Page 18: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/18.jpg)
X
Y
i
j
Y’
X’
i’j’
Velocità angolare costanteQuando il sistema di riferimento relativo ruota l’operazione di derivazione sui vettori e risulta più complicata poiché varia anche l’orientazione dei versori
rr vr
![Page 19: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/19.jpg)
X
Y
i
j
Y’
X’
i’j’
Velocità angolare costanteQuando il sistema di riferimento relativo ruota l’operazione di derivazione sui vettori e risulta più complicata poiché varia anche l’orientazione dei versori
rr vr
![Page 20: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/20.jpg)
X
Y
i
j
Y’ X’
i’j’
Velocità angolare costanteQuando il sistema di riferimento relativo ruota l’operazione di derivazione sui vettori e risulta più complicata poiché varia anche l’orientazione dei versori
rr vr
![Page 21: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/21.jpg)
X
Y
i
j
Y’ X’
i’j’
Supponendo che il sistema di riferimento ruoti senza traslare attorno all’asse z si può dimostrare che:
ra vrωv
rra avω2)rω(ωa
Le equazioni scritte appaiono complicate ma vedremo più semplicemente il loro significato
![Page 22: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/22.jpg)
ra vrωv
Spieghiamo prima il significato della realazione
ω
È il vettore velocità angolare il cui modulo è stato già definito e la cui direzione e verso sono riportate in figura
ω
ω
È il simbolo di prodotto vettoriale
Definizione di prodotto vettoriale: dati due vettori e il vettore risultante dal prodotto ha modulo direzione perpendicolare al piano individuato da e e verso stabilito tramite la regola della mano destra.
ω
ωrω
senθr ω
r
r
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Come un corpo a riposo appare muoversi in un sistema di riferimento che ruota (nell’applet porre la velocità del corpo = 0)
Nell’applet che precede si è visto che un corpo fermo in un sistema di riferimento assoluto appare ruotare in un sistema di riferimento relativo in direzione contraria a quella del sistema relativo. Infatti:
ω
r rω
rvrω0
rωv
r
Si osservi che il modulo è r
X Y
È la velocità angolare con la quale ruota il sistema di riferimento
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rra avω2)rω(ωa
Spieghiamo ora i vari termini della relazione
ω
rω
Si osservi che il modulo è r
)rω(ω
Si osservi che il modulo è r
)rω(ω
Questo termine rappresenta accelerazione centripeta ed è sempre presente anche se il corpo è fermo nel sistema relativo.
È la velocità angolare con la quale ruota il sistema di riferimento
X Y
![Page 25: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/25.jpg)
rra avω2)rω(ωa
Spieghiamo ora i vari termini della relazione
Questo termine è detto accelerazione di Coriolis ed è presente quando il corpo è in moto nel sistema relativo.rvω2
rv
Si osservi che è sempre perpendicolare a vr perciò produce una rotazione
rvω2
ω
È la velocità angolare con la quale ruota il sistema di riferimento
X Y
![Page 26: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/26.jpg)
rra avω2)rω(ωa
Spieghiamo ora i vari termini della relazione
Una palla su una giostra
rar vω2)rω(ω aa
Le accelerazioni viste nel sistema relativo saranno
Accel. centrifuga Accel. di Coriolis apparirà col verso invertito
Effetti dell’accelerazione di Coriolis
![Page 27: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/27.jpg)
Come appare un moto rettilineo rispetto ad unSistema di riferimento che ruota
Come appare un moto di rivoluzione rispetto ad un sistema di riferimento in rotazione
![Page 28: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/28.jpg)
Come appare un moto rettilineo rispetto ad unSistema di riferimento che ruota
Come appare un moto di rivoluzione rispetto ad un sistema di riferimento in rotazione
![Page 29: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/29.jpg)
I tornado
Il moto dei pianeti nel sistema copernicano
Il moto dei pianeti nel sistema tolemaico
![Page 30: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/30.jpg)
Passare da un sistema di riferimento ad un altro (fiume, uomo che cammina, barche)
Esercizi sul moto circolare
Caso in cui la velocità del corpo è perpendicolare a quella del sistema di riferimento
Un oggetto lasciato cadere dal treno
![Page 31: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/31.jpg)
Moto di una barca in un fiume (attraversamento)
Come appare un moto rettilineo rispetto ad unSistema di riferimento che ruota (accelerazione di Coriolis)
Come appare un moto di rivoluzione rispetto ad un sistema di riferimento in rotazione
![Page 32: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/32.jpg)
Sistemi di riferimento in rotazione 1
Sistemi di riferimento in rotazione 2
Sistemi di riferimento in rotazione 1
![Page 33: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/33.jpg)
![Page 34: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/34.jpg)
![Page 35: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/35.jpg)
Jill e Jack stanno viaggiando nello stesso pulman. Jill vede Jack fermo rispetto a se stessa e rispetto al pulman e lo stesso è per Jack.
![Page 36: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/36.jpg)
Jill e Jack stanno viaggiando nello stesso pulman. Jill vede Jack fermo rispetto a se stessa e rispetto al pulman e lo stesso è per Jack.
Un osservatore che vede passare il pulman attribuisce a Jill e Jack la stessa velocità del pulman (25 mph)
![Page 37: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/37.jpg)
Jill lancia ora a Jack un dolce a 30mph.
Un’osservatrice che cammina in bicicletta nella stessa direzione del pullman a 10mph dirà che Jill e Jack hanno una velocità pari a 25-10=15mph mentre il dolce ha la velocità di 30+25-10=45mph
A
xa
xrxo
xrxa xo= +
vrva vo= +
derivando A
![Page 38: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/38.jpg)
Elettromagnetismo e velocità della luce
Esperimenti sulla velocità di propagazione delle luce
Verso una nuova relatività
![Page 39: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/39.jpg)
La velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche
nel vuoto è:
c=300.000 Km/s
00
1
c A
T
λc
La lunghezza d’onda ed il
periodo sono legati insieme dalla relazione:
![Page 40: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/40.jpg)
La Terra gira intorno al proprio asse alla velocità di 1100 km/hr (all’equatore)
La Terra orbita attorno al sole alla velocità di 108 000 km/hr
Venere orbita attorno al sole alla velocità di 130 000 km/hr
Marte orbita attorno al sole alla velocità di 87 000 km/hr
![Page 41: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/41.jpg)
Che cosa è un interferometro
L’esperimento di Michelson-Morley
A
A
Che cosa è l’interferenzaA
Interferometri a riposo e in motoA
A A
![Page 42: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/42.jpg)
Le frange di interferenza che si riscontrano sullo schermo dipendono dai diversi tempi impiegati dai due raggi a percorrere i due diversi cammini
Che cosa è un interferometro
L’esperimento di Michelson-Morley
A
A
Che cosa è l’interferenzaA
Interferometri a riposo e in motoA
![Page 43: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/43.jpg)
Chiamando t1 e t2 tali tempi e applicando le Trasfomazioni di Galileo la differenza tra i due tempi doveva essere data da:
1^ posizione dell’Interferometro
Interferometro ruotato di 90°2222
12
21
22'''
vc
d
vc
cdttt
2222
12
21
22
vc
cd
vc
dttt
La teoria di Galileo prevedeva dunque che ruotando l’apparecchiatura anche le frange di interferenza dovevano cambiare. Ed invece ciò non avveniva!La rotazione dell’apparato non provocava alcuno La rotazione dell’apparato non provocava alcuno spostamento delle frange.spostamento delle frange.
![Page 44: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/44.jpg)
![Page 45: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/45.jpg)
1. Le leggi e i principi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali
![Page 46: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/46.jpg)
1. Le leggi e i principi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali
2. La velocità della luce è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali
![Page 47: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/47.jpg)
Se la velocità della luce deve essere la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali, ne segue che lo spazio ed il tempo devono essere relativi.
c
Lt
2'
![Page 48: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/48.jpg)
Se la velocità della luce deve essere la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali, ne segue che lo spazio ed il tempo devono essere relativi.
c
Lt
2'
Quale sarà il tempo misurato da questo orologio in moto?
![Page 49: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/49.jpg)
1. La dilatazione dei tempi1. La dilatazione dei tempi
c
h
c
h
c
ht 2
vtd
22
2
2
1 Ldh
222
2
2
1
2
tc
vtct
h
L
d
![Page 50: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/50.jpg)
2. La dilatazione dei tempi2. La dilatazione dei tempi
2
2
1c
v
tt
Einstein dice che gli
orologi in moto
ritardano
2
2
1
1
c
v
ditecoefficien
edilatazion
Mis. Or. Luc.
![Page 51: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/51.jpg)
Esiste una evidenza Esiste una evidenza sperimentale?sperimentale?
![Page 52: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/52.jpg)
Esiste una evidenza Esiste una evidenza sperimentale?sperimentale?
![Page 53: Sistemi in moto relativo traslazionale Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062319/5542eb59497959361e8c5f60/html5/thumbnails/53.jpg)
La contrazione delle La contrazione delle lunghezzelunghezze
La distanza tra le due
bandierine è allora
D = V * T
…ma dal dirigibile il tempo trascorso è minore …quindi
la distanza tra le due bandierine è minore
d = V* T’
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La contrazione delle La contrazione delle lunghezzelunghezze
xc
vx
2
2
1
Se un corpo si muove appare più corto
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La contrazione delle La contrazione delle lunghezzelunghezze
xc
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2
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Se un corpo si muove appare più corto
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La contrazione delle La contrazione delle lunghezzelunghezze
xc
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2
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Se un corpo si muove appare più corto
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La contrazione delle La contrazione delle lunghezzelunghezze
xc
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2
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Se un corpo si muove appare più corto
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ConseguenzeConseguenze
Non esistono più tempi e
spazi assoluti
F1 relativistica
Gli eventi contemporanei
in un sistema di
riferimento non sono
contemporanei nell’altro
contemporaneitàUn esercizio sugli eventi contemporanei
Un esercizio sui tempi e gli spazi relativistici
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Un volo Un volo relativisticorelativistico
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Un volo Un volo relativisticorelativistico
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Un viaggio relativisticoUn viaggio relativisticolungo le strade di una lungo le strade di una cittàcittà
Un sito per voli relativistici
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Alcuni paradossi Alcuni paradossi notinoti
II paradosso dei gemelliA
Lee vola per 10 anni con una velocità v = 0,98c rispetto
alla terra. Per Jim è passato un tempo più lungo
anni50 anni
2)98.0(1
10t
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Linee di universo e cono di Linee di universo e cono di luceluce
ct ct
AUna semplice introduzione ai Diagrammi spazio-tempo
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A
paradosso dei gemelli
A
Diagrammi spazio-tempo
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La curvatura dello spazioLa curvatura dello spazio
A Orbite in uno spazio curvo
A Curvatura dello spazio
A Confronto con la teoria classica
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Un esercizio per meglio comprendere il punto di partenza della Relatività generale
Esempi di prova finale