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11
Habibou MAITOURNAM
Département de Mécanique École Polytechnique, Palaiseau, France
pour la prévision de la fatigue
Simulation des structures sous chargements cycliques
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22
Plan
• Méthodes “eulériennes”méthodes stationnairesméthode transitoire dans le repère du chargement
• Présentation généralecontexte, difficultés, démarche globalestructures sous chargements cycliques
• Méthode cyclique directePrincipeRésolution par les séries de FourierRésolution par les ondelettes
• Lien avec la fatigue
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33
Tache ovale squatCouche blanche
Grainsecrouis
Illustration I : endommagement et rupture de rail
Présentation générale : motivations
Peut-on a priori savoir le type de dommage?Source : Salehi et al., IJF 2011
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44
• Dynamique du système véhicule/voie
Forces globalesContacts : localisations, pressions, ...
• Evolution de l’état thermomécanique
(contraintes et déformations)
sous chargements mobiles et répétés
• Endommagement des rails Nature? Initiation, propagation : Prévention et politique de maintenance
Complexité du problème
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55
Contexte
• Fatigue thermomécanique sur prototype (culasse, collecteur)
Fissuration +
gonflement du pontet intersoupape de culasse
fissures
conduit Admission tangentiel
Puits d’injecteur
Conduit échappement
Culasse noyau d’eau
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66
ILLUSTRATION DE LA PROBLÉMATIQUE
• Fatigue thermomécanique sur prototype :
Chargement cyclique : état asymptotique, sa nature? Peut-on le trouver directement?
Chargement thermomécaniquecyclique : temps de calcul trop important
T
800°C-300°C
70°C
t
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77
• Fatigue thermomécanique des collecteurs
Perte d’étanchéité :évolution?
(Thèse F. Szmytka, PSA)
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88
structure matériau
Température
chargement
calcul cycliquerecherche de l’état asymptotique
Prévision de la durée de vie
modèle utilisant les caractéristiques du cycle
stabilisé
DÉMARCHE GLOBALE
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99
Problèmes de tenue des structures industriellescompréhension et prévision théorique des diverses dégradations
Proposer des approches prédictivesvalidées et utilisables en milieu industriel
Nécessité d’une démarche globale :“la simplicité maximale compatible avec une
représentation convenable des phénomènes en jeu”
modélisationle comportement des matériauxles stratégies spécifiques de calcul des structuresles critères de dégradations
Présentation générale : motivations
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1010
Chargements variables
Fatigue : mais de quel type ?- grand nombre de cycles (endurance limitée ou illimitée)- faible nombre de cycles
La réponse dépend du système en questionExemples : rail-roue, automobile, ....
Présentation générale : motivations
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1111
QUESTIONS :
1. Evolution cycle par cycle ?
2. Y a t-il un état stabilisé ?
3. Nature de cet état limite ?
4. Nombre de cycles ?
Structures sous chargements cycliques
Nature du chargement
1. Charge constante mobile et répétée
2. Charge mobile et répétée, constante par cycle
3. Chargement thermomécanique périodique
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1212
Résultats sur la réponse asymptotique (Halphen 1978, Wesfreid 1980)
1. Convergence de la réponse en contrainte généralisée et en vitesse de
variables internes vers une solution périodique.
2. La réponse asymptotique dépend de l’état initial.
3. Toutes les solutions périodiques en contrainte généralisée différent
d’un champ constant, quel que soit l’état initial.
Matériau standard généralisé de classe C
Problème d’évolution quasi-statique, en transf. Infin., d’une structure
1. soumise à un chargement cyclique de période Ts’exerçant sur l’intervalle de temps [0,+∞]
2. constituée d’un matériau élastoplastique standard généraliséde classe C : ( ) ( ) ( ),p p
a=w w + we l’énergie libre :
avec est une forme quadratique positive( )a w
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1313
dans certains cas, seule la réponse stabilisée nous intéresse
Comportements asymptotiques des structures élasto-visco-plastiques soumises à des chargements thermomécaniques cycliques :
● élasticité
● adaptation
● accommodation
● rochet
Réponses cycliques en déformation
Etats asymptotiquesStructures sous chargements cycliques
élasticité
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1414
ÉlasticitéLa réponse est élastique en tout point et à tout instant.
élasticité
Domaine initial d’élasticité
0is
js
( , )M t
La dissipation macroscopique totale est nulle. Cependant la structure peut être sujette à de fissurations de fatigue à grand nombre de cycles.
max
min
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1515
AdaptationLa structure peut plastifier pendant les premiers cycles, mais sa réponse asymptotique est élastique.
max
min0 t
ijp
ijp
¥
On a donc : lim ( , ) ( ) et lim ( , ) ( )t t
p pM t M M t M¥ ¥® ¥ ® ¥= =
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1616
lim ( , ) ( ) et lim ( , ) ( )t t
p pM t M M t M¥ ¥® ¥ ® ¥= = soit :
La déformation plastique et les autres variables internes tendent donc vers des valeurs fixes lorsque le temps devient grand.
● La dissipation sur un cycle tend vers zéro.
● La structure peut être sujette à de fissurations de fatigue à grand nombre de cycles.
, ,el resM t M t M
● La réponse stabilisée se met sous la forme :
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1717
AccommodationLa réponse asymptotique est périodique en déformations plastiques et en variables internes
max
min
( , )d 0 et ( , )d 0cycle cycle
p M t t M t t= =ò ò && On a sur le cycle limite:
0 t
ijp
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1818
L’énergie dissipée par cycle devient constante (asymptotiquement).
Les contraintes, les déformations, les déformations plastiques et les autres variables internes tendent vers des états périodiques lorsque le temps devient grand.
● La dissipation par cycle tend vers une limite non nulle.
● La structure peut être sujette à de fissurations de fatigue à relativement faible nombre de cycles.
lim , d cte(M)t
M
D 1t+T
t
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1919
RochetPas de stabilisation en déformations plastiques et en variables internes.
max
min
0 t
ijp
La ruine de structure survient très vite par déformation excessive locale ouglobale.
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202020
a
Néch. log
Types de fatigue : basés sur l’état limite
0
Endurance limitée
e
Endurance illimitée
Fatigue à faiblenombre de cycles ou fatigueoligocyclique
F
t
Fatigue à grandnombre de cycles ou fatiguepolycyclique
ad
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2121
D’après F. Szmytka, PSA
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2222
• Existence de solutions périodiques (B. Halphen, JB Baillon)
• Convergence vers une solution périodique(B. Halphen, Johnson, P. Ladevèze–P. Rougée, ...)
• Théorie de l’adaptation( Melan, Koiter, Ponter,
Nguyen, Mandel, Halphen, Zarka Maier, Polizzoto,...)
Structures sous chargements cycliques
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2323
• Méthodes semi-analytiques (K.L. Johnson)
Nature du cycle limite
• Méthode simplifiée (J. Zarka)
Estimation heuristique de paramètres internes
• Méthode à grand incrément de temps (P. Ladevèze)
Utilisation d’une double échelle de tempsRecherche du cycle stabilisé (Ladevèze & Rougée)
• Méthode incrémentale classique
Trop coûteuse
• Contrôle optimal (M. Peigney – C. Stolz)
• Méthode des “sauts de cycles” (Savalle-Lesne, 1987)
Méthodes pour chargements cycliques
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2424
Plan
• Méthodes eulériennesméthodes stationnairesméthode transitoire dans le repère du chargement
• Présentation généralecontexte, difficultés, démarche globalestructures sous chargements cycliques
• Méthode cyclique directePrincipeRésolution par les séries de FourierRésolution par les ondelettes
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2525
MÉTHODE CYCLIQUE DIRECTE
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2626
Turbojet Collecteur d’échappement
Structures industrielles soumises à des chargements cycliques
Dans certains cas, seule la réponse stabilisée est intéressante pour les modèles de prévision de la durée de vie utilisés
Essieu-axe
Introduction : nécessité d’une méthode cyclique directe
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
-8.00E-02 -7.00E-02 -6.00E-02 -5.00E-02 -4.00E-02 -3.00E-02 -2.00E-02 -1.00E-02 0.00E+00
déformations
cont
rain
tes
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2727
Les équations du problème d’évolution quasi-statique en transformation infinitésimale sont :div ( , ) ( , ) 0 sur
( , ) . ( ) 0 sur
( , ) ( ) ( , ) sur i
dj i T
M t F M t
M t n M
M t n M T M t S
ij
σ
σ
σ
( , ) ( , ) sur
1( , ) ( ( , ) ( , )) sur 2
i
di i
t
M t M t S
M t M t M t
( ) ( )
avec
0
,
: ( ) ;
soit
p
p
ff
ff
p
C
ll
l l
r
j
¶=
¶£
¶= ³
¶
¶= - ¶
Î
= -
ìïïïïíïïïïî
&
& &
&
A
A
w
s ,s ,
ss ,
s ,s ,
On recherche des solutions périodiques : p p
( , ) ( , ), ( , ) ( , )
( , ) ( , ), ( , ) ( , )
M t M t T M t M t T
M t M t T M t M t T
= =
= =
+ +
+ +
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2828
Idées : on travaille uniquement sur une période notée [0,T]
Grand Incrément de Temps : séparation des équations globales et locales.
utilisation de la périodicité du chargement et de la réponse limite.
recherche directe de la réponse limite.
Principe : grand incrément de temps (la période) + périodicité
construction sur tout le cycle des champs cinématiquement et statiquement admissibles.
construction sur tout le cycle des champs plastiquement admissibles.
imposition de la périodicité de la réponse locale
Méthode cyclique directe
But : Recherche directe de la solution stabilisée d’une structure anélastique soumise à un chargement thermoméca de période T
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2929
ÉTAPE LOCALEVérification des équations non-
linéaires de comportement sur x [ts, ts + T]
TEST D’ARRETÉcart entre les deux champs
ÉTAPE GLOBALEVérification des équations
linéaires d’équilibre sur x [ts, ts + T]
Principe de la méthode cyclique directe
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Solution étape globale (SA)
Solution étape locale (PA)
Exemple de processus algorithmique
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3131
Algorithme cyclique directe : étape globale
Dans le cas de gros modèles, l’étape globale demande de temps important avec Nt solutions d’équilibre. (Nt : nbre d’instants de discrétisation du cycle)
Profiter de la périodicité avec une représentation temporelle appropriée des solutions pour réduire le coût de cette étape.
Les séries de Fourier semblent les plus adaptées pour la représentation des déplacements périodiques.
2 2( , ) ( ) cos( ) ( ) sin( )c sn n
n nu x t u x nt u x nt
T Tp p= +å å
T période du cycle
Thèse B. Pommier 2003, Maitournam et al, CRAS 2002
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3232
InitialisationDécomposition du chargement
en séries de Fourier
Calcul des déformations plastiques etdes variables internes sur [0,T ]
Périodicité de ces variables
Prédiction élastique sur [0,T ](en fréquentiel)
Test de plasticité sur [0,T ]ArrêtDécomposition du second membre
(forces plastiques, résidu)oui
non
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3333
Méthode cyclique directe : approche par résidus
• Résidu : décomposé en séries de Fourier
• Recherche de la solution sur [0,T] par décomposition en séries de Fourier
les coefficients sont donnés par :
avec
• Recomposition de champ u(t) sur [0,T]
• Calcul de la solution P.A. par projection radiale :
int ( ) extR t F F
( 1) ( ) 1 ( ) i i in n nu u K R
int
( , ), ( , )
( ) ( , )
pa p
t PA
V
x t x t
F t B x t dv
nsnn
cn ntxuntxutxu
TT)sin()()cos()(),( 22
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3434
Algorithme cyclique directe : recherche des champs plastiquement admiss.
Recherche des champs plastiquement admissibles de manière classique :
Projection orthogonale
Modèles élastoviscoplastiques standards(écrouissage cinématique linéaire et non linéaireviscosité non linéaire, …)
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3535
La méthode cyclique directe
comparaison avec la méthode incrémentale
validation de l’algorithme dans des cas complexes
déja implémentée dans Abaqus/Standard V6.4 dans CAST3M, …
couplage avec les algorithmes de contact
application directe à des problèmes industriels de fretting
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3636
Autre façon de faire : utiliser les ondelettes
Un seul cycle de chargement [0,T] est considéré (cycle limite)
Construction de suites d’histoire de réponses périodiques convergeant vers la solution :
réponses statiquement admissibles périodiques réponses vérifiant les équations de comportement
Résolution de l’équilibre en utilisant
- une base d’ondelettes réduite (convergence des coefficients liée à la régularité locale du signal représenté et non pas à la régularité globale comme avec les séries de Fourier)
- une approche résiduelle K U = Req
afin de réduire le coût de résolution de l’étape globale
Recherche directe d’une solution périodique
Comte et al, CRAS 2006 ; thèse de François Comte 2006
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Les ondelettes
Décomposition / recomposition d’un signal
2 4 8 12 10 10 11 3
3 10 10 7 1 2 0 -4
6.5 8.5 3.5 -1.5
7.5 1
V0
V1
V2
V3 W3
W2
W1
kkj
jk
j
ji kik
ikj tatdts )()()(
0
0
0
1
10
1
t
10
1
t
-1
dttfktfd j
jik )()2(2)( 2
dttfktfa j
jik )()2(2)( 2
avec
exemple : utilisation de la base de Haar
est de moyenne nulle
)2(2 2, ktj
j
kj )2(2 2
, ktjj
kj
(Thèse F. Comte)
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Décomposition du signal à chaque échelle sur 2 espaces :un espace d’approximations, fonctions a,bun espace de détails, fonctions a,b
Analyse multi-résolution :échelles les plus fines détails de séchelles plus grossières globalité de s
Principes de la décomposition d’un signal
Ondelettes
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3939
Comparaison entre les méthodes incrémentale et cyclique directe
Cube en traction-compression
Séries de Fourier avec 5 harmoniques
Illustration (1)
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4040
Évolution de la température au cours du cycle
Champ des températures max.Champ des températures min.
Modèle rhéologique
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4141Séminaire Paris VI, 28 octobre 2008
Images PSA
Exemple de calcul d’une culasse :
Le chargement cyclique est un "choc thermique" répété : montée à plein régime et maintien pendant une centaine de secondes, puis arrêt du moteur avec refroidissementforcé.
Les courbes sont post-traités au niveau du pontet intersouspapes dans la direction 11
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4242
Illustration (2) : fretting
No
rmal Fo
rce N
Displacement amplitude
Stick regime Mixte regime
Total slipNo damage cracks
wear
(N. Maouche, DVK, HM)
Source : Wackers et al., MTU
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4343
Modélisation en trois étapes
1. Détermination de la distribution des contraintes de
contact (analytiquement, Nowell-Hills)
2. Détermination de l’état stabilisé : méthode cyclique
directe
3. Application d’un critère de fatigue : Dang Van dans le
cas adapté
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4444
Modèle de calcul
Contraintes de contact
Cas de glissement total
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4545
Cycle stabilisé obtenu après 74 cycles
Temps de calcul :
méthode incrémentale : 30h CPU
méthode cyclique directe : 3h
Comparaison des contraintes résiduelles en profondeurComparaison des déformations plastiques
État stabilisé
Cas de l’accommodation
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4646
État stabilisé + fatigue
Déformation plastique équivalente :
Cas de l’accommodation
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4747
État stabilisé + fatigue
Déformations plastiques équivalentes :
Cas d’adaptation
Isovaleurs du critère de fatigue
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4848
Plan
• Méthodes eulériennesméthodes stationnairesméthode transitoire dans le repère du chargement
• Présentation généralecontexte, difficultés, démarche globalestructures sous chargements cycliques
• Méthode cyclique directePrincipeRésolution par les séries de FourierRésolution par les ondelettes
• Lien avec la fatigue
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4949
v
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5050
Fissure radiale:
Rupture :
Rupture du bol:
Usure sévère :
Faïençage :
Défauts sur un frein
Fatigue thermomecanique
Fatigue thermique
Fatigue thermomecanique
Mise en cône du disque
Frottement
Source : M-L Nguyen
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5151
• Repère du chargementMaillage raffiné uniquement dans les zones à forts gradients(en général, sous le chargement)Mise en données simplifiée
• La configuration de référence suit le mouvement rigide de la structure
Petites distorsions des maillesPas de réactualisation de géométrie
• Chargement mobile
• Vitesse de chargement
• Petites transformations
Principe des algorithmes
• Coordonnées eulériennesMaillage fixe
DONNEES SIMULATION
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5252
•Algorithme Stationnaire Passage par Passage
Donne la réponse de la structure après chaque passage du chargement thermomécaniquequi se déplace avec une vitesse constante
• Algorithme Stationnaire Direct
Donne directement l’état stabilisé de la structure soumise à des passages répétés de chargement mobile
• Algorithme TRC (Transitoire dans le Repère du Chargement)
Donne la réponse transitoire d’une structure soumise à un chargement thermomécanique mobile d’amplitude et de vitesse variables
Hypothèses
Petites transformations
+• Régime permanent
dans le repère du chargement
• vitesse constante pendant chaque passage
+• Mêmes cycles de chargement
• Stabilisation (adaptation ou
accommodation)
Algorithmes eulériens pour structures pleines
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5353
1. Translations incrémentales du chargement
IMPOSSIBLE DE REALISER DE MILLIERS DE PASSAGES TEMPS CPU EXCESSIF
V
CHARGEMENTS MOBILES ET RÉPÉTÉS
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5454
1. Utilisation du repère mobile du chargement
2. Intégration le long des lignes de courantqui sont connues en transformation infinitésimale
Principe des calculs avec chargement mobile
V
amontaval
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5555
I. Stationnarité dans le repère mobile du chargement
Conséquences
1. équation d’équilibre
2. loi de comportement non locale
3. Conditions “initiales”
Calcul global d’un passage
+ V constante
Principe des méthodes stationnaires
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5656
Algorithme stationnaire pour 1 passage
(0). Initialisation au début d’une passe
(1). A
(2). Equilibre global : détermination de
(3). Test de plasticité
Si Incrément élastique :
Sinon Incrément plastique :
(4). Test de convergence Si convergence : Aller à (0)Sinon : Aller à (1)
p
jjjjt ,,:
11 jjj c
)()2(2*1001 xxcc p
jp
j jes
kj *
1
)(101 xxpppj j
pt 0000 ,,: 0,0,0,, pooo
)(: 111pjjj L
*1
1
101 )(*
12
1)(
j
j
pppj
kc
xxj
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5757
Méthode stationnnaire passage par passage
V
méthode stationnaire ppp (NQS,DVK, HM)
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5858
Méthode stationnaire directe
I. Stationnarité dans le repère mobile du chargement
II. Périodicité de la réponse limite
+
=
Obtention direct de l’état asymptotique(adaptation, accommodation ou rochet)
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5959
II. Périodicité de la réponse limite
Calcul direct de l’état limite
méthode stationnaire directe
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6060Séminaire Paris VI, 28 octobre 2008
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6161
Contraintes résiduelles après des passages successives
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6262
• Pour les structures périodiques, la méthode précédente ne marche pas!
• Nécessité de l’adapter
Cas des Structures Périodiques
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6363
Application : freinage (Thèse Mac-Lan NguyenMLNT)
Début de freinage Fin de freinageTempérature maximale
Transitoire dans le repère du chargement (MLNT, JJT, HM)
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6464
Freinage (suite)
Con
trai
ntes
circ
onfé
rent
ielle
s
(MPa
)
Déformations plastiques circonférentielles (%)
Temps (s)
Déformations plastiquescirconférentielles
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6565
structure matériau
Température
chargement
calcul cycliquerecherche de l’état asymptotique
Prévision de la durée de vie
modèle utilisant les caractéristiques du cycle
stabilisé
DÉMARCHE GLOBALE
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666666
a
Néch. log
Types de fatigue : basés sur l’état limite
0
Endurance limitée
e
Endurance illimitée
Fatigue à grandnombre de cycles ou fatiguepolycyclique
ad
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6767
Où a-t-on besoin de calculs non-linéaires?En endurance :
pour connaître les contraintes résiduelles induites par les procédéssoudage, galetage, grenaillage, … évaluer la relaxation des ces contraintes
évaluer les contraintes résiduelles induites par les premiers cycles
Source : Allevard-Rejna Rail de chemin de fer
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686868
a
Néch. log
Types de fatigue : basés sur l’état limite
0
Endurance limitée
e
Endurance illimitée
Fatigue à faiblenombre de cycles ou fatigueoligocyclique
Fatigue à grandnombre de cycles ou fatiguepolycyclique
ad
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6969
Où a-t-on besoin de calculs non-linéaires?
En fatigue oligocyclique : INCONTOURNABLE
pour évaluer les cycles de déformations plastiques et de contraintes
Collecteur (PSA) Tuyère d’Ariane Rail dans les courbes(//forum.aceboard.net)
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707070
a
Néch. log
Types de fatigue : basés sur l’état limite
0
Endurance limitée
e
Endurance illimitée
Fatigue à faiblenombre de cycles ou fatigueoligocyclique
F
t
Fatigue à grandnombre de cycles ou fatiguepolycyclique
ad
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Merci de votre attention !