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Simulação Numérica da Difração na Aproximação de Fresnel
Aluno: Renato Teixeira Mourão
Disciplina: Eletromagnetismo 2011-2
Professor: Carlos Farina
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Objetivos:
• Realizar um cálculo numérico da difração deFresnel para aberturas tradicionais (quadrado,retângulo, círculo, ...).
• Realizar um cálculo numérico para aberturascom pouca simetria e em formato de “nomes”.com pouca simetria e em formato de “nomes”.
• “Fazer uma camisa com o meu nome difratadoestampado nela”, Farina.
• Comparar resultados analíticos e resultadosdo cálculo numérico com resultadosexperimentais.
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Sumário
1) Introdução
2) Integral de Fresnel-Kirchhoff
3) Difração de Fresnel
4) Resultados analíticos4) Resultados analíticos
5) Cálculo numérico
6) Resultados do cálculo numérico
7) Experimento
8) Realização de experimentos
9) Conclusão
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1) Introdução•É o desvio de um caminho reto quando uma onda passa por um obstáculo ou abertura.
•Se torna mais pronunciada para obstáculos de mesma ordem de grandeza de λ.
•Diversas aplicações: cristalografia, poços de petróleo, redes de difração...
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2) Integral de Fresnel-Kirchhoffx
QQQQPPPP
PoPoPoPo Or
r’
s
s’
),( ηξ=Q
y z
r’
∫∫
−=
+
Abertura
srik
dSsnrnrsi
APU e )],cos(),[cos(
2)(
)(
λ
Onde n é a normal à abertura
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AproximaçõesSe a abertura for pequena em relação à distância PPo, podemos escrever:
δcos2),cos(),cos( =− snrn
, onde δ é o ângulo entre a linha PPo e a normal à abertura (direção z)
Temos ainda que:1
''
11
zzsrrs≈≈
0'' zzsrrs
∫∫ ,≈Abertura
ikf ddesri
APU ηξ
λδ ηξ )(
''
cos)(Ficamos com:
...''''
)( 00 +2+
+2+
++
−+
−=,2222
srs
yx
r
yxf
ηξηξηξηξηξ
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3) Difração de Fresnel
• Na difração de Fraunhofer são considerados somente os termos lineares de f.
• Na difração de Fresnel os termos quadráticos não podem ser desprezados, levando à:(Manipulações não mostradas. Ver Born & Wolf [1])
[ ]ηξπ
e yxiikz
∫∫−+− 22 )()([ ]
ηξλ
ηξλπ
ddezi
ePU
Abertura
yxz
iikz
∫∫−+−
=22 )()(
)(
, onde fizemos A=1.
Em aula vimos em 1 dimensão:
[ ]ξ
λ
ξλπ
dezi
ePU
Abertura
xz
iikz
∫−
=2)(
)(
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4) Resultados Analíticos
• Abertura Retangular
• Abertura Circular• Abertura Circular
• Semiplano Infinito
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Abertura Retangular
• Retângulo centrado na origem:
12 l
( ) ( )xlz
xlz
−=+−= 21 11
2;
2
λα
λα
22 l
( )( ) ( )( )[ ]{ +−−−−−= 121121 )()()()()()()()(2
)( 22 ββααββαα SSSSCCCCi
ePU
ikz
( )( ) ( )( )[ ]})()()()()()()()( 22 121121 −−+−−+ ββααββαα CCSSSSCCi
( ) ( )ylz
ylz
−=+−= 21 22
2;
2
λβ
λβ
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• Retângulo deslocado da origem:
22 l
12 l
( )ηξ ,
( ) ( )22
( )( ) ( )( )[ ]{ +−−−−−= 121121 )()()()()()()()(2
)( 22 ββααββαα SSSSCCCCi
ePU
ikz
( )( ) ( )( )[ ]})()()()()()()()( 22 121121 −−+−−+ ββααββαα CCSSSSCCi
( ) ( )
( ) ( )ηλ
βηλ
β
ξλ
αξλ
α
+−=−+−=
+−=−+−=
21
21
ylz
ylz
xlz
xlz
22
11
2;
2
2;
2
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Abertura Circular
r=a
−= 1)( 2
2 2
λπR
ia
ikz eePU
, onde R é a distância da abertura até o ponto P
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Semiplano Infinito
x
y
+
+−
+= x
zSx
zC
i
ePU
ikz
λλ2
2
12
2
1
2)(
++
++ x
zSx
zCi
λλ2
2
12
2
1
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Intensidades• No entanto, o que observamos são as intensidades:
2)()( PUPI =
∝I( )( ) ( )( )[ ] +−−−−−∝ 1211212
22 )()()()()()()()()( ββααββαα SSSSCCCCPI
( )( ) ( )( )[ ]2)()()()()()()()( −−+−−+ ββααββαα CCSSSSCC( )( ) ( )( )[ ]222 )()()()()()()()( 121121 −−+−−+ ββααββαα CCSSSSCC
+
+−
+∝
2
2
2
12
2
1)( x
zSx
zCPI
λλ2
2
2
12
2
1
++
++ x
zSx
zC
λλ
∝
2
R
aPI
λπ2
sin)( 2
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Resultados analíticos•Abertura quadrada: 500μm λ=532nm
Difração de uma abertura quadrada, com l=500μm, iluminado comλ=532nm (verde). O anteparo está localizado a, respectivamente, 0.1, 1 e2m. As regiões centrais estão ampliadas.
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Será demonstrado experimentalmente!
No limite de Fraunhofer
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Abertura Circular
a=10 ; λ=1 ; z=1
Será demonstrado experimentalmente!
a=10 ; λ=1 ; z=10
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• Plano semi-infinito:
Será demonstrado experimentalmente!
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5) Cálculo Numérico
• O método utilizado se baseia no princípio dasuperposição: ∑=
i
i PUPU )()(
A abertura é discretizada emA abertura é discretizada emquadradinhos!
Ótimo para aberturasque possuem
somente ângulosretos.
Péssimo paraaberturas curvas, ou
com linhas diagonais!
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Equações
• Partindo da equação de Fresnel-Kirchhoff naaproximação de Fresnel:
[ ]ηξ
λ
ηξλπ
ddezi
ePU
yxz
iikz
∫∫−+−
=22 )()(
)( ηξλ
ddezi
PUAbertura
∫∫=)(
∑=i
iQuadradoAbertura
[ ]∑ ∫∫
−+−=
i iquadrado quadrado
yxz
iikz
ddezi
ePU ηξ
λ
ηξλπ 22 )()(
)(
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[ ]∑ ∫∫
−+−=
i iquadrado quadrado
yxz
iikz
ddezi
ePU ηξ
λ
ηξλπ 22 )()(
)(
∑=i
i PUPU )()(
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Usando a expressões conhecidas para a difração por umaabertura quadrada de lado l, deslocada da origem de (ξ0,η0):
( )( ) ( )( )[ ]{ +−−−−−= )()()()()()()()(2
)( 12121212
iiiiiiiiikz
i SSSSCCCCi
ePU ββααββαα
( )( ) ( )( )[ ]})()()()()()()()( 12121212
iiiiiiii CCSSSSCCi ββααββαα −−+−−+
( ) ( )iiii xlxl2
;2
ξαξα +−=−+−= ( ) ( )
( ) ( )iiii
iiii
ylz
ylz
xlz
xlz
0201
0201
2;
2
2;
2
ηλ
βηλ
β
ξλ
αξλ
α
+−=−+−=
+−=−+−=
Mas, ainda é necessário gerar as funções de Fresnel:
∫∫
=
=xx
dttxSdttxC0
2
0
2
2sin)(;
2cos)(
ππ
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Como gerar as funções de Fresnel?
Integração numérica?Não!
Cálculo das áreas é ineficiente.
Requer um imenso número de divisõespara x > 4. (Demorado.)
Oscilam muito rapidamente para x
grande.
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Resposta: “Série de Boersma” [3]
Excelente!
Fácil e rápido de gerar.
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Integral de Fresnel Gerada
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O programa
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Algoritmo
1- Defina o formato da abertura que deseja difratar.2- Discretize-a em quadradinhos e armazene este padrão numa matriz.3- Para o anteparo percorrer todos os valores de x e y.4- Para cada par (x,y):
a) Iguale a variável "Intensidade" a zero. (Intensidade=0)b) Percorra cada quadradinho da abertura e use a expressão parab) Percorra cada quadradinho da abertura e use a expressão para
Ui(x,y).c) Armazene as partes reais e imaginárias de Ui(x,y) em variáveis
diferentes.d) Faça: Intensidade = Intensidade + (Re[Ui(x,y)])^2 + (Im[Ui(x,y)])^2 .e) Quando acabar de percorrer todos os quadradinhos armazene o
valor de "Intensidade".
5- Passe para o próximo par (x,y) e repita (4) até o fim dos pares.
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Algoritmo implementado...implementado...
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6) Resultados do Cálculo Numérico
• Abertura Quadrada.
• Abertura Circular.
• Abertura em “Cruz”.
• Abertura em “R”.
• Abertura em “RENATO”.
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Manipulação dos dados
Programa Dados gerados Origin8 (Análise)
•Os dados de intensidade são normalizados (Intensidade máxima =1).• São plotados dois tipo de gráficos para cada conjunto de dados:
1. Gráfico de contorno em escala logarítmica.2. Gráfico de contorno com ajuste de “brilho”.
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Abertura Quadrada
500μm Cada lado é composto de 10 quadrados λ=532nm
z=0.05m
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Abertura Quadrada
500μm Cada lado é composto de 10 quadrados λ=532nm
z=0.1m
![Page 32: Simulação Numérica da Difração na Aproximação de Fresnel](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052620/557210cb497959fc0b8dae4d/html5/thumbnails/32.jpg)
Abertura Quadrada
500μm Cada lado é composto de 10 quadrados λ=532nm
z=1m
![Page 33: Simulação Numérica da Difração na Aproximação de Fresnel](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052620/557210cb497959fc0b8dae4d/html5/thumbnails/33.jpg)
Abertura Quadrada
500μm Cada lado é composto de 10 quadrados λ=532nm
z=2m
![Page 34: Simulação Numérica da Difração na Aproximação de Fresnel](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052620/557210cb497959fc0b8dae4d/html5/thumbnails/34.jpg)
Abertura Quadrada Variando a Largura
200
100microns
200microns z=0.1m
300microns
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400microns
Ainda Variando a Largura...
500microns
z=0.1m
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Abertura Circular
500μm O diâmetro é composto de 21 quadrados λ=532nm
z=0.1m
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Abertura Circular
500μm O diâmetro é composto de 21 quadrados λ=532nm
z=1m
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Abertura Circular
500μm O diâmetro é composto de 21 quadrados λ=532nm
z=2m
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Abertura Circular
500μm O diâmetro é composto de 21 quadrados λ=532nm
z=2m Janela maior.
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Abertura em “Cruz”
z=0.1m
Cada quadrado tem 300 microns λ=532nm
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Abertura em “Cruz”
z=1m
Cada quadrado tem 300 microns λ=532nm
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Abertura em “Cruz”
z=2m
Cada quadrado tem 300 microns λ=532nm
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Abertura em “R”
R Largura de 500μm λ=532nm z=0.1m
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Abertura em “R”
R Largura de 500μm λ=532nm z=1m
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Abertura em “R”
R Largura de 500μm λ=532nm Z=2m
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Abertura em “Renato”
RENATO Largura de 500μm λ=532nm z=0.1m
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Abertura em “Renato”
RENATO Largura de 500μm λ=532nm z=1m
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Abertura em “Renato”
RENATO Largura de 500μm λ=532nm z=2m
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Utilizando o programa....programa....
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7) Experimento (Bem Artesanal)
• Materiais utilizados:
1) Laser Pointer 532nm (verde) 50mW.2) Lâmina de barbear (semiplano infinito).3) Impressão em fotolito (outros padrões para difratar).4) Elásticos.5) “Macaquinho” para ajuse de altura. Anteparo5) “Macaquinho” para ajuse de altura.6) Papel alumínio.
• Esquema da Montagem:
?Laser Feixe
Abertura
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8) Realização de Experimentos
• Impressões em fotolito.
• Buracos em papel alumínio.• Buracos em papel alumínio.
• Lâmina de barbear.
![Page 52: Simulação Numérica da Difração na Aproximação de Fresnel](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052620/557210cb497959fc0b8dae4d/html5/thumbnails/52.jpg)
9) Conclusões
• O algoritmo é eficiente no cálculo deaberturas que são “combinações dequadrados”.
• O método não é bom para diagonais e curvas.• O método não é bom para diagonais e curvas.(Mas não é inútil!)
• Necessário aprimorar o cálculo numérico.
• Otimizar o algoritmo.
• Aumentar o número de “quadradinhos” para odesenho de uma abertura curva.
![Page 53: Simulação Numérica da Difração na Aproximação de Fresnel](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052620/557210cb497959fc0b8dae4d/html5/thumbnails/53.jpg)
Camisa Com a Figura de Difração de “Renato”
Objetivo cumprido!
![Page 54: Simulação Numérica da Difração na Aproximação de Fresnel](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052620/557210cb497959fc0b8dae4d/html5/thumbnails/54.jpg)
Referências[1]- “Principles of Optics”, Max Born & Emil Wolf, 5ª edição,
1975. [2] - “Handbook of Mathematical Functions”, Abramowitz and
Stegun. [3]- “Computation of Fresnel Integrals”, J. Boersma.[4]- “On a numerical method for computation of Fresnel
integrals”, Report TW 2, Math. Inst., Univ. of Groningen, 1960.integrals”, Report TW 2, Math. Inst., Univ. of Groningen, 1960.[5]- “Cálculo”, Vol. 1, 5ª edição , James stewart.[6]- “Numerical Techniques for Fresnel Difraction in
Computational Holography”, Richard Patrick Muffoletto’sdissertation.
[7]- “Classical Electromagnetic Radiation”, third edition, Mark A. Heald & Jerry B. Marion
[8]- “Science World”, http://scienceworld.wolfram.com/physics/FresnelDiffractionCircularAperture.html