Download - Semana 07 Amortizacion - Metodos
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PROF. ECON. JULIO CESAR SANABRIA MONTAEZ
DR. EN ECONOMIA - MG. EN FINANZAS
AMORTIZACION
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ciclo 2014-II Modulo: I Unidad: V Semana: 6
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El por que del nombre de anualidad cierta por
que la anualidad tiene un numero fijo de pagos y
no un numero incierto como rentas vitalicias que dependen
de l existencia del asegurado.
Por lo tanto la estrategia es convertir una anualidad cierta
a una anualidad simple, cuyos principios bsicos son:
La tasa de inters debe ser equivalente
Las anualidades de cualquier fecha deben ser iguales
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Ejemplo:
Encontrar el valor actual de una anualidad vencida de 1.000 por ao en un plazo de 5 aos, si el dinero gana 4% capitalizable trimestralmente.
Solucin:
Para encontrar la respuesta debemos analizar grficamente el problema:
Nos piden aquellos pagos trimestrales de una anualidad anual, entonces:
1.000 1.000 1.000 1.000
------------------------------------------------------------------------------
1 2 3 4 5 Aos
w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w
Cada ao tiene 4 trimestre sea 4 w, segn planteamiento del problema
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Ahora bien:
La expresin numrica o formula es: w * S= R (1+i)^n -1 / i = 1.000
a lo que es lo mismo
w= ^1.000 * (R (1+i)^n -1 / i)-1
Lleva el signo negativo por que estaba multiplicando al pasar al lado derecho y
por regla aritmtica a^-1 = 1/a
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Por lo tanto el clculo ser:
S= 1.000 * (1+0.01)^4-1 ^-1 * 1+0.01^20 -1
0.01 0.01
Ntese que se expone al factor 4 por que se pide por trimestre, y un ao tiene 4
trimestres.
Por lo tanto: S=5.422.86
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Para el valor actual la figura es la misma
A= 1.000 * 1- (1+0.01)^-4 ^-1 * 1- 1+0.01^- 20
0.01 0.01
A=4.444.28
Para hacerlo ms sencillo de explicar el valor W,
puede ser sustituido por R, notacin que conocemos
de captulos anteriores, para ello reemplazamos la
formula anterior por:
S= R (1+i)^n -1 ^-1 * (1+i)^n -1
i i
A= R 1- (1+i)^n ^-1 * 1- (1+i)^n
i i
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Matemtica Financiera
Sistemas de amortizacin
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Sistemas de amortizacin
Operaciones simples
Operaciones Complejas
Sistemas racionales o puros
Sistemas impuros, comerciales o directos
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Sistema con pago nico de capital e intereses
Cancelacin total
Ct = P (1+i) n
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Sistema con pago nico de capital e intereses
Cancelacin anticipada
CtCa =
(1+i)n-p
P (1+i) n
Ca =(1+i)n-p
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Sistema con pago nico de capital e intereses
Cancelacin anticipada
Ca (1+i)n-p = P (1+i) n
P (1+i) n
Ca =(1+i)n-p
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Sistema con pago nico de capital e intereses
Reembolso parcial antes del vencimiento
S = P (1+i)p - Rp
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Sistema con pago nico de capital e intereses
Reembolso parcial antes del vencimiento
Rp (1+i)n-p + S (1+i)n-p = P (1+i)n
Rp (1+i)n-p
S = P (1+i)p -(1+i)n-p
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Cancelacin total
Inters del periodo: P . i
Capital: P
Sistema con pago nico de capital y peridico de Inters
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Cancelacin anticipada
Sistema con pago nico de capital y peridico de Inters
Cond. Sustanciales idnticas P
Para diferentes tasas:
Ca = P + P ( i-i'). a n-p :i'
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Reembolso parcial antes del vencimiento
Sistema con pago nico de capital y peridico de Inters
Cond. Sustanciales idnticas S = P - Rp
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Reembolso parcial antes del vencimiento
Sistema con pago nico de capital y peridico de Inters
Con diferentes tasas
P + P i sn-p :i ' = S + S i sn-p :i ' + Rp (1+ i ' )n-p
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Rp (1+ i ' ) n-p
S = P - -------------------------------[ 1 + i sn-p :i ' ]
Reembolso parcial antes del vencimiento
Sistema con pago nico de capital y peridico de Inters
Con diferentes tasas
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Sistemas con pago
peridico de capital e intereses
Sistema de amortizacin progresiva o Francs
Sistema de amortizacin real constante o Alemn
Sistema Americano o sinking fund
Sistema de inters directo acumulado (impuro)
Sistema de inters directo deducido (impuro)
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Sistema Francs
Caractersticas principales
Cuota constante
Amortizacin creciente
Inters sobre saldos (sistema puro)
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Sistema Francs
Sistema Francs
0
20
40
60
80
100
120
1 2 3 4 5
Capital
Inters
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P =(1+i)n - 1
__________________
(1+i)n . i
C
Sistema Francs
Lmite inferior de C P. i
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Sistema Francs
Cada cuota se compone de una porcin de inters y otra destinada a amortizar capital (denominada
amortizacin real).
La amortizacin real de la primera cuota recibe el nombre de Fondo amortizante.
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Sistema Francs
1 Cuota: C = P . i + t
Fondo amortizante
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Sistema Francs
1ra.Cuota: t = C P i
2da.Cuota: t2 = C - ( P - t)i => t2 = C - Pi + ti => t2 = t + ti =>
=> t2 = t(1+i)
3ra.Cuota: t3 = C - (P t - t2)i => t3 = c - P.i + ti + t2i =>
t3 = t2 + t2i => t3 = t2(1+i) => t3 = t(1+i)(1+i) =>
t3 = t(1+i)2
Generalizando: tp = t (1+i)p-1
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Sistema Francs
La deuda en funcin del fondo amortizante
V = t + t2 + t3 + . + tn
V = t + t (1+i) + t (1+i)2 + . + t (1+i)n-1
V = t ((1+i) + (1+i)2 + . + (1+i)n-1)
S n :i
V = t . S n :i
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Sistema Francs
Total amortizado luego del pago p .
Vp = t . S p : i y t = V . S n :i -1
i (1+i)p 1Vp = Vn . ---------------- . ---------------
(1+i)n - 1 i
(1+i)p 1Vp = Vn . -----------------
(1+i)n - 1
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Sistema Francs
Saldo luego del pago p .
(1+i)p 1Vn-p = Vn - Vn . -----------------
(1+i)n - 1
(1+i)p 1Vn-p = Vn . 1 - -----------------
(1+i)n - 1
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Ejercicios
El 25/8 obtenemos un crdito en las siguientes condiciones:Capital: $72.000,00 a reintegrar en un nico pago a dos aos.Intereses: a abonar bimestralmente. TEA 17%
Transcurridos 6 meses desde la obtencin del crdito, deseamos plantear a nuestro acreedor un cambio en las condiciones de la operacin, para dejar de abonar intereses peridicos y cancelar la totalidad de la operacin (capital e intereses) al final del plazo originalmente convenido.Si la TEA de mercado en ese momento es del 33%, calcular el monto de la propuesta de cancelacin para mantener la equivalencia financiera.
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Ejercicios
Un banco desea ofrecer una lnea de prstamos personales, de hasta $5.000,00 amortizables por sistema francs en hasta 6 cuotas mensuales, con una TEA del 28%. Construir el cuadro de amortizacin para el capital y el plazo mximos.
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Ejercicios
De una deuda de $12.000,00, amortizable por sistema francs en 24 pagos mensuales con una tasa nominal anual del 24%, determinar:
1. Importe de la cuota.2. Fondo amortizante.3. Total amortizado y deuda pendiente luego de
abonar la 11 cuota.
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Perodo al cabo del cual se amortiza determinada parte de la deuda inicial
Llamamos q a la inversa de la fraccin de deuda cuyo perodo de amortizacin se desea conocer.
La fraccin V/q se amortizar con m amortizaciones reales.
V/q = t + t2 + t3 + + tm
V/q = t + t (1+i) + t (1+i)2 + . + t (1+i)m-1
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Perodo al cabo del cual se amortiza determinada parte de la deuda inicial
V/q = t [ (1+i) + (1+i)2 + . + (1+i)m-1]
V/q = t . Sm:i
Reemplazando V por su igual en funcin de t
t. Sn:i ---------- = t . Sm:i
q
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Perodo al cabo del cual se amortiza determinada parte de la deuda inicial
(1+i)n 1 1 (1+i)m - 1---------------- . ------- = -------------------
i q i
(1+i)n 1 ---------------- = (1+i)m - 1
q
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Perodo al cabo del cual se amortiza determinada parte de la deuda inicial
(1+i)n - 1 (1+i)n - 1 + q(1+i)m = ------------------- + 1 = -------------------------
q q
m log (1+i) = log [ (1+i)n + (q - 1) ] - log q
log [ (1+i)n + (q - 1) ] - log qm = -----------------------------------------------
log (1+i)
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Perodo medio de reembolso
Perodo de tiempo necesario para que la deuda se reduzca a la mita (se amortice la mitad de la deuda).
En la frmula anterior hacemos q = 2
log [ (1+i)n + 1 ] - log 2m = -------------------------------------
log (1+i)
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Ejercicio:
Calcular el tiempo que ser necesario para amortizar la mitad de una deuda de
$750.000,00, pagadera por sistema francs en 84 cuotas trimestrales, con una TEA del 18%.
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Sistema Alemn
Caractersticas principales
Amortizacin constante
Inters sobre saldos (sistema puro)
Cuota decreciente.
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050
100
150
200
250
300
350
1 2 3 4 5
Intereses
Capital
Sistema Alemn
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Perodo Saldo inicial Amortizacin Inters Cuota Saldo final
1 1.000,00 200,00 100,00 300,00 800,00
2 800,00 200,00 80,00 280,00 600,00
3 600,00 200,00 60,00 260,00 400,00
4 400,00 200,00 40,00 240,00 200,00
5 200,00 200,00 20,00 220,00 0,00
Sistema Alemn
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Sistema Alemn: clculo del saldo
Momento Saldo
Inicial V
Pagada la cuota 1 V - V/n = V . (1 - 1/n) = V . [ (n-1)/n]
Pagada la cuota 2 V - 2.V/n = V . (1 - 2/n) = V . [ (n-2)/n]
,,,,,,,,,,,,,,,
Pagada la cuota n-2 V - (n-2). V/n = V .[ 1 - (n-2)/n ] = V . [ 2/n]
Pagada la cuota n-1 V - (n-1). V/n = V .[ 1 - (n-1)/n ] = V . [ 1/n]
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Sistema Alemn: clculo de la cuota
Cuota Capital + Inters
1 V/n + V.i
2 V/n + V . [ (n-1)/n] . i
3 V/n + V . [ (n-2)/n] . i
,,,,,, ,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,
n-1 V/n + V . [ 2/n] . i
n-1 V/n + V . [ 1/n] . i
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Sistema Alemn: clculo de la cuota
Frmula general
Cp = V/n + V. i . {[n (p-1)] /n }
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Sistema Alemn
Comprobacin de la variacin entre cuotas
Restamos 2 cuotas consecutivas. Por. ej.:
Cuota 2 : V/n + V.i [(n-1)/n] (1)Cuota 3 : V/n + V.i [(n-2)/n] (2)
Si a (1) le restamos (2) queda:
V/n + V.i [(n-1)/n] - V/n - V.i [(n-2)/n]
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Sistema Alemn
Comprobacin de la variacin entre cuotas
(n-1) -(n-2)=> V . i [ ----------------- ]
n
=> (V . i) / n
Cuota decreciente en progresin aritmtica
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Ejercicio
Una empresa contrajo una deuda de $35.000,00 amortizable por sistema alemn en 12 cuotas mensuales con una TEA del 12%. Calcular:
1. Valor de la 1 y de la ltima cuota.2. Total amortizado luego del 6 pago.3. Perodo medio de reembolso.
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Ejercicio
Una concesionaria desea vender un automvil en 24 cuotas mensuales por sistema alemn, al 24% nominal anual. Si la 1 cuota es de $2.960,00 se pide calcular:
A- Valor contado del vehculoB- Importe en el que ir decreciendo
mensualmente la cuota.
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Sistema Americano
Es una adaptacin del sistema de pago
nico de capital y pago peridico de
inters, al combinarlo con una operacin
de reconstruccin del capital.
Surge para solucionar el problema de
reinversin afrontado por el prestamista y
el problema de la dificultad financiera del
pago ntegro del capital para el deudor.
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Por un lado el deudor paga peridicamente
los intereses sobre el total de su deuda, a
una tasa activa i.
Por otro lado deposita peridicamente una
suma constante en una cuenta que generar
un valor final V que permita cancelar el
crdito al momento n, a una tasa pasiva i.
Sistema Americano
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Sistema Americano
La cuota total a pagar ser:
Ca = V . i + V . S n :i -1
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Ejercicio
Una persona obtiene un crdito de $10.000,00 por sistema americano. Calcular el importe que
deber abonarse mensualmente, si la tasa de inters de la deuda es 1,8% mensual, el inters de fondo es de 1,5% mensual y se pacta un plazo de
12 meses para su devolucin.
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Ejercicio
Un banco pone en vigencia una lnea de crdito de $20.000,00 a 12 meses vencidos por sistema
americano, a una tasa del 2% mensual y con un fondo de reconstruccin del capital al 1%
mensual. Calcular:1. Importe mensual de la cuota.2. Tasa efectiva mensual neta de la operacin.