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SEGMENTOS PROPORCIONALES. TRIÁNGULOS SEMEJANTES. TALES.
María Pizarro Aragonés
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TEOREMA DE THALES En dos rectas concurrentes R y S
cortadas por paralelas L1 , L2,
L3 ,los segmentos que se han
creado en una de las rectas son proporcionales a sus
correspondientes en la otra recta.
R S L1L2L3
L1 // L2// L3
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Se forman segmentos
proporcionales. Ejemplo: 2 = 7 Productos
4 14 cruzados : 28
R S
L1L2
L3
L1 // L2// L3
2 7 4 14
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a b ad = bc c d
R S
L1L2
L3
a b
c d
=
L1 // L2// L3
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Calcular el valor de x
3 4
12 x
3 = 4 x = 4•12 = 16 12 x 3
R S
T
R // S // T
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m n
s r
e
f
m e m + r f
=
L L//L” m + r L”
Se consideran los segmentos de la recta SIEMPRE desde el VÉRTICE
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5
4
10 12
R 5 + 10 = 15 S R//S
5 4 ó 5 1515 12 4 12
= =
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x 3 40
9
3 = x L // L” 12 40
12
x = 3 •40 = 10 12
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Se forman segmentos proporcionales , pero en la misma recta L // L”
L
L”
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x 18
5 10
5 = x 10 18 x = 5 •18 = 9 10
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FIGURAS SEMEJANTES
Lados proporcionales y ángulos,respectivos, congruentes.
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6
10
3 5
Son rectángulos , luego los ángulos son rectos 3 = 6 5 10Productos cruzados iguales , 30, luego lados proporcionales ,entonces los rectángulos son semejantes.
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4
6
3,4
5
AMPLIACIÓN / REDUCCIÓN DE UNA
FIGURA 1 : 2
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TRIÁNGULOS SEMEJANTES Dos triángulos son semejantes si : sus ángulos respectivos son iguales; y sus lados respectivos son proporcionales.
20 20 100 60 100 60
5 7
3
10 14
6
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5 = 7 = 3 = 1 10 10 6 2 razón entre los lados 1 : 2
20 20 100 60 100 60
5 7
3
10 14
6
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C′ C A′
B B′ A
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Teorema Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.Tales de Mileto
ABO ∼ A′ B′O
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CRITERIOS DE SEMEJANZA
LLL sus 3 lados respectivamente proporcionales LAL 2 lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente. AAA . Si dos de sus ángulos son congruentes. Ya que , si dos ángulos son congruentes el tercero también lo es.
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CRITERIO LLL
4 = 6 = 5 = 1 8 12 10 2
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CRITERIO AAA también se llama AAPorque bastan dos ángulos
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CRITERIO LAL 4 = 12 = 2 6 18 3
Razón de semejanza 2 : 3
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8 110 4 x 40 6
10 30
TRIÁNGULOS SEMEJANTES Calcula el valor de x 8 = 4 6 x
x = 3
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3 = 2 9 x x x = 6
9 AC // ED
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10
8 = x ; 10 15x = 12
En las dos figuras
10 = 8 15 x x = 12
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12 48 8
1x + 2x + 3x = 48 6x = 48 x = 8
AP = 8 PR = 16 RB = 24 AB = 48 AP = SP 8 = 12
AB BC 48 y y = 72
y
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FIN
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