Cálculo II
São Cristóvão/SE2009
Samuel da Cruz Canevari
CapaHermeson Alves de Menezes
Elaboração de ConteúdoSamuel da Cruz Canevari
C221c Canevari, Samuel da Cruz. Cálculo II / Samuel da Cruz Canevari -- São Cristóvão: Universidade Federal de Sergipe, CESAD, 2009.
1. Cálculo. 2. Matemática. I. Título.
CDU 517.2/.3
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Cálculo II
Reimpressão
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Isabela Pinheiro Ewerton
Sumário
Aula 1: Integrais Impróprias 7
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Extremos de Integração Infinitos . . . . . . . . . . 8
1.3 Integrais Impróprias com descontinuidades . . . . . 11
1.4 Convergência de Integrais Impróprias . . . . . . . . 14
1.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Aula 2: Seqüências de Números Reais 19
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Seqüências e Subseqüências . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Seqüências Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Seqüências Monótonas e Seqüência Limitadas . . . 29
2.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 35
2.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Aula 3: Séries de Números Reais 37
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Séries Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 56
3.6 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Aula 4: Séries de Potências 59
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Série de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Representação de Funções . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.6 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 70
4.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Aula 5: Métodos de Representação de Funções em
Séries de Potências 73
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2 Diferenciação e Integração . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 Séries de Taylor e de Maclaurin . . . . . . . . . . . 76
5.4 Séries Binomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.7 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 89
5.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Aula 6: Equações Paramétricas 91
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2 Equações Paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.3 Cálculo com Curvas Paramétricas . . . . . . . . . . 95
6.3.1 Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3.2 Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.3.3 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . 101
6.3.4 Área de Superfície . . . . . . . . . . . . . . 102
6.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.6 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 105
6.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Aula 7: Curvas Polares 107
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2 Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.3 Curvas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.4 Tangentes as Curvas Polares . . . . . . . . . . . . . 114
7.5 Áreas e Comprimentos em Coordenadas Polares . . 116
7.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.8 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 122
7.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Aula 8: Funções com Valores Vetoriais 123
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.2 Definições e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . 124
8.3 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.4 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.5 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.8 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 131
8.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Aula 9: Curvas Espaciais 133
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.2 Movimentos no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.3 Movimento no espaço: Velocidade e Aceleração . . 142
9.4 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.7 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 149
9.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Aula 10: Funções de Varias Variáveis Reais a Valores
Reais 151
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.2 Noções Topológicas no R2 . . . . . . . . . . . . . . 152
10.3 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.4 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.5 Curvas de Nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
10.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.8 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 170
10.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Aula 11: Limites, Continuidade e Derivadas Parciais 173
11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
11.2 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
11.3 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
11.4 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
11.5 Derivadas parciais de ordem superior . . . . . . . . 187
11.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
11.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
11.8 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 193
11.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Aula 12: Funções Diferenciáveis 195
12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
12.2 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
12.3 Plano Tangente e Reta Normal . . . . . . . . . . . 204
12.4 A Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
12.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
12.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
12.7 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 213
12.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Aula 13: Regra da Cadeia e Derivação Implícita 215
13.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
13.2 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
13.3 Derivação de funções definidas implicitamente . . . 218
13.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
13.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
13.6 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 224
13.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Aula 14: Vetor Gradiente e as Derivadas Direcionais 225
14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
14.2 Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
14.3 Derivada Direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
14.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
14.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
14.6 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 237
14.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Aula 15: Máximos e Mínimos 239
15.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
15.2 Pontos de Máximo e Pontos de Mínimo . . . . . . 240
15.3 Máximos e Mínimos sobre Conjuntos Compactos . 246
15.4 Máximos e Mínimos Condicionados . . . . . . . . . 250
15.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
15.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
15.7 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 260
15.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
1AULA
1LIVRO
Integrais Impróprias
META
Apresentar os conceitos e pro-
priedades de integrais com extremos
de integrações infinitos e integrais
de funções com descontinuidade.
OBJETIVOS
Calcular áreas de regiões não limi-
tadas.
PRÉ-REQUISITOS
Conceitos de funções reais, funções
contínuas e o Teorema Fundamental
do Cálculo.
Integrais Impróprias
1.1 Introdução
Caros alunos, estamos iniciando o curso de Cálculo II. Neste curso,
faremos uso de bastantes conceitos e resultados vistos no curso de
Cálculo I. Esta primeira aula tem por objetivo estender o Teorema
Fundamental do Cálculo (TFC) e definir as Integrais Impróprias.
No TFC, os limites de integração, a e b em∫ b
af(x)dx, são
números reais e f uma função contínua no intervalo [a, b]. Pode
acontecer que, ao aplicarmos estes conceitos, seja preciso ou con-
veniente considerar os casos em que a = −∞, b = +∞, ou f seja
descontínua em um ou mais pontos do intervalo. Nestas condições,
é preciso ampliar conceito de integral e as técnicas de integração,
de modo a incluir estes casos adicionais. Estas integrais, em que
a = −∞, b = +∞ ou f é descontínua em [a, b], são chamadas Inte-
grais Impróprias. Nem sempre uma integral deste tipo representa
um número real, isto é, nem sempre uma integral imprópria ex-
iste. Quando ela existe, seu valor é calculado levando-se em conta
a generalização do conceito de integral definida.
1.2 Integrais Impróprias com Extremos de
Integração Infinitos
Exemplo 1.2.1. Consideremos o problema de encontrar área da
região limitada pela curva y = ex , pelo eixo−y e pela reta x =
b > 0 como mostra a Figura 1.1 abaixo.
Se A unidades de área for a área da região, então
A =∫ b
0e−xdx = −e−x
∣∣b0
= 1 − e−b = 1 − 1eb
.
8
Livro de Cálculo II
1AULA
Figura 1.1: Área
Se deixarmos b crescer sem limitações, então
limb→∞
∫ b
0e−xdx = lim
b→∞(1 − 1
eb) = 1. (1.1)
Segue da equação (1.1) que não importa quão grande seja o
valor de b, a área da região será sempre menor do que 1 unidades
de área.
A equação (1.1) estabelece que se b > 0 para todo ε > 0 existe
um N > 0 tal que
se b > N então |∫ b
0e−xdx − 1| < ε.
Em lugar de (1.1) escrevemos∫ ∞
0e−xdx = 1. Em geral temos
as seguintes definições:
Definição 1.1. (i) Se f for contínua para todo x ≥ a, então
∫ ∞
af(x)dx = lim
b→∞
∫ b
af(x)dx
se esse limite existir;
(ii) Se f for contínua para todo x ≤ b, então
∫ b
−∞f(x)dx = lim
a→−∞
∫ b
af(x)dx
9
Integrais Impróprias
se esse limite existir;
(i) Se f for contínua para todos valores de x e c for um número
real qualquer, então
∫ ∞
−∞f(x)dx = lim
a→−∞
∫ 0
af(x)dx + lim
b→+∞
∫ b
0f(x)dx
se esse limite existir;
Na definição acima, se o limite existir, diremos que a integral
imprópria é convergente, caso caso contrário, diremos que é diver-
gente.
Exemplo 1.2.2. Calcule a integral, se ela convergir:∫ 2
−∞dx
(4 − x)2.
(Ver Figura 1.2)
Figura 1.2: Área com extremo inferior indefinido.
Resolução:
∫ 2
−∞dx
(4 − x)2= lim
a→−∞
∫ 2
a
dx
(4 − x)2
= lima→−∞
[1
4 − x
]2
a
= lima→−∞(
12− 1
4 − a) =
12.
Exemplo 1.2.3. Estude a convergência da integral:∫ +∞
0xe−xdx.
10
Livro de Cálculo II
1AULA
Resolução:
∫ +∞
0xe−xdx = lim
a→+∞
∫ a
0xe−xdx
Para calcular essa integral, usaremos integração por partes com
u = x, dv = e−x, du = dx e v = −e−x. Assim,
∫ +∞
0xe−xdx = lim
a→+∞[−xe−x − e−x
]a
0
= lima→+∞(−ae−a − e−a + 1)
= − lima→+∞
a
ea− 0 + 1.
Aplicando a regra de L’Hospital temos que
lima→+∞
a
ea= lim
a→+∞1ea
= 0
e portanto ∫ +∞
0xe−xdx = 1.
1.3 Integrais Impróprias com descontinuidades
Exemplo 1.3.1. Suponha que queremos obter a área da região
do plano limitada pela curva cuja equação é y =1√x
, pelo eixo-x,
pelo eixo-y e pela reta x = 4. Conforme ilustrado na Figura 1.3
abaixo:
Se for possível ter um número que represente a medida da área
dessa região, ele será obtido pela integral
∫ 4
0
1√x
.
Entretanto, o integrando é descontínuo no extremo inferior zero.
Além disso, limx→+∞
1√x
= +∞, assim dizemos que o integrando tem
11
Integrais Impróprias
Figura 1.3: Área com descontinuidade no extremo inferior de inte-
gração
uma descontinuidade infinita no extremo inferior. Essa integral é
imprópria e sua existência pode ser determinada da seguinte forma:∫ 4
0
1√x
= limt→0+
∫ 4
t
1√x
= limt→0+
(2√
x∣∣4t) = lim
t→0+(4 − 2
√t) = 4
logo 4 será a medida da área da região dada.
Mais geralmente temos a seguinte definição:
Definição 1.2. (i) Se f for contínua para todo x do intervalo
semi-aberto à esquerda (a, b], e se limx−→a+
f(x) = ±∞, então
∫ b
af(x)dx = lim
t→a+
∫ b
tf(x)dx
se esse limite existir;
(ii) Se f for contínua para todo x do intervalo semi-aberto à direita
[a, b), e se limx−→b−
f(x) = ±∞, então
∫ b
af(x)dx = lim
t→b−
∫ t
af(x)dx
se esse limite existir;
(iii) Se f for contínua para todos valores de x no intervalo [a, b]
12
Livro de Cálculo II
1AULA
exceto c, onde a < c < b e se limx−→c
|f(x)| = +∞, então
∫ b
af(x)dx = lim
t→c−
∫ t
af(x)dx + lim
s→c+
∫ b
sf(x)dx
se esse limite existir;
Exemplo 1.3.2. Calcule a integral, se ela for convergente:∫ 2
0
dx
(x − 1)2.
Resolução:
O integrando tem uma descontinuidade infinita em 1, ou seja,
limx−→1
dx
(x − 1)2= +∞, portanto, pela definição que acabamos de
estabelecer, temos∫ 2
0
dx
(x − 1)2= lim
t→1−
∫ t
0
dx
(x − 1)2dx + lim
s→1+
∫ 2
s
dx
(x − 1)2dx
= limt→1−
(− 1x − 1
)|t0 + lims→1+
(− 1x − 1
)|2s
= limt→1−
(− 1t − 1
− 1) + lims→1+
(1
s − 1− 1)
Como nenhum desses limites existe, a integral imprópria é diver-
gente.
Se no exemplo anterior não tivéssemos notado a descontinuidade
do integrando em 1, teríamos∫ 2
0
dx
(x − 1)2= (− 1
x − 1)|20 = −2.
Esse resultado é obviamente incorreto, uma vez que1
(x − 1)2nunca
é negativo.
Exemplo 1.3.3. Calcule a integral, se ela existir:∫ 1
0x ln xdx.
Resolução:
O integrando tem uma descontinuidade no extremo inferior. Por-
tanto, escrevemos∫ 1
0x ln xdx = lim
t−→0+
∫ 1
tx ln xdx
13
Integrais Impróprias
Para calcular essa integral, usaremos integração por partes com
u = ln x, dv = xdx, du = 1xdx e v = x2
2 . Assim,∫ 1
0x ln xdx = lim
t−→0+
∫ 1
tx ln xdx = lim
t−→0+(12x2 ln x − 1
4x)|1t
= limt−→0+
(12ln(1) − 1
4− 1
2t2ln(t) +
14t)
= −14− 1
2lim
t−→0+t2ln(t).
Note que limt−→0+
t2ln(t) é uma indeterminação to tipo 0.(−∞). Para
calcular esse limite, usaremos L’Hospital,
limt−→0+
t2ln(t) = limt−→0+
ln(t)1t2
= limt−→0+
1t
− 2t3
= limt−→0+
− t2
2= 0.
Logo, ∫ 1
0x ln xdx = −1
4.
1.4 Convergência e Divergência de Integrais
Impróprias: Critério de Comparação
Algumas vezes é impossível encontrar o valor exato de uma in-
tegral imprópria, mais ainda assim é importante saber se ela é
convergente ou divergente. Em tais casos o critério de comparação
é útil.
Observamos, inicialmente, que se f for integrável em [a, t], para
todo t > a, e se f(x) ≥ 0 em [0, +∞), então a função
F (x) =∫ x
af(t)dt, x ≥ a
será crescente em [0, +∞). De fato, se x1 e x2 são dois valores reais
quaisquer, com 0 ≤ x1 < x2 então
F (x2) − F (x1) =∫ x2
af(t)dt −
∫ x1
af(t)dt =
∫ x2
x1
f(t)dt ≥ 0.
14
Livro de Cálculo II
1AULA
Segue que, limx−→∞
∫ x
af(t)dt ou será finito ou +∞; será finito e
existir M ≥ a tal que∫ x
af(t)dt ≤ M para todo x ≥ a.
Critério da Comparação: Sejam f e g duas funções integráveis
em [a, t], para todo t > a, e tais que, para todo x ≥ a, 0 ≤ f(x) ≤g(x). Então
a)∫ +∞
ag(x)dx converge =⇒
∫ +∞
af(x)dx converge.
b)∫ +∞
af(x)dx diverge =⇒
∫ +∞
ag(x)dx diverge.
Demostração:
a) limt−→+∞
∫ +∞
ag(x)dx é finito, pois por hipótese,
∫ +∞
ag(x)dx é
convergente. De 0 ≤ f(x) ≤ g(x), para todo x ≥ a, resulta∫ t
af(x)dx ≤
∫ t
ag(x)dx ≤
∫ +∞
ag(x)dx.
Sendo F (t) =∫ ta f(x)dx crescente e limitada, resulta que lim
t−→+∞
∫ t
af(x)dx
será finito e, portanto,∫ +∞
af(x)dx será convergente.
b) análoga. ��
Exemplo 1.4.1. Verifique que∫ +∞
0e−xsen2xdx é convergente.
Resolução:
Note que,
0 ≤ e−xsen2x ≤ e−x, para todo x ≥ 0
e mais∫ +∞
0e−xdx = lim
t−→∞
∫ t
0e−xdx = lim
t−→∞(e−t + 1) = 1,
15
Integrais Impróprias
logo,∫ +∞
0e−xdx é convergente. Segue do critério de comparação
que∫ +∞
0e−xsen2xdx é convergente e, além disso,
∫ +∞
0e−xsen2xdx ≤
1.
Exemplo 1.4.2. Verifique que a integral imprópria∫ +∞
1
x3
x4 + 3dx
é divergente.
Resolução:
Note quemx3
x4 + 3=
1x· x2
1 + 3x4
.
Para todo x ≥ 1,x2
1 + 3x4
≥ 14, e, portanto,
x3
x4 + 3≥ 1
4x> 0.
De∫ +∞
0
14x
dx = +∞, segue, pelo critério de comparação, que∫ +∞
1
x3
x4 + 3dx é divergente.
1.5 Resumo
Nesta aula, você aprendeu calcular a∫ b
af(x)dx onde a = −∞ e
b = +∞; ou f é descontínua em um ou mais pontos do intervalo
[a, b]. Esta ferramenta será bastante útil nas próximas aulas, onde
estudaremos convergências de séries numéricas.
1.6 Atividades
01. Estude a convergência das integrais a seguir:
(a)∫ +∞
−∞xe−xdx (c)
∫ +∞
−∞xe−x2
dx (e)∫ +∞
1
ln x
xdx
16
Livro de Cálculo II
1AULA(b)
∫ +∞
1
1x
dx (d)∫ +∞
1
1x2
(f)∫ +∞
−∞xdx
02. Calcule as seguintes integrais, se existirem:
(a)∫ 1
0
1√x
dx (c)∫ 1
0ln x dx (e)
∫ 2
−1
14 − x2
dx
(b)∫ 1
0
1x
dx (d)∫ 3
1
x2
√x3 − 1
(f)∫ π
4
0
cos x√sen x
dx
03. Suponha f integrável em [a, t), para todo t ≥ a. Prove que se∫ +∞
0|f(x)|dx é convergente, então
∫ +∞
0f(x)dx também é con-
vergente. (Sugestão: use que 0 ≤ |f(x)| + f(x) ≤ 2|f(x)| e que
f(x) = |f(x)| + f(x) − |f(x)|)
04. Usando o exercício 03., prove que a integral∫ +∞
0e−xsen3xdx
é convergente.
05. A integral∫ +∞
1
sen x
xdx é convergente ou divergente? Justi-
fique sua resposta.
1.7 Comentário das Atividades
A atividade 01. é para você (aluno) praticar os conceitos vistos na
Seção 1.2. Se você conseguiu resolver todos os ítens desta ativi-
dade, então você aprendeu a calcular integrais impróprias com ex-
tremos de integração infinitos.
A atividade 02. é referente a Seção 1.3. Conseguiu resolver to-
dos os ítens desta atividade? Que bom!!! Você aprendeu a calcular
17
Integrais Impróprias
integrais impróprias com descontinuidades.
Nas atividades 03., 04. e 05. devem usar os resultados vistos na
Seção 1.4. Tais resultados são muito úteis no cálculo de integrais
impróprias.
1.8 Referências
• GUIDORIZZI, H. L., Um Curso de Cálculo (Vol. 1 e 2).
Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.
• STEWART, J., Cálculo (vol. 1 e 2). São Paulo: Pioneira
Thomson Learning, 2006.
• THOMAS, G. B., Cálculo (vol. 1 e 2). São Paulo: Addison
Wesley, 2002.
18