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Résumé
Ce travail propose un nouvel algorithme dont l’objet est d’améliorer la qualité de la reconstruction tomographique d’une géométrie d’acquisition parallèle éventail, ou l’idée directrice consiste a augmenter virtuellement et sensiblement la résolution angulaire de l’ensemble des projections acquis que se soit par atténuation des rayons X comme dans le cas des scanners CT, ou comptage des photons GAMMA dans le mode tomographique d’une gamma camera à capteur plan rotatif. La méthode proposée est basée sur un calcul estimatif de projections virtuelles par l’exploitation de la propriété du zero-padding ZP de la transformée de fourrier discrète 2D des projections disposées dans un sinogramme 2D pour aboutir, finalement, à un sinogramme augmenté de haute résolution angulaire.
Abstract This work aims to suggests a new algorithm that improves the tomographic reconstruction quality of a parallel acquisition geometry throughout a virtual yet substantial increase in the angular resolution of the measuring physical device responsible for acquiring set of projections either by X-rays attenuation, as in the case of CT scanners, or by photon-counting Gamma in a tomographic mode of a gamma camera with a rotating flat panel detector.
The suggested method is based on an estimated calculation of virtual projection using the zero padding property of a 2D discrete Fourier Transform tabulated in a 2D sonogram that is a sonogram of higher angular resolution.
USTO-LAAR
Table des matières
Remerciement Résumé Abstract Introduction générale I
CHAPITRE I SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
1.2 Qu’est-ce que la tomographie ? 05
1.3 Tomographie de transmission 071.3.1 Scanner 07
Principes physiques 07 Générations de scanners 09
Qualité des images : artefacts et performances 12 Conclusion 14 1.3.2 IRM 15 Principes physiques 15 Appareil 16 Images et artefacts 16 Conclusion 18 1.3.3 Ultrasons 19
Principes physiques 19 Appareil 20 Forme des données 21 Conclusion 22
1.4 Tomographie d’émission 22 1.4.1 Tomographie par émission de positons (TEP) 23
Principes physiques 23 Appareil 25 Données - artefacts et performances 26 Forme des données 26 Facteurs de dégradation de l’image Pour la modalité TEP 29 Conclusion 311.4.2 TEPS 31 Principes physiques 32 Appareil 32 Données et erreurs 34 Conclusion 34
1.5 Nouvelles voies de la tomographie 34 1.5.1 Tomosynthèse (Radiologie tridimensionnelle) 34
USTO-LAAR
Appareil 35 Acquisition et images 35 Conclusion 37
Appareillages multi modalités 37 1.6 Conclusion 38
CHAPITRE II
GEOMETRIE D’ACQUISITION
2.1 Introduction 392.2 Géométrie d’acquisition 2D 40 2.2.1 Géométrie parallèle 41 2.2.2 Géométrie en éventail (Fan Beam) 422.3 Géométrie d’acquisition 3D 47 2.3.1 Géométrie parallèle 47 2.3.2 Géométrie Cone-Beam 48 2.3.3 Géométrie hélicoïdale 51 2.4 Conclusion 51
CHAPITRE III
MATHEMATIQUES EN TOMOGRAPHIE
3.1 La reconstruction tomographique : un problème inverse 53 3.2 Méthodes fondées sur une représentation continue de l’espace 54
3.2.1 Le théorème de la tranche centrale 543.2.2 Problème en 2 dimensions 54
3.2.3 Problème en 3 dimensions 57 3.3 Transformation de Fourier 58 3.4 Rétroprojection Filtrée (FBP : Filtered Backprojection) 59 3.5 Algorithme 62 3.6 Le filtre rampe 63 3.7 Conclusion 64
CHAPITRE IV
TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE 4.1 Numérisation de la méthode FBP 66 4.2 Simulation numérique de la projection 67 4.3. Influence de la discrétisation du plan spatial sur la simulation de la projection 68 4.4. Algorithme de calcul de la transformée de radon : 71 4.5 Analyse du bruit sur l'image reconstruite (rôle du filtrage) 73 4.5.1 Filtre de Shepp-Logan : 77
USTO-LAAR
4.5.2 Filtre de hanning 78 4.5.3 Filtre cosine 79
4.6 Simulation de la rétroprojection 80 4.7. Application de la méthode FBP sur une image de coupe 83 4.7.1. Calcul de la transformée de Fourie 85
4.7.2. Construction du filtre 85 4.7.3. Le filtrage 86 4.7.4. La transformée de Fourier inverse 86
4.7.5. La rétro-projection 87 4.8. Etude des Paramètres de l'algorithme de la rétro-projection 89
4.8.1. Le nombre de projections 89 4.8.2. Influence des paramètres du filtrage 90
4.9. Conclusion 93
CHAPITRE V
RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
5.1 Introduction 95 5.2 Troncature d’un signal discrétisé 95 5.3 Analyse spectrale par TFD 97 5.4 Zéro-Padding ou bourrage en zéros 99 5.5 Propriété de l’interpolation par zéro-padding 100 5.6 Zéro-padding des signaux images 2D 101 5.7 Estimation des projections de radon pour augmenter virtuellement la résolution angulaire d’un système d’acquisition tomographique
103
5.7.1 Implémentation Du ZP dans la reconstruction tomographique à projection parallèles
103
5.7.2 Estimation des projections par Zero padding 104 5.7.3 Application du Zp en projection parallèles 106 5.7.4 Tomo-Reconstruction par FBP sur le sinogramme estimé 120 5.7.5 Évaluation de l’apport d’interpolation par zéro-padding 109 5.7.6 Interprétation 113 5.8 Contribution du Zp comparativement à d’autre méthode d’interpolation 116 5.8.1 Mesure de la stabilité des nivaux de gris des régions 120 5.9 Etude de l’interpolation ZP sur la reconstruction des profiles d’acquisition en éventail
122
5.9.1 Mesure de la stabilité des nivaux de gris des régions 126 5.10 Problème d’irrégularité du pas de projection 127 5.10.1 Détections d’arc dans un scanner CT 128 5.10.2 Simulation d’une situation d’arc électrique de source a rayons X 129 5.10.3 Implémentation de l’interpolation par zéro padding pour la compensation de projections perdues
131
USTO-LAAR
5.10.4 Evaluation et comparaison avec la méthode linéaire 137 5.10.5. Calcul de l’erreur NRMSE 139 5.10.6. Calcul comparatif de l’écart type d’une région homogène 139 5.11 Conclusion 141
Conclusion générale et perspectives VI
142
Liste de figures Liste de tableaux Bibliographie
INTRODUCTION
USTO-LAAR i
Introduction
Explorer l’intérieur du corps humain, directement ou indirectement est recherché par l’humanité
depuis des siècles. L’imagerie médicale, depuis la mise en œuvre de l’imagerie par rayons X par
W.C. Roentgen en 1895 permit à l’homme de voir, de manière non invasive, dans le corps
humain. Cette découverte a ouvert la voie vers une nouvelle ère qui a permis la mise en œuvre de
nombreuses théories et comprendre d’avenage les techniques pour voir mieux l’intérieur et le
fonctionnement du corps humain.
Pour étudier l’anatomie du corps, différentes modalités d’imagerie médicale ont été mises au
point. Ces modalités ayant chacune une spécificité particulière. Elles répondent à des besoins
spécifiques et se répartissent en trois catégories : l’imagerie tomographique qui représente une
coupe du corps, l’image par projection qui exploite l’interaction de radiations selon des directions
connues dans le corps humain et l’imagerie tomographique métabolique qui est une image de la
distribution spatiale de l’interaction locale des radiations avec des tissus dans une coupe fine du
corps humain.
Dans les années 70, la mise au point du scanner (tomodensitométre) constitua une avancée
fondamentale de l’imagerie médicale. Il permet de mesurer les propriétés des tissus en tout point
du corps. Dans les années 80, l’imagerie par résonance magnétique nucléaire est mise au point.
Elle permet de mesurer les propriétés magnétiques des tissus. D’autres modalités ne vont pas
tarder à voir le jour comme les ultra-sons, la tomographie par émission de positons (TEP ou PET
: Positon Emission Tomography) ou la tomographie par émission de photons simples (TEPS ou
SPECT : Single Photon Emission Computed Tomography).
La géométrie d’acquisition des projections a évolué avec les générations d’appareils. Une des
principales préoccupations était d’acquérir les projections le plus vite possible. Les premiers
scanners ne possédaient que des capteurs linéiques qui devaient être animés à la fois d’un
mouvement de translation et de rotation. L’acquisition était lente et les artefacts dus aux
INTRODUCTION
USTO-LAAR ii
mouvements du patient étaient nombreux. Les générations suivantes modifièrent la géométrie
d’acquisition pour arriver à une géométrie conique puis hélicoïdale.
De nombreux travaux se sont intéressés à l’amélioration de la qualité de la reconstruction
tomographique sur le plan technologique par l’optimisation des dispositifs d’acquisition, de
mesure et de traitement du signal par les étages électroniques des détecteurs et numériseur, alors
que pour d’autres c’est le procédé de reconstruction tomographique qui a fait objet de
développement par de puissants outils numériques [52].
L’augmentation de la puissance de calcul a permis aux algorithmes numériques de remplacer
certaines fonctionnalités technologiques sur les imageurs tomographiques actuels, comme
l'inclinaison robotisée du rotor dans les anciennes générations de scanners, une fonction
remplacée par extrapolation numérique dans les appareils de dernière génération.
Si l’évolution des imageurs tomographiques était principalement orientée vers la diminution
des temps d’acquisitions pour réduire la dose d’exposition du sujet au rayonnement ionisant, la
résolution quant à elle se trouvait limitée ou réduite de part le temps mort nécessaire à la
réaction des étages électroniques du traitement des signaux, bien que le nombre de données
injectées dans un processus de synthèse tomographique constitue le paramètre déterminant de la
résolution de l’image finale. De nombreux travaux se sont penchés sur la question, tels les
travaux de Patrick[100], qui a réalisé une étude comparative des techniques d’interpolation
spatiales localisées par approche statistique sur les procédés de reconstructions tomographiques
L’idée étant d’injecter des mesures obtenues par interpolation de projection virtuelles afin
d’augmenter la résolution d’acquisition, alors que les travaux de M. Bertram et J. Wiegert,[101]
suggèrent un usage plus raffiné de l’interpolation par l’injection de projections entières sur les
lignes directionnelles de reconstruction dans le cas du problème de la tomographie à faible
nombre de projections. D’autres travaux s’intéressent aux compléments de données pour enrichir
une reconstruction en volume 3D ou bien 4D comme le cas des travaux de M. Endo et S. Mori
[98].
INTRODUCTION
USTO-LAAR iii
La non consistance des données en projection pour une bonne reconstruction n’est pas seulement
un problème modélisable et prédictible de l’architecture de la chaine de mesure du dispositif
d’acquisition, mais peut parfois être le résultat d’une défaillance inévitable et aléatoire du
système d’acquisition comme la détection d’arcs dans la source de rayons-X du tomographe,
causant une perte des données à des intervalles irréguliers. Ce problème est étudié dans les
travaux de Rajwadea et Millerb [102] qui proposent une alternative combinée pour la
compensation partielle des pertes en projections[52].
C’est dans dans cette optique, que l’on peut formuler le sujet de notre étude l’idée d’adapter la
technique d’interpolation spectrale par zero-padding [97] à la reconstruction tomographique afin
d’augmenter virtuellement la résolution angulaire dans un processus de reconstruction par
rétroprojection filtrée dans un domaine de Fourier bidimensionnelle.
Notre approche, se présente sous forme d’étages de traitement informatique des données brutes
du sinogramme, facilement intégrable dans n’importe quel système de reconstruction
tomographique a cause de la linéarité de la méthode de reconstruction par rétroprojection filtrée.
Cette méthode exploite la propriété de la transformée de Fourier discrète 2D et sont inverse pour
opérer sur les projections disposées dans un sinogramme 2D ainsi bien dans le domaine spatial
que fréquentiel pour aboutir à un sinogramme de haute résolution angulaire.
En résumé cette thèse compte cinq chapitres. Dans le premier chapitre est présenté un aperçu
sur les systèmes d’imagerie médicale disponibles sur le marché. Le chapitre 2 décrit les
différentes géométries d’acquisition et les chapitre 03 et 04 exposent les fondements analytiques
et numériques du processus de reconstruction de la synthèse de ces images pour deux types de
géométries.
Le chapitre 05, présente une étude exhaustive sur le potentiel de la méthode du Zéro-padding,
où on a mis à l’épreuve notre algorithme contre les problèmes de reconstruction à faible nombre
de projections. La validation des résultats fait appel à une étude statistique où l’on compare notre
technique avec la méthode linaire localisée, largement exploitée dans le milieu industriel.
INTRODUCTION
USTO-LAAR iv
Les tests de validation sont effectués sur un phontome 256x256 en niveau de gris qui simule
une coupe du corps humain avec le contraste habituel. Le développement s’est fait en matlab 6.5,
A la fin du chapitre 05 on propose une méthodologie pour adapter notre approche d’interpolation
spectrale au problème de perte aléatoire des projections causée par la manifestation d’arcs dans
les sources de rayonnements de ces machines. Une comparaison entre notre approche et les
méthodes de correction standard démontre l’intérêt de l’utilisation de notre outil numérique pour
de telles situations.
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 4
Chapitre I
Systèmes d’acquisition tomographique[52]
Il existe de très nombreuses modalités en imagerie tomographique dont quelques-unes sont
listées dans la table 1.1. Ces modalités ont évolué depuis la découverte des rayons X par
Roentgen en 1895. Le but de ce chapitre est de présenter certaines de ces modalités qui utilisent
l’acquisition tomographique. Ces modalités se différencient par les phénomènes physiques qui
sont utilisés pour obtenir les images. Les capteurs détectent des ondes acoustiques, des ondes
électromagnétiques ou bien des rayonnements photoniques. Selon la modalité utilisée, le
contraste dans l’image obtenue change et les régions sont mises en valeur différemment [52].
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 5
Nous allons voir les principes physiques de certaines de ces modalités, les méthodes
d’acquisition et leurs applications. La sortie d’un système d’imagerie tomographique fournit des
images bi ou tri-dimensionnelles. Elles sont échantillonnées sur des grilles de pixels ou de voxels.
Dans la suite du document, nous utiliserons le néologisme de JP. Guédon pour qualifier
indépendamment de la dimension, un élément d’information par ixel (ce qui donne pixel en
dimension deux et voxel en dimension trois). La taille de ces ixels définit la résolution spatiale de
la modalité. Si le système d’acquisition est dynamique, on peut aussi définir une résolution
temporelle du système. Les rayonnements utilisés traversent la totalité de l’objet à représenter. Ils
fournissent une information globale, intégrant l’ensemble des contributions des régions
traversées. Nous allons tout d’abord rappeler brièvement ce qu’est la tomographie, puis nous
allons présenter des appareils d’acquisition tomographique selon deux volets principaux, la
tomographie de transmission et la tomographie d’émission. Les systèmes d’acquisition
tomographiques permettent l’obtention de données soit par transmission de rayon X par exemple
à travers le corps humain soit directement par émission de photons à partir, par exemple, de la
désintégration d’un corps radioactif dans le corps humain[52].
1.2 Qu’est-ce que la tomographie ? La tomographie est une technique de création d’image par section. Ce mot vient de deux
racines grecques : tomos « morceau coupé » et graphein « écrire ». Elle consiste à reconstruire
une vision en trois dimensions d’un objet à partir d’une série d’images en deux dimensions. On
Fig. 1.1 – Projection tomographique selon un angle θ.
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 6
peut donc avoir une vision de la structure interne d’un objet sans découper matériellement cet
objet. La tomographie est utilisée en médecine, en géologie ou encore pour le contrôle de la
qualité des pièces manufacturées. Un objet est reconstruit à partir de l’acquisition d’un nombre
fini de projections. La figure (1.1) peut être considérée comme une figure générique donnant la
projection 1D à l’angle θ de l’objet 2D. La tomographie consiste à acquérir un ensemble de
projections d’angles θi différents puis à reconstruire une approximation de l’objet 2D [52].
TAB.1.1 : Tableau comparatif de quelques modalités d’imagerie tomographiques[33]
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 7
1.3 Tomographie en transmission Dans cette partie la (figure 1.1) est présenté de la façon suivante : les traits parallèles irradiant
l’objet 2D proviennent d’une source extérieure, c’est la tomographie de transmission. Quelques
types d’appareils utilisant les rayons X, la résonance magnétique nucléaire et les ultrasons sont
présentés dans ce qui suit.
1.3.1 Scanner Le scanner X ou tomodensitométrie (TDM ou Computed Tomography) est une modalité
d’imagerie médicale qui permet d’obtenir un plan de coupe de la distribution des tissus humains.
Ces coupes sont reconstruites à partir de la mesure de l’atténuation du faisceau de rayon X dans
le volume étudié. Le premier prototype industriel a été réalisé par Allan M. Cormack et Godfrey
N. Hounsfield qui ont reçu le prix Nobel de médecine pour leurs travaux en 1979 [30][52].
Principe physique
L’atténuation spatiale du faisceau de rayons X due à la traversée d’un corps absorbant permet
d’obtenir la distribution de la densité du plan de coupe.
Fig. 1.2 : Scanner Sommaton Sensation de Siemens Medical [Siemens AG].
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 8
Sous l’hypothèse d’un rayonnement monochromatique d’énergie E et d’un flux incident Ф0, le
flux de photons X transmis Ф est donne par la loi de Beer-Lambert :
Ou μ est le coefficient d’atténuation linéaire des tissus [32]. On peut obtenir un faisceau
monochromatique à la sortie du tube à rayons X en utilisant des filtres.Si S est la source et D un
détecteur, la mesure
est l’intégrale du coefficient d’atténuation linéique total à l’énergie E entre la source et le
détecteur. L’ensemble des mesures intégrales pour un objet selon divers angles permet de
reconstruire L’image de μ(x, y). Après reconstruction, les images sont normalisées en unités de
Hounsfield :
Ou μ est le coefficient d’atténuation considère et μeau celui de l’eau. Par exemple μair = −1000,
μgraisse = −60 à − 120 et μos = 1000.
Fig. 1.3 : Traversée d’un corps d’épaisseur x par un faisceau de rayon X.
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 9
Générations de scanners Depuis les années 1970, les scanners ont évolué et plusieurs générations de machines se sont
succédées. Généralement, l’ensemble générateur/détecteur de rayons X est solidarisé par un
montage mécanique rigide qui définit un plan de coupe. L’objet à étudier est placé dans le
faisceau et on mesure, à l’aide de détecteurs linéiques ou en couronne, l’atténuation du
rayonnement due à l’objet traversé situé dans ce plan. La source tourne autour de l’objet pour
acquérir différents plans de coupe et ensuite permettre la reconstruction figure (1.4) [52].
Fig 1.4 : Géométrie des différentes générations de scanners [3].
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 10
Les détecteurs étant constitués de cristaux à scintillation ou de chambres d’ionisation permettant
de quantifier l’atténuation du faisceau de rayons X. Actuellement, les détecteurs à semi-
conducteurs (scintillateurs associés à des photodiodes) donnent une meilleure réponse et ont pris
le dessus dans la technologie des détecteurs des scanners hélicoïdaux. Pour les détecteurs à semi-
conducteur, plus de 90% de l’information est restituée contre 50 à 90 % pour les détecteurs à gaz
(chambre d’ionisation au Xe). Les contraintes principales que doivent supporter les détecteurs des
scanners sont [33] [52] :
une bonne efficacité de détection (> 70 %),
une grande dynamique (2.105),
une décroissance rapide du signal après coupure du faisceau.
Les scanners de première et deuxième génération effectuaient des translations et des rotations de
l’ensemble source/détecteurs autour de l’objet étudié figure (1.4.a). Les rotations de l’ensemble
source/détecteurs étaient égales à l’angle d’ouverture du faisceau. Pour balayer tout l’objet,
l’ensemble source-détecteur devait translater. La première génération ne comportait que deux
détecteurs séparés permettant d’obtenir deux coupes simultanément avec un temps d’acquisition
de plusieurs minutes.
Pour la troisième génération de scanner, l’objet se trouve entièrement dans le faisceau de rayons
X. Les détecteurs sont placés en arc de cercle et voient toujours la source sous la même
incidence figure (1.4.b). Les détecteurs sont courbes et comportent environ 1000 détecteurs
unitaires. L’ensemble source/détecteurs se déplace d’un mouvement de rotation autour du patient.
La quatrième génération de scanner est constituée d’une couronne de détecteurs fixes et seule la
source est mobile autour du patient à l’intérieur de cette couronne figure (1.4.c). La aussi le
faisceau de rayon X est là aussi divergent et irradie tout le patient comme pour les scanners de
troisième génération.
La source est plus proche du patient ce qui se traduit par une résolution spatiale est dégradée.
l’ouverture du faisceau doit être plus importante. Les couronnes de détecteurs doivent contenir de
2000 à 4800 détecteurs pour que l’appareil ait de bonnes performances. Les scanners de troisième
et quatrième génération ont permis de réduire le temps d’acquisition des données et par la meme
les artefacts dus aux mouvements involontaires ou physiologiques des patients.
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 11
Au début des années 1990 sont apparus des tomographes à rotation continue. Ils permettent
d’acquérir en continu des données en déplaçant uniformément le lit du patient à travers l’anneau
de détecteurs tout en faisant tourner la source autour de lui. La géométrie d’acquisition devient
alors hélicoïdale par rapport au patient figure (1.5).
Dans un temps donné, un scanner hélicoïdal peut acquérir cinq à vingt fois plus de données que
les tomographes des années 1980. Une acquisition hélicoïdale de 30 secondes, avec une
translation du lit du patient à 10 mm/s permet d’acquérir un volume de 300 mm de hauteur
(rotation d’une seconde par tour, épaisseur de coupe de 10 mm et un pas (pitch) de 1)[34].
Les tomographes multi coupes apparaissent vers la fin des années 1990. Ils permettent
d’acquérir plusieurs coupes en une seule rotation. Leurs capteurs sont des détecteurs matriciels
qui peuvent
être constitués de lignes de détecteurs de hauteurs égales ou variables figure (1.6). Le
rayonnement est de géométrie conique et non plus en éventail.
Fig. 1.5 – Géométrie hélicoïdale
Fig. 1.6 – Tomographe multi coupes
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 12
Le temps d’acquisition est réduit et pour un temps d’acquisition égal, la zone couverte est plus
importante que celle acquise avec un scanner classique. En revanche, le rayonnement traversant
le patient est plus diffusé et par conséquent perturbe davantage la mesure. Le bruit sur les coupes
augmente et la résolution spatiale longitudinale diminue.
Les deux paramètres principaux en tomographie hélicoïdale sont :
– la largeur de la collimation (en mm),
– la vitesse de translation du lit (en s).
Les tomographes hélicoïdaux avec acquisition en continu ont permis d’obtenir de meilleurs
résultats compares aux scanners séquentiels, notamment les images du thorax sont de meilleure
qualité.
Le nombre de coupes pouvant être acquises en apnée (pour limiter les mouvements du patient) a
augmenté, ce qui réduit les problèmes de recalage dûs à la respiration. De plus, la quantité de
produit de contraste injecté pour détecter des tumeurs en cas d’utilisation en transmission est
diminuée. Mais le mode d’acquisition hélicoïdal diminue la résolution spatiale longitudinale en
raison de l’élargissement du profil de coupe et de l’augmentation du bruit dans l’image [35].
Qualité des images : artefacts et performances L’image des coupes pour un scanner récent est représentée par une matrice variant entre
512×512 et 1024×1024 pixels [36]. Les pixels ont une taille jusqu’à 0, 2 mm et l’épaisseur de
coupe varie entre 1 et 10 mm selon les régions à traiter [37].
L’atténuation est déterminée par la composition du matériau traversé et par son épaisseur. Dans la
gamme d’énergie utilisée pour le diagnostic, l’atténuation est principalement déterminée par
l’effet photoélectrique et l’effet Compton [38].
L’effet photoélectrique a été découvert par Albert Einstein en 1905. Lors d’une interaction
photoélectrique, le rayon X incident interagit avec le matériau. Il est totalement absorbé et toute
son énergie est transférée à un électron figure (1.7.a) [39]. Si E0 est l’énergie du rayon X
incident, l’électron émis aura une énergie cinétique de E0. E0 est l’énergie de liaison de l’électron
au noyau de l’atome.
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 13
L’effet Compton est une interaction des rayons X avec un électron de la couche électronique
externe de l’atome. L’électron est arraché et le rayon X dévié d’un angle α qui dépend de
l’énergie perdue lors de l’interaction figure (1.7.b) [40].
Il existe de nombreux autres facteurs influant sur la qualité des images acquises par un scanner,
comme par exemple la dose du radio-isotope injectée au patient. La résolution spatiale de l’image
va dépendre de la taille des détecteurs, de la géométrie de l’acquisition, de la taille des pixels
mais aussi des algorithmes de reconstruction. L’alignement mécanique du tube à rayon X et des
détecteurs, les mouvements du patient, la variation dans l’intensité des rayons X ou une
instabilité des détecteurs sont sources d’artefacts à l’acquisition. La sensibilité et la finesse des
coupes vont dépendre de la collimation des rayons X, de la largeur des détecteurs, du nombre de
coupes, du pas entre les coupes mais aussi des méthodes de reconstruction et d’interpolation
choisies [41].
Fig. 1.7 – (a) Effet photoélectrique. (b) Effet Compton . .
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 14
Conclusion Les tomodensitomètres sont une des modalités d’imagerie morphologique qui permettent
d’acquérir des coupes du corps humain [42]. Deux de ses caractéristiques principales sont la
restitution sans distorsion de l’anatomie en coupes axiales transverses et l’étude des densités des
structures traversées, exprimées sur l’échelle de Hounsfield.
La tomodensitométrie est utilisée pour des applications abdominales (foie, rein), thoraciques
(poumon, bronches) et vasculaires (avec produit de contraste) mais aussi pour obtenir des images
du cerveau figure (1.8). L’utilisation depuis les années 90 de scanners hélicoïdaux a représenté
une avancée importante dans cette modalité d’acquisition. Il permet d’acquérir l’image d’un objet
plus rapidement avec une même qualité.
Fig. 1.8 : Scanner d’un crane avec un SOMATON 64 de Siemens [Siemens AG].
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 15
1.3.2 IRM L’ IRM (Imagerie par Résonance Magnétique) est une modalité d’imagerie médicale dont
l’importance s’est accrue durant ces vingt dernières années. Cette modalité est fondée sur les
propriétés magnétiques du noyau atomique. Elle permet aux médecins d’obtenir des images de
pathologies différentes de celles obtenues avec d’autres modalités et qui sont souvent
complémentaires.
Principes physiques A l’équilibre thermodynamique, dans un champ magnétique, il existe des moments magnétiques
microscopiques associés au moment angulaire des noyaux (ou spin). La polarisation en présence
d’un champ thermique est très faible et les aimantations d’origine nucléaire ne peuvent être
mesurées par des méthodes directes mais par résonance du noyau conditionné par le mouvement
de précession du champ magnétique statique et par l’existence du phénomène de relaxation [43].
Un moment magnétique microscopique placé dans un champ magnétique extérieur peut avoir
deux niveaux d’énergies. La résonance magnétique consiste à faire passer le moment magnétique
nucléaire du niveau de plus basse énergie à celui de plus grande énergie. Un noyau de l’atome
considéré absorbe les rayonnements électromagnétiques d’une fréquence spécifique en présence
d’un fort champ magnétique. Plus le champ magnétique appliqué est important, plus la différence
d’énergie entre les deux niveaux est grande. Sachant que les atomes n’ont pas un spin nucléaire
non nul. En effet les atomes de carbone 12 et d’oxygène 18 ont un spin nul. En revanche
l’hydrogène n’a qu’un proton, son moment magnétique nucléaire est non nul. La résonance
magnétique du proton est la plus utilisée. Dans un champ magnétique, la moitié des atomes
d’hydrogène sont dans le sens du champ et l’autre moitié dans le sens opposé au champ.
L’énergie amenée par une onde radio adéquate fait passer les atomes d’un niveau d’énergie à
l’autre. Ce phénomène ne dure que quelques milli-secondes mais le temps de relaxation n’est pas
le même selon les tissus. Lorsque les noyaux alignés reçoivent un apport d’énergie sous la
forme d’une onde électromagnétique dont la fréquence est égale à la fréquence de résonance du
noyau (fréquence de Larmor), ils entrent en résonance et basculent du sens parallèle au sens
antiparallèle, c’est-à-dire de l’état fondamental de basse énergie au niveau de haute énergie.
A l’arrêt de l’impulsion radiofréquence, le retour à l’état d’équilibre s’accompagne d’une part
de la restauration de la magnétisation longitudinale (au cours de cette remagnétisation, il y a des
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 16
échanges d’énergie importants avec les molécules avoisinantes), et de la décroissance de la
magnétisation transversale (qui correspond au déphasage des spins). Le temps de relaxation
correspondant à la relaxation spin/milieu, c’est-à-dire le temps nécessaire à la restauration de la
magnétisation longitudinale, est noté T1, le temps de relaxation spin/spin correspondant à la
diminution de l’aimantation transversale est noté T2. Les temps de relaxation T1 et T2
caractérisent la structure chimique et la composition du matériau figure (1.10). Le temps de
relaxation T1 des tissus biologiques est environ 10 fois plus long que le temps de relaxation T2
[52].
Appareil L’appareil est constitué d’un aimant (généralement 3 Tesla). Les aimants de moins de 0, 5 Tesla
peuvent être réalisés avec des aimants permanents ; pour des aimants plus puissants des
supraconducteurs sont utilisés. Selon la partie du corps à acquérir, une antenne
émettrice/réceptrice de forme adaptée est placée sur le patient figure (1.11).
Images et artefacts : Toute variation de la valeur du champ magnétique statique observée entre deux éléments de
volume d’échantillon situés à des emplacements différents de l’espace se manifeste par un
décalage de la phase des signaux issus de ces éléments [45]. Si on applique séquentiellement trois
gradients Gx, Gy et Gz pendant les temps tx, ty et tz.
Fig. 1.9 – IRM MAGNETOM Trio de Siemens, aimant de 3 Tesla [Siemens AG].
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 17
Le signal tridimensionnel recueilli apparaît comme la transformée de Fourier inverse de la
densité locale d’aimantation. Une transformation de Fourier directe du signal permet de
reconstruire l’image.
L’IRM est tridimensionnelle dans son principe et permet d’extraire des coupes dans toutes les
orientations de l’espace. Pour reconstruire l’image, une transformée de Fourier discrète du signal
acquis dans l’espace réciproque doit être faite. Si le découpage de l’espace réciproque n’est pas
cartésien, les données seront interpolées. Il existe plusieurs méthodes de balayage de l’espace
réciproque selon les gradients choisis figure (1.12). Les méthodes les plus rapides sont les
méthodes circulaires.
Les images acquises par cette modalité peuvent comporter des artefacts. Ils peuvent provenir de
mouvements involontaires du patient dans la machine qui provoquent des changements soudains
et rapides dans l’intensité du signal. Une variation dans le champ magnétique peut causer un
déplacement du contraste dans l’image. Les méthodes de reconstruction considèrent que le champ
magnétique est homogène. Un effet de gradient est supposé être linéaire, constant dans le temps
et avoir une amplitude fixée. Une modification de l’amplitude va provoquer un changement de la
taille des voxels aux bord de la zone d’intérêt. Il existe d’autres sources d’artefacts au niveau de
la reconstruction comme le phénomène de Gibbs, l’aliasing ou l’effet de volume partiel [46] .
Fig. 1.10 – (a)Temps de relaxation T1 dans un champ magnétique de 1 Tesla, (b) temps de relaxation T2 dans un champ magnétique de 1 Tesla.
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 18
Conclusion :
L’IRM permet grâce à l’excitation des atomes d’hydrogène présents dans le corps d’obtenir des
images anatomiques du corps humain. Des avancées récentes en IRM fonctionnelle permettent
Fig. 1.11 : Antenne radiofréquence placée sur le patient lors d’une acquisition d’images de la tête.
Fig. 1.12 – Balayage radial de l’espace réciproque (a) selon la direction de rayons, gradient réorienté puis maintenu fixe, (b) selon des cercles concentriques, gradient variant de facon sinusoïdale et en quadrature , (c) selon des trajectoires spirales, gradient d’amplitude croissante oscillant. kX et kY sont les fréquences
spatiales selon x et y [34].
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 19
de distinguer les zones de l’encéphale activées par des stimuli [47]. La micro IRM (μ-IRM)
permet de réaliser des biopsies virtuelles des os [48] et ainsi caractériser des maladies osseuses.
1.3.3 Ultrasons L’imagerie par ultrasons est bien plus récente que l’imagerie par rayons X. C’est une modalité
d’imagerie relativement peu coûteuse. L’imagerie par ultrasons est fondée sur la vibration d’un
cristal de céramique (PZT), situé dans une sonde, qui, vibre et émet des ultrasons quand il est
soumis à des impulsions électriques.
Les avantages principaux de cette modalité sont :
le capteur à ultrasons et facilement manipulable et permet la génération d’images en
temps réel aux orientations et positions choisies par l’utilisateur,
la résolution (0, 2 mm à 2, 0 mm) est suffisante pour montrer les détails de beaucoup de
structures du corps.
les systèmes d’imagerie par ultrasons sont peu couteux, compacts et mobiles,
ils peuvent donner des images en temps réel de la vitesse et de l’écoulement du sang dans
les veines (en utilisant l’effet Doppler) [49][52].
Principe physique
Fig. 1.13 : IRM d’un crâne avec un MAGNETOM Trio de Siemens [Head, TIRM coronal, PAT 2 TR 5980 ms,TE 47 ms, TI 180 ms, TA 2 min, SL 3 mm, slices 38, matrix 384, [Siemens AG].
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 20
Les ultrasons se propagent à une vitesse qui sera fonction de la nature du milieu. Dans
l’organisme, les ultrasons vont se propager à une vitesse proche de 1500 m/s selon la nature des
organes qu’ils traversent.
La pénétration relativement aisée des ultrasons dans les tissus mous permet l’exploration de la
plupart des organes à l’exception du squelette et des poumons. Des images échographiques
morphologiques sont obtenues en analysant les échos réfléchis par les tissus. L’analyse des tissus
en mouvement utilisant l’effet Doppler permet de réaliser une imagerie fonctionnelle de
l’appareil cardiovasculaire et une évaluation des écoulements du sang dans les vaisseaux.
La résolution des images est plus fine lorsque la fréquence des ondes ultrasonores augmente.
Néanmoins, plus la fréquence des ondes augmente, plus la pénétration des tissus biologiques par
ces ondes décroît. Les appareils d’imagerie par ultrasons utilisent des fréquences entre 2 et 15
MHz. La réflexion et la diffusion des ultrasons par des cibles sont à l’origine de la formation de
l’image échographique. Les interfaces entres les objets macroscopiques contenus dans le corps
humain (organe, tumeur) sont à l’origine de la réflexion de l’onde incidente. Les inhomogénéités
locales de l’objet à étudier si elles sont de petite taille par rapport à la longueur d’onde de l’onde
incidente vont provoquer une diffusion du signal.
Appareil
Contrairement à d’autres méthodes d’imagerie, il n’est pas nécessaire d’entourer l’objet à
inspecter avec des émetteurs et des récepteurs. La transmission et la réception sont faites du
même coté à l’aide de la même sonde.
Le capteur est composé d’une barrette multi-éléments constituée d’une rangée d’éléments piézo-
électrique de petite taille (typiquement 64 à128 éléments de largeur 100 à500 μm). Plusieurs
éléments piézo-électriques de la barrette fonctionnent ensemble pour produire un front d’ondes
convergent. Les éléments sont excités avec des décalages temporels qui correspondent à la
courbure de l’onde que l’on désire émettre. Les éléments latéraux les plus éloignés du centre de
courbure de l’onde convergente émettent les premiers, l’élément central émet le dernier. Le
même principe est utilisé pour la focalisation à la réception. Une correction de retard est
appliquée à chaque élément. Cette loi de retard compense les différences de temps de vol liées à
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 21
la courbure de l’onde reçue et permet de remettre en phase tous les signaux issus d’une cible à
une profondeur donnée.
Forme des données
Pour les ultrasons, les erreurs sur les données mesurées proviennent principalement du fait que
les ondes sonores ne traversent quasiment jamais un objet en ligne droite. Les données mesurées
ont pu avoir un chemin courbe à travers l’objet. Ce chemin peut être approximé par des lignes
droites pour les applications principales de cette méthode [50].
Les méthodes de focalisation des ondes US supposent que la vitesse du son dans le corps est
constante. Cependant, les fluctuations de la vitesse du son observées lorsque l’on passe d’un tissu
à un autre (graisse : 1450 m/s ; muscle : 1570 m/s) ou à l’intérieur d’un même organe sont
responsables de distorsions du faisceau ultrasonore, appelées aberrations de phase et d’amplitude,
qui dégradent la qualité de la focalisation.
L’inter-corrélation des signaux issus de deux éléments voisins de la barrette permet de
déterminer le décalage temporel à appliquer pour corriger les aberrations introduites par le milieu
et remettre les signaux en phase. Cependant, les aberrations associées aux ondes qui se sont
propagées dans le corps humain comportent des modifications de la phase et de l’amplitude, car
chaque composante spectrale des signaux subit un déphasage qui lui est propre. Les fluctuations
Fig. 1.14 – Appareil à ultrasons ACUSON Sequoia Echo 256 Images de Siemens [Siemens AG].
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 22
d’absorption dans le milieu de propagation contribuent également au phénomène d’aberration
d’onde. De simples décalages temporels des signaux sont insuffisants dans le cas le plus général
pour corriger totalement les défauts de la focalisation.
Conclusion
L’imagerie ultrasonore est utilisée pour obtenir des images d’un foetus à l’intérieur du ventre de
sa mère, mais est aussi utilisée pour la détection des troubles d’organes internes. Associée à un
Doppler, une information sur le flux sanguin est aussi collectée. L’imagerie ultrasonore 3D est en
plein développement, par exemple pour voir un foetus en 3D.
1.4 Tomographie d’émission
Après avoir présenté quelques modalités d’imagerie par transmission, nous allons nous
intéresser à des modalités d’imagerie par émission.
Fig. 1.15 – Image par ultrasons d’un coeur avec un ACUSON Sequoia Echo 256 Images de Siemens [Siemens AG].
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 23
Parmi ces techniques d’imagerie, on peut citer la TEP (Positron Emission Tomography
Tomographie par Emission de Positons) et la TEPS (Single Photon Emission Computed
Tomography -Tomographie d’émission de Photons Simples) qui sont deux modalités d’imagerie
nucléaire. Le but de la médecine nucléaire, y compris pour les TEP et TEPS, est de fournir une
information sur la répartition d’une molécule donnée dans le corps humain, que ce soit dans
l’espace ou dans le temps [51]. Pour des molécules bien choisies, cette répartition, dans le corps
entier ou dans un organe, donne des informations sur le fonctionnement de cet organe. Cela
permet de détecter des déformations comme des tumeurs cancéreuses et ainsi permettre un
diagnostic médical et un suivi du traitement.
L’information fonctionnelle obtenue par TEPS et TEP est essentiellement fonctionnelle et donc
complémentaire de l’information anatomique obtenue par d’autres méthodes d’imagerie comme
les rayons-X, le scanner ou l’imagerie par résonance magnétique.
1.4.1 Tomographie par émission de positons (TEP)
La TEP est un outil très important pour détecter les tumeurs et évaluer leur malignité. Son
fonctionnement est fondé sur les différences biochimiques et métaboliques entre les tumeurs et
les tissus sains environnants.
Principe physique
En médecine nucléaire, certaines molécules sont marquées avec un isotope radioactif (table 1.2).
Ces isotopes se trouvent dans état éxité et sont donc instables. Ils sont introduits dans le corps du
patient et se désintègrent de facon aléatoire. Une des principales caractéristiques de ces isotopes
est une courte demi-vie. Le résultat d’une désintégration est un nouveau corps avec un proton en
moins et un neutron supplémentaire. Lors de la désintégration il y a aussi émission d’un neutrino
et d’un positon :
Où e+ est un positon et v un neutrino.
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 24
Après la désintégration, les positons se déplacent sur une distance moyenne d’environ 1 mm, et
interagissent avec la matière environnante. Ensuite ils s’annihilent ensuite par collision avec un
électron :
Cette collision provoque l’émission de deux photons d’énergie 511 keV émis à 180 degrés l’un
de l’autre. Cette émission simultanée de deux photons dans des directions opposées est à la base
de l’imagerie par coïncidence.
Les photons utiles sont ceux qui n’interagissent pas avec le corps humain et dont la paire est
interceptée par le détecteur. Quand deux photons sont détectés quasiment au même moment,
c’est-à-dire dans une fenêtre de 6-12 ns, les photons sont dits ”en coïncidence” et les coordonnées
Fig. 1.16 – Coïncidence détectée dans un TEP par un anneau de détecteurs.
Tab. 1.2 – Quelques isotopes communément utilises pour la TEP
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 25
des deux photons sont enregistrées. !l’hypothèse faite est que ces photons proviennent d’une
désintégration sur la ligne de coïncidence qui est appelée ligne of response (LOR) figure (1.16).
Le lieu d’annihilation du positon avec l’électron et le lieu d’émission des photons ne sont pas
confondus. Ceci limite la résolution spatiale intrinsèque de la méthode d’imagerie TEP [52].
Appareil
Les systèmes d’acquisition TEP peuvent être 2D ou 3D. Pour les TEP 2D, un collimateur
annulaire est souvent placé entre les anneaux de détecteurs pour réduire la diffusion inter-plan
des photons. Ces collimateurs, d’épaisseur environ 1 mm, sont en plomb ou en tungstène. Le
diamètre des anneaux du TEP est d’environ 80-100 cm pour une épaisseur par anneau de 10-20
cm. Le diamètre extérieur des collimateurs est égal au diamètre de l’anneau de détecteur du TEP
et la différence entre les diamètres intérieurs et extérieurs du collimateur varie de 7 à 10 cm [53].
L’utilisation de collimateurs annulaires réduit le nombre de photons diffusés de 30-40 % à 10-
15%. En revanche, si on n’utilise pas les collimateurs, la sensibilité du TEP est augmente d’un
facteur 4 à 6 et la méthode de reconstruction doit être purement 3D [53]. L’utilisation de
plusieurs anneaux de détecteurs augmente le champ de vue axial tout en conservant la résolution
axiale figure (1.18).
Fig. 1.17 – TEP ACCEL de Siemens [Siemens AG].
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 26
Les détecteurs sont composés de cristaux d’iodure de sodium couplés à des tubes
photomultiplicateurs. Quand un photon interagit avec le cristal, il cède soit une partie de son
énergie par une ou plusieurs interactions Compton, soit toute son énergie par interaction
photoélectrique ou par une succession d’interactions d’effets Compton avec les électrons du
cristal [60]. Les électrons sont déplacés d’une couche d’énergie à une autre. Quand ils reviennent
à un état stable, ils émettent de la lumière. Les TEPs les plus courants utilisent des cristaux de
bismuth-germanate qui génèrent environ 2500 photons de lumière pour un photon à 511keV reçu.
De tels cristaux sont de taille 3,3 mm dans le plan transversal, 6,25 mm dans la dimension axiale
et 30 mm de profondeur [61]. Les tubes photomultiplicateurs collectent les photons de
scintillation et déterminent quel détecteur a détecté l’événement [62][52].
Données - artefacts et performances
Forme des données
Pour un anneau de n détecteurs, il y a n/2 manières d’appairer les détecteurs représentant
autant de différentes LOR détectables. Le système pendant l’acquisition compte le nombre de
photons détectés en coïncidence par des paires de détecteurs [63]. Les données acquises sont
représentées sous forme de sinogramme qui permet de grouper les LOR figure (1.19).
Dans un sinogramme, sont représentées cote à cote les projections parallèles équivalentes aux
données acquises pour un nombre de bins (échantillonnage sur la projection) fixé pour tous les
angles. Pour chaque détection en coïncidence, la LOR est déterminée et le pixel dans le
sinogramme marqué.
Dans le sinogramme final, la valeur de chaque pixel représente le nombre de coïncidences
détectées par la paire de détecteurs associée à cette LOR. Un sinogramme est obtenu par coupe et
représente les données acquises pour cette coupe pour tous les angles de projection [64].
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 27
Fig. 1.18 – Différents modes d’acquisition d’un TEP multi-anneaux. (a) TEP 2D avec acquisition directe et entre anneaux voisins, (b) TEP 2D avec acquisition directe et acquisition étendue entre anneaux
voisins pour augmenter l’efficacité, (c) TEP 3D. [84]
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 28
Pour augmenter l’échantillonnage axial et la sensibilité des coupes, les détecteurs peuvent être
utilisés en coïncidence avec les détecteurs des anneaux voisins. L’acquisition des coïncidences
directes et croisées entre anneaux de détecteurs voisins donne un échantillonnage axial qui est
égal à la moitié de la largeur du détecteur. De nombreux appareils utilisent des capteurs avec des
détecteurs de faible épaisseur pour obtenir un échantillonnage axial fin. Mais d’autre part, des
détecteurs de faible largueur donnent une faible sensibilité intra-coupe et ainsi des images
bruitées [65].
Pour la TEP 2D, les données acquises sont organisées en une série de coupes parallèles qui
peuvent être reconstruites indépendamment. Les données d’un TEP 3D doivent être réarrangées
en données 2D pour reconstruire les images, où un algorithme de reconstruction 3D doit être
utilisé [66].
Fig. 1.19 – Sinogramme [84].
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 29
Facteurs de dégradation de l’image Pour la modalité TEP,
Il existe de nombreux facteurs responsables de la dégradation de l’image. Certains d’entre eux
peuvent être corrigés. Les cas dits de ”vraie coïncidence” sont les cas où les deux photons
provenant de la même annihilation n’ont pas interagi avec le corps humain et sont détectés
pendant la fenêtre de détection par des détecteurs alignés et opposés. Si un des photons n’est pas
détecté pendant la fenêtre de détection, on ne détectera qu’un photon et ses coordonnées ne seront
pas prises en compte. La même situation peut se produire pour un autre photon quasiment au
même moment et cela va conduire à la détection d’une ”coïncidence accidentelle” figure (1.20).
Ces ”accidents” de détection provoquent des erreurs dans les données. Les coïncidences fortuites
ajoutent un fond à l’image [67].
Une autre source d’erreur dans les données provient de l’interaction avec le corps humain de
l’un ou des photons qui sont alors déviés. Cela provoque une atténuation, c’est-à-dire moins de
photons comptés pour la ligne de coïncidence. Si ces photons déviés sont détectés et acceptés, on
parle de coïncidence diffusée. Selon la résolution en énergie des détecteurs, le taux d’acceptation
Fig. 1.20 – [AB] vraie coïncidence de deux photons à 511keV, [CD] coïncidence diffusée, [EF] coïncidence fortuite. Les lieux d’annihilation des positons sont les points • Dans le cas de fausses
coïncidences, l’annihilation est localisée `a tort sur les droites pointillées. D’après [22].
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 30
des événements diffusés change. Pour éviter aux détecteurs de recevoir des photons diffusés
d’autres coupes, les anneaux de détecteurs sont munis de collimateurs annulaires (septa) entre les
couronnes pour bloquer les photons dont l’origine est à l’extérieur de la zone étudiée (field of
view).
L’atténuation est la perte de vraies coïncidences due à la diffusion et à l’absorption. Un des deux
photons produits par la désintégration est perdu. Les effets de l’atténuation sont plus gênants en
TEP qu’en TEPS. En effet, en TEP, les deux photons en coïncidence doivent être détectés pour
être comptés. En TEPS, un seul photon est détecté et la probabilité qu’il soit atténué est plus
faible [68] [52].
L’atténuation, du fait du nombre de paires de photons comptés, augmente le bruit et diminue la
précision avec laquelle on détermine la répartition de la radioactivité dans le corps. Ce dernier
effet devrait être compensé par une correction de l’atténuation. La correction de l’atténuation
peut être soit calculée, soit mesurée. Pour calculer la correction de l’atténuation, le contour
Fig. 1.21 – Examen TEP d’une femme de 31 ans avec un cancer du sein [Siemens AG].
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 31
extérieur du corps doit être connu et les propriétés d’atténuation à l’intérieur de ce contour sont
considérées comme constantes. La correction d’atténuation mesurée est obtenue à l’aide d’une
acquisition supplémentaire. Une acquisition de référence (blanche) est faite sans le patient puis à
nouveau avec le patient. Le ratio entre le nombre de coups avec et sans patient donne un facteur
de correction pour chaque LOR [69].
Un autre problème vient des détecteurs eux-mêmes. Après une détection, il existe un temps mort
pendant lequel le détecteur ne détecte pas d’autres événements. Il peut y avoir des événements
manqués. Ces pertes sont minimisées dans des systèmes avec de nombreux détecteurs
indépendants ou avec des scintillateurs rapides.
En médecine nucléaire le bruit est un facteur important. Lorsqu’il est présent dans les images,
le bruit diminue avec un nombre de coups plus important. Pour acquérir plus de coups, le temps
d’acquisition doit être plus long autrement on doit administrer au patient plus de traceurs
radioactifs ou encore augmenter la sensibilité du scanner à détecter les événements.
Conclusion
La TEP est la technique d’imagerie clinique in vivo utilisée chez l’homme au sein des organes
pour obtenir la cartographie tridimensionnelle d’un paramètre physiologique comme le
métabolisme du glucose, le débit sanguin, ou la densité de récepteurs d’un système de
transmission neuronale. L’application clinique la plus importante aujourd’hui se situe en
oncologie [70]. Une nouvelle application d’imagerie in-vivo de l’expression des gènes est en
train de voir le jour [53].
1.4.2 TEPS
La TEPS peut être utilisée pour étudier le débit sanguin dans les parois musculaires du cœur
mais aussi pour obtenir des images du cerveau, des reins ou de la squelette en cas de tumeur. En
TEPS, les images tomographiques sont reconstruites à partir de l’acquisition de multiples
projections par une gamma-caméra en rotation autour du patient.
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 32
Principe physique
Les traceurs radioactifs utilisés en TEPS sont des émetteurs de photons gamma. Leurs énergies
sont comprises entre 80 keV pour le thallium-201 et 360 keV pour l’iode-131. Le marqueur le
plus utilisé est le technétium-99m. Il émet des photons gamma d’énergie 140 keV bien adapté à la
détection par les gamma-caméras [53].
Appareil
Le détecteur utilisé en TEPS est une gamma-caméra composée d’une ou plusieurs têtes de
détections fixées à un portique figure (1.22). Les gamma-caméras sont caractérisées par leur
résolution spatiale, leur sensibilité et leur résolution en énergie.
Les détecteurs plans TEPS sont composés d’un cristal scintillant d’iodure de sodium dopé au
thallium d’environ 1 cm d’épaisseur. La dimension de ce cristal détermine la taille du champ de
vue de la caméra, généralement 60 × 40 cm. Des tubes photomultiplicateurs sont disposés
derrière le cristal.
Comme pour la TEP, la détection par scintillation se fait en deux étapes. Tout d’abord une
conversion des photons gamma en lumière visible et suivie par une conversion de la lumière
visible en signal électrique.
Chaque élément du détecteur reçoit des photons d’un cône étroit défini par l’ouverture du
collimateur. L’angle solide défini par le collimateur autour d’une direction donnée est très limité.
Les collimateurs sont constitués d’un réseau de canaux d’environ 4 cm de long et de faible
diamètre (1 à 2 mm), séparés par une fine paroi de plomb. Les collimateurs peuvent être
parallèles, en éventail ou coniques figure (1.23).
Pour extraire les photons provenant d’une interaction Compton, une fenêtre d’énergie centrée
sur la valeur théorique d’énergie d’émission du photon est mise en place.
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 33
Fig. 1.23 – Collimateurs (a) parallèle (b) en éventail (c) conique.
Fig. 1.22 – TEPS e.cam Fixed 180 de Siemens [Siemens AG].
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 34
Données et erreurs
En TEPS comme en TEP, le système de détection accumule des coups pour des lignes de
l’espace. Les problèmes principaux en TEPS affectant les données sont le bruit de comptage, les
phénomènes d’atténuation, de diffusion et de résolution spatiale variable du détecteur [71]. A part
ces sources d’erreur, le total des coups par ligne indique le nombre total de désintégrations sur
cette ligne mais pas la localisation de ces désintégrations sur la ligne. La reconstruction d’image
permet à partir de ce comptage imparfait d’un grand nombre de données (millions de lignes et
millions de photons détectés) de reconstruire une image montrant la répartition spatiale des
atomes marqués[52].
Conclusion
La dose en TEPS est très faiblement ionisante pour le patient. Cette modalité nous permet
d’avoir accès à une information fonctionnelle cruciale plus facilement qu’en TEP, mais la
résolution des images n’est pas très bonne.
1.5 Nouvelles voies de la tomographie
De nouvelles voies sont explorées pour obtenir des images du corps humain, soit en cherchant à
mettre au point de nouvelles modalités d’imagerie, soit en combinant des modalités existantes.
1.5.1 Tomosynthèse (Radiologie tridimensionnelle)
La tomosynthèse est une nouvelle modalité de l’imagerie médicale, encore à l’état de prototype.
Elle s’appuie sur les mêmes principes physiques que l’imagerie par scanner. Mais contrairement
au scanner il n’y a pas de rotation de la source et des capteurs autour du patient mais simplement
une translation de l’un par rapport à l’autre. C’est une technique d’acquisition qui permet de
reconstruire un volume 3D à partir d’une table de radiologie classique. Les premières acquisitions
étaient faites sur film mais actuellement des capteurs numériques sont utilisés. Les images
obtenues donnent la densité des tissus traversés par les rayons X[52].
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 35
Appareil
Le système d’acquisition est constitué d’une source de rayons X et d’un détecteur plan.
Contrairement au scanner, la coupe à reconstruire ne se trouve pas sur la trajectoire de l’ensemble
source/détecteur. Une autre différence avec la modalité décrite précédemment est la forme des
détecteurs. En effet, les détecteurs utilisés en radiographie tridimensionnelle sont plans et non pas
linéiques figure (1.24). Les détecteurs sont des tubes intensificateurs d’imagerie radiologique
[72]. La résolution de ces détecteurs est plus grande que celle des détecteurs de scanner. Le
champ d’acquisition est plus large et la résolution spatiale meilleure. Mais la vitesse de rotation
du système d’acquisition est plus faible donc la précision en densité des volumes reconstruits
n’est pas très bonne.
Fig. 1.24 – Vue d’ensemble du système d’acquisition table BACCARA + capteur PALADIO.
Acquisition et images
Selon le déplacement de la source, on peut distinguer la tomosynthèse linéaire figure (1.25.a) ou
la tomosynthèse circulaire figure (1.25.b) [73] [52].
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 36
Fig.1.25 –(a) Tomosynthèse linéaire, (b) Tomosynthèse circulaire.
Pour chaque acquisition, la source est décentrée par rapport au détecteur sur un secteur angulaire
limité. En combinant les projections acquises avec différents angles de vue, le volume projeté
peut être reconstruit en 3D. La région de reconstruction 3D correspond au volume défini par
l’intersection de toutes les projections acquises. Plus l’angle de vue est grand, plus la zone de
reconstruction sera petite[52].
La dose délivrée au patient ne doit pas être plus importante que celle délivrée pour une
radiographie classique. Pour N projections, la dose sera 1/N fois celle d’une radiographie
classique.
Fig. 1.26 – Image reconstruite à partir d’un algorithme M-ART après acquisition par tomosynthèse
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 37
Différents artefacts existent sur les images, dus à la méthode d’acquisition. Les données peuvent
être tronquées à cause d’une acquisition suivant l’axe principal de l’objet. Avec un grand angle
de projection, certains rayons peuvent se projeter hors du détecteur et créent des artefacts lors de
la reconstruction. Pour corriger ces artefacts, des solutions existent comme le prolongement des
projections [73]. Les corps métalliques, comme les prothèses dentaires ou orthopédiques,
génèrent des artefacts très importants car peu de photons traversent le métal.
Conclusion
Cette modalité est utilisée pour des applications où les images ont un fort contraste comme en
imagerie osseuse ou en angiographie. Elle est peu adaptée à la reconstruction de tissus mous. La
tomosynthèse peut aussi être utilisée en chirurgie assistée par ordinateur.
1.5.2 Appareillages multi-modalités Il est parfois difficile de détecter exactement une anomalie avec une seule modalité. Par
exemple la TEP donne une information sur la présence d’une tumeur mais sa localisation précise
reste problématique. En combinant un TEP avec une modalité d’imagerie avec une bonne
résolution anatomique comme un scanner, le problème de localisation est résolu, sous réserve
d’avoir une bonne mise en correspondance des deux modalités. Cette étape est simplifiée si les
deux modalités sont regroupées dans le même appareil avec la possibilité d’acquérir les deux
types d’images pendant la même session. Le premier prototype de scanner/TEP date de 6 ans
[74].
Le ”PET-scan” est un autre exemple d’appareil multi modalité. C’est une gamma-caméra couplée
avec une source gamma externe pour que le détecteur soit utilisé à la fois en émission et en
transmission. Il est utilisé lors des protocoles cliniques en oncologie[52].
CHAPITRE I : SYSTEMES D’ACQUISITION TOMOGRAPHIQUE
USTO-LAAR 38
1.6 Conclusion
Nous venons de parcourir les caractéristiques de quelques modalités d’imagerie médicale.
Quelle que soit la modalité considérée, l’acquisition des données s’effectue toujours à l’aide de
capteurs discrets. Ces données correspondent à des intégrales le long de lignes de réponse. Il
existe des angles où ces données sont manquantes et elles sont entachées de bruit de diverses
sources. Le contraste, la résolution et le bruit sur les images dépendent de la modalité utilisée.
Elles sont toutes caractérisées par leur géométrie d’acquisition que nous allons étudier plus en
détail dans le chapitre suivant [52].
CHAPITRE II : GEOMETRIE D’ACQUISITION
USTO-LAAR 39
CHAPITRE II
GEOMETRIE D’ACQUISITION[52]
2.1 Introduction
Les systèmes d’acquisition décrits précédemment sont caractérisés en premier lieu par leur
géométrie d’acquisition des données. Ces géométries peuvent être diverses cependant
l’obtention des données passe toujours par la transformée de Radon. En 1917, Johann Radon
définit la transformée qui porte son nom [69]. Elle décrit la projection d’un objet selon des lignes
intégrales. La transformée inverse décrit en principe la reconstruction de cet objet à partir d’un
nombre infini de projections. Cette transformation est fondamentale en tomographie et peut être
formulée dans plusieurs géométries d’acquisition. Nous allons tout d’abord présenter la
transformation de Radon en deux dimensions avec des géométries d’acquisition parallèles puis en
éventail. Nous verrons ensuite une version 3D de la transformée de Radon. Les géométries
d’acquisition en trois dimensions sont encore plus diverses, telle la géométrie parallèle, la
géométrie conique qui étendent celles qui existent en 2D au cas 3D et la géométrie
hélicoïdale[52].
USTO-L
2.2 Gé
La tran
un plan
proj(θ,
la direc
parallèle
2.2.1
La proj
d’intégr
La ligne
Ou 0 <
projecti
Radon d
Où R2
lignes in
Où .l’axe LAAR
éométrie d
nsformation
délimité da
t) qui repré
ction θ .
es ou diverg
Géométr
jection de
rales sont dé
e intégrale s
θ < π est
on prise par
de la fonctio
est la trans
ntégrales. L
= t est l’éq
et un ve
CHAPI
d’acquisit
n de Radon
ans l’espace
ésente l’inté
Selon que
gents en éve
rie parallè
radon se f
écrites par l
se définit alo
l’angle de
r rapport à
on f(x, y). L
sformée de
L’équation 2
quation de l
ecteur 2D en
ITRE II : G
tion 2D
en deux di
e par un co
égrale de la
la source
entail
èle
fait selon l
les équation
ors selon l’é
la projectio
la projectio
L’équation 2
Radon 2D.
2.2 peut s’éc
la ligne inté
n coordonné
GEOMETR
imensions p
ontour. A ch
distribution
soit ponctu
la direction
ns suivantes
équation de
on avec l’ax
on de l’origi
2.2 peut se r
. Une proje
crire plus gé
égrale avec
ées cartésie
RIE D’ACQ
projette sur
haque point
n f(x, y) cara
uelle ou di
n ss' défini
e la transform
xe x , t es
ine du repèr
réécrire sou
ection parall
énéralement
un vecteu
ennes.
QUISITION
une ligne u
t de la ligne
actérisant l’
istribuée, le
ie par la fi
mée de Rad
st la coordo
re, proj(t, θ
us forme d’o
lèle est form
t :
ur unitaire f
N un objet qu
e est associ
’objet selon
es rayons p
figure (2.1)
don par :
onnée curvi
θ) est la tran
opérateur :
mée d’un e
faisant un a
40
ui s’étale sur
ée la valeur
n la ligne t e
peuvent être
, les lignes
iligne sur la
nsformée de
ensemble de
angle θ avec
0
r
r
t
e
s
a
e
e
c
CHAPITRE II : GEOMETRIE D’ACQUISITION
USTO-LAAR 41
Fig 2.1 - Projection de radon de l’mage f(x,y) selon la direction t= cos θ + y sin θ [50]
USTO-L
La tran
méthode
dévelop
reconstr
2.2.2 G Une au
unique e
une acq
parallèle
parcour
recomm
cependa
l’ensem
de scann
Il exis
des ang
figure(
figure (2
Pour l
f(x, y) s
Rβ( ) é
fait un r
rayon p
donnée,
du filtre
LAAR
nsformation
es de recon
ppées dans
ruire à l’aid
Géométrieutre géomé
est placée d
quisition plu
es pour les
rir la totali
mencer l’ac
ant, l’acqu
mble source-
ner).
te deux typ
gles régul
2.2.a) , soi
2.2.b).
les projecti
s’écrit en co
étant la proj
rayon de la
passant par
, D la distan
e rampe qui
CHAPI
n de Radon
nstruction de
le chapitr
de de la tran
e en éventétrie de proj
dans une po
us rapide de
s scanners
ité de la l
cquisition p
uisition en
-détecteur p
pes de proje
liers ce qu
it elles sont
ons échant
oordonnées p
ojection en é
a source S a
l’origine, θ
nce de la so
sera défini
ITRE II : G
n est une tr
es objets à
re III. Cett
sformation
tail (Fan Bjection est
osition fixe p
es données
de 1ere et
longueur d
pour chaqu
éventail pe
our ne gard
ections en é
ui se tradu
t échantillo
illonnées s
polaires [47
éventail com
avec l’axe d
θ : l’angle
urce à l’ori
dans le cha
GEOMETR
ransformatio
partir de le
te géométr
de Radon[5
Beam) la géométr
par rapport
[47]. En ef
2eme gén
de la proje
ue projectio
ermet de fa
der que le dé
éventail : le
uit par un
onnées avec
elon des an
7] :
mme cela e
de référence
de la projec
gine. La fon
apitre IV. Po
RIE D’ACQ
on linéaire
eurs projecti
rie permet
52].
rie en évent
à un détect
ffet, pour gé
nérations l’e
ction puis
on. Cette m
aire l’écono
éplacement
es projectio
espacemen
c un pas co
ngles régul
est décrit pa
e Y, l’angle
ction parall
nction h est
our des proj
QUISITION
et invarian
ions en géo
un calcul
tail ou « fa
teur ligne. C
énérer direc
ensemble s
être tourn
méthode d
omie du dé
angulaire (3
ns sont soit
nt irrégulier
onstant sur
liers, la rec
ar la figure
e entre un r
lèle associé
t la transform
jections éch
N nte par tran
ométrie para
simple de
an beam ».
Cette géomé
ctement des
source-détec
né d’un an
’acquisition
éplacement
3eme et 4eme
t échantillo
r entre les
la droite de
construction
(2.3). β est
rayon quelc
e à une lign
rmée de Fou
hantillonnée
42
nslation. Les
allèle seron
es objets à
Une source
étrie perme
projections
cteur devai
ngle fixé e
n est lente
linéaire de
générations
nnées selon
s détecteurs
e projection
n de l’obje
l’angle que
conque et le
ne intégrale
urier inverse
es selon
2
s
nt
à
e
t
s
t
t
e,
e
s
n
s
n
t
e
e
e
e
CHAPITRE II : GEOMETRIE D’ACQUISITION
USTO-LAAR 43
Fig. 2.2 – Exemple de projection en éventail : (a) l’angle entre les lignes intégrales est constant mais les détecteur ne
sont pas équirépartis, (b) Les détecteur sont équiréparties mais l’angle entre chaque projection n’est plus constant [47].
USTO-L
un pas r
Ou Rβ(
la proje
est la co
Pour
l’équati
rééchan
en éven
correspo
rééchan
géométr
Selon l
Et θ l’a
Donc o
LAAR
régulier, la r
(s) est une p
ection avec
oordonnée m
une géomé
on 2.5 où
ntillonner le
ntail est con
ondante n
ntillonnées p
rie parallèle
a figure 2.3
angle de la p
on peut écrir
CHAPI
reconstructi
projection c
comme orig
maximale su
étrie en éve
ù les don
s projection
nsidéré com
n’est pas
pour pouvo
e.
3, la coordon
projection p
re :
ITRE II : G
ion de l’obj
comme défi
gine corres
ur la project
entail la rec
nnées peuv
ns en éventa
mme un ray
échantillon
oir ensuite u
nnée curvili
parallèle équ
GEOMETR
et f(x, y) s’é
ini par la fi
spondante
tion.
construction
vent être r
ail en géom
yon d’une
nnée unifo
utiliser des
igne t sur la
uivalente es
RIE D’ACQ
écrit en coor
gure (2.4),
à la ligne i
n peut être
réarrangées
métrie parall
projection
ormément
algorithme
a projection
st donné par
QUISITION
rdonnées po
s est la coo
intégrale pa
effectuée d
s en géom
èle, chaque
parallèle. L
et les d
es classique
parallèle es
r :
N olaires [47]
ordonnée cu
assant par l’
de manière
métrie para
e rayon de l
La projectio
données do
es de recons
st donnée pa
44
:
urviligne sur
’origine, Sm
directe par
allèle. Pour
a projection
on parallèle
oivent être
struction en
ar :
4
r
m
r
r
n
e
e
n
CHAPITRE II : GEOMETRIE D’ACQUISITION
USTO-LAAR 45
Fig. 2.3 – Géométrie en éventail pour des angles équi-répartie[80]
USTO-L
Où Rβ(
l’angle
données
considè
uniform
pour m
L’équa
(m + n)LAAR
) est une p
θ. Pour rec
s sont rééch
re que les in
me), on peut
et n entiers.
ation (2.11)
) ieme de la p
CHAPI
Fig.2.4 – G
projection fa
construire d
hantillonnée
ncréments s
écrire :
. L’équation
) signifie qu
projection p
ITRE II : G
Géométrie en
fan beam pr
es images à
es puis la re
successifs d
n 2.9 s’écrit
ue le nieme r
parallèle. L’
GEOMETR
éventail pour
rise à l’angl
à partir de d
construction
de β et de γ s
t alors :
rayon de la
’échantillon
RIE D’ACQ
des détecteur
le β et P(θ ,
données acq
n est effectu
sont égaux à
a projection
nnage sin(nα
QUISITION
rs équi-répartie
,t) une proj
quises en g
uée en géom
à α (cas éch
fan beam n
α) sur la pr
N
es
ection para
éométrie fa
métrie paral
hantillonnag
numéro m
rojection pa 46
allèle prise à
an beam, les
llèle. Si l’on
ge angulaire
est le rayon
arallèle n’es6
à
s
n
e
n
t
USTO-L
pas unif
projecti
1 et Vϒ
compos
en deux
P
C
p
E
v
r
2.3 Gé
Une m
peuvent
faisaien
géométr
reconstr
D’autre
2.3.1 G
La tran
peut écr
où t =
dimensi
1D sur d
LAAR
forme. Les
ons uniform
ϒ=π, - U<
sée de 2U +
x étapes :
Pour chaqu
Cette étape
parallèles ir
Ensuite pou
valeurs de P
rayons para
éométrie d
manière d’o
t être acqui
nt l’acquisit
rie d’acqui
ruction est
part, les ph
Géométrie
nsformation
rire :
= est l’
ion n. En 3D
des plans 2D
CHAPI
données su
mes. Selon [
< u < U e
+1 bins, θn,m
ue n, −N <
e peut être
rrégulièrem
ur chaque v
Pvϒ(In) . Ce
allèles régul
d’acquisit
btenir des
ses directem
tion des do
isition 3D
plus compl
hotons diffu
e parallèl
n de Radon p
’équation g
D la transfo
D [7].
ITRE II : G
ur les proje
[42], on peu
et h la dista
=(m+n).α
n < N, con
faite par e
ment espacés
, 0 < v < V
ette étape pe
lièrement es
tion 3D
données 3D
ment en 3D
onnées direc
permet u
lexe car l’o
usés augmen
e
peut se gén
générale d’u
ormée de Ra
GEOMETR
ections para
ut estimer P
ance entre d
et ln = sin n
nsidérons n
exemple par
s.
V − 1, consi
eut être faite
spacés.
D est de co
D. Nous avo
ctement en
une acquis
objet ne peu
ntent le brui
néraliser en d
un hyperpla
adon peut s
RIE D’ACQ
allèles vont
Pvϒ(uh) à pa
deux détect
n.α. Ce réa
fixé et esti
r interpolat
dérons v fix
e par interpo
oncaténer d
ons vu que
3D (PET
sition plus
ut plus forc
it de fond.
dimension n
an de dime
’interpréter
QUISITION
être interp
artir de Pθn,m
teurs. Cons
arrangement
mons Pvϒ(u
tion linéaire
xé et estimo
olation linéa
des coupes
les système
3D, Tomo
rapide de
cément être
n. A partir
ension (n−
comme l’in
N polées pour
m( In) avec 0
sidérons une
t de donnée
uh) à partir
e et donne
ons Pvϒ(uh)
aire sur ln e
2D. Mais l
es d’acquisi
synthèse, S
es donnée
séparé en
de l’équatio
1) dans un
ntégrale d’u
47
donner des
0 < v < V −
e projection
es s’effectue
de Pvϒ (ln)
des rayons
à partir des
et donne des
les données
ition actuels
SPECT). La
s, mais la
coupes 2D
on (2.4), on
n espace de
une fonction
7
s
−
n
e
.
s
s
s
s
s
a
a
D.
e
n
USTO-L
2.3.2 G
Une au
d’acqué
source p
Les don
horizon
est décr
Et
Un nouv
premièr
faite aut
Fig . 2.5
LAAR
Géométrie
utre géomé
érir uniquem
ponctuelle d
nnées projet
tales t et ve
rite par l’int
veau systèm
re d’angle θ
tour de l’ax
- Reconstructi
CHAPI
e Cone Be
trie d’acqu
ment une co
de rayons X
tées Rβ(t, r)
erticales r su
ersection de
me de coord
θ est faite a
xe t figure (2
ion en géomét
ITRE II : G
eam
isition 3D e
oupe de l’ob
X et un déte
sont maint
ur le détecte
e deux plan
données (t, s
autour de l’a
2.5).
trie conique le
d
GEOMETR
est une gén
bjet à recons
ecteur plan
tenant fonct
eur plan [25
s :
s, r) est don
axe z et don
e système de c
donner les axe
RIE D’ACQ
néralisation
struire, tout
[21]. Cette
tion de l’an
5]. Une ligne
nné par deu
nne la base
coordonnées e
s s et t
QUISITION
de l’appro
t l’objet est
géométrie e
gle de la so
e intégrale d
ux rotations
e (t, s, z), la
est tourné selo
N che fan bea
acquis en u
est appelée
ource β et d
dans une pr
de la base
a seconde d
on l’angle de l
48
am. Au lieu
utilisant une
cone beam
des positions
rojection 3D
(x, y, z). La
d’angle γ es
la source pour
8
u
e
m.
s
D
a
t
r
USTO-L
Quatre
distance
géométr
mesurée
Pour tr
Où DS
de rotat
géométr
Et
Où t et θ
Et
où r et γ
LAAR
e variables s
e et l’angle
rie conique
es par le dét
rouver la pr
SO indique l
tion au dé
rie parallèle
θ localise un
γ précisent l
CHAPI
sont utilisée
e dans le pl
e, la source
tecteur plan
rojection par
a distance d
étecteur. Po
e un rayon s
ne ligne int
la position d
ITRE II : G
es pour préc
lan x − y e
e est tourné
n. Les projec
rallèle, nou
du centre de
our un rayo
spécifié par
tégrale dans
de ce plan in
GEOMETR
ciser la posi
et (r , γ ) d
ée d’un ang
ctions vont
s définisson
e rotation à l
on en géom
:
s un plan inc
ncliné [47].
RIE D’ACQ
ition d’une
dans le plan
gle β (figur
être décrite
ns d’abord :
la source et
métrie coni
cliné. De mê
QUISITION
ligne intégr
n s − z [47
re 2.6) Les
e par Rβ(p’,
t DDE indiqu
ique R(p, ζ
ême :
N rale, ( t , θ )
7]. Dans un
lignes inté
ζ’).
ue la distanc
ζ)., lui cor
49
) spécifie la
n système à
égrales son
ce du centre
rrespond en
9
a
à
nt
e
n
CHAPITRE II : GEOMETRIE D’ACQUISITION
USTO-LAAR 50
Fig.2.6- Géométrie cone beam
Les données en géométrie conique peuvent être reconstruites directement si la condition de Tuy
sur la trajectoire de la source est respectée : ”Tout plan coupant l’objet à reconstruire doit couper
en au moins un point la trajectoire de la source” [12]. Pour reconstruire des images à partir de ces
données, l’algorithme de Feldkamp est souvent utilisé. Le principe fondamental de l’algorithme
de Feldkamp [24] est d’étendre, à la géométrie conique, l’algorithme fondamental de filtrage-
rétroprojection utilisée pour la géométrie en éventail [53]. Les projections 2D de différents angles
sont filtrées et rétro projetées sur les voxels selon la direction de projection. La valeur finale de
chaque voxel est la somme de toutes les contributions des projections fan beam inclinées passant
à travers le voxel. Les algorithmes de reconstruction existants en géométrie conique peuvent être
groupés en deux classes : analytiques et algébriques. Les méthodes algébriques nécessitent plus
de ressources que les méthodes analytiques. La rapidité de calcul est recherchée ce qui fait que
les algorithmes analytiques sont préférés en pratique [87]. Vu l’augmentation de la puissance de
calcul, les algorithmes algébriques sont de plus en plus utilisés actuellement[52].
CHAPITRE II : GEOMETRIE D’ACQUISITION
USTO-LAAR 51
2.3.3 Géométrie hélicoïdale
La géométrie hélicoïdale a été introduite pour les scanners en 1989 comme méthode
d’acquisition continue [29]. Pendant l’acquisition, le point focal décrit une hélice par rapport au
patient. Dans un scanner hélicoïdal, la distance entre la source et le détecteur est généralement
d’un mètre. L’épaisseur des coupes est de 1 mm. Les coupes peuvent être considérées comme
parallèles entre elles pour des détecteurs qui font l’acquisition jusqu’à quatre coupes
simultanément. Là les outils 2D peuvent être utilisés [29]. Les scanners hélicoïdaux actuels
peuvent acquérir jusqu’à 16 coupes simultanément. L’approximation de coupes parallèles ne peut
plus être faite. Pour reconstruire une coupe en 2D il est nécessaire de connaitre la distribution
intégrale de l’objet selon toutes les lignes intégrales qui passent par le point à reconstruire. En 3D
ce sont tous les plans 2D qui doivent être connus. La mesure de toutes les données de façon
analogue au cas 2D n’est pas possible. Pour faire face à ce problème, des études récentes utilisent
des combinaisons de données pour synthétiser les projections tronquées et calculer les projections
de Radon complètes. Une méthode exacte de reconstruction a été proposée [48]. Les projections
nécessaires à la reconstruction peuvent aussi être obtenues par interpolation linéaire sur 360
degrés [34]. Les projections sur 360 degrés sont générées à partir de projections mesurées sur 720
degrés. Une estimée de la projection choisie à l’angle θ est obtenue à partir d’une combinaison
linéaire entre les deux projections les plus proches de même angle. Utiliser des données acquises
sur un temps plus long pour reconstruire une coupe réduit le bruit dans l’image mais réduit aussi
la résolution longitudinale [34][52].
2.4 Conclusion
Les objets explorés peuvent être reconstruits soit en 2D, soit en 3D par concaténation de
coupes 2D. Les acquisitions 3D vont donner des projections 2D qui sont reconstruites à l’aide
d’algorithmes intégrant la géométrie 3D. Que la géométrie d’acquisition soit hélicoïdale, conique
ou en 2D fan beam, elles sont toujours ramenées à une géométrie parallèle. Ces géométrie se
ramènent à une reconstruction à l’aide de la transformée de Radon en rayons parallèles. Nous
allons maintenant décrire quelques algorithmes utilisés pour reconstruire un objet à partir de ses
projections[52].
CHAPITRE III : MATHEMATIQUES EN TOMOGRAPHIE
USTO-LAAR 52
Chapitre III
Mathematiques en Tomographie[52]
La reconstruction tomographique fait partie de la classe des problèmes inverses. La
reconstruction d’image fait partie des problèmes inverses mal posés au sens d’Hadamard. Nous
voulons reconstruire des sections ou des volumes du corps humain. Cette reconstruction revient à
calculer la distribution d’isotope radioactif dans le corps humain. Pour la tomographie en
émission. cela revient à obtenir la distribution de la densité d’éléments radio-isotopes dans le
plan de coupe. Sachant que les isotopes radioactifs émettent des photons gammas par
désintégration, leurs concentration évolue avec le temps à cause de la désintégration et des
phénomènes bio-chimiques du corps. Il est donc impératif que l’acquisition des données soit
rapide comparée à la période de désintégration des marqueurs radioactifs. Pour la tomographie en
transmission, la dose de rayons X délivrée au patient doit être la plus faible possible. La
tomographie par rayons X permet aussi de faire de l’imagerie fonctionnelle à l’instar de la
tomographie en émission. En effet, en utilisant des images acquises à des temps différents, pour
la même section du corps humain, on peut déterminer l’état fonctionnel de différents organes.
Dans une situation idéale, les valeurs des données sur les projections sont les intégrales de
données traversées selon des lignes droites qui traversent l’objet et qui interceptent un détecteur.
Un des outils les plus importants de la reconstruction tomographique est le théorème de la tranche
centrale. Celui-ci fait le lien entre les projections mesurées et la transformée de Fourier 2D de la
section à reconstruire.
Lors de l’acquisition, les images numérisées sont de taille N × N. La taille N est un compromis
entre la résolution choisie et la statistique de comptage (bruit de Poisson). Sur 360 degrés on
choisit un nombre de projections N identique à la taille de la matrice pour que la résolution
angulaire soit égale à la résolution spatiale[52].
CHAPITRE III : MATHEMATIQUES EN TOMOGRAPHIE
USTO-LAAR 53
3.1 La reconstruction tomographique : un problème inverse
Dans un problème de reconstruction tomographique, on cherche à reconstruire l’objet représenté
par une distribution f(x,y), à partir des données acquises. En se fondant sur la physique, on
suppose f(x,y) à support borné et infiniment différentiable. f et les projections p(t,θ) sont
considérées comme continus.
Si les pixels, éléments de base de discrétisation de l’objet à reconstruire [37] sont les inconnues
du problème et les projections sont les mesures, l’ensemble des mesures réalisées constitue le
problème direct reliant les inconnues aux données. Obtenir une image revient à résoudre un
système d’équations, c’est-à-dire mettre en œuvre le problème inverse. Les mesures fournissent
des équations intégrales sur les inconnues. Les opérations de reconstruction mettent souvent en
œuvre des opérations de différenciation instables numériquement [35].
La reconstruction tomographique est donc un problème inverse mal posé, c’est-à-dire qu’il
possède l’une des propriétés suivantes :
il ne possède pas de solution,
sa solution n’est pas unique,
sa solution ne dépend pas continument des données.
Un problème est dit bien posé si pour tout ensemble de données, il existe une solution unique
qui dépend continument des données [36]. Dans ce cas une erreur faible de mesure sur les
données doit produire une erreur faible sur la solution reconstruite. Au contraire, dans le cas où la
solution ne dépend pas continument des données, un bruit superposé à une projection rend
instable la solution, ce qui rend difficile la possibilité d’approcher de manière satisfaisante la
solution du problème inverse. Le système d’acquisition peut être complet ou incomplet selon que
les mesures couvrent tout le domaine support de la transformée modélisant le système [35].
Les problèmes de reconstruction tomographique n’ont souvent que des solutions approchées à
cause du bruit. La non existence d’une solution unique nous amène à effectuer un choix parmi les
solutions possibles, autrement dit un choix basé sur la disponibilité d’une information à priori.
La résolution de ces problèmes inverses nécessite une régularisation en imposant par exemple
des contraintes sur la solution. Les techniques de régularisation cherchent un compromis entre
adéquation aux données et contraintes sur la solution. Cela implique une relation d’incertitude
CHAPITRE III : MATHEMATIQUES EN TOMOGRAPHIE
USTO-LAAR 54
entre la localisation et la quantification sur les images. Les principales techniques de
régularisation sont [35] :
réduire le nombre d’inconnues (par exemple en utilisant un ixel plus grossier pour la
reconstruction), – introduire des contraintes de régularité sur l’image reconstruite,
éliminer de l’opérateur inverse les faibles valeurs du spectre ou de la décomposition en
valeur singulière de l’opérateur direct.
Les méthodes de reconstruction tomographique, en usage, appartiennent soit aux méthodes
déterministes, ou bien aux méthodes probabilistes. Parmi les méthodes déterministes, on
distingue les approches analytiques (ou directes) et les approches itératives (ou discrètes) [52].
3.2 Méthodes fondées sur une représentation continue de l’espace
Le problème direct est décrit par un opérateur sur un ensemble de fonctions. Les projections
sont liées aux données par une convolution ou par une transformée de Fourier ou bien par une
transformée de Radon. Des formules explicites permettent de calculer l’objet directement. Le
problème est régularisé par lissage (des projections ou de l’image), sans connaissance a priori de
la solution [33]. Bracewell en 1956 a démontré un théorème reliant la transformée de Radon à
celle de Fourier et de Hankel.
3.2.1 Le théorème de la tranche centrale
Fig.3.1 -Représentation du théorème de la tranche centrale
USTO-LA
Problè
Pour o
une dim
deux di
projecti
Soit p(t
L’équat
Dans le
La tran
CH
AAR
ème en de
obtenir le thé
mension d’u
imensions
ons parallèl
t, θ) une p
tion (3.1) pe
plan de la f
nsformée de
HAPITRE I
eux dimen
éorème de l
une projectio
de l’objet
les, on peut
projection d
eut etre refo
fonction :
e Fourier 1D
III : MATH
nsions :
la tranche c
on parallèle
de départ
estimer l’o
de la foncti
ormulée en u
D de l’équat
HEMATIQ
entrale, il fa
e est égale à
(figure 3.
objet de dépa
ion f(x,y)
utilisant les
tion (3.3) pa
QUES EN T
aut remarqu
à une tranch
1). Cela si
art par trans
définie po
coordonnée
ar rapport à
TOMOGRA
uer que la tr
he de la tran
ignifie qu’
sformation d
our t de R
es polaires
la variable
APHIE ransformée d
nsformée d
avec un en
de Fourier i
et 0 < θ
:
t donne :
55
de Fourier à
de Fourier à
nsemble de
inverse 2D.
< π par
5
à
à
e
:
USTO-LA
Le thé
fonction
Le pass
Fourier
L’équat
On obti
Ainsi
théoriqu
d’un no
de la lig
que soi
constan
fonction
Général
CH
AAR
éorème de l
n de départ f
sage en coo
nous perme
tion 3.5 dev
ent alors :
toute recon
uement poss
ombre fini d
gne radiale e
it la directi
t quelle qu
n de dépar
lement, cett
HAPITRE I
la tranche c
f(x,y) dans u
ordonnées p
et d’écrire :
vient alors :
nstruction d
sible que po
de projectio
en un nomb
ion de proj
ue soit la d
rt, ces poin
te interpola
III : MATH
centrale est
un repère ca
polaires à l
d’image qu
our une infi
ns. Autrem
bre fini de p
jection. Da
direction d
nts doivent
ation s’effec
HEMATIQ
obtenu en
artésien :
la fois dans
ui fait valo
inité de proj
ment dit, la f
points. Le no
ans le doma
de projectio
être expri
ctue en pren
QUES EN T
écrivant la
s le domain
ir le théorè
jections. En
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ombre d’éch
aine de Fo
on. Pour po
més dans
nant le plus
TOMOGRA
transformé
ne spatial e
ème de la
n pratique, n
(U, V ) ne se
hantillons e
ourier, l’éch
ouvoir néan
un repère
s proche vo
APHIE ée de Fouri
et dans le d
tranche ce
nous ne disp
era connue
est donc con
hantillonnag
nmoins rec
cartésien f
oisin ou en
56
er 2D de la
domaine de
entrale n’es
posons que
que le long
nstant quelle
ge est auss
onstruire la
figure (3.2)
faisant une
6
a
e
t
e
g
e
i
a
).
e
USTO-LA
interpol
domaine
l’origine
les haut
l’image
3.2.3 C
La trans
Où t =
D’après
Radon 3
:
CH
AAR
lation linéai
e des fréque
e , c’est-à-d
tes fréquen
[52].
Cas du pro
sformée de
. représe
s la représen
3D s’écrit
HAPITRE I
ire entre le
ences en co
dire des bas
nces compa
Fig 3.2 : pa
oblème à
Radon s’écr
ente l’équita
ntation géo
III : MATH
es points co
oordonnées
ses fréquen
arée à celle
assage d’une
trois dim
rit en dimen
ation d’un h
ométrique d
HEMATIQ
onnus. A re
polaires dé
nces. Donc,
e des basse
e grille pola
mensions
nsion 3 :
hyperplan d
e la project
QUES EN T
emarquer q
croit au fur
l’erreur d’in
s fréquence
aire à une gr
e dimension
tion décrite
TOMOGRA
que la dens
r et à mesur
nterpolation
es, ce qui
rille cartésie
n 2.
e par figure
APHIE sité des poi
re que l’on s
n sera plus g
dégrade les
enne
(3.3), la pr
57
ints dans le
s’éloigne de
grande pour
s détails de
rojection de
7
e
e
r
e
e
USTO-LA
Le théor
Tandis q
est la tra
3.3 Tr
Le thé
reconstr
consiste
CH
AAR
rème de la t
que la trans
ansformée d
ansforma
éorème de l
ruction d’im
e d’abord à
HAPITRE I
tranche cen
sformée de F
de Fourier 1
ation de F
la tranche
mages com
obtenir les
III : MATH
ntrale en 3D
Fourier 3D
1D de la tran
Fig.3.3- G
Fourier
centrale co
mme cela es
projections
HEMATIQ
nous perme
s’écrit
nsformée de
Géométrie de
nstitue la b
st schémati
s de Radon,
QUES EN T
et d’écrire s
e Radon 2D
projection 3D
base sur laq
isé dans fig
pour lesqu
TOMOGRA
s’écrit alors
D de f par ra
D
quelle s’app
gure (3.4).
elles la tran
APHIE :
apport à t.
puie toute m
Le poin
nsformée de 58
méthode de
nt de dépar
e Fourier es8
e
rt
t
CHAPITRE III : MATHEMATIQUES EN TOMOGRAPHIE
USTO-LAAR 59
calculée pour chaque angle. Un calcul d’interpolation nous permet de passer des coordonnées
polaires aux coordonnées cartésiennes. Par transformée de Fourier inverse 2D, l’objet est
finalement reconstruit. Il faut noter que cet algorithme n’est valable que pour un nombre infini
d’angles. La reconstruction n’est pas exacte pour un nombre fini d’angle[52].
3.4 Rétroprojection Filtrée (FBP : Filtered Backprojection)
La rétroprojection filtrée est la méthode de reconstruction directe la plus utilisée. Elle est
notamment implantée dans les scanners commerciaux PET et SPECT.
Pour une fonction f à décroissance rapide définie sur un support compact, infiniment dérivable,
dont toutes les dérivées appartiennent au même espace, l’opérateur de Radon est exprimé comme
suit:
On peut écrire l’objet reconstruit g(x, y) à partir de la transformée de Fourier inverse de F(λ, μ)
comme :
En utilisant le théorème de la tranche centrale on peut écrire :
On obtient pour g(x, y) :
CHAPITRE III : MATHEMATIQUES EN TOMOGRAPHIE
USTO-LAAR 60
Fig.3.4-Reconstruction par transformée de Fourier
CHAPITRE III : MATHEMATIQUES EN TOMOGRAPHIE
USTO-LAAR 61
Effectuons un changement de variable pour passer dans un système de cordonnées polaires :
Cela donne :
Sachant que :
Et en décomposant l’équation (3.19) sur [0, π] et [π, 2π], l’objet reconstruit s’écrit :
En posant t = x cos θ+ y sin θ on obtient :
Le terme |v| dans cette intégrale est à l’origine de la notion de filtrage des projections par un
filtre rampe. Si on pose :
CHAPITRE III : MATHEMATIQUES EN TOMOGRAPHIE
USTO-LAAR 62
On obtient :
Lors de la rétroprojection, chaque projection est rétroprojetée sur l’image. La grandeur v a la
dimension d’une fréquence spatiale. Ainsi l’intégration dans l’équation (3.23) doit balayer toutes
les fréquences. En pratique, l’énergie contenue dans la transformée de Fourier au dessus d’une
certaine fréquence est négligeable. Pour des raisons pratiques les projections sont le plus souvent
considérées comme étant à bande limitée[52].
Les équations (3.23) et (3.24) peuvent être vues comme deux étapes de la rétroprojection filtrée.
Dans l’équation (3.23), un opérateur de filtrage est associé à chaque projection p (t,θ) et donne
une projection filtrée :
Avec
L’équation (3.24) est l’étape de rétroprojection, opérateur dual de l’opérateur de Radon :
3.5. Algorithme Nous pouvons résumer ce qui a été établie auparavant en trois étapes principales :
1. projection de l’objet de départ f(x, y) ;
2. filtrage (dans le domaine spatial ou fréquentiel) ;
3. rétroprojection des projections filtrées pour reconstruire l’image de départ g(x, y).
CHAPITRE III : MATHEMATIQUES EN TOMOGRAPHIE
USTO-LAAR 63
Fig 3.5 : Schéma relatif aux étapes de la rétroprojection
3.6 Le filtre rampe
Si les projections sont calculées dans le domaine de Fourier, elles sont multipliées par le filtre
rampe |v| lors de l’opération de filtrage. Ce filtre met à zéro la composante continue dans le
domaine de Fourier et introduit, donc, des valeurs négatives. Le filtre rampe a un support non
borné. D’une part il amplifie les hautes fréquences pour lesquelles le rapport signal à bruit est le
plus faible, d’autre part, le pas d’échantillonnage τ utilisé dans une projection limite la fréquence
maximale accessible à la fréquence de Nyquist vNyquist = [33]. Le filtre rampe avec une telle
contrainte s’appelle filtre de Ram-lak. Les valeurs négatives introduites autour de l’objet filtré
sont présentes pour compenser les artefacts dus à la rétroprojection. La contribution des
fréquences au-dessus de vNyquist est généralement entachée d’erreurs à cause de l’aliasing et du
bruit. L’utilisation d’une fenêtre de lissage comme Hanning, Hamming ou Shepp-Logan permet
de supprimer les plus hautes fréquences spatiales par conséquent les artefacts. De telles fenêtres
peuvent être formulées comme suit :
USTO-LA
Pour α
[58].
Fig.3.6- (
3.7 Co
La tom
méthode
discrète
un vecte
la trans
rétropro
problèm
système
Nous
algorith
discrète
mettron
tomogra
Kingsto
représen
CH
AAR
α = 0, 54 on
(a)filtre rampe
onclusion
mographie
es de recon
e. Elles mett
eur de donn
sformée de
ojection fon
me inverse e
e d’équation
venons de
hmes repose
e des donné
nt en œuv
aphique. Ce
on et Svalb
ntation discr
HAPITRE I
n a la fenêt
e coupé, (b)fen
n
discrète res
nstruction f
tent en oeuv
nées. Il exist
Radon : le
ndés sur des
est traité co
ns linéaire a
décrire les
ent sur une r
es nous ser
vre une a
ette mise en
be [51]. Da
rète pour re
III : MATH
tre de Ham
nêtre de hamm
ste un cham
fondées sur
vre des mul
te deux clas
es techniqu
s discrétisat
omme un p
avec une ma
s algorithm
représentati
ra utile pou
approche to
n œuvre a
ans le chap
evisiter les a
HEMATIQ
mming et po
ming , (c) prod
mp de rech
la géométr
ltiplications
sses d’algor
ues de recon
ions différe
problème d’
atrice traitée
mes générau
ion continu
r établir de
otalement
des points
pitre IV,
algorithmes
QUES EN T
ur α = 0, 5
duit d’un filtre
herche actif
rie discrète
de matrice
rithmes pou
nstruction a
entes de la f
’algèbre lin
e de manière
ux de la re
ue ou discrè
nouveaux
discrète d
communs a
nous allon
traditionne
TOMOGRA
on obtient
e rampe avec u
f [41, 52,
e ou sur la
s de structu
ur inverser le
algébriques
formule d’i
néaire qui s
e itérative.
construction
ète des donn
algorithmes
du problèm
avec la rec
ns utiliser
els de la tom
APHIE t la fenêtre
une fenêtre de
26]. Il exi
transformé
ure bloc-circ
es versions
et les algo
nversion de
e réduit à r
n tomograp
nées. La rep
s de recons
me de rec
onstruction
une géomé
mographie[5
64
de Hanning
e hamming
ste d’autres
e de Radon
culante avec
discrètes de
orithmes de
e Radon. Le
résoudre un
phique. Ces
présentation
struction qu
construction
décrite par
étrie et une
52].
4
g
s
n
c
e
e
e
n
s
n
ui
n
r
e
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 65
Chapitre IV
Tomographie Et Geometrie Discrete /
Methode FBP Énormément de travaux ont été réalisés pour la mise en place d’algorithmes performants
pour la reconstruction d’images et de volumes comme nous l’avons décrit dans la première
partie. Il existe plusieurs géométries, plusieurs types de capteurs, plusieurs dimensions
suivant lesquelles on peut aborder le problème, et autant d’algorithmes incorporant ces
contraintes. Dans notre travail, nous avons focalisé sur le problème d’utilisation d’une
géométrie d’acquisition angulaire particulière avec discrétisation des projections.
La transformée de Radon discrète est exacte pour un nombre infini d’angles. La présence
de bruit, par manque de données, conduit au problème de qualité de reconstruction pour
lequel il n’y a pas de solution évidente. Poser les fondations qui nous permettent de trouver
des solutions algorithmiques tout en évitant le problème de projections insuffisantes pour
la reconstruction de l’image de l’objet, constitue une tâche importante dans notre étude.
Dans ce qui suit nous allons exposer l’algorithme d’une solution adaptée en augmentant le
nombre d’angles discrets et qui constitue une alternative à l’interpolation classique.
Des problèmes benchmarks représentés par des fantômes numériques vont servir de
problèmes tests pour ces algorithmes. Ces résultats obtenus nous permettent de juger de la
qualité apportée aux images par ces algorithmes développés mais nous aident aussi à
dessiner les grands traits des futures expérimentations réelles basées sur des acquisitions
tomographiques véritables.
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 66
4.1 Numérisation de la méthode FBP (Filtered back projection) Pour comprendre qualitativement le processus de rétroprojection, imaginons, comme le
montre la figure (4.1), une matrice carrée de 5×5 pixels avec seulement un pixel de
densité non nul. Effectuons la projection de cette image suivant deux angles de projection
θ=0° et θ=90° .
Lors du processus de projection, les densités sont sommées le long de chaque rayon de
projection. Dans notre exemple, on obtient donc 2×5 valeurs de projections qui vont,
ensuite, être rétroprojetées pour donner une image tomographique approchée f(x,y) de
l’image initiale.
L'exemple précédent qui est simple mais riche en informations nous permet de tirer deux
conclusions :
• La rétroprojection n'est rien d'autre que la reconstruction de l'image par la
distribution des mesures acquises sur la matrice de l'image reconstruite
selon les orientations d'acquisitions.
• La méthode de rétroprojection génère artificiellement des pixels de densités
non-nulles sur l’image reconstruite. C’est ce qu’on appelle l’artefact qui
prend la forme d'une étoile lors du processus de la rétroprojection.
A ce niveau l'algorithme de la rétroprojection filtrée se pose en termes d'une problématique
à deux aspects:
• Un problème de localisation géométrique d’un point de l’objet dans
l’ensemble des projections.
• Un problème de débruitage de l'image causé par les artefacts en étoile
qui résultent de la rétroprojection.
Fig.4.1: Principe de projection et rétro projection à partir de deux angles de vue.
USTO
4.2 S La
form
Les d
local
Si
résol
sinog
consi
mesu
synth
Il e
signi
qui e
CHAPIT
O-LAAR
Simulatioprojection
mule (4.1) no
différentes
lisées sur le
on stocke
lution de l'
gramme de
idérer le sin
urée par un
hèse.
est alors év
ificatif du p
est le résulta
RE IV : Ton numéri
d'un objet
ous indique
positions q
s axes des c
les différen
angle de ro
e la mesure
nogramme c
n capteur e
vident que
point de vue
at d'un calcu
Fig.4
t = xi cos(θ)
TOMOGRique de lasur plusieu
qu'une proj
qu'occupent
capteurs (ax
ntes mesure
otation à n
e scannogra
comme une
et stockée d
le traitem
e mesure ph
ul informati
4.2 : Positionneme
θ)+ yi sin(θ)
t
RAPHIE Ea projectiurs angles es
jection est d
un point (x
xe t) telle qu
es vectorie
notre dispos
aphique com
e matrice im
dans un or
ment d'imag
hysique que
ique.
ent d'un point sur
) avec ( t : p
t
ET GEOMon st un problè
définie par :
xi,yi) sur les
ue :
elles en fon
sition, on o
mme l'indiq
mage, car il
dre spécial
e appliqué
e le traitem
r les différents pr
position d’un
t
METRIE ème purem
s projection
nction de l
obtient ce q
que la figur
est la proje
l, pour gén
sur le sin
ment de l'im
ofiles
n capteur)
DISCREent géomét
ns sont parfa
'évolution
que l'on ap
re (4.2).
ection d'une
nérer une im
nogramme
mage tomogr
(4
(4
TE
67
trique, la
faitement
et de la
ppelle le
On peut
e énergie
mage de
est plus
raphique
4.1)
4.2)
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 68
La figure (4.3) représente un exemple de sinogramme d'une image (points
horizontaux) obtenu par transformée de radon comme cela a été décrit précédemment.
Une des particularités du sinogramme est que chacun de ses points est une
intersection de plusieurs chemins. Une intersection est l'équivalent de l'intégrale linéaire
de la formule (4.01), le problème complexe de calcul des projections se trouve réduit à un
problème de la détermination de l'ensemble des projections auxquelles appartient un point
donné de l'objet inspecté. Voir figure (4.4), ainsi la structure de navigation sur le
sinogramme va faire en sorte que tous les points qui se trouvent sur la même ligne à la
limite de la résolution angulaire vont être sommés et stockés dans une seule case de la
matrice du sinogramme. Il en résulte des maximums et des minimums dans le sinogramme.
Ces valeurs sont exploitées dans les examens scannographiques, particulièrement ceux qui
visent à établir des cartes de vaisseaux sanguins où circule un liquide de contraste fort
absorbant des rayons X, ce qui correspond à des minimums sur le sinogramme.
La figure (4.4) montre bien cet aspect du sinogramme où on visualise les valeurs en
trois dimensions. Comme nous allons le constater dans la rétroprojection, les intersections
de la figure (4.4) sont à l'origine des artéfacts en étoile sur l'image finale :
4.3. Influence de la discrétisation du plan spatial sur la simulation de la
projection Si on veut simuler une atténuation de rayon X acquise, selon plusieurs angles, par une
batterie de capteurs, nous devons discrétiser le domaine de l'objet en un réseau de points
(xi,yi) tel que i,,j=1,2,3,4,….N, où N représente le nombre des capteurs : figure (4.5).
Fig.4.3: A gauche Image de segment comme objet de scanne. A droite sinogramme des projections d’un segment de points
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 69
La localisation d'un point (xi,yi) sur une projection inclinée de θ par rapport à l'horizontal
est donnée par l’équation (4.2). Quel que soit θk, la valeur de t n'a aucune raison de
coïncider avec un point (xi,yi) du réseau obtenu par discrétisation de l’objet. Il va donc
falloir interpoler les valeurs de la projection en fonction des valeurs les plus proches de
(i,j).
capteurs
f(xi,.yj )
Fig.4.5: Discrétisation spatiale de l'objet
Fig.4.4: En haut : Sinogramme de projection d’un point, En bas : Sinogramme de projection d’un segment de points
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 70
Nous avons opter pour une méthode d'interpolation linéaire qui part du principe d’une
distribution uniforme de la quantité de rayonnement entre deux capteurs adjacents (on
suppose les rayons X sont hautement collimatés, on rappelle que les capteurs dans notre
simulateur sont des cases de la matrice sinogramme), cela se traduit par l’utilisation de
deux coefficients proportionnels à la distance d'éloignement du rayonnement par rapport au
centre du capteur comme l'indique la figure (4.06). Ainsi les valeurs de la projection de
f(x,y) sur deux capteurs adjacents sont interpolées comme suit :
ε : fraction de calcul de t.
PΘ (tn ) = (1-ε). f(x, y) . PΘ( tn+1 ) = ε . f(x,y) . (4.3)
f(x, y)
f(x, y)
d
1- ε
Amplitude De la mesure
PΘ( (tn )
Batterie de capteurs (tn)
ε
d
Fig.4.06 : Principe de la méthode d'interpolation linéaire
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 71
4.4. Algorithme de calcul de la transformée de radon Pour valider la méthode du FBP, un problème test dit ‘benchmark’ a été utilisé. La
solution de ce problème est évidement connue.
En réalité, la reconstruction de l’image basée sur la FBP suppose donnée, la matrice du
sinogramme dont les éléments représentent les projections d’une coupe de l’objet sur les
différents capteurs et pour différents angles de rotationθ.
Dans l’algorithme qui suit, nous essayons de calculer, à partir d’une image, les différentes
projections de radon en tenant compte des considérations exprimées précédemment, et par
la même occasion calculer la matrice du sinogramme qui va servir de point de départ pour
la reconstruction de l’image qui est connue. Ainsi on peut comparer l’image reconstruite à
l’image connue. L'algorithme d'une projection est alors formulé comme suit:
La figure (4.7) représente un exemple de sinogrammes avec son image originale :
Soit I une image carrée de dimension N avec un spectre complet de niveaux de gris: • Pour tout élément I(i,j) faire :
Si l'élément (i2 + j2 <= (N2) ) faire :
o Pour tout Θ compris entre 0° à 180° pas de P° faire:
t = (i-N/2) cos(θ)+ (j-N/2) sin(θ). t=t+N/2.
Arrondir t et calculer ε. Calcul du sinogramme PΘ(t) par: PΘ(t)= PΘ(t)+ (1-ε) I(i,j). PΘ(t+1)= PΘ(t+1)+ ε I(i,j).
o fin pour fin si
• fin pour
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 72
(B)
Fig.4.7: Exemple de Sinogramme d'objet de l’image (A), (B) sinogramme de l’image et sa représentation 3D dans (C)
(A)
(C)
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 73
4.5. Analyse du bruit sur l'image reconstruite (rôle du filtrage)
Pour comprendre la nature du bruit engendré par la reconstruction de l'image il faut
revoir les étapes de la projection. Chaque point f(x, y) de l'image reconstruite est une
somme sur une trajectoire de la matrice sinogramme Qθ(t). Or comme on l'a constaté,
chaque point sur ce sinogramme est une somme sur une droite des valeurs f(x,y) (voire
figure(4.1)). Ce qui revient à dire que notre trajectoire de reconstruction est composée
essentiellement de sommes de la fonction f(x,y). Ce problème est nettement visible dans la
figure (4.1), où la projection et la rétroprojection sont effectuées pour deux angles
seulement, et on voit apparaître le bruit de la somme induit par (4.2) et projeté sur l'image
reconstruite. Il est donc évident que la rétroprojection en tant que solution géométrique ne
suffit pas à elle seule pour reconstruire une image à partir de ses projections à cause du
bruit généré par la dégradation de la dimension associée à l’information équation (4.2).
Quantitativement chaque point de la projection scannographique parallèle Qθ(t) (le
sinogramme) est une combinaison de N valeurs de l'objet f(x, y) (N est le diamètre du
cercle du dispositif scannographique ) dans le cas d’une simulation de projection d’une
image de dimension N x N sur une ligne de N capteurs avec une résolution angulaire
infinie. C'est pour cela que l'on fait appel à la transformée de Fourier dont la réversibilité
est une certitude mathématique. A ce niveau, la question est de savoir comment obtenir à
partir des projections P (θ , t) la transformée de Fourier bidimensionnelle de la fonction
f(x, y). La réponse à cette question est donnée par les formules (4.04) et (4.05) dont les
formes discrétisées sont:
Il est claire que d’après les équations (4.04) et (4.05), la transformée de Fourier
mono-dimensionnelle de la projection P(θ, t) n'est rien d'autre qu’une approximation de la
transformée de Fourier bidimensionnelle de la fonction originale f(x, y) représentée sous
forme matricielle, résultat d’une discrétisation du domaine de f(x, y). Il serait plus adapté
d’utiliser la technique du FFT pour calculer la transformée de Fourier. Le schéma suivant
illustre la succession des opérations à effectuer sur f(x, y) pour aboutir à sa transformée de
Fourier bidimensionnelle :
(4.04)
(4.05)
∑∑−
=
−
=
+−=1
0
1
0
))sin()cos((2),()(N
y
N
x
yxjeyxfS θθπωθ ω
∑ ∑−
=
−
=
+−=1
0
1
0
/)(2),(1),(N
y
N
x
NyxjeyxfNF νμπνμ
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 74
Une fois obtenue la transformée de Fourier bidimensionnelle de f(x,y) il ne reste qu'à
l'inverser pour récupérer la fonction f(x,y) de départ :
On notera que :
On remarque que le transformée mono-dimensionnelle de Fourier Sθ(ω ) de la projection
Pθ(t) est définie par une représentation polaire dans un repère cartésien de fréquence de
l'espace bidimensionnel Fourier ( μ , ). La réécriture de (4.07) dans l'espace polaire (ω, θ)
nous conduit dans le domaine discret à la formule (4.08) avec :
Où on remarque l'apparition du terme |ω| qui est multiplié par F(ω,θ) dans l' espace
fréquentiel continu, ce qui se traduit dans le domaine spatiale par une opération de
convolution, de la projection Pθ(ti) avec un filtre K(ti) dont la réponse en fréquence est une
rampe conçue directement dans l'espace des fréquences comme l'indique la figure (4.8) :
Figure.4.8:L'allure en fréquence du filtre rampe |ω| |ω|
)()()( tKtPtQ iii ⊗= θθ
et NjN
Ni
tK i/)2(
)2/(
)2/()( πω
ω
ωω∑
+=
−=
= (4.08)
Transformée de RADON de f(x, y)
Sθ(ω) = FFT (Pθ(t))
F(u, v) = FFT2(f(x, y)) + = P (θ,t)
( ) = ( ( ), sin( )) = ( μ , ) (4.07)
e NyxjN
y
N
xF
Nyxf /)(2
1
0
1
02 ),(1),( νμπνμ +
−
=
−
=∑ ∑= (4.06)
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 75
Le principe de la rétroprojection filtrée nécessite donc la multiplication de la
transformée de Fourier des projections par la valeur absolue de ω appelée filtre rampe
Figure (4.8). Ce filtre passe haut a pour effet :
-1- Mettre à zéro la composante continue de la FFT2D des projections (la
composante continue représente la moyenne du signal).
-2- Introduire des valeurs négatives de compensation
-3- Amplifier les composantes en hautes fréquences ayant pour effet de générer, dans
le signal, des transitions rapides afin de rétablir la distribution spatiale des informations
spectrales.
Dans l’espace des fréquences, l’effet du filtre consiste schématiquement à introduire
une composante négative dans les projections Pθ(t), ceci permet de déconvoluer les
projections de l’image reconstruite. En pratique, l’espace entre deux lignes de projection
n’est pas infiniment fin du fait de la segmentation du vecteur de détection. Ceci va
conduire à une limitation de la bande de fréquences accessibles. Il s’ensuit donc une
fréquence maximale, plus précisément une fréquence de coupure ωN telle que : | ω |< ωN.
Cette fréquence de coupure est reliée au pas d’échantillonnage h d’un vecteur de
détection (théorème de Shannon) :
ωN : est appelée la fréquence de Nyquist.
Bien souvent le problème est tel que le spectre en fréquence associé à l’objet analysé
s’étend au-delà de la fenêtre [-ωN , ωN]. Cette limitation de la bande de fréquence va
introduire des fréquences parasites à la reconstruction (artéfacts d’Aliasing). Ces artefacts
seront d'autant plus importants que l’objet présente un spectre étendu dans les hautes
fréquences. Un second problème peut être associé au nombre fini de projections utilisées.
En effet si on se place dans l'espace de Fourier (U,V) l'échantillonnage des fréquences ω,
tel que pratiqué dans le repère (Ω,θ), favorise les basses fréquences au détriment des
hautes fréquences. Il suffit de comparer la densité de points au voisinage du centre et delle
des points sur la périphérie figure (4.09).
La figure(4.09) nous montre que la FFT 1D de la transformée de radon revient à faire
une sélection préférentielle de fréquences pour la reconstruction de l'image finale, par
l’utilisation d’un repère de coordonnées polaires responsable de l’échantillonnage d’un
ωN =1 / (2. h) (4.09)
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 76
ensemble de fréquences dont la densité n’est pas uniforme , comme c’est le cas de l’espace
cartésien des fréquences de la transformée de Fourier bidimensionnelle est uniformément
distribué.
Dans l’espace de Fourier (Ω,θ), on a tendance à favoriser les basses fréquences. Ceci
est facilement illustré par le fait qu’une surface unité placée au centre du cercle va
recueillir beaucoup plus de points ( μ , ) que la même surface placée vers le bord du
cercle. Ainsi nous avons la certitude que l'erreur engendrée dans la zone des hautes
fréquences par manque d’information est plus importante que celle induite par les basses
fréquences. Il est donc nécessaire pour rétablir l’uniformité de distribution de l’information
spectrale, de multiplie le filtre rampe par une fenêtre de lissage qui atténue les hautes
fréquences dans l'espace de Fourier. Cette fenêtre possède un paramètre de contrôle qui
agit sur le taux d’implication des hautes fréquences dans le processus de reconstruction. Ce
paramètre est représenté par la fréquence de coupure de la fenêtre du lissage [52].
Un filtre rampe de type |ω| aurait donc tendance à amplifier le bruit haute
fréquence. Pour palier à ce problème il est recommandé de baisser la contribution du
spectre des hautes fréquences par l'application d'un filtre basses fréquences qui est
généralement choisi parmi les filtres type fenêtre de Hamming [47] donné par (4.10).
Zones à interpoler
dθ
F(u,v)
u
v
Fig.4.9: Discrétisation du plan de Fourier.
α + (1- α) cos(π ω/ ωc) |ω| < ωc
0 |ω| > ωc H(ω)= (4.10)
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 77
Le paramètre α contrôle le lissage du filtre alors que ωc représente la fréquence de
coupure avec ωc<ωN comme l'indique la figure (4.10).
Pendant longtemps seul en usage sur les calculateurs, ce filtre permet des calculs
extrêmement rapides. Cependant il a pour inconvénient d’être fortement lissant et
d'atténuer les moyennes fréquences. Il y a donc une perte de détail et donc de résolution.
D’autres filtres ont été utilisés comme le filtre de Hanning, Shepp-Logan, [47] et de
Cosine.
4.5.1. Filtre de Shepp-Logan
Le but du filtre de Shepp-Logan est le même que celui de hamming. Il est construit
directement dans l'espace des fréquences via sa formule analytique donnée par :
La forme de ce filtre est représentée dans la figure (4.11)
Figure.4.10. : Modification de la fonction de transfert d’un filtre rampe par application d’une fenêtre de Hamming (α=0.56, ωc=1).
H(ω).| ω |
ω
H(ω)
. sin(ω/2ωc) / (ω/2ωc) |ω| < ωc
0 |ω| > ωc H(ω)= (4.11)
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 78
4.5.2 Filtre de hanning Les filtres lissants utilisés sont toujours du type passe-bas. Ils éliminent les hautes
fréquences caractéristiques du bruit. Le plus classique est le filtre de Hanning figure (4.12).
Il corresponde à une fonction cosinus dans l’espace fréquentiel. Sa formule est :
D’autres filtres ont été utilisés comme le filtre de PARZEN ou de Cosine. Le filtre de
BUTTERWORTH dépend de deux paramètres : la fréquence de coupure définie comme la
fréquence pour laquelle la valeur du filtre est de 0,707 et l’ordre du filtre qui détermine la
rapidité de décroissance dans les hautes fréquences [53]. Sa formule est la suivante :
( ) = ( ⁄ )
H(ω).| ω |
ω
H(ω)
Fig.4.11: Modification de la fonction de transfert d’un filtre rampe par
L’application d’une fenêtre de Shepp-Logan (ωc=1).
1+cos(ω/ ωc)/2 |ω| < ωc
0 |ω| > ωc H(ω)=
(4.12)
(4.13)
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 79
4.5.3 Filtre cosine
Correctement paramétré, il préserve les moyennes fréquences et donc la résolution. C’est
maintenant le filtre le plus recommandé. Sa formule est donné par l’équation (4.14) et sa
réponse est représentée par la figure (4.13) :
Il est possible d’utiliser d’autres filtres de type contrastant qui amplifient les moyennes
fréquences, comme le cas du filtre gaussien. L’amplification des moyennes fréquences
peut avoir pour but de corriger la dégradation de la résolution par le système de détection.
Ce genre de filtres utilise la fonction de transfert de modulation du système de détection,
comme dans le cas du filtre METZ et du filtre WIENER. La fonction de transfert de
modulation peut être soit mesurée, soit estimée à partir de la résolution du système. La
détermination de la fréquence de coupure dépend du niveau de bruit statistique. On doit
utiliser un filtre ayant une grande fréquence de coupure pour une image ayant une grande
statistique de comptage. La fréquence à partir de laquelle le bruit devient dominant peut
être déterminée par l’étude du spectre de puissance de l’image dans le domaine fréquentiel
dans une perspective d’optimiser l’estimation automatique des paramètres de filtrage.
ω
H(ω).| ω | H(ω)
Fig.4.12 : Modification de la fonction de transfert d’un filtre rampe par L’application d’une fenêtre de Hanning (ωc=1).
cos(ω/2ωc) |ω| < ωc
0 |ω| > ωc H(ω)=
(4.14)
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 80
4.6 Simulation de la rétroprojection
La rétroprojection est le procédé inverse de la projection. Il en résulte que la
propriété f(x,y), calculée au point (x,y), est la somme de toutes ses projections dans le
sinogramme. Une fois ces dernières identifiées, une trajectoire appelée trajectoire de
sommation est définie. Cette trajectoire est visible sur le sinogramme de la figure (4.04)
où il n’y a qu’un seul alignement de points dont la fonction f(x,y) est non nulle qui
constitue l'objet lui même dans l'image originale. La figure (4.14) nous indique la
trajectoire de sommation à suivre pour calculer la valeur de la propriété du point
sélectionné sur l'image qui contient des objets géométriques de synthèse espacés pour
réduire les alignements sur les projections :
Fig.4.13: Modification de la fonction de transfert d’un filtre rampe par
application d’une fenêtre cosine(ωc=1).
H(ω).| ω | H(ω)
ω
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 81
La rétroprojection doit respecter toutes les contraintes de la projection dans le domaine
discret. Ainsi l'interpolation utilisée est linéaire et l'algorithme inverse de celui de la
projection est décrit comme suit :
Les trois opérations successives pour simuler un procédé scanographique sont :
La projection.
Le filtrage.
La rétroprojection.
Pour bien saisir l’impact du filtre dans la reconstruction tomographique, deux scénarios
de simulation sont présentés dans la figure (4.15), avec une reconstruction tomographique
de 180 projections d’objet contrasté avec et sans filtrage.
Soit IR une image carrée de dimension N : Soit PΘ(t) une projection radon de l'image I : • Pour tout élément IR(i,j) faire
Si l'élément (i2 + j2 <= (N2) ) faire : o Pour tout Θ compris entre 0° à 180°, pas de P° faire:
t = (i-N/2) cos(θ)+ (j-N/2) sin(θ). t=t+N/2.
Arrondir t et calculer ε. calcul de IR(i,j) par: IR(i,j)=IR(i, j) + ε PΘ(t+1) + (1- ε) PΘ(t) .
o fin pour fin si
• fin pour
Figure.4.14: Trajectoire de sommation sur un sinogramme associé à un point dans l'image
Représentation 3D du sinogramme de l'image originale Image originale
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 82
Fig.4.15 - (A) : image d’objet, (B) : sinogramme de (A) sans filtrage, (C) : Rétro-projection sans filtrage,(D) : Sinogrammme de (A) avec filtrage ,(E) : Rétro-projection avec filtrage
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 83
Si on néglige l'opération de filtrage du sinogramme en appliquant directement la
rétroprojection sur le sinogramme de la figure (4.15.B) on obtient l'image de la figure
(4.15.C). En appliquant un filtrage tel que présenté dans la figure (4.13) sur les données du
sinogramme de la figure (4.15.B), on obtient le sinogramme filtré de la figure (4.15.D).
Alors que l'application de la rétroprojection sur le sinogramme filtré donne le résultat de la
figure (4.15.E).
L'image reconstruite de la figure (4.15.C) est de mauvaise qualité, à cause du flou
induit par la rétroprojection pratiquée sur le contraste élevé de l'image originale (figure
(4.15.A) qui se situe vers les hautes fréquences dans le domaine de Fourier, alors que le
contraste de l'image reconstruite est assez lisse et constitué essentiellement de basses
fréquences, cela est normal dans la mesure où chaque point reconstruit est une
combinaison de plusieurs points du sinogramme ce qui est similaire à une opération de
filtrage d'image type passe bas, la qualité de la reconstruction dans la figure (4.15.E) issue
du sinogramme filtré est visiblement meilleure et ressemble nettement à l'image originale.
L'algorithme de la simulation d'un procédé scannographique devient donc comme suit:
4.7 Application de la méthode FBP sur une image de coupe Dans ce qui suit, on présente le résultat du déroulement de l’algorithme décrit plus haut
sur une image de coupe du foie figure (4.16.A) :
Calcul des projections pθ(t) et remplissage de la matrice du sinogramme SINO. Extension des lignes de la matrice SINO tel que :
New_ligne[1 à N] = old_ligne[1 à N] et 0 ailleurs de N+1 à 2N. Stockage des résultats dans la matrice SINOPAD. FFTSINOPAD = FFT (SINO). H = [-2.N :0 , 1 :2.N] Pour i=1 jusqu au nombre total de projections faire: Pour j = 1 jusqu à la longueur des lignes de FFTSINOPAD faire: FSINOFILTRED = FFTSINOPAD (i, j) . H(j). Fin de pour Fin de pour FSINOFILTRED = IFFT (FSINOFILTRED) Restauration de la taille de SINOPADFILTRED CSINOFILTRED= REAL(CSINOFILTRED). Rétro projection de la matrice sinogramme SINOFILTRED.
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 84
La figure (4.16.B) montre la simulation d’un sinogramme de 180 projections de l’image
représentée par la figure (4.16.A) sur un profile de 0° à 180° avec une résolution simulée
de 200 capteurs de la ceinture de détection.
(A)
Fig.4.16:(A) : Image avec représentation 3D, (B) : Sinogramme de 180 projections sur l'intervalle de 0° à 180° avec représentation en 3D, (C) : Bourrage en zéros du sinogramme.
(B)
(C)
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 85
4.7.1 Calcul de la transformée de Fourier:
Le calcul de la transformée de Fourier se fait par applications de la FFT sur toutes les
projections (les lignes du sinogramme). Le résultat de cette opération est évidemment une
grandeur complexe. La figure (4.17) nous montre la partie réelle et imaginaire de cette
transformation dans le domaine des fréquences:
4.7.2. Construction du filtre :
La figure (4.18) nous montre la forme du filtre utilisé, il est conçu directement dans
le domaine des fréquences à partir de sa formule analytique à savoir de type rampe lissé
par une fenêtre de hamming :
(A) (B)
Fig.4.17: La transformée de Fourier des projections : (A) la partie réelle, (B) la partie imaginaire
Fig.4.18 : Design du filtre utilisé (filtre rampe. fenêtre de hamming)
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 86
4.7.3. Le filtrage:
L'opération de filtrage se fait en multipliant le filtre par la transformée de Fourier des
projections (le sinogramme), dans ce cas le filtre joue un rôle de coefficients d’échelle et
de pondération des fréquences qui rentrent dans la construction de l'image finale par rétro
projection. Les résultats de cette opération sont présentés dans la figure (4.19).
4.7.4. La transformée de Fourier inverse :
Apres l’application de la transformée de Fourier inverse (IFFT) selon les lignes du
sinogramme filtré, on remarque que la valeur moyenne des amplitudes du sinogramme est
nulle avec l'apparition de valeurs négatives comme cela est constaté sur la figure (4.20),
conséquence directe du filtre a valeur centrale nulle.
(a) (b)
Fig.4.19: La transformée de Fourier filtrée des projections ( a) partie réelle, (b) partie imaginaire
(a) (b)
Fig.4.20: (a) le sinogramme initial, ( b) Le sinogramme après filtrage.
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 87
4.7.5. La rétro-projection:
La reconstruction de l'image se fait par application de l'algorithme de la rétro-
projection sur le sinogramme filtré dans le domaine spatial. Ainsi la somme sur la
trajectoire propre à un élément f(i, j) va comporter des valeurs positives et négatives qui
vont se compenser dans toutes les directions autour du points f(i, j). On assiste à des
artéfacts en étoile sur l'image mais de faibles impacts visuels à cause du filtrage. Les
résultats de cette opération sont présentés dans la figure (4.21).
Pour bien comprendre l'apport du filtre dans le domaine spatial, la figure (4.22)
présente une comparaison de la trajectoire de sommation sur deux sinogrammes selon le
chemin associé à un point déterminé f(i,j) dans le cas filtré et non filtré.
Fig.4.21: Image reconstruite et sa représentation tridimensionnelle
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 88
(A)
(B)
Fig.4.22: à droite série d’amplitudes sur sinogramme original d’un point de projection sélectionné sur l’image de gauche. (B) à droite série d’amplitudes sur sinogramme filtrée du même point
a)
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 89
4.8. Etude des Paramètres de l'algorithme de la rétro-projection
Comme nous l'avons expliqué auparavant, l'algorithme de la FBP comprend trois
opérations (projection, filtrage, rétro-projection), chacune de ces opérations a ses propres
paramètres qui influent considérablement sur la qualité de l'image finale.
4.8.1. Le nombre de projections
Le paramètre le plus important est bien évidemment le nombre de projections qui
indique la quantité d'information injectée dans l'algorithme pour aboutir à l'image
tomographique. Dans la figure (4.23) on constate bien l'amélioration de l'image au fur et à
mesure que le nombre de projections augmente.
Image originale 4 projections sur un
profil de 180° 8 projections sur un
profil de 180° 16 projections sur un
profil de 180°
180 projections a un profile de 180°
128 projections à un profil de 180°
64 projections sur un profil de 180°
32 projections sur un profil de 180°
Représentation 3D de l'image originale Représentation 3D de l'image reconstruite à partir de 180 projections
Fig.4.23:Influence du nombre de projections sur la qualité de la reconstruction
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 90
4.8.2 Influence des paramètres du filtrage
Le mécanisme de filtrage se distingue par le choix des fréquences qui rentrent dans la
reconstruction de l'image rétro-projetée. Or l'étendu du spectre à filtrer est lui même
fonction de l'information portée par le contraste de l'image, ce qui impose une adaptation
du filtre à employer pour obtenir les meilleurs résultats de reconstruction. Parmi les
paramètres d'adaptation du filtre on note :
• Choix du filtre : il existe plusieurs filtres qui agissent différemment sur le
sinogramme. La figure (4.24) nous présente les résultats d'une reconstruction de 45
projections sur un éventail de 180° et une fréquence de coupure du filtre ωc=1, pour
différents filtres.
• Fréquence de coupure du filtre : La fréquence de coupure du filtre détermine le
seuil à partir duquel les hautes fréquences seront atténuées, d'où l'impact sur le
résultat visuel de la reconstruction qui est ressenti comme un lissage de l'image qui
se traduit par une certaine dépendance d’un pixel donné vis à vis de l'alignement
vertical des pixels voisins sur toutes les projections.
Pour bien comprendre le comportement du filtre dans la reconstruction, on a choisi
d'appliquer l'algorithme du FBP doté d'un filtre type hamming figure (4.25) avec
différentes fréquences de coupure appliquées à la reconstruction d’une image comportant
un seul pixel à la valeur d’amplitude unitaire pour déterminer la réponse impulsionnelle du
filtre.
La figure (4.25) montre le résultat de cette reconstruction où apparait clairement un effet
de lissage induit par la sélection des basses fréquences, autrement dit le choix d'un petit ωc.
La figure (4.26) présente la qualité visuelle de la reconstruction d'une image de synthèse
pour différentes valeurs de ωc. Le flou étant engendré par les petites valeurs de la fréquence
de coupure du filtre de hamming constituant un filtrage passe bas des zones de contraste
élevé sur ces images.
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 91
Fig.4.24: Influence du type du filtre sur la reconstruction
Reconstruction par filtrage type hamming Reconstruction par filtrage type hanning
Reconstruction par filtrage type rampe Maillage 3D de l'image d'origine
Reconstruction par filtre type cosine Reconstruction par filtrage type Shepp-logan
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 92
Réponse d’un filtre de hamming pour différentes fréquences de coupure
a) Maillage 3D de l'image originale (Un point)
b) Reconstruction avec filtrage (ωc=1) c) Reconstruction avec filtrage (ωc=0.6)
e) Reconstruction avec filtrage (ωc=0.1)
Fig.4.25: Influence de la fréquence de coupure d’un filtre hamming sur la reconstruction
d) Reconstruction avec filtrage (ωc=0.3)
CHAPITRE IV : TOMOGRAPHIE ET GEOMETRIE DISCRETE
USTO-LAAR 93
4.10 Conclusion :
La reconstruction des coupes tomographiques par rétro-projection filtrée reste la
méthode la plus utilisée. Elle a pour principal avantage la rapidité. L’utilisation conjointe
du filtre, correctement lissant du contraste permet d’avoir une bonne qualité des images.
Toutefois, la méthode ne permet pas l’élimination complète d’artéfacts de reconstruction
qui peuvent parfois être gênants.
Bien qu'il existe plusieurs méthodes de reconstruction des images tomographiques
notre choix s'est porté sur la FBP parce que c'est l’algorithme utilisé parallèlement dans les
scanners d'aujourd'hui mais avec différentes géométries de projection qui se basent toutes
sur le protocole de reconstruction des projections parallèles de RADON.
Si on évalue l'avancée technologique des scanners, on constate que l'augmentation
de la puissance de calcul a permis au software de remplacer certaines fonctionnalités
mécaniques sur ces appareils, comme l'inclinaison du rotor qui est actuellement obtenue
par interpolation dans les scanners de dernière génération.
Dans le chapitre V On propose une idée dont l’essence consiste à augmenter la
résolution angulaire des projections par interpolation sur les trajectoires de sommation de
la matrice sinogramme.
Image originale ωc=1 ωc=0.6 ωc=0.3 ωc=0.1
Figure 4.26: Reconstruction d'une image de synthèse pour différentes fréquences de coupure ωc
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 94
Chapitre V
Reconstruction augmentee par zero-
padding.
Il existe de nombreuses méthodes visant à interpoler un signal : interpolation de Lagrange ,
l’interpolation par fonctions splines, zero-padding…etc .Quand aux applications elles sont
nombreuses en théorie du signal. De telles méthodes peuvent être des outils précieux pour un
traitement préalable des données comme c'est le cas dans notre exemple d’application en
tomographie. Dans notre problème on s’intéresse au cas ou le signal est à spectre limité à un
intervalle [-F, F], échantillonné à un pas Δt inférieur ou égal au pas de Nyquist 1/2F. Avec
ces hypothèses, on sait que le signal est complètement déterminé par ses valeurs aux points
d'échantillonnage, en particulier on peut théoriquement donner sa valeur sur les points
multiples du pas moitié par la méthode dite zero-padding. Cette méthode est, en fait, basée
sur la décomposition du signal suivant des sinus cardinaux, laquelle décomposition est donnée
par le théorème d'échantillonnage. Dans ce chapitre on s’attachera à l’utilisation et
l’évaluation de cette technique d’interpolation dans la reconstruction tomographique.
CH
USTO-LA
5.1 Int
Une d
l’analys
Fourier
numéris
repliem
multipli
conséqu
nombre
TFD pu
observa
5.2 Tr
Soit N
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La fen
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HAPITRE V
AAR
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des applica
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numérique
sation du si
ment suivi d’
ié par une fo
uence de la
infini d’éc
uis par un ca
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Fig.5.1 :
oncature
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nêtre la plus
ulaire notée
V : RECON
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e wr(n) défin
NSTRUCT
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n) nommée f
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Le signal ré
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mérique. Le
mporelle sur
e par la TFD
(n), dont on
nt de la phas
n d’observat
que d’un signa
le calculateu
ignal discre
servation. L
dération, c’e
PAR ZER
e Fourier d
s. Le princ
présenté par
e classique
signal disc
N points. C
D qui ne peu
n pourra ana
se, est donc
tion T0 = N.T
al analogique
ur numériqu
et x(n) de du
La version tr
est à dire un
RO-PADDIN
discrète (T
ipe de l’an
r la figure (
e par un fil
cret x(n) est
Ce fenêtrage
ut s’effectue
alyser le spe
représentat
T.
déterministe
ue utilisé, le
urée infinie
ronquée du
ne fenêtre
NG
95
TFD) est
nalyse de
(5.1). La
ltre anti-
t ensuite
e est une
er sur un
ectre par
tif d’une
e signal
par une
signal
CH
USTO-LA
La ver
rectangu
Si on se
d’écrire
Où W(
fenêtre r
Une
figure (
remarqu
U
D
HAPITRE V
AAR
rsion tronqu
ulaire :
e place dan
e :
) est la re
rectangulair
représentati
(5.2). La co
ues suivante
Un lissage d
Une
Un m
Des ondula
Wr(Ω) entra
V : RECON
uée du signa
ns le domain
eprésentatio
re, on a :
ion de la fe
onvolution s
es :
de le représ
e perte de fin
masquage d
tions dans l
aînent du br
NSTRUCT
al discrétisé
ne domaine
n de la fen
fenêtre wr(n
spectrale ill
sentation spe
nesse sur l’
des raies tro
la réponse fr
ruit et du m
TION AUG
s’écrit donc
e fréquentie
nêtre dans l
n) ainsi que
lustrée par
ectrale qui i
analyse en f
op proches e
fréquentielle
masquage en
GMENTEE
c finalemen
el , la TF de
e domaine
e le module
l’équation
implique :
fréquence.
en fréquence
e dues aux e
amplitude.
PAR ZER
nt dans le ca
e l’équation
fréquentiel
e de sa TF
(5.4) nous
e.
effets des lo
RO-PADDIN
as de la fenê
n (5.1) nous
. Dans le c
F est donné
permet de
obes second
NG
96
être
s permet
cas de la
ée par la
faire les
aires de
CH
USTO-LA
5.3 An
L’écha
conséqu
fonction
et doit d
L’anal
comme
On pre
N est in
l’équati
L’espac
points
HAPITRE V
AAR
nalyse spe
antillonnage
uences sur l
n de la varia
donc être ap
Fig.5.2 : F
lyse spectra
suit :
endra le plu
nférieur ou é
on (5.4) s’é
ce entre deu
d’indice k d
V : RECON
ectrale pa
e du sign
le domaine
able continu
pproximé pa
Fenêtre rectang
le discrète p
s souvent L
égale à la la
écrit :
ux points fré
de la TFD e
NSTRUCT
r TFD
nal sur N p
spectral. E
ue Ω. Ce cal
ar la transfo
gulaire de N=
passe par le
L = N, sauf d
argeur de l’in
équentiels d
et les fréque
TION AUG
points n’est
En effet, la
lcul n’est p
rmée de Fo
31 points et le
e calcul de la
dans le cas d
ntervalle su
e l’analyse
ences contin
GMENTEE
t pas l’uniq
formule de
pas réalisabl
ourier discrè
e module de s
a TFD du si
du zero-pad
ur le quel s’e
vaut 2π/L e
nues fk est d
PAR ZER
que approx
convolutio
le sur un pro
ète [53].
a transformée
ignal fenêtr
dding (bourr
effectue la T
et la relation
donnée par :
RO-PADDIN
ximation qu
on spectrale
ocesseur nu
e de Fourier
ré xN(n) obte
rage par zé
TFD, la TF
n entre les
NG
97
ui a des
e est une
umérique
enue
ros) où
de
CH
USTO-LA
La figu
x(t) = c
rectangu
et illus
effet, la
que la T
. La figu
et soulig
HAPITRE V
AAR
ure (5.03) il
cos(2πf0t) e
ulaire figure
stre le prob
a TF d’un c
TF du signal
ure (5.3.c) r
gne donc l’e
V : RECON
Fig.5.03 : An
llustre l’ana
est tronqué
e (5.3.a). La
blème de la
cosinus est c
l fenêtré est
représente l
erreur due à
NSTRUCT
nalyse de Four
alyse spectr
puis écha
a figure (5.3
troncature
composée d
t composée
le résultat d
à l’échantill
TION AUG
rier et TFD d’
rale par TFD
antillonné p
3.b) représe
temporelle
de deux imp
de la somm
du calcul de
onnage en f
GMENTEE
un signal sinu
D d’un sign
puis sur N
ente XN(Ω) t
e présenté d
pulsions de
me des TF d
e la TFD sur
fréquence e
PAR ZER
usoïdal discret
nal sinusoïda
= 32 poin
transformée
dans la sect
e Dirac situé
de la fenêtre
r L = 32 po
ffectué lors
RO-PADDIN
t
al discret. L
nts par une
e de fourier
tion précéd
ée en f0 et -
décalées en
oints du sign
s de la TFD
NG
98
Le signal
e fenêtre
de xN(n)
ente. En
-f0, alors
n f0 et -f0
nal xN(n)
[54].
CH
USTO-LA
La TF
points s
raies sp
dans le
5.4 Zé Faire d
ajoutant
Jusqu’
TFD su
seront t
nombre
par exem
8 point
points, 4
Fi
HAPITRE V
AAR
FD XN(k) es
successifs r
pectrales pe
spectre théo
éro-Paddidu zéro-pad
t des zéros :
à l’obtentio
ur ces donné
toujours situ
uses. Cela a
mple, quatr
s. Ces quat
4N Points e
ig.5.4 : Effet d
V : RECON
st une versi
représente F
euvent être
orique de x(
ing ou bodding consis
:
on d’un éc
ées, les ca
uées dans
aura pour v
re analyses d
tres analyse
et enfin 8N
du Zéro paddi
NSTRUCT
on échantil
Fe/L (ici Fe
distinguées
(t) = cos(2πf
urrage enste à augmen
chantillon d
alculs de X(
[0 , 1[,elles
vertu de révé
de Fourier f
es seront e
points.
ing sur l’analy
TION AUG
llonnée de X
e=32). Ici u
s après TFD
πf0t).
n zéros nter artifici
de taille L.
(k) seront e
s seront plu
éler plus de
faites sur un
effectuées s
yse de Fourier
GMENTEE
XN(Ω), dan
une erreur e
D, pour uni
ellement le
Ainsi, si l
ffectués en
us rapproch
e détails inv
ne fenêtre r
successivem
r d’une fenêtre
PAR ZER
ns laquelle l
est visible,
quement de
nombre d’é
’on opère,
L fréquenc
hées du fait
visibles. La
rectangle de
ment à l’aid
e rectangulaire
RO-PADDIN
l’espace en
c’est que p
eux raies ef
échantillons
maintenant
ces : fk = k/
t qu’elles s
figure (5.4)
e taille initia
de de N po
e de N=8 poin
NG
99
ntre deux
plusieurs
ffectives
s en
t, par la
/L. Elles
ont plus
) illustre,
ale : N =
oints, 2N
nts.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 100
5.5 Propriété de l’interpolation par zéro-padding
Une fois un signal échantillonné en respectant la condition de Shannon, N points de ce signal
sont acquis. Ce nombre de points étant en général insuffisant, des points "intermédiaires" sont
donc nécessaires. Pour atteindre ce but, il faut recommencer l'acquisition avec une période
d'échantillonnage plus faible, cependant le signal échantillonné contient toute l’information
sur le signal continu et doit suffire pour représenter tout échantillon obtenu à partir du 1er en
ajoutant des points intermédiaires et éviter ainsi de refaire l'expérience.
Supposons que nous disposons d’un signal continu xc(t) échantillonné à une période Ts1
pendant un temps d'acquisition T0 = N.Ts1 ce qui nous donne le signal x1(t). Supposons
maintenant le même signal xc(t) échantillonné à la période Ts2 pendant le même temps T0 =
M.N.Ts2. Ceci donne un autre signal x2(t) possédant M fois plus d'échantillons que x1(t). il est
légitime de se demander dans quelles mesures il y a ressemblance entre les spectres de x1(t) et
x2(t).
- Les deux signaux proviennent du même signal continu xc(t) et ont même durée T0
l'intervalle entre les échantillons fréquentiels est le même dans les deux cas.
- Pour les deux la condition de Shannon est supposée respectée Ts2< Ts1 <1/(2 fmax),
(fmax étant la plus haute fréquence du spectre de xc(t).
- La largeur de la bande de Shannon pour x1(t) est 1/Ts1 = N/T0.
- La largeur de la bande de Shannon pour x2(t) est 1/Ts2 = M.N/T0 , soit M fois plus
large que celle associée à x1(t). Le théorème de Shannon étant respecté dans les deux
cas, le spectre de x2(t) est donc le même que celui de x1(t) mais sur une bande de
Shannon plus large. Le spectre de x2(t) est identique au spectre de x1(t) complété par
des zéros. Nous retrouvons ici l'analogie avec le "zéro padding" autrement dit, pour
interpoler un signal temporel, il suffit de sur-échantillonner à la période désirée et de
faire en sorte que son spectre de fréquence soit complété par des zéros.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 101
5.6 Zéro-padding des signaux images 2D
Le sur-échantillonnage d’une image consiste à augmenter sa taille. Il s’agit d’une Opération
de plus en plus utilisée, par exemple, pour adapter les anciennes vidéos à la diffusion dite «
haute définition » [55], [56]. Considérons une image de taille N . N, et interpolons la en
image de taille kN . kN (avec k valant 2, 4, 8). Trois méthodes sont couramment utilisées :
La première méthode consiste en la duplication des pixels. Chaque pixel original de
l’image est remplacé par un bloc de k . k pixels ayant le même niveau de gris (obtenu
par duplication du pixel original).
La deuxième méthode fait appel au calcul de la transformée de Fourier de l’image
originale de taille N . N, suivie d’une opération qui consiste à compléter par des zéros
pour former une matrice de taille kN . kN, dont il faut calculer la transformée de
Fourier inverse.
La troisième méthode est identique à la 2eme , sauf qu’elle fait appel à la transformée
en cosinus.
Les deux dernières méthodes sont dites méthodes par zero padding (remplissage ou bourrage
par des zéros). La figure(5.5) illustre les résultats obtenues en appliquant les trois méthodes.
Le sur-échantillonnage par la première méthode n’est bien sûr pas très satisfaisant car il fait
apparaître des blocs uniformes. Les méthodes par zero-padding font apparaître un effet de
Gibbs le long des contours contrastés présents dans l’image, ce qui reflete le fait que les
coefficients de Fourier basculent brutalement à 0 dans les hautes fréquences.
Il s’agit d’un artefact inhérent à la méthode. L’avantage du zero-padding appliqué à la TCD
est l’absence de rayures sur les bords extérieurs de l’image. La TCD est en effet équivalente à
la TFD sur une image symétrisée qui ne présente alors plus de transitions abruptes aux bords.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 102
Fig.5.5 En haut : duplication de pixels. Au milieu : zero padding dans la transformée de Fourier discret. En bas :
zero-padding dans la transformée en cosinus discrets. A gauche est l’image originale de taille 64 x 64. L’image
du milieu a pour taille 128 x 128, et celle de droite 256 x 256.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 103
On voit apparaître dans les images traités par zero-padding, un phénomène de rayures le long
des contours présents dans l’image. Ce phénomène est, par exemple, visible sur le bord
supérieur gauche des images. Les artefacts sont ici d’autant plus visibles que la résolution de
l’image originale a été choisie très faible.
5.7 Augmentation virtuelle de la résolution angulaire par estimation de projections de radon
De nombreux travaux se sont intéressés à l’amélioration de la qualité de l’image reconstruite
sur le plan matériel, les dispositifs d’acquisitions et mesures de rayons X, comme c’est le cas
des travaux de [57] et[58], dans d’autres travaux c’est le procédé de reconstruction lui-même
qui fait l’objet de développement par construction partielle comme dans les travaux de [59],
ou bien par l’intégration d’outils numériques avancés comme dans les travaux de M. Li, [60].
Les travaux de X. Pan [61] ont guidé notre inspiration quand à l’intégration de la technique du
zoom numérique, par zéros-padding, pour augmenter, virtuellement, la résolution angulaire
dans un processus de reconstruction par rétroprojection filtrée dans le domaine 2D de Fourier,
notre approche aussi simple soit elle : se présente sous forme d’une étage de traitement
informatique des données du sinogramme, facilement implémentable dans n’importe quel
système de reconstruction tomographique.
Pour calculer une image tomographique à partir de ses projections, plusieurs solutions
algébriques ou analytiques de reconstruction sont possibles [62], [63]. Nous nous sommes
intéressés particulièrement à l’algorithme (FBP), du fait qu’il est le plus utilisé dans le milieu
industriel. Cet algorithme est fondé sur la discrétisation d’une solution analytique de
reconstruction qui fait appel au calcul radial de la transformée de Fourier 2D par une
transformée de Fourier 1D de la transformée de radon dans le domaine discret.
Il est claire que le nombre de projections injectées dans le processus de reconstruction
constitue un élément déterminant quand à la qualité de l’image tomographique [63], ainsi
pour une meilleure reconstruction, le dispositif d’acquisition tomographique devra fournir un
nombre élevé de projections acquises avec un pas angulaire relativement réduit, contrainte
pour laquelle la technologie se trouve fortement limitée, si on prend en considération le temps
nécessaire aux divers modules électroniques pour réagir, mesurer et convertir l’intensité du
rayonnement en données numériques exploitables par l’algorithmique de reconstruction.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 104
Face à cette limitation technologique on se propose d’augmenter la résolution angulaire par
calcul interpolateur de projections virtuelles obtenues à partir des projections mesurées
réellement par le dispositif. Le nombre de projections injectées dans le processus de la
reconstruction se trouve ainsi augmenté comme l’indique le schéma de la figure(5.6).
Fig.5.6 : Insertion des projections estimées dans un sinogramme
5.7.2 Estimation des projections par Zero padding
Soient ( θi et θi+1 deux projection mesurées, respectivement, aux angles θi et θi+1. Le
calcul estimé d’une projection Q(θi+ [θi+1 - θi] / 2) à un angle virtuel, est en fait une opération
de zéro-padding qui s’effectue par injection de colonnes à valeur nulle dans le spectre
résultant du calcul de la FFT bidimensionnelle du sinogramme sur la dimension des angles
θi. La résolution du nouveau sinogramme calculé par la transformée inverse du spectre
étendu, se trouve ainsi sensiblement augmenté. L’algorithme ci-dessous résume les étapes par
lesquelles passe l’opération du zéro-padding :
Q Q
Nombre de projection
Projection mesurée θi+1
Capteurs
Projection virtuelle calculé à θi+ [(θi+1 - θi)] / 2
Projection mesurée θi Sinogramme
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 105
- Soit Qθi , i de 1 à N, un ensemble de N projections mesurées entre 0 et 360° qui évolue avec un pas Δθ, les données sont stockées sous forme de matrice sinogramme :
- Soit iQfθ la FFT2D de iQθ pour i allant de 1 à N tel que :
iQfθ = FFT2D( iQθ ) (05.10)
- Soit Qfz le zero-padding de Qf définie comme suit :
0,1, 2,..., .
0 ,..., 2, 1.2
0 1, 2,...,2
i
i
QF i NNQfz i nd
Ni N N nd
θ
θ
⎧⎪ =⎪⎪= = − × − −⎨⎪⎪ = + + ×⎪⎩
- nd > 1 définit un facteur multiplicatif entier du taux d’extension de Qf , il représente, également, le facteur d’augmentation de la résolution de base
du sinogramme initial Q.
- Le passage de Qfz à iQzθ se fait par le calcul de la transformée inverse FFT2D-1 de
iQfzθ après filtrage, pour i de 0 à (nd x N) tel que :
12 ( ), 0, .:
i iQZ FFT D QFZ w i nd Nw filtre rampe
θ θ−= × =
(05.12)
- Chaque point de l’image reconstruite est obtenu par rétroprojection filtrée des nouvelles
données du sinogramme iQzθ , i =1 à nd.N , sur la même plage d’acquisition angulaire
initiale de 0 à 360° [64] :
(05.13)
(05.11)
°<<+= ∑=
3600))sin()cos((),(.
1iii
Nnd
iavecyxQzyxf
iθθθθ
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 106
5.7.3 Tomo-Reconstruction par FBP sur le sinogramme estimé
Dans l’exemple illustré par la figure (5.7.b) on présente les résultats d’une simulation
d’acquisition tomographique parallèle du phantom de la figure (5.7.a) sur un profil de 1 à
180° avec un pas de 4°. Sur la figure (5.7.c) est présentée l’estimation d’un sinogramme sur-
projeté numériquement par zéro-padding sur un profil de 1 à 180° avec un pas de 1°.
La reconstruction de la coupe tomographique à partir du sinogramme estimé, peut
s’effectuer de la même manière que si lon dispose d’un sinogramme réel. L’angle de
projection doit être ajusté pour correspondre à la nouvelle résolution angulaire estimée
résultant des projections insérées.
Les opérations de filtrage et d’interpolation numériques restent identiques au protocole de
reconstruction tomographique FBP, avec éventuellement un réajustement de la fréquence de
coupure du filtre pour l’adapter à la nouvelle composante d’information injectée dans le
domaine des hautes fréquences.
Estimation et insertion de 135 projections
Fig.5.7: (A) Phantom 255x255, (b): 45 projections mesurées entre 1 et 180°, (c) : estimation de 180 projections à partir de 45 projections réelles entre 1 et 180° .
(a) (b) (c)
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 107
La figure (5.8), présente une comparaison entre trois reconstructions faites sur unprofile de 1
à 180° tel que (a) : reconstruction faite sur la base d’un nombre insuffisant de projections
brutes. (b) : une reconstruction à base de sinogramme sur-projeté par zéro-padding. (c) une
reconstruction à base de projections par mesures réelles en haute résolution angulaire à 1° sur
le même profile.
La topographie 3D représente des niveaux de gris des images reconstruites. On observe une
réduction du bruit de fond (effet étoile) engendré par l’insuffisance d’information injectée
dans la reconstruction à brute figure (5.8.a). Ainsi le lissage apporté par les projections
estimées améliore considérablement la lisibilité de l’image Figure (5.8.b).
Evidemment, notre technique n’apporte pas un supplément d’information anatomique à
l’image reconstruite, cependant elle contribue, surtout, à améliorer la visibilité du contraste et
préparer ainsi nos données pour une meilleure prise en charge par les niveaux de traitement
informatique qui visent la localisation et la segmentation automatique des régions
anatomiques, par analyse quantifiée ou texturée des niveaux de gris.
La précision de cette localisation est un facteur déterminant dans la construction synthétique
3D des volumes des organes et la fidélité de leur dimensionnement télémétrique.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 108
(a)
(b)
(c)
Fig.5.8 : (a) Reconstruction à base de 45 projections réelles (b) : Reconstruction de 180 projections estimées à base de 45 projections réelles. (c) : Reconstruction à de 180 projections réelles. sur un profil de 0° à 179°.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 109
2 2
1 1 1 1( ) / ( )
R R R R
ij ij ij moyi j i j
ij ij ij
e t w t t
With w r or v= = = =
= − −
=
∑∑ ∑∑
5.7.5 Évaluation de l’apport d’interpolation par zéro-padding
L’apport concret de l’interpolation ZP à la reconstruction, et la dépendance de l’erreur
d’estimation du nombre des projections réelles ont été étudiés par une comparaison de
reconstruction tomographique sur deux ensembles de projections parallèles composées de 180
projections réelles générées sur un profile de 180°, chaque ensemble est ensuite sous-
échantillonnés pour obtenir une séquence de 6, 12, 30, 45, 90 et 180 projections. Chacun des
sinogrammes sous-échantillonnés est ensuite ramené par interpolation ZP à 180 projections
sur le même profile de 1 à 180°.
Ainsi la reconstruction à partir de ces deux ensembles de projections, deux images
tomographiques, qui ferrent l’objet de comparaison avec une image reconstruite par 180
projections réelles sur le même profile par le calcul de N.R.M.S.E [65] normalized root-mean-
square –error définie par :
(5.14)
Où tij la valeur du pixel de la ieme ligne et jeme colonne de l’image de taille RxR (reconstruite
par 180 projections réelles), et rij , vij représente , respectivement , les pixels de l’image
reconstruite à partir des deux ensembles des sinogrammes sous-échantillonnés et réestimés
par zéro-padding. tmoy est la valeur moyenne des nivaux de gris des pixels de l’image de
référence reconstruite par 180 projections réelles.
Deux erreurs sont alors calculées, la première compare l’image de référence (reconstruite par
180 projections réelles) à l’image reconstruite à base du sinogramme sous-échantillonné et
sans interpolation, alors que la seconde erreur compare l’image de référence au résultat de
reconstruction tomographique des sinogrammes complétés à 180 projection par estimation
interpolatrice via la technique du zéro-padding.
Pour apprécier l’effet de l’interpolation ZP sur l’erreur NRMSE, le graphe de la figure(5.9)
trace la correspondance des valeurs reportées dans le tableau.5.1 ci-dessous , le processus de
reconstruction tomographique effectué utilise l’algorithme FBP paramétré de la même
manière lors de chaque opération de reconstruction (filtrage et interpolation digital).
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 110
TABLE. 1
Comparaison des différentes erreurs NRMSE avec et sans interpolation ZP
N° de projections réelles
Δθ pas angulaire
NRMSE sans interpolation
NRMSE avec interpolation ZP
06 30° 14.0864 1.8551
12 15° 10.5215 2.0589
30 6° 4.4141 0.8418
45 4° 2.7544 0.2726
90 2° 0.6194 0.2283
180 1° 0 0
Fig.5.9: Graphe de NRMSE des reconstructions du sinogrammes interpolés a base de ( 6, 12, 30, 45, 90 et 180 projections réelles)
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 111
Cette étude comparative montre une convergence progressive et précoce de la séquence
d’images résultant de l’interpolation ZP vers l’image de référence d’une part, et une
convergence retardée de la séquence d’images reconstruites sur la base de sinogrammes sous-
échantillonné d’autre part. Les résultats de chaque reconstruction sont présentés sur deux
ensembles d’images de la figure (5.10). Où l’on peut faire un constat visuel de l’amélioration
apportée pat la technique ZP.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 112
Fig.5.10 : Colonne d’images (a à e) reconstruction du sinogramme sous échantillonné. Colonne d’image (g à l)
reconstruction sur sinogramme interpolé par ZP.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 113
5.7.6 Interprétation
La technique de l’interpolation par zéro-padding fait appel à l’insertion massive de
projections dans le processus de reconstruction, ce qui a pour résultat le dédoublement de la
densité des lignes de rétroprojection, dont l’intensité se trouve réduite par un facteur de deux.
Au cours de la reconstruction, l’accumulation de valeurs en niveaux de gris sur chaque pixel
se trouve finalement normalisée par le nombre de projections injectées dans le processus de
calcul, ce qui a pour conséquence une amélioration du contraste final de l’image, comme le
montre la comparaison des images reconstruites dans la figure (5.11) où la qualité visuelle de
l’image(b) est nettement supérieur sur celle de l’image (c) .
Ainsi plus le nombre de projections augmente plus la fréquence des lignes de rétroprojection
augmente réduisant l’amplitude du bruit de l’effet étoile sur l’image reconstruite.
Cependant l’injection excessive de projections estimées, par interpolation dans le processus
de reconstruction par rétroprojection fait introduire généralement un léger flou sur les
contours des objets de l’image en fonction de leur positions par rapport au centre de l’image
reconstruite, En particulier les petits objets qui sont positionnés à proximité du centre de
rotation, souffriront d'une perte considérable de netteté et de contraste, comme cela est reflété
dans les images (g) et (h) de la figure (5.10).
A noter que en conséquence de la propriété linéaire de la méthode de reconstruction
tomographique par rétroprojection filtrée, le même résultat peut être obtenu par la sommation
d’images issues de deux processus de reconstruction séparés, a savoir, un processus de
Fig.5.11. Reconstruction à partir de : (a) : 45 projections réelles, (b) 90 projections estimées (c) 90 projections réelles.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 114
reconstruction à partir de projections réelles aux angles θi et un processus de reconstruction
partir de projections estimées aux angles θi+[( θi+ θi+1) / 2 ].
Ainsi, qualitativement, nous constatons que l’estimation des projections par interpolation
peut, en effet, être utilisée pour réduire efficacement les rayures dues à l'échantillonnage
angulaire dans une reconstruction tomographique. La linéarité de l'algorithme FBP permet
d’implémenter cet algorithme sur tout système tomographique sans interférence avec sa
conception de base.
En effet , il est question d’obtenir une image masque (différence) construite à partir d’un
sinogramme résultant d’une opération qui consiste à éliminer l’information véhiculée par les
projections réelles dans le sinogramme interpolé dans un souci d’optimiser le temps de calcul.
L’image final sera reconstruite en ajoutant l’image masque à l’image réelle. Cela est montré
dans la figure (5.12) .
(5.15)
h et g sont, respectivement, les images reconstruites a partir des projections réelles et des
projections estimées par interpolation zéros-padding. C’est-à-dire les projection
correspondant à l’image masque. Le résultat final est l’image f figure (5.12.c) issue d’une
reconstruction sur sinogramme mixte, L’image g figure (5.12.b) est une image masque qui
corrige les imperfections de l’image h figure (5.12.a).
,3600
),(),(),(':
]. 2 / ) [(+.,..,6,4,2
))sin()cos((),(
,..,5,3,1
))sin()cos((),(
.
2
1
°<<
+=Δ
Δ=
+=
=
+=
∑
∑
=
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i
i
jj
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jj
i
ii
N
i
avec
yxhyxgyxfphysiquesystemeduaquisitiondangulairepas
anglesauxantcorrespendNndj
yxQzyxg
anglesauxantcorrespendNi
yxQyxhi
θ
θθθ
θθ
θ
θθ
θ
θ
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 115
Fig.5.12 - Reconstruction de (a) :45 Projections réelles, (b) 45 projections estimées(image masque), (c) image de somation.
(a)
(b)
(c)
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 116
5.8. Comparaison de l’interpolation ZP à la méthode linéaire
Pour permettre une comparaison entre les deux méthodes, un protocole de comparaison a été
élaboré dans le sens de quantifier la qualité de reconstruction tomographique sur plusieurs
ensembles de projections parallèles et réelles, générées sur un profile de 360° au pas de 1°,2°,
4°,6°,8° et 10° . Chaque ensemble a été interpolé par les deux méthodes (linéaire et ZP).
Pour chaque méthode on a généré une séquence de projections ramenées à une résolution
angulaire virtuelle de 0.5° c’est à dire, composés une mixture de 720 projections entre
estimées et réelles.
Chaque sinogramme a été reconstruit en utilisant le même paramétrage de l’algorithme FBP.
Le résultat a été analysé par calcul de l’erreur NRMSE. Dans ce calcul l'image reconstruite
avec 720 projections réelles a servi d’image référence.
Fig.5.13 : Exemple de sinogrammes résolution angulaire de 1°.
La figure (5.14) montre deux colonnes d’images qui représentent à gauche : une
reconstruction tomographique par interpolation linéaire, à droite : une reconstruction par
interpolation ZP. L’aspect visuel des images exprime une supériorité de la qualité des images
générées par la méthode ZP sur la méthode conventionnelle, du fait que l’on observe une
stabilité de l’image à partir du pas angulaire de 6°. L’effet du bruit en étoile semble moins
présent dans la méthode ZP que dans l’interpolation linéaire, ceci s’explique sans doute par la
non cohérence des projections estimées linéairement atténuant ainsi le processus de
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 117
rétroprojection, ce qui n’est pas le cas des projections estimées par ZP étant donné que la
méthode ZP est une méthode d’interpolation globale.
L’analyse de l’erreur par la NRMSE à laquelle les deux méthodes, ont été soumises
confirme notre conclusion précédente. Un gain de plus de 10% a été enregistré sur l’erreur par
la méthode ZP, quand à la convergence vers l’image de référence.
Nous constatons également que, pour des pas angulaire dépassant les 10°, les deux méthodes
deviennent obsolètes du fait que les données sont insuffisantes pour une estimation fiable. Le
seuil de 10° constitue donc la limite inférieure du nombre maximale de projections à injecter
dans un processus de reconstruction sans, pour autant, altérer l’information pertinente
recherchée par cette exploration tomographique.
A noter également que la simplicité de la méthode d’interpolation linéaire par rapport à sa
rivale ZP s’avère payante , se traduisant par un gain considérable dans le temps de calcul
évalué à plus de 600% sur nos machines de simulation. Cela ne remet pas en cause la
pertinence d’utilisation de notre approche d’interpolation, si couteuse en temps de calcul, dans
la mesure où le processus de reconstruction tomographique se situe en post-traitement de
l’acquisition, sur la majorité des scanners, et s’opère sur des données enregistrées et non en
temps réel.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 118
Sous-échantillonnage à 10°
Sous-échantillonnage à 8°
Sous-échantillonnage à 6°
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 119
Fig.5.14 : A gauche : Reconstruction à partir de sinogrammes sous-échantillonnés avec interpolation linéaire. A
droite : Reconstruction à partir de sinogrammes sous-échantillonnés avec interpolation ZP.
Sous-échantillonnage à 4°
Sous-échantillonnage à 2°
Sous-échantillonnage à 1°
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 120
Fig 5.15 : Graphe comparatif du NRMSE entre l’interpolation ZP et linéaire en fonction du pas
d’échantillonnage angulaire.
5.8.1. Etude de la stabilité des niveaux de gris des régions
Un des principaux problèmes de reconstruction tomographique, pauvre en données de
projections, est l’instabilité des niveaux de gris des régions comme dans les cas des coupes
d’organes sensés être homogènes. Cela constitue donc un bruitage considérable pour les
étages de traitement algorithmique de plus haut niveau comme la segmentation automatique et
les détecteurs de contours pour maillage 3D.
L’injection de projection virtuelle est une solution préconisée à juste titre pour ce genre de
problèmes. Pour vérifier notre assertion nous avons procédé à une mesure comparative basée
sur une évaluation des écarts types. Par définition, l’écart-type est la moyenne quadratique des
écarts à la moyenne x [66], noté habituellement STD :
= ∑ ∑ ( )². : ( , ) é . : é .
(5.16)
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 121
Il est clair que le STD constitue une donnée statistique qui permet d’estimer le degré relatif
d’homogénéité d’une région dans l’image [67] . Le calcul du STD se fait sur une même région
bien localisée dans l’image figure(5.16). Laquelle image aurait été reconstruite à partir de
sinogrammes échantillonnés aux pas de 1°,2°,4°,6°,8° et 10° de la figure (5.13).
Fig.5.16 : Localisation d’une région homogène pour une mesure STD
Une étude comparative basée sur une analyse statistique a été effectuées, L’objet de cette
analyse est un échantillon représenté par une région donnée de l’image.
Ainsi le STD est calculé même région et pour la série d’images obtenues par interpolation
par les deux méthodes pour différents pas d’échantillonnage. Le résultat de cette analyse est
représenté dans la figure (5.17) .
Une valeur élevé de l’écart type relative à la région sélectionnée indique une dispersion
importante des niveaux de gris sur cette dernière, signe d’une mauvaise qualité de l’image ce
qui a pour conséquence une irrégularité de la texture qui peut engendrer une confusion sur
l’interprétation médicale de l’image.
La comparaison des valeurs d’écarts types obtenues par les deux méthodes pour la même
région confirme la supériorité de l’interpolation ZP. Une réduction de 20 à 80 % de la STD a
été achevée. C’est une plage de valeurs qui dépend des projections injectées dans le
processus d’interpolation. Cela s’explique par le filtrage passe-bas qui caractérise
l’interpolation ZP qui s’opère par un surdosage relatif des basses fréquences au centre de la
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 122
transformé de Fourier 2D, une conséquence inévitable du passage d’un espace cartésien à un
espace polaire.
Fig: 5.17 : Graphe comparatif de la mesure STD d’une région localisée entre l’interpolation ZP et linéaire en
fonction du pas d’échantillonnage angulaire.
5.9 Utilisation de l’interpolation ZP en projection en éventail
La tendance des systèmes d’acquisition tomographique actuels est plutôt vers une géométrie
en éventail. Ce basculement s’explique par le fait que cette géométrie permet une irradiation
minimale du patient avec un rendement optimal des rayons-X. Les même expériences
numériques utilisant l’interpolation ZP, ont été répétées pour une géométrie d’acquisition en
éventail. Ainsi différents pas angulaires, 1°, 2°, 4°, 6°, 8°, 8°, 10° ont été utilisés pour générer
un ensemble de sinogrammes relatifs à un phantom standard.
L’ensemble de ces sinogrammes a été, ensuite, soumis à la même procédure, à savoir injecter
le nombre nécessaire de projection dans chaque sinogramme de tel sorte à les ramener, tous,
à une résolution angulaire de 1° soit par l’insertion respectivement de 0, 180, 270, 300, 315 et
324 projections estimées par zero-padding dans les ensembles des sinogrammes sous
échantillonnés.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 123
Les images reconstruites à partir des sinogrammes estimés et celles reconstruites à partir de
sinogrammes brutes sont présentés dans la figure (5.18). Une inspection visuelle permet
d’apprécier la qualité apportée par l’interpolation ZP. EN effet le fond des images interpolées
présente un bruit, moins accentué par rapport aux images non interpolées. A noter que la
reconstruction tomographique pour une géométrie en éventail fait appel à une double
interpolation d’abord une projection géométrique sur le plan parallèle pour pouvoir employé
l’algorithme FBP dans la reconstruction. C’est-à-dire une reconstruction qui fait usage
d’interpolation linéaire pour la détermination des positions, ajouter à cela l’interpolation par
zéro-padding ce qui revient à faire une interpolation sur des valeurs déjà interpolées. Nous
sommes en présence de deux sources d’erreurs associées au calcul des projections estimées.
Toutefois la qualité de l’image dans ce cas reste supérieure à la qualité des images obtenues
par l’usage des projections pauvres en résolution angulaire.
Pour mieux quantifier notre jugement sur la qualité de l’image, nous faisons appel, de
nouveau, au paramètre statistique NRMSE , calculé pour chaque image en prenant comme
image référence l’image reconstruite avec 360 projections réelles.
La figure (5.19) résume les calculs du paramètre NRMSE associé aux différentes images. Il
apparait doc qu’il y a une relative stabilité de ce paramètre quand l’image interpolée est
comparée à l’image de référence [68], par contre ce paramètre à tendance à croitre avec le pas
de résolution quand il s’agit de comparer l’image de référence aux images sous-
échantillonnées.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 124
Sous-échantillonnage à 10°
Sous-échantillonnage à 8°
Sous-échantillonnage à 6°
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 125
Fig.5.18 : Colonne d’images (a à f) reconstruction à brute des sinogrammes sous échantillonnés aux pas 1°,2°,4°,6°,8° et 10°. Colonne d’image (g à m) reconstruction des sinogrammes sous échantillonnés interpolés
par ZP.
Sous-échantillonnage à 4°
Sous-échantillonnage à 2°
Sous-échantillonnage à 1°
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 126
Fig 5.19 : Evolution du paramètre NRMSE pour des images avec et sans interpolation ZP .
5.9.1 Etude de la stabilité des niveaux de gris des régions
Le même protocole d’étude auquel nous avons soumis les calculs de projection parallèles a
été suivi. L’etude a porté sur le même échantillon c’est-à-dire la même région sélectionnée
dans la figure (5.16). Le calcul de la STD a été entrepris pour des images reconstruites avec et
sans interpolation ZP.
Les résultats présentés dans la figure(5.20) avec deux graphe représentent l’évolution de
l’écart type de la région sélectionnée pour des pas angulaires de 1°,2°,4°,6°,8° et 10°. Une
première lecture du graphe montre l’instabilité des niveaux de gris dans la région sélectionnée
si on opère par une reconstruction sans interpolation, cependant l’écart type est largement
atténué avec l’usage du ZP à cause de l’effet de filtrage passe bas propre à cette méthode.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 127
Fig 5.20 : Variation du STD associé à une région localisée et calculé avec et sans interpolation ZP.
5.10. Problème d’irrégularité dans le pas de projection
Dans toute reconstruction tomographique, la résolution de l’image est très sensible au
nombre de projection. Un nombre réduit de projections engendrerait des rayures radiales sur
le résultat de la reconstruction, ce qui altérera, considérablement, la qualité de l’image.
Le manque de projections peut être causé par une limite technologique du dispositif
d’acquisition tomographique en raison du temps de reponse long des étages électroniques de
traitement et de numérisation des signaux. Dans ce cas de figure la résolution angulaire
d’acquisition est faible mais régulière, avec un pas d’évolution constant du système de
projection, que nous avons tenté de compenser par interpolation spectrale par zéro-padding .
Cependant, il existe d’autres problèmes causant une perte de projections angulaires même
sur des systèmes d’acquisitions tomographiques de très haute résolution angulaire. Il est
question du problème d’arcs électriques dans la source à rayons X.
Ce problème est de plus en plus récurent surtout quand la durée de vie de la source X-ray tire
vers sa fin.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 128
5.10.1 Détections d’arcs dans un scanner CT :
La figure (5.21) représente le fonctionnement du système de détection d’arcs dans une
source à rayons-X. La carte électronique du pilotage de la source détecte une perturbation de
la tension électrique et coupe instantanément le courant d’alimentation pour préserver la
source. Parallèlement un signal d’information de coupure est transmis au système de
reconstruction de l’image qui élimine les projections non valides correspondant au temps de
coupure. Le signal de détection d’arc devient actif une fois la tension chute en dessous de
90% de la tension de fonctionnement normale de la source à rayons X. L’intervalle de temps
d’activation de ce signal informe le système de reconstruction d’image du nombre de
projections concernées par l’interpolation.
Fig.5.21 : Signal de détection d’arc
Dans le scan de la figure (5.22) , un arc est détecté pendant le scanner d’un patient. Le tube
se désactive provoquant une coupure momentanée de rayons X. il s’ensuit une perte de
projections correspondant à l’intervalle de temps représentant la duré de l’arc et le temps de
réponse du générateur haute tension nécessaire pour rétablir la tension correcte de
fonctionnement de la source à rayons X. Ce temps mort est de l’ordre de quelques
millisecondes.
Le système de reconstruction d’images détecte la présence de l’arc et réagit par
interpolation linéaire compensatrice des données perdus pendant ce temps mort.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 129
Cette méthode d’interpolation reste adaptée pour des durées et pour un nombre d’arcs
réduits. Cependant la perte de données des projections devient considérable dans le cas des
scanners à très haute vitesse de rotation, causant ainsi un niveau de dégradation important de
la qualité de la reconstruction rendant l’image inexploitable avec obligation de scanner le
patient à nouveau.
Fig.5.22 : réaction du system de reconstruction tomographique à la détection d’arcs.
5.10.2 Simulation d’arc électrique dans une source à rayons X
Le fichier de données transmis du rotor à la station de traitement et de reconstruction du
scanner contient une entête avec les données de l’acquisition, comme la durée de l’examen et
bien d’autres données relatives à la reconstruction. Ce fichier contient également le statut du
signal de détection d’arc comme indiquer dans figure (5.24) et (5.25). En cas de détection
d’arcs le système de reconstruction procède au paramétrage de la méthode d’interpolation
pour estimer les projections perdues [64]. La méthode d’interpolation employée dans ce cas
par la plupart des constructeurs est l’interpolation linéaire. Pour quantifier l’effet de la
vitesse de scan sur la perte des projections causées par la détection d’arcs , nous avons
résumé, dans le tableau (5.2), des scénarios de situations d’arcs dont la durée est inférieure à
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 130
1ms (temps nécessaire pour rétablir la tension de la source dans un scanner PHILIPS
premium), sur une rotation de 360° avec 2800 projections et un calcul des taux de perte des
données de projections angulaires [69].
La quantité de données perdues à cause d’un arc dépend de la durée de l’arc.
Théoriquement, une perte de plus de 20 projections consécutives causerait un
endommagement considérable à l’image tomographique, et donc un bruit de forte
interférence avec l’interprétation médicale du contenu de l’image.
Pour étudier l’ effet des arcs sur la reconstruction tomographique. Un phantom de matlab
de 500 x 500 pixels est utilisé. Dans tous nos calculs nous avons considéré que la durée de
l’arc cause une perte maximale de 10 projections consécutives. De la même manière que
l’étude précédente nous générons un sinogramme de 2800 projections sur un profile de 360°
du phantom matlab que nous sous-échantillonnons par suppression de projections, simulant,
ainsi, une situation de détection d’arc dans un scanner à 220 rpm, Tableau (5.2). Pour ce cas
de figure la perte angulaire est estimée à 1.33° pour chaque arc dont la durée est de l’ordre de
1 ms. Si de multiples arcs se
manifestent pendant une rotation, nous perdrons plusieurs projections sur le sinogramme
final ce qui va altérer sensiblement l'image reconstruite. C’est ainsi que des artefacts
indésirables apparaissent comme indiqué dans la simulation de la figure (5.23). Dans cette
Table 5.2: Scanner rotation speeds and their effects on data lost during arcing. We used 2400 views
per rotation.
Scanner speed (rpm)
Time for one rotation (s)
Integration period = rotation
time/# of views in one rotation (µs)
Angular data lost
during 1 ms arc = 1 ms/rotation
time × 360 ()
120 0.5 208 0.72
180 0.33 137 1.09
200 0.30 125 1.2
220 0.27 112 1.33
300 0.20 83 1.8
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 131
expérience trois reconstructions ont été effectuées : une première image reconstruite sans
aucune perte (2800 projections), puis une image reconstruite avec une seule perte de
projection (1.33°) correspondant à un seul arc et enfin une reconstruction avec une perte de
huit projections (8 arcs). La figure (5.23) reproduit les résultats de cette expérience avec les
images et leurs sinogrammes.
La présence d’un nombre excessif d’arcs par rotation est responsable de l’appariation
d’artéfacts de type étoile, lors de la reconstruction. La stabilité des niveaux de gris dans les
régions homogènes se trouve perturber, une raison suffisante pour l’écarter d’une éventuelle
exploitation médicale, ce qui amène généralement le patient à être scanné de nouveau.
5.10.3 Compensation des projections perdues par zéro-padding
Le phénomène de l’arc du tube à rayons X, constitue un problème qui se prête bien au
traitement par la méthode d’interpolation ZP sur l’espace spectrale afin de recouvrir les
projections perdues.
Notre approche dans l’adaptation de l’interpolation ZP au problème de la perte localisée de
projection due à l’effet d’arcs, est d’assimiler la perte irrégulière et aléatoire des projections
angulaires à un problème de sous-échantillonnage régulier du sinogramme (soufrant de perte
de projections par arc ) sur sa dimension angulaire.
Cette opération de sous-échantillonnage est réalisé par une sélection de projections chaque
période égale à la durée de perte correspondant à une manifestation d’arc égale à 1.33 °,
rejoignant le cas de notre exemple précédent de simulation (scanner 220 rpm) sur un profile
complet de 360°.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 132
Fig.5.23 : (a) Reconstruction avec 2800 projections, (b) Reconstruction avec 2800 projections et une détection
d’un arc. (c) Reconstruction avec 2800 projections et détection de 8 arcs.
(a)
(b)
(c)
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 133
La figure (5.24.a) présente un exemple de sinogramme sous échantillonné avec un pas
régulier de 1.33°, en accord avec notre exemple de simulation d’un scanner 220 rpm,
L’ensemble des échantillons est compressé dans un nouveau sinogramme de la figure
(5.24.b) déployé sur un profile d’acquisition de 360°, et qui est identique à une acquisition
tomographique en basse résolution angulaire égale dans notre cas à 1.33°. Contrairement aux
positions aléatoires et localisées des projections perdues à cause d’arcs, l’échantillonnage à
faible résolution nous palace dans une situation plus confortable qui simule des arcs à
intervalles réguliers avec une fréquence de répétition constante. Le sinogramme résultant du
sous-échantillonnage simulant ce scénario de répétition d’arcs, est naturellement pauvre en
projections, ce qui nécessite un traitement par interpolation ZP afin de le ramener à sa
résolution originale (2800 projections sur 360°) par insertion de projections estimées.
A la différence des méthodes standards d’interpolation qui opèrent sur une région localisée,
l’interpolation par zéro-padding est une opération globale qui affecte l’ensemble des données
sur une ligne de rétroprojection dans le domaine spectrale. De ce point de vue, elle constitue
la méthode de choix pour la résolution des problèmes de ce genre comme le présente la
reconstruction dans la figure (5.26). Les projections manquantes sur le sinogramme original
sont alors identifiées et récupérées dans le sinogramme interpolé. Elle sont ensuite insérées
à la place des projections perdues, comme illustré dans la figure (5.25). En résumé notre
protocole de compensation des projections perdues par détection d’arcs dans la source à
rayons X est résumé par les étapes suivantes :
• Sous échantillonnage du sinogramme initial au pas angulaire correspondant à la durée
moyenne de l’arc.
• Application de l’interpolation par ZP sur le sinogramme sous-échantillonné après
transformée de fourrier, pour atteindre la résolution du sinogramme initial.
• Insertion des projections interpolées dans les positions normalement occupées par les
projections perdues sur le sinogramme initial.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 134
(a)
(b)
Figure 5.24 : (a) Echantillonnage du sinogramme à 1.33°, (b) Compression des projections dans un sinogramme
basse résolution
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 135
Fig.5.25 : (a) Sinogramme basse résolution ramené à 2800 projections par interpolation ZP. (b) Sélections des
projections correspondant aux positions de détections des arcs dans le sinogramme d’origine. (c) Insertion des
projections interpolées dans le sinogramme initial.
(a)
(b)
(c)
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 136
Figure .5.26 - (a) Reconstruction sur sinogramme d’origine avec perte de projections par 8arcs détectés.
(b) Reconstruction avec estimation et interpolation des projections perdues.
(a)
(b)
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 137
5.10.4 Evaluation et comparaison avec la méthode linéaire :
Actuellement, la majorité des constructeurs de scanner X-ray exploitent l’interpolation
linéaire pour l’estimation des projections de compensation lors d’une perte de données par
détection d’arcs dans la source à rayons X à cause de sa simplicité numérique. Implémentée
généralement en coprocesseur FPGA sur la carte mère des stations de calcul de reconstruction
cependant elle reste une méthode localisée et propre à chaque ensemble de projections
perdues. En conséquence, elle n’apporte pas la cohérence nécessaire à la recombinaison
harmonieuse de la rétroprojection. De ce fait les méthodes d’interpolation localisées
perturbent considérablement l’algorithme de rétroprojection ce qui est à l’origine d’un bruit
sur l’image reconstruite se manifestant par des rayures à plus hautes fréquences et faibles
amplitudes.
5.10.5. Calcul de l’erreur NRMSE :
la comparaison va se faire sur la base du calcul de l’erreur NRMSE, pour les deux techniques
L’image de référence figure(5.27) sera reconstruite avec 2800 projections réelles sur un
profile de 360°. C’est ainsi que nous avons confronté les deux méthodes d’interpolation à des
situations de détection de 1, 2 , 4 , 6, 8 10 et 12 arcs sur une acquisition simulée de 2800
projections réelles sous un profile de rotation de 360°. Dans cette simulation chaque arc
correspond à une perte angulaire de données de 1.33° conformément aux données techniques
d’ un scanner 220 rpm.
Les résultats du calcul de l’erreur NRMSE ont été représentés graphiquement dans la
figure (5.28) où l’on constate l’évolution de l’erreur NRMSE pour les deux expériences en
fonction du nombre d’arcs détectés (nombre de projection perdues. Il ressort de ce graphe
que les deux méthodes sont comparable pour le cas d’un seul arc c’est-à-dire que l’erreur
NRMSE rapportée à l’image de référence est négligeable dans les 2 cas, il y a lieu de
constater qu’a partir de deux arcs détectés, l’erreur de reconstruction par interpolation ZP est
inférieure à l’erreur d’interpolation linéaire, pour un nombre raisonnable d’arcs. Au delà de
10 arcs détectés, la perte de données est si importante que les deux méthodes d’interpolation
se valent et ne peuvent ainsi compenser correctement les pertes.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 138
Fig.5.27 : Image de référence résultat d’une reconstruction avec 2800 projections réelles.
Fig.5.28 Graphe comparatif du NRMSE entre l’interpolation ZP et linéaire en fonction du nombre d’arcs détectés sur une acquisition de 2800 projections.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 139
5.10.6. Calcul comparatif de l’écart type d’une région homogène :
La stabilité du niveau de gris d’une région homogène sur une coupe d’organe constitue un
indice permettant de juger la qualité d’une reconstruction. A ce titre nous avons comparé les
performances des méthodes d’interpolation linéaire et ZP dans une reconstruction par le
calcul du STD, c’est-à-dire l’écart type associé à une région homogène localisée comme cela
est indiqué dans la figure.(5.30.A), Dans chaque reconstruction on a simulée le cas d’une
détection de :1, 2, 4, 6, 8, 10 et 12 arcs causant une perte angulaire de données de l’ordre
1.33° . Idéalement une région initialement homogène en niveaux de gris présente un écart
type nul, cependant les perturbations des niveaux de gris engendrées par le processus
d’interpolation sur une région initialement homogène augmente sensiblement l’écart type
associé à cette région.
Le graphe de la figure (5.30.C) montre l’évolution de l’écart type pour chaque méthode
d’interpolation. Pour le cas d’un seul arc détecté le STD enregistré est identique pour les deux
méthodes. Pour plus de deux arcs, une nette divergence entre les deux méthodes
d’interpolation est observée pour l’approche linéaire l’écart type augmente aléatoirement et
sensiblement avec nombre d’arcs détectés. Il s’ensuit donc qu’un nombre élevé d’arcs se
traduit par une perturbation de l’homogénéité de la région considérée, affectant ainsi la
crédibilité de l’information médicale recherchée.
Pour la méthode ZP la tendance de l’écart type est plutôt vers la baisse, pour des fréquences
critiques (12 arcs/rotation). Cette tendance s’explique par la nature filtrante passe-bas de la
méthode d’interpolation ZP, et se manifeste par un rehaussement des niveaux de gris, par
surdosage des composantes basses fréquences dans le processus de reconstruction.
Il est claire que l’interpolation par ZP réduit les perturbations et apporte une amélioration (
de l’ordre de 90%) par rapport à la méthode linéaire quand à la stabilité des niveaux de gris
dans les régions homogènes, cependant on observe aussi une perte considérable de
l’information critique pour les régions qui souffrent de l’effet du filtre passe bas de la
méthode.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 140
(A) (B)
(C)
Fig 5.30- Localisation de la région homogène sur une image reconstruite avec 10 arcs. (A) Interpolation ZP .(B) : Interpolation linaire. (C) : Graphe du STD de la région localisée en A et B en fonction du nombre d’arcs.
CHAPITRE V : RECONSTRUCTION AUGMENTEE PAR ZERO-PADDING
USTO-LAAR 141
5.11 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons développé et mis en œuvre un nouvel algorithme capable
d’améliorer la qualité de la reconstruction tomographique d’une géométrie d’acquisition
parallèle. L’idée centrale sur laquelle repose cet algorithme est d’augmenter, virtuellement
mais sensiblement, la résolution angulaire du dispositif physique de l’ensemble des mesures
de projections acquises par atténuation des rayons-X comme dans le cas des scanners CT, ou
par comptage de photons GAMMA, comme dans le mode tomographique d’une gamma
camera à capteur plan rotatif.
La méthode proposée est basée sur un calcul de projections virtuelles estimées en faisant
appel à la méthode du Zero-padding. En effet on peut augmenter la taille des données
résultant de la transformée de Fourier discrète 2D des projections réelles et disponibles dans
un sinogramme 2D par ajout de zéros. On aboutit à un sinogramme de haute résolution
angulaire.
Les résultats obtenus par l’utilisation de cette technique confirment une réduction
significative du bruit de l’effet étoile sur l’image reconstruite, avec un maintien du contenu
informationnel de l’image tomographique.
Cette technique s’avère également utile quand on est en présence de situations où l’on
enregistre une perte de données lors de détection d'arcs dans la source à rayons X, Ce qui peut
offrir les avantages suivants :
• Quand le scanner doit être répété à cause de l'arc, notre méthode pourrait palier à ce
problème, en réduisant les défauts causés pendant une partie de l'analyse. Cela pourrait
signifier une réduction du temps d’exposition aux radiations Dans un tel cas, jusqu’ ‘à
50%.
• La fréquence de détection d'arcs dans les tubes à rayons X augment, généralement,
vers la fin du cycle de leurs vies. Cette méthode pourrait aider à prolonger la vie du
tube en permettant l'utilisation du scanner confortablement dans l’attente d’un
éventuel remplacement de la source.
• la compensation des pertes dues aux arcs et la minimisation de ses effets peuvent se
révéler être un avantage attractif pour un fabricant de scanner.
VI.CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES
USTO-LAAR 142
VI. Conclusion générale et perspectives
Dans ce travail nous avons tout d’abord rappelé les principes de quelques modalités de
l’imagerie médicale fondée sur la tomographie. Nous avons ensuite passé en revu les
géométries d’acquisition de ces modalités en insistant sur l’utilisation de la géométrie
parallèle à laquelle toutes les géométries peuvent être ramenées.
Nous avons par la suite rappelé les algorithmes classiques de la reconstruction
tomographique que nous avons dérivés en géométrie en fonction des dispositifs
technologiques d’acquisition de nos jours, Nous avons aussi rappelé les fondements
mathématiques des méthodes de reconstruction tomographique dans le domaine continu.
Bien qu'il existe plusieurs méthodes de reconstruction des images tomographiques, notre
choix s'est porté sur la méthode de la rétro projection filtrée FBP, parce que c'est un
algorithme utilisé actuellement dans les scanners par la majorité des constructeurs. Cette
méthode a pour principal avantage la rapidité, l’utilisation conjointe du filtre correctement
lissant et contrastant, et permet d’avoir une bonne qualité des images. Toutefois, la méthode
ne permet pas l’élimination complète d’artéfacts de reconstruction qui peuvent parfois, être
gênants.
La méthode dite Zéro-padding ou bourrage par zéros est basée sur les propriétés de la
transformée de Fourier pour l’estimation de projections virtuelles, s’avère très efficace et
améliore sensiblement la qualité de reconstruction pour l’acquisition tomographique de basse
résolution angulaire. Elle peut apporter, aussi une solution au problème d’irrégularité du pas
de la projection causé par la détection d’arcs électriques dans la source à rayons X.
L’injection de nouvelles projections estimées, dans le processus de reconstruction d’une
image tomographique par rétroprojection filtrée, semble très efficace pour palier au bruit
résultant de l’effet étoile dans l’imagerie tomographique. Augmenter le nombre de
projections permet également d’améliorer la lisibilité de l’image. Cependant cette méthode
n’apporte pas davantage plus d’information dans l’image en plus des projections réellement
mesurées qui constituent véritablement les données pertinentes révélées par l’image
tomographique. Vu le large spectre d’application de la tomographie, nous estimons que cette
technique constitue un atout majeur capable de pousser la résolution des dispositifs
VI.CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES
USTO-LAAR 143
d’acquisition tomographique au delà des limites technologique du matériel. Cela est accompli
par simple ajout d’un étage de calcul algorithmique supplémentaire et non complexe. Elle
permet également de prolonger la longévité d’exploitation de ces appareils onéreux qui avec
l’âge, souffrent des problèmes aléatoires d’arcs électriques dans leurs sources de
rayonnement.
En perspective, complément aux travaux de cette thèse, on se propose de développer un
filtrage intelligent et adaptable aux projections pour équilibrer l’effet de lissage engendré par
une sur-injection de basses fréquences dans le processus de reconstruction.
Il est à noter aussi, que l'image résultant d'un traitement par FBP demeure une image de
synthèse d’autant plus dépendante des paramètres de calcul dans l'algorithme employé que de
la réalité physique qu’elle caractérise. Or le sinogramme est la projection réelle de l'énergie
mesurée du phénomène physique exploité pour générer l'image tomographique. Il peut donc
constituer une plateforme de traitement riche en informations quantitatives et modélisables
dans le but d’une interprétation d'ordre supérieur de l'image calculée telle qu’une opération de
segmentation ou de classification d’où l’intérêt d’augmenter sa résolution.
Le temps de calcul de cette méthode est loin d’être compétitif avec d’autres techniques
concurrentes, relativement plus simple et plus rapide. Cependant la reconstruction
tomographique sur la majorité des appareils est un post-traitement des données de
l’acquisition du scanner et s’opère sur des fichiers enregistrés et non pas en temps réel
d’acquisition. En conséquence le temps de calcul ne désavantage pas nécessairement
l’implémentation en étage de calcul l’interpolation ZP dans les systèmes de reconstruction
actuels.
Liste de figures
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Liste de figures générale Fig 1.1 - Projection tomographique selon un angle. Fig 1.2 - Scanner Sommaton Sensation de Siemens Medical [Siemens AG]. Fig 1.3 - Traversée d’un corps d’épaisseur x par un faisceau de rayon X. Fig 1.4 - Géométrie de scanner. Fig 1.5 - Géométrie hélicoïdale d’acquisition. Fig 1.6 - Tomographe multi coupes. Fig 1.7 - (a) Effet photoélectrique. (b) Effet Compton. Fig 1.8 - Scanner d’un crane avec un SOMATON 64 de Siemens [Siemens AG]. Fig 1.9 - IRM MAGNETOM Trio de Siemens, aimant de 3 Tesla [Siemens AG]. Fig 1.10 - (a)Temps de relaxation T1 dans un champ magnétique de 1 Tesla, (b) temps de relaxation T2 dans un champ magnétique de 1 Tesla. Fig 1.11 - Antenne radiofréquence placée sur le patient lors d’une acquisition d’images. Fig 1.12 - Balayage radiaux de l’espace réciproque (a) selon la direction de rayons, gradient réorienté puis maintenu fixe, (b) selon des cercles concentriques, gradient variant de façon sinusoıdale et en quadrature , (c) selon des trajectoires spirales, gradient d’amplitude croissante oscillant. kX et kY sont les fréquences spatiales selon x et y [34]. Fig 1.13 - IRM d’un crâne avec un MAGNETOM Trio de Siemens [Head, TIRM coronal, PAT 2 TR 5980 ms,TE 47 ms, TI 180 ms, TA 2 min, SL 3 mm. Fig 1.14 - Appareil à ultrasons ACUSON Sequoia Echo 256. Fig 1.15 - Image par ultrasons d’un coeur avec un ACUSON Sequoia Echo 256 Images de Siemens [Siemens AG]. Fig 1.16 - Coïncidence détecte dans un TEP par un anneau de détecteurs. Fig 1.17 - TEP ACCEL de Siemens [Siemens AG]. Fig 1.18 - Différents modes d’acquisition d’un TEP multi-anneaux Fig 1.19 - Sinogramme [84]. Fig 1.20 - [AB] vraie coïncidence de deux photons à 511keV, [CD] coïncidence diffusée, [EF] coïncidence fortuite. Les lieux d’annihilation des positons sont les points • Dans le cas de fausses coïncidences, l’annihilation est localisée `a tort sur les droites pointillées. Fig 1.21- Examen TEP d’une femme de 31 ans avec un cancer du sein [Siemens AG]. Fig 1.22 - TEPS e.cam Fixed 180 de Siemens [Siemens AG]. Fig 1.23 - Collimateurs (a) parallèle (b) en éventail (c) conique Fig 1.24 - Vue d’ensemble du système d’acquisition table BACCARA + capteur PALADIO. Fig 1.25 - (a) Tomosynthèse linéaire, (b) Tomosynthèse circulaire. Fig 1.26 - Image reconstruite à partir d’un algorithme M-ART Fig 2.1 - Projection de radon de l’image f(x,y) Fig 2.2 - Exemple de projection Fig 2.3 - Géométrie en éventail Fig 2.4 - Géométrie en éventail Fig 2.5 - Géométrie conique Fig 2.6 - Géométrie cone beam Fig 3.1 - Tranche centrale Fig 3.2 - Passage d’une grille polaire à une grille cartésienne Fig 3.3 - Géométrie de projection 3D Fig 3.4 - Reconstruction par transformée de fourrier [52]
Liste de figures
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Fig 4.1- Principe de projection à/ et rétro projection b/ à partir de deux angles de vue. Fig 4.2 - Positionnement d'un point sur les différents profiles Fig 4.3- A gauche Image de segment comme objet de scanne. A droite sinogramme des projections d’un segment de points Fig 4.4- En haut : Sinogramme de projection d’un point, En bas : Sinogramme de projection d’un segment de points Fig 4.5 - Discrétisation spatiale de l'objet Fig 4.6 - Principe de la méthode d'interpolation linaire Fig 4.7 - Exemple de Sinogramme d'objet de l’image (A), (B) sinogramme de l’image et sa représentation 3D dans (C) Fig 4.8 - L'allure en fréquence du filtre rampe |ω| Fig 4.9 - Discrétisation du plan de Fourier. Fig 4.10 - Modification de la fonction de transfert d’un filtre rampe par application d’une fenêtre de Hamming (α=0.56, ωc=1). Fig 4.11- Modification de la fonction de transfert d’un filtre rampe par L’application d’une fenêtre de Shepp-Logan (ωc=1). Fig 4.12 - Modification de la fonction de transfert d’un filtre rampe par L’application d’une fenêtre de Hanning (ωc=1). Fig 4.13 - Modification de la fonction de transfert d’un filtre rampe par application d’une fenêtre cosine(ωc=1). Fig 4.14 - Trajectoire de sommation sur un sinogramme associé à un point dans l'image Fig 4.15 - (A) : image d’objet, (B) : sinogramme de (A) sans filtrage, (C) : Rétro-projection sans filtrage,(D) : Sinogrammme de (A) avec filtrage ,(E) : Rétro-projection avec filtrage Fig 4.16 - (A) : Image avec représentation 3D, (B) : Sinogramme de 180 projections sur l'intervalle de 0° à 180° avec représentation en 3D, (C) : Bourrage en zéros du sinogramme. Fig 4.17 - La transformée de Fourier des projections : (A) la partie réelle, (B) la partie imaginaire Fig 4.18 - Design du filtre utilisé (filtre rampe. fenêtre de hamming) Fig 4.19 - La transformée de Fourier filtrée des projections ( a) partie réelle, (b) partie imaginaire Fig 4.20 - (a) le sinogramme initial, ( b) Le sinogramme après filtrage. Fig 4.21 - Image reconstruite et sa représentation tridimensionnelle Fig 4.22 - Amplitudes sur sinogramme original d’un point de projection. Fig 4.23 - Influence du nombre de projections sur la qualité de la reconstruction Fig 4.24- Influence du type du filtre sur la reconstruction Fig 4.25- Influence de la fréquence de coupure d’un filtre hamming sur la reconstruction Fig 4.26 - Reconstruction d'une image de synthèse pour différentes fréquences de coupure ωc Fig 5.1 - Principe de l’analyse de Fourier numérique d’un signal analogique déterministe Fig 5.2 - Fenêtre rectangulaire de N=31 points et le module de sa transformée de Fourier Fig 5.3 - Analyse de Fourier et TFD d’un signal sinusoïdal discret Fig 5.4 - Effet du Zéro padding sur l’analyse de Fourier d’une fenêtre rectangulaire. Fig 5.5 - En haut : duplication de pixels. Au milieu : zero padding dans la transformée de Fourier discret. En bas : zero-padding dans la transformée en cosinus discrets. A gauche est l’image originale de taille 64 x 64. L’image du milieu a pour taille 128 x 128, et celle de droite 256 x 256. Fig 5.6 - Insertion des projections estimées dans un sinogramme Fig 5.7 - (A) Phantom 255x255, (b): 45 projections mesurées entre 1 et 180°, (c) : estimation de 180 projections à partir de 45 projections réelles entre 1 et 180° .
Liste de figures
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Fig 5.8 - (a) Reconstruction à base de 45 projections réelles (b) : Reconstruction de 180 projections estimées à base de 45 projections réelles. (c) : Reconstruction à de 180 projections réelles. sur un profil de 0° à 179°. Fig 5.9 - Graphe de NRMSE des reconstructions du sinogrammes interpolés a base de ( 6, 12, 30, 45, 90 et 180 projections réelles) Fig 5.10 - Colonne d’images (a à e) reconstruction du sinogramme sous échantillonné. Colonne d’image (g à l) reconstruction sur sinogramme interpolé par ZP. Fig 5.11 - Reconstruction par (a) : 45 projections réelles, (b) 90 projections estimées , (c) 90 projections réelles. Fig 5.12 - Reconstruction de (a) :45 Projections réelles, (b) 45 projections estimées (image masque), (c) image de somation. Fig 5.13 - Sinogrammes pour différents pas d’échantillonnage angulaire de 1°. Fig 5.14 - Reconstruction à partir de sinogrammes sous-échantillonnés avec et sans interpolation ZP. Fig 5.15 - Graphe comparatif du NRMSE entre l’interpolation ZP et linéaire en fonction du pas d’échantillonnage angulaire. Fig 5.16 - Localisation d’une région homogène pour une mesure STD Fig 5.17 - Graphe comparatif de la mesure STD d’une région localisée entre l’interpolation ZP et linaire en fonction du pas d’échantillonnage angulaire. Fig 5.18 - Colonne d’images (a à f) reconstruction à brute des sinogrammes sous échantillonnés aux pas 1°,2°,4°,6°,8° et 10°. Colonne d’image (g à m) reconstruction des sinogrammes sous échantillonnés interpolé par ZP. Fig 5.19 - Evolution du paramètre NRMSE pour des images avec et sans interpolation ZP . Fig 5.20 - Variation du STD associé à une région localisée et calculé avec et sans interpolation ZP. Fig 5.21 - Signal de détection d’arc Fig 5.22 - réaction du system de reconstruction tomographique à la détection d’arcs. Fig 5.23 - (a) Reconstruction avec 2800 projections, (b) Reconstruction avec 2800 projections et une détection d’un arc. (c) Reconstruction avec 2800 projections et détection de 8 arcs. Fig 5.24 - (a) Echantillonnage du sinogramme à 1.33°, (b) Compression des projections dans un sinogramme basse résolution Fig 5.25 - (a) Sinogramme basse résolution ramené à 2800 projections par interpolation ZP. (b) Sélections des projections correspondant aux positions de détections des arcs dans le sinogramme d’origine. (c) Insertion des projections interpolées dans le sinogramme initial. Fig 5.26 - (a) Reconstruction sur sinogramme d’origine avec perte de projections par 8arcs détectés. (b) reconstruction avec estimation et interpolation des projections perdues. Fig 5.27 - Image de référence résultat d’une reconstruction avec 2800 projections réelles. Fig 5.28 - Graphe comparatif du NRMSE entre l’interpolation ZP et linéaire en fonction du nombre d’arcs détectés sur une acquisition de 2800 projections. Fig 5.30 - Localisation de la région homogène sur une image reconstruite avec 10 arcs. Par (A) Interpolation ZP .(B) : Interpolation linaire. (C) : Graphe du STD de la région localisée en A et B en fonction du nombre d’arcs.
Liste de tableaux
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Liste de tableaux
TAB1.1 - Tableau comparatif de quelques modalités d’imagerie tomographiques [52]
TAB 1.2 - Quelques isotopes communément utilisé pour la TEP [52]
TAB 5.1 - Comparaison des différentes erreurs NRMSE avec et sans interpolation ZP
TAB 5.2 - Scanner rotation speeds and their effects on data lost during arcing. We used 2400 views per rotation.
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