![Page 1: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/1.jpg)
Anna Rajfura 1
Rozkład normalny
![Page 2: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/2.jpg)
Anna Rajfura 2
Rozkład zmiennej losowej ciągłej
Rozkład zmiennej losowej X ciągłej można przedstawić za pomocą:
funkcji gęstości p-stwa (fgp)
)(xfy
funkcji dystrybuanty:
tXPtFdef
X
![Page 3: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/3.jpg)
Anna Rajfura 3
Rozkład normalny
Wzór funkcji gęstości:
Rxexfx
,)( 2σ2
2μ
σπ21
Parametry w rozkładzie normalnym:
μ (czyt.: mi)
σ (czyt.: sigma)
Rμ
0σ
![Page 4: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/4.jpg)
Anna Rajfura 4
Rozkład normalny – wykres fgp
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6x
f(x) μ=2, σ=1
krzywa Gaussa
Własności matematyczne.
![Page 5: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/5.jpg)
Anna Rajfura 5
Parametr μ
f(x)
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10x
μ = -4 σ = 2μ = 2 σ = 2
![Page 6: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/6.jpg)
Anna Rajfura 6
Parametr σ
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
μ = 2 σ = 1μ = 2 σ = 3
![Page 7: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/7.jpg)
Anna Rajfura 7
Oznaczenia
Wyrażenie:
zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami µ oraz σ2
zapisujemy:
X ~ N ( μ, σ 2) Definicja. Mówimy, że zmienna losowa Z ma rozkład normalny standardowy, jeśli µ = 0, σ = 1.
Zapisujemy:
Z ~ N ( 0, 1)
![Page 8: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/8.jpg)
Anna Rajfura 8
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6x
f(x) μ=2, σ=1
Zdarzenie losowe
Wykres fgp y = f (x)
Zdarzenie losowe baX ;
a b
![Page 9: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/9.jpg)
Anna Rajfura 9
Zdarzenia losowe - przykłady
Przykłady (przy a < b):
baX , baX ,
baX , baX ,
aX , aX ,
,aX ,aX
aaaX ,
![Page 10: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/10.jpg)
Anna Rajfura 10
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6x
f(x) μ=2, σ=1
P-stwo zdarzenia losowego
Wykres fgp y = f (x)
P-stwo zdarzenia losowego - zakre-skowane pole pod
krzywą
a b
![Page 11: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/11.jpg)
Anna Rajfura 11
P-stwo zdarzenia losowego
P-stwo zdarzenia losowego:
b
a
dxxfbaXP ,
Dystrybuanta zmiennej losowej X, ozn.: FX (t)
aFbFbaXP XX ,
![Page 12: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/12.jpg)
Anna Rajfura 12
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6x
f(x) μ=2, σ=1
Dystrybuanta na wykresie fgp
Wykres fgp y = f (x)
t
dxxf
polenezakreskowa
t
![Page 13: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/13.jpg)
Anna Rajfura 13
Tablice statystyczne
![Page 14: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/14.jpg)
Anna Rajfura 14
Tablica dystrybuanty F Z (x )
x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586
0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535
0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409
0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173
0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793
0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240
0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490
:
3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995
3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997
Zadania.
![Page 15: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/15.jpg)
Anna Rajfura 15
Prawo trzech sigm
Jeśli X ~ N( μ, σ2), to:
68,0σμ;σμ XP
95,0σ2μ;σ2μ XP
9973,0σ3μ;σ3μ XP Rysunek na tablicy.
![Page 16: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/16.jpg)
Anna Rajfura 16
Charakterystyki rozkładu
Nazwy i oznaczenia:
średnia EX=μ
wariancja D2X= σ2
odchylenie standardowe XD2= σ
![Page 17: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/17.jpg)
Anna Rajfura 17
Rozkład chi – kwadrat
Jeśli zmienne losowe X1, X2, ..., Xn są:
niezależne
Xi~N (0, 1), i = 1, 2, ..., n
to
X12 + X2
2 + ...+ Xn2
jest zmienną losową o rozkładzie χ2 z licz-bą stopni swobody n.
Ozn. χ2 czytamy: chi-kwadrat
![Page 18: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/18.jpg)
Anna Rajfura 18
* Rozkład chi – kwadrat cd. Wykres funkcji gęstości dla rozkładu χ2:
Deg. of freedom31050
Chi-Square Distribution
x
dens
ity
0 20 40 60 80 1000
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
![Page 19: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/19.jpg)
Anna Rajfura 19
* Rozkład t-Studenta
Jeśli zmienne losowe X0, X1, ..., Xn są:
niezależne
Xi~N (0, 1), i = 1, 2, ..., n to
)( 222
21
1
0
nn XXX
X
jest zmienną losową o rozkładzie t-Studenta z liczbą stopni swobody n.
![Page 20: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/20.jpg)
Anna Rajfura 20
* Rozkład t-Studenta cd.
Wykres funkcji gęstości dla rozkładu t-Stu-denta:
Deg. of freedom1050
Student's t Distribution
x
dens
ity
-6 -4 -2 0 2 4 60
0,1
0,2
0,3
0,4
![Page 21: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/21.jpg)
Anna Rajfura 21
* Rozkład F Fishera – Snedecora
Jeśli zmienne losowe X1, X2, ..., Xn oraz Y1, Y2, ..., Ym są:
niezależne
Xi, Yj~N(0, 1) to
)(
)(22
22
11
222
21
1
mm
nn
YYY
XXX
jest zmienną losową o rozkładzie F Fishera – Snedecora z liczbami stopni swobody n i m.
![Page 22: Ro z kład n orma lnyagrobiol.sggw.pl/biometria/media/rajfura/BIOSTATYSTYKA... · 2017-03-17 · F X (t) P X a,b FX b ... Dystrybuanta na wykr esie fgp Wykres fgp y = f (x ) t f x](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022070813/5f0c48a07e708231d434a2c9/html5/thumbnails/22.jpg)
Anna Rajfura 22
* Rozkład F Fishera – Snedecora
Wykres funkcji gęstości dla rozkładu F
Numerator d.f,Denominator d.f.10,1050,40
F (variance ratio) Distribution
x
dens
ity
0 1 2 3 4 50
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5