Risikomanagement und Statistik
Raimund Kovacevic
Risiko
“hazard, a chance of bad consequences, loss or exposure to mischance”
“any event or action that may adversely affect an organization’s ability to achieve its objectives and execute its strategies”
“the quantifiable likelihood of loss or less-than-expected returns”
Unsicherheit, Zufall!
Riskomanagement
Risikoidentifikation Risikomessung Risikosteuerung
Finanzrisiken
Marktrisiko Zinsrisiko Kreditrisiko Währungsrisiko Liquiditätsrisiko Operationales Risiko Versicherungsrisiko ......
Basel II
1988. First Basel Accord takes first steps toward international minimum capital standard. Approach fairly crude and insufficiently differentiated.
1993. The birth of VaR. Seminal G-30 report addressing for first time off-balance-sheet products (derivatives) in systematic way. At same time JPMorgan introduces the Weatherstone 4.15 daily market risk report, leading to emergence of RiskMetrics.
1996. Amendment to Basel I allowing internal VaR models for market risk in larger banks.
2001 onwards. Second Basel Accord, focussing on credit risk but also putting operational risk on agenda. Banks may opt for a more advanced, so-called internal-ratings-based approach to credit.
Marktrisiko
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
2040
6080
100
120
DJ 30
Marktrisiko: Returns
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
-0.1
0-0
.08
-0.0
6-0
.04
-0.0
20.
000.
020.
040.
06
GM: log-returns
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
-0.1
5-0
.10
-0.0
50.
000.
050.
10
IBM: log-returns
GM vs IBM
0 20 40 60 80GM
0
40
80
120
IBM
Value at Risk
Betrachte eine Zufallsvariable L, die den möglichen Verlust einer Position am Ende einer Zeitperiode repräsentiert.
Der Value at risk zum Level ist dann durch das -Quantil der Verlustverteilung gegeben.
Was kann in einem ungünstigen Fall verloren werden? Deiche Abweichung vom Erwartungswert
Value at Risk – Methoden
Verteilung Risikofaktoren -> Verlustverteilung (Simulation)
3 prinzipielle Herangehensweisen– Historische Simulation
Problem: seltene Ereignisse?– Normalverteilung
Problem: Normalverteilung?– Allgemeine Verteilungen, insbesondere
Extremwertverteilungen
Extremwertverteilung
Typisch für Finanzdaten: schwere Enden auf der ungünstigen Seite, leichte Enden auf der günstigen Seite
Value at Risk soll weit auf der ungünstigen Seite berechnet werden (0.995, 0.997, 0.999)
Extremwertverteilungen– GEV-Verteilung (Frechet, Gumbel, Weibull)
Verteilung von Maxima, block maxima– Generalized Pareto
Verteilung oberhalb einer (hohen) Schranke, POT Vorgehensweise (POT): Schranke -> POT -> Verteilung der
Enden -> Value at Risk
Value at Risk: Portfolio
Portfolio besteht aus mehreren Positionen -> Portfoliogewichte Value at Risk des Gesamtportfolios ist nicht die Summe der Value
at Risk der Positionen sein. Wertschwankungen diverser Positionen können auf komplizierte
Weise von Wertschwankungen der Risikofaktoren abhängen. Gemeinsame Verteilung der Positionsreturns
– Korrelation: lineare Abhängigkeit– Nichtlineare Abhängigkeiten– Tail dependency
Zeitliche Abhängigkeit: i.i.d.?
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
-0.1
0-0
.08
-0.0
6-0
.04
-0.0
20.
000.
020.
040.
06
GM: log-returns
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
-0.1
5-0
.10
-0.0
50.
000.
050.
10
IBM: log-returns
Zeitliche Abhängigkeit
Lag
AC
F
0 10 20 30
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Series : IBMRet[, "1"]
Lag
AC
F
0 10 20 30
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Series : IBMabs[, "1"]
ARCH/GARCH-Modelle
Kreditrisiko
Kredit an privat, Firma, Staat Anleihen Was passiert im Fall der Zahlungsunfähigkeit? Verbriefung des Kreditrisikos, Tranchen Modelle
– Kapitalstruktur und Wertentwicklung einer Firma– Übergänge zwischen Bonitätsstufen (Ratings)– Zufällige, aber abhängige Ausfälle innerhalb eines Portfolios
Ratingstufen - Ausfallswahrscheinlichkeiten
AAA AA A BBB BB B CCC DefaultAAA 90,81 8,33 0,68 0,06 0,12 0,00 0,00 0,00AA 0,70 90,65 7,79 0,64 0,06 0,14 0,02 0,00A 0,09 2,27 91,05 5,52 0,74 0,26 0,01 0,06BBB 0,02 0,33 5,95 86,93 5,30 1,17 1,12 0,18BB 0,03 0,14 0,67 7,73 80,53 8,84 1,00 1,06B 0,00 0,11 0,24 0,43 6,48 83,46 4,07 5,20CCC 0,22 0,00 0,22 1,30 2,38 11,24 64,86 19,79Default 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 100,00
Homogene Markovketten?
Bernoulli-Mixture Modelle
Betrachte ein Portfolio von n Krediten Yi =1, falls der i-te Kredit ausfällt und =0 falls der
i-te Kredit bedient werden kann. Exposure: Die Höhe des Kredites LGD: Loss given default, selbst eine
Zufallsvariable
Bernoulli-Mixture Models
Faktorvariable: Fi Bernoulli-Mixture Model: Die Wahrscheinlich-
keit für einen Ausfall des i-ten Kredites hängt von den Faktoren über eine Funktion pi(F) ab.
Statistik: GLM Schaden für einen Kredit:
– Exposurei x LGDi x Yi
Schaden für das Gesamtportfolio