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7/24/2019 resumo terico Matemtica B - 11 ano
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1 Funcoes polinomiais
Funcao afim:
E uma funcao polinomial definida por y = mx +b, com m, b R. Onde m e o decliveda recta e b e a ordenada na origem.
x
y m >0b
x
y
m 0 x
y
k
h
a
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2 Operacoes com polinomios
Adicao de polinomios:
ex: Sejam P(x) =x3 +x+ 3 e Q(x) =x2 + 2x 1. Entao,
P(x) +Q(x) =x3 +x+ 3 +x2 + 2x
1 =x3 +x2 + 3x+ 2
Subtraccao de polinomios:
ex: Sejam P(x) =x2 +x+ 1 e Q(x) = 2x2 +x. Entao,
P(x) +Q(x) =x2 +x+ 1 (2x2 +x) =x2 +x+ 1 2x2 x=x2 + 1
Multiplicacao de polinomios:
ex: Sejam P(x) =x + 1 e Q(x) =x2 + 1. Entao,
P(x) Q(x) = (x+ 1)(x2 + 1) =x x2 +x+ 1 x2 + 1 1 =x3 +x2 + 1
3 Funcoes racionais
Hiperbole:
A funcao f, definida por f : x 1x
, e denominada por hiperbole e e um exemplo de
uma funcao racional, e o seu grafico e da forma
x
y
Funcao racional:e uma funcao da forma P(x)
Q(x), onde P e Q sao polinomios e Q(x)= 0 (ou seja, o denomi-
nador nunca pode ser igual a zero).
Nota: todas as funcoes polino miais sao funcoes racionais.
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Domnio de uma funcao racional f:
e o conjunto dos numeros reais x que nao anulam o denominador Q(x), ou seja
Df={x R :Q(x)= 0}.
4 Estudo de uma funcao racional
Para termos nocao do comportamento de uma funcao e necessario estudar as suas ca-
ractersticas, nomeadamente o domnio, o contradomnio, o sinal, a monotonia e a
paridade.
Sinal de uma funcao:
f diz-se:
par se f(x) = f(x),x Df (o grafico da funcao f e simetrico em relacao aoeixo dos yy). ex: x2, x2 + 3 e 1
x21.
mparse f(x) =f(x),xDf (o grafico da funcao f e simetrico em relacaoa origem). ex: x3.
x
y x
2
x
y x3
5 Conceito de limite - Assntotas.
Numa funcao f e possvel estudar o comportamento dos valores das imagens (y = f(x))
considerando a variacao dos valores dos objectos (x), ou seja, podemos verificar como variam
os valores das imagens a medida que x e maior, menor ou proximo de um determinado valor.
Assim, e introduzido o conceito de limite de uma funcao: limxa
f(x) = b. Pode ler-se as
imagens de faproximam-se do valor b quando os valores de x se aproximam de a.
Dependendo do comportamento dos valores das imagens, o grafico pode ter ou nao
assntotas.
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Assntota vertical (A.V.):
Diz-se quex = a e uma assntota vertical do grafico de uma funcao f sef(x) tende para
+ ou paraquando x tende para a por valores a esquerda ou a direita +,ou seja
limxa
f(x) =
Assntota horizontal:
Diz-se que y = b e uma assntota horizontal do grafico de uma funcao f se f(x) tende
para bquando x tende para + ou, ou seja
limx
f(x) =b
Exemplos:
x
y
1
x= 1
f(x) = 1x1
x
y
2
x=2
f(x) = 1x+2
Estes graficos tem assntotas verticais para x= 1 e x=2 pois quando x se aproximaa direita ou a esquerda de 1 e2 as imagens de f(x) e g(x) aproximam-se de +ou.Para ambos os graficos as assntotas horizontais tem por equacaoy = 0 pois quando os valores
para x aproximam-se de + ou, as imagens de f(x) e g(x) aproximam-se de 0.
x
y
y= 1
1
x= 1
f(x) = 1x1
+ 1
x
y
y =12
2
x=2
f(x) = 1x+2
12
Estes graficos tem assntotas verticais iguais as dos graficos anteriores pelos mesmos mo-
tivos. No primeiro grafico a assntota horizontal tem por equacao y = 1 pois quando osvalores para x aproximam-se de + ou, as imagens de h(x) aproximam-se de 1. Nosegundo grafico a assntota horizontal tem por equacao y =1
2pois quando os valores para
x aproximam-se de + ou, as imagens de h(x) aproximam-se de12
.
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6 Divisao inteira de polinomios
Algoritmo da divisao:
7 = 2 3+ 1
7 e denominadoDividendo;
2 e denominadodivisor;
3 e denominadoquociente;
1 e denominadoresto.
Ou seja, de uma forma geral: D= d q+r
+3
+276
1
Isto sucedera da mesma forma para a Divisao Inteira de Polinomios, ou seja,
D(x) =d(x).q(x) +r(x)
ex: Para efectuar a divisao de P(x) =x2 +x+ 1 por Q(x) =x + 1.
x
x+ 1x2 +x+ 1
x2
x0 + 0 + 1
Logo P(x) =x + 1x+1
Assntotas de uma funcao racional:
Toda a funcao racional fdo tipo f(x) =a + bxc admite como assntotas as retas:
x= c (A.V.) e y=a (A.H.).
Toda a funcao racionalfdo tipo f(x) =mx + a + bxc admite como assntotas as retas:
x= c (A.V.) e y=mx+a (A.N.V.).
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7 Resolucao de equacoes racionais
Passos para a resolucao de uma equacao racional:
1o - Escrever a equacao na forma P(x)
Q(x)= 0
2o - Resolver a condicao P(x) = 0 Q(x)= 0
3o - Apresentar o conjunto solucao
Exemplo:1x
+ 1 = 2x1
1x(x1)
+ 11x(x1)
2x1x = 0
x1x(x1)+
x(x1)x(x1)
2xx(x1)= 0
x1+x(x1)2xx(x1) = 0
x1+x2x2x
x(x1) = 0
x22x1x(x1) = 0
x2 2x 1 = 0 x(x 1)= 0
x = 1 2 x= 0 x 1= 0
x = 1 2
C.S.={1 2, 1 + 2}
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8 Resolucao de inequacoes racionais
Passos para a resolucao de uma inequacao racional:
1o - Igualar o 2o membro da inequacao a 0
2o - Escrever o primeiro membro na forma P(x)Q(x)
3o - Calcular os zeros de P e de Q
4o - Fazer tabela de sinais e tirar conclusoes
Exemplo:1x
+1 2x1
1x(x1)
+ 11x(x1)
2x1x 0
x1x(x1)+
x(x1)x(x1)
2xx(x1)0
x1+x(x1)2xx(x1) 0
x1+x2x2x
x(x1) 0
x22x1x(x1) 0
zeros:
x2 2x 1 = 0x = 1 2
x(x 1) = 0x = 0 x= 1
Tabela
x 1 2 0 1 1 + 2 +x2 2x 1 + 0 0 +
x(x 1) + + 0 0 + +x22x1
x(x1) + 0 s.s. + s.s. 0 +
C.S.= [1 2, 0[]1, 1 + 2]
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Taxa de variacao:
A taxa de variacao de uma funcao no intervalo [a, b] e dada por:
f(b) f(a)
Taxa de media de variacao (velocidade media):
A taxa de variacao de variacao de uma funcao no intervalo [a, b] e dada por:
T M V[a,b]= f(b) f(a)
b a
Observacoes:Geometricamente, a T M V[a,b] representa o declive da reta secante ao grafico da funcao
fnos pontos de abcissa ae b.
Se f e estritamente crescente em [a, b] entao T M V[a,b] > 0 (ATENCAO: o contrario
pode ser falso).
Se f e estritamente decrescente em [a, b] entao T M V[a,b] < 0 (ATENCAO: o contrario
pode ser falso).
Se f e constante em [a, b] entao T M V[a,b] = 0 (ATENCAO: o contrario pode ser falso).
Taxa de variacao (velocidade instantanea ou derivada no ponto):
A taxa variacao de uma funcao num ponto x0 e dada por:
f(x0) = limh0
f(x0+h) f(x0)h
Observacoes:
Geometricamente, a derivada de uma funcao num ponto x0 representa o declive da reta
tangente ao grafico da funcao fno ponto de abcissa x0.
Se f(x0)> 0 entao f e crescente em x0.
Se f(x0)< 0 entao f e decrescente em x0.
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9 Probabilidades
Operacoes com conjuntos
Reuniao Interseccao Diferenca
A
= A
=A
A\B =A BA {}= A A {}={}A A= A A={}
Leis de Morgan
A B =A BA B =A B
A e B incompatveis A
B =
{}Nota: dois acontecimentos elementares sao incompatveis
Definicao frequencista de probabilidade:
A Probabilidade de um acontecimento A, associado uma experiencia aleatoria, e o valor
para o qual tende a frequencia relativa quando o numero de repeticoes tende para o
infinito. Ou seja,
P(A) = limn
f rA = limn
fA
n ,
onde:n - numero de repeticoes da experiencia
f rA - frequencia relativa do acontecimento A
fA - frequencia absoluta do acontecimentoA
Na pratica, esta definicao de probabilidade permite a utilizacao da frequencia relativa
de um acontecimento A (f rA) como uma aproximacao do valor da probabilidade do
acontecimentoA.
Lei de Laplace:
Numa experiencia aleatoria cujos acontecimentos elementares sao todos equiprovaveis,
a probabilidade de um acontecimento A e dada pelo quociente entre o numero de casos
favoraveis a realizacao desse acontecimento e o numero de casos possveis da experiencia.
P(A) =C.F.
C.P.
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Distribuicao de probabilidades
Variavel aleatoria: uma variavel aleatoria e uma funcao que a cada elemento do espaco
amostral faz corresponder um numero real.
SejaXuma variavel aleatoria comn valores distintos, entao a seguinte tabela desigana-se
por tabela de distribuicao de probabilidades
X=xi x1 x2 . . . xn
P(X=xi) p1 p2 . . . pn
Propriedades da distribuicao de uma variavel aleatoria:
0pi1
ni=1
pi = 1 p1+p2+. . .+pn = 1
Valor medio: =
xi pi= x1 p1+x2 p2+. . .+xn pn
Desvio padrao: =
(xi )2 pi=
(x1 )2 p1+ (x2 )2 p2+. . .+ (xn )2 pn
Modelo binomial - B (n, p) (Usa-se quando se pretende obter a probabilidade de obter k
sucessos emnrepeticoes de uma experiencia aleatoria sempre nas mesmas condicoes. Ou seja,
apenas interessa observar dois acontecimentos: sucesso e insucesso (que e o acontecimentocontrario do sucesso).)
k e o numero de sucessos pretendidosn e o numero de repeticoesp e a probabilidade de sucesso (observada em apenas uma qualquer das n ex-
periencias).
(Calcula-se usando a funcao especfica da calculadora)
Modelo Normal
x
0.9973
0.9545
0.6827
3
2 + + 2
+ 3
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10 Sucessoes
Uma sucessao de numeros reais, (un), e uma funcao, u, real de variavel natural, ou seja,
e uma funcao de domnio N e contradomnio R.
u: N Rn unNotas:
n e a ordem (posicao) do termo
un e o termo geral da sucessao
Uma sucessao pode ser definida por:
termo geral: Por exemplo un = 2n+ 1
recorrencia: Por exemplo un= 5 se n e par
3 un1 2 se n e impar
Sucessoes monotonas (TESTE: un+1 un=???):un e monotona crescente sse un+1un, nN un+1 un0, nN- se un+1 un >0, nN, diz-se que un e estritamente crescente- se un+1 un0 nN: un+1 un = 0, diz-se que un e crescente em sentido lato
un e constante sse un+1=un, nN un+1 un = 0, nN
un e monotona decrescente sse un+1un, nN un+1 un0, nN- se un+1 un
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11 Progressoes
Progressao aritmetica (TESTE: un+1 un= r?):
(un) e uma progressao aritmetica sserR: un+1 un = r, nN
(diz-se que r e a razao da progressao aritmetica)
Nota:
se r >0 a progressao e estritamente crescente
se r= 0 a progressao e constante
se r 1 u1 >0 a progressao e estritamente crescente
se r >1 u1
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12 Modelos contnuos nao lineares
Funcao Exponencial Funcao logartmica
f(x) =ax , a R+\{1} g(x) = loga x, a R+\{1} e x R+
Df= R e Df= R
+ Dg = R+ e Dg = R
a >1 0< a 1 0< a 2 2x 3> e2 2x 3> 02) ln(x2 x) = 1 x2 x= e x2 x >0
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Modelos de rendimento associado a uma taxa anual:
1) Juros simples (sem capitalizacao) - o rendimento (juro) e sempre calculado sobre
o montante inicial
M0montante inicialj
taxa de juro anual
knumero de vezes que o juro e calculado por anonnumero total de vezes que o juro e calculadoMnmontante acumulado
Mn = M0+M0
j
k
n
(progressao aritmetica de razao r= jk M0)
2) Juros compostos (com capitalizacao) - o rendimento (juro) e sempre calculado
sobre o ultimo montante acumulado
M0montante inicialjtaxa de juro anualknumero de vezes que o juro e calculado por anonnumero total de vezes que o juro e calculadoMn
montante acumulado
Mn= M0
1 + j
k
n
(progressao geometrica de razao r= 1 + jk
)
3) Juros contnuo (com capitalizacao contnua) - o rendimento (juro) e calculado a
todo o instante
M0montante inicialjtaxa de juro anual
M1 = M0 ej montante acumulado no final do primeiro anoMp =M0 ejp montante acumulado no final de p anos
(O modelo contnuo indica o valor maximo que a taxa de juro j pode render no perodo
considerado)
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Modelo logstico:
Diz-se que f e um modelo logstico se se poder escrever na forma:
f(x) = N
1 +C ekx , onde N, C e k sao constantes positivas.
Nota que f(0) = N
1+C
e y=N e A.H. do grafico de f.
Casos notaveis
(a +b)2 =a2 + 2ab+b2
(a b)2 =a2 2ab+b2(a b)(a +b) =a2 b2
Regras das operacoes com potencias
Sejam a, b R+
e x, y Ra0 = 1
1x = 1
ax ay =ax+y
ax bx = (a b)x
axay
=axy
ax
bx
ab
x
(ax)y =axy
ax = 1ax
a
1
q
= q
a
ap
q = q
ap