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Rendimiento - Riesgo
Dr. Marcelo A. Delfino
Rendimiento
$133 Valor total
Ingresos $ 18 Dividendos = D1 + tiempo $115 Valor de mercado = P1 t = 0 t = 1
Egresos -$100 = P0
Rendimiento en pesos: Dividendos + Valor del capital
R$ = 18 + 15 = 33
Rendimientos porcentuales:
%33100
1815
P
DPPr
0
101
Rendimiento
El rendimiento total de un activo financiero se puededividir en un resultado por tenencia y un resultadofinanciero.
0
01
P
PPtenenecia Resultado
0
1
P
Dofinanacier Resultado
Rendimiento esperado
La media es una buena medida del rendimientoesperado cuando se tiene un gran número deinversiones.
Probabilidad de ocurrencia
ij
M
1jiji RP)R(E
Escenario
1
2
3
4
5
Rendimiento
50%
40%
35%
30%
-10%
Rendimiento
Esperado
32%
RENTABILIDAD MEDIA ESPERADA
Rendimiento esperado
Probabilidad
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
Rendimientos esperados de una cartera
Es razonable asumir que los inversores elegirán entreportafolios sobre la base de su rendimiento esperadoy la desviación estándar de ese rendimiento.
Los factores de ponderación de cada activo en lacartera equivale al porcentaje del valor total de lacartera invertidos en tal activo
xi= factor de ponderación y
E(Rp) = X1 E(R1) + X2 E(R2) + .... + Xn E(Rn)
1i
x
ACTIVO
T-bills
T-bonds
Obligaciones
de empresas
Acciones
ordinarias
(S&P500)
Acc. ordinarias
de empresas
pequeñas
Nominal
3,9%
5,7%
6,0%
13,0%
17,3%
Real
0,8%
2,7%
3,0%
9,7%
13,8%
vs. T-bills
0,0%
1,9%
2,2%
9,7%
13,8%
vs. T-bonds
---
0,0%
0,3%
7,3%
11,6%
TASA DE RENTABILIDAD MEDIA ANUAL PRIMA DE RIESGO MEDIA
Fuente: Ibbotson Associates, Inc, Libro del año 2001
Rendimiento medio entre 1926-2000
¿Cómo han sido y 2 históricamente?
Acc. ordinarias de
empresas pequeñas
S&P 500
Obligaciones de
empresas
T-bonds
T-bills
CARTERA
1118,4
406,9
75,5
88,7
10,1
2
33,4
20,2
8,7
9,4
3,2
Fuente: Ibbotson Associates, Inc, Libro del año 2001
Período
1926 – 1930
1931 – 1940
1941 – 1950
1951 – 1960
1961 – 1970
1971 – 1980
1981 – 1990
1991 - 2000
MERCADO
21,7
37,8
14,0
12,1
13,0
15,8
16,5
13,4
17,3
13,0
6,0
5,7
3,9
R. nominal
Desvío estándar y varianza
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
-10%
Rendimiento
Tiempo
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
-10%
Tiempo
Rendimiento
¿En cuál de los dos sería preferible invertir? ¿Por qué?
Rendimiento - riesgo
Acción de YPF Acción de Telecom
Varianza del rendimiento esperado
Probabilidad de ocurrencia
M
1j
2iijij
2i )RR(P
Desviación estándar2ii
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
-10%
Rendimiento
Tiempo
¿Qué ocurre si se crea un portfolio compuesto por ambos activos en partes iguales?
Rendimiento - riesgo
La diversificación reduce el riesgo asociado de los activos sin necesidad
de resignar el rendimiento que ofrecen
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
-10%
Rendimiento
Tiempo
Rendimiento – riesgo
Riesgo de una cartera
La varianza de una cartera no es la simple combinaciónde las varianzas de los activos que la integran
)x)xxcov(xx2x()Rr(E 22
222121
21
21
2pp
2p
22
222112
122121
212
pxxx
xxx
23
2332233113
233222
222112
1331122121
21
2p
xxxxx
xxxxx
xxxxx
Covarianza
Probabilidad de ocurrencia
La covarianza mide la extensión en la cual losretornos de diferentes activos se muevenjuntos.Como la covarianza está expresada en unidadesde la media, se hace difícil hacer comparacionespara ver si dos activos están muy o pocorelacionados.
M
1j2j21j1j12 )RR)(RR(P
Coeficiente de correlación
Estandarizando la covarianza todos los valores decorrelación estarán comprendidos entre -1 y +1 :
Cuanto menor sea la correlación de los rendimientosentre los activos de un portafolio, éstos se podráncombinar de manera más eficiente para reducir elriesgo.
21
12
12σσ
σρ
Correlación y riesgo
Desvío Stándar del Porfolio (%)
Reto
rno e
spera
do d
el Porf
olio (
%)
= 1
1< < 1
= -1
E
D
Frontera Eficiente
Desvío Standard del Portafolio (%)
Reto
rno e
spera
do d
el P
ort
afo
lio (
%)
D
A
E
C
B
F
Frontera Eficiente
Reto
rno e
spera
do d
el P
ort
afo
lio (
%)
A
E
Frontera Eficiente
C
B
D
Desvío Standard del Portafolio (%)
F
Cálculo de la frontera eficiente
Se necesitan los siguientes datos de los activos:
1. Rendimiento esperado de cada uno de los activos
2. Riesgo o desviación estándar de cada uno de losactivos
3. Matriz de varianzas y covarianzas o matriz decorrelaciones entre todos los activos.
Cálculo de la frontera eficiente
El cálculo de la frontera eficiente surge de resolver unproblema de programación lineal donde:
Función objetivo:Minimización del riesgo suponiendo un rendimientodado E(RP)
Incógnitas a resolver:Determinación de las proporciones (Xi) de cada unode los activos que componen el portfolio P
Sujeto a las siguientes restricciones:La sumatoria de las ponderaciones debe ser igual a 1
Programa de optimización de Markowitz
Minimizar
Con respecto a las participaciones:
(X1, X2, X3, …….Xk)
Sujeto a las restricciones:
1. E(Rp ) = XK E(RK) = Constante
2. XK = 1
jkkj
2
j
2
j
2
pσXXσXσ
Ren
dim
ien
to
Nivel de Riesgo
Conservador
Conservador
Moderado
Moderado
AgresivoAgresivo
Moderado
Cual es el perfil del cliente?
ACCIONES 20%
RENTA FIJA L.P. 50%
RENTA FIJA C.P. 20%
VISTA 10%
Ren
dim
ien
to
Nivel de Riesgo
Conservador
Conservador
Moderado
Moderado
AgresivoAgresivo
Moderado
Estructura del portfolio
ACCIONES A. C. 20%
ACCIONES 50%
RENTA FIJA L.P. 25%
VISTA 5%
RENTA FIJA L.P. 50%
RENTA FIJA C.P. 30%
VISTA 20%
Conocer el perfil del inversor
Un aspecto crucial en la administración yasesoramiento de inversiones, es determinar el perfilde riesgo del inversor o lo que se conoce como elnivel de tolerancia al riesgo del inversor.
Lo que se necesita conocer es la función de utilidaddel cliente o cual de todos los portfolios de la fronteraeficiente es el más adecuado para el inversor.
El perfil se puede determinar de por lo menos dosmaneras:
vía cuestionario o
vía cálculo matemático.
Combinando activos riesgosos con libres de riesgo
T.libre
Riesgo
Desvío Standard del Portafolio (%)
Reto
rno e
spera
do d
el P
ort
afo
lio (
%)
R
A
B
M
D
“Short Selling” (una sola tasa)
T. Libre
Riesgo
Desvío Standard del Portafolio (%)
M
Prestar
Tomar prestado
Capital Market Line
Capital Market Line
Rc = (1 - X) Rf + X RM
Como f = 0 c = (X2 2M )1/2. Resolviendo: X = c / M
1/2
fMfM
2
M
22
f
2
cρσX)σ2X(1σXσX1σ
M
M
c
f
M
c
cR
σ
σR
σ
σ1R
c
M
fM
fcσ
σ
)R(RRR
Precio del riesgo
Cantidad de riesgo
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
-10%
Rendimiento
Tiempo
PORTFOLIO Alcorta SA
Teniendo en cuenta que:
RAlcorta = RPrecedo
σAlcorta = σPrecedo
¿Qué empresa conviene incorporar al portfolio?
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
-10%
Rendimiento
Tiempo
PORTFOLIO Precedo SA
Rendimiento – riesgo
La contribución de cada activo al portfolio se observa sobre el rendimiento esperado y sobre el riesgo del portfolio
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
-10%
Rendimiento
Tiempo
PORTFOLIO + Alcorta SA PORTFOLIO + Precedo SA
Rendimiento – riesgo
El límite del beneficio de la diversificación
El riesgo de una cartera bien diversificada esta dadoprincipalmente por las covarianzas entre los activos que lacomponen
Nº acciones en
el portfolio
Cantidad de
Covarianzas
2 2
3 6
10 90
100 9.900
1.000 999.000
El riesgo específico de cada título puede eliminarsemediante la diversificación, pero no puede eliminarseel riesgo de mercado.
El riesgo de mercado es la covarianza media detodos los títulos, y este marca un límite a losbeneficios de la diversificación
El límite del beneficio de la diversificación
El límite del beneficio de la diversificación
Si tenemos N activos e invertimos la misma proporciónen cada uno de ellos 1/N, la varianza del portfolio es:
Entonces si N : 1/N = 0 y (N-1)/N = 1
jk
2
i
2
2 σN
1
N
1σ
N
1p
1)N(N
σ
N
1)(N
N
σ
N
1σ jk
2
i2
p
jk
2
i
2
pσ
N
1)(Nσ
N
1σ
El límite del beneficio de la diversificación
La contribución de las varianzas de los activosindividuales a la varianza del portfolio es 0 (primerparte de la fórmula).
Sin embargo, la contribución de las covarianzas, amedida que crece N se asemeja a la media de lascovarianzas.
El riesgo individual de cada activo se puede eliminar odiversificar: riesgo no sistemático; pero lacontribución al riesgo total provocado por lascovarianzas no, riesgo sistemático o de mercado
Esto implica que la mínima varianza se obtiene paraportfolios bien diversificados y es igual a la covarianzapromedio entre todos los activos de la población.
El límite del beneficio de la diversificación
Rie
sgo %
Nº Activos Financieros
Riesgo No Sistemático
Riesgo Sistemático
El límite del beneficio de la diversificación
Prima de riesgo sistemático
“El riesgo sistemático se origina en el hecho de queexisten factores macroeconómicos que afectan (haciaarriba o hacia abajo) a todas las empresas de laeconomía. Sin embargo, “esta influencia no afecta atodas las acciones por igual”
Hay empresas más o menos sensibles que el mercadoa los cambios de expectativas
Esta volatilidad relativa al mercado es el riesgosistemático, i.e., independiente de la empresa
La porción del desvío estándar que corresponde al riesgo que no puede ser diversificado (es decir eliminado por la incorporación de más activos al portfolio) se llama β
βP: Riesgo SISTEMÁTICO del porfolio = 0,7 βU + 0,3 βs
DIVERSIFICABLE
NO
DIVERSIFICABLE
σ
β
Prima de riesgo sistemático
El riesgo que aporta una acción cualquiera j alportafolio, depende de su covarianza con elportafolio:
También podemos medir la contribución proporcionalal riesgo del portafolio, dividiendo la contribuciónproporcional por la varianza del portafolio:
jpσ
2p
jp
σ
σ
Beta de la acción
Beta de la acción
El cociente entre σjM/σ2M nos dice como reacciona la acción j
a las variaciones en el rendimiento del portafolio.
El β de un activo depende del portfolio al cual se estáincorporando dicho activo
Para simplificar los cálculos, por lo general se estima βrespecto a un mismo portfolio de referencia (por ej. S&P500), asignando al mismo βMERCADO = 1
M
j
jM2M
jM
M
Mj
σ
σρ
σ
σ
)Var(R
)R,Cov(Rβ
Beta de la acción
El cálculo del Beta se realiza vía análisis de regresión:
Ri = i + i RM + i
Retorno del Mercado (%)
Reto
rno d
el A
ctivo
(%
)
v
El β de cada empresa refleja riesgos derivados de tres aspectos:
1. Tipo de industria: Cuanto más sensible es una industria a las condiciones de
mercado, mayor es β Para empresas que desarrollan sus actividades en más de
una industria, la β es igual al promedio ponderado de las βde cada negocio
2. Grado de apalancamiento operativo A mayor apalancamiento operativo (es decir, a mayor
proporción de costos fijos respecto de costos totales) mayores el β
3. Grado de apalancamiento financiero A mayor apalancamiento financiero (es decir un aumento de
la proporción de deuda respecto del capital propio) mayorel β
Beta de la acción
De la observación de los gráficos resulta:RAlcorta = RPrecedo
σAlcorta = σPrecedo
βAlcorta < βPrecedo
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
-10%
Rendimiento
Tiempo
PORTFOLIO Alcorta SA
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
-10%
Rendimiento
Tiempo
PORTFOLIO Precedo SA
Beta de la acción
Esto se debe a que existe una menor correlación entre Alcorta SA y el portfolio
Si bien pareciera indiferente incorporar una u otra empresa, cuando se observa sucontribución al portfolio resulta más conveniente incorporar Alcorta SA, la cualcontribuye en menor medida al riesgo del portfolio
DIVERSIFICABLE
NO
DIVERSIFICABLE
σAlcorta
βAlcorta
Alcorta SA
DIVERSIFICABLE
NO
DIVERSIFICABLE
σPrecedo
βPrecedo
Precedo SA
<
Beta de la acción
Considerando dos empresas con la siguiente relación:
RTAF = RDOC
δTAF > δDOC
ρTAF = ρDOC
¿Qué empresa conviene incorporar?
Por lo tanto, el σ de un activo es un indicador que también debeformar parte de la fórmula de β
120%
100%
80%
60%
40%
20%
0%
-20%
-40%
Rendimiento
Tiempo
PORTFOLIO DOC SA TAF SA
Beta de la acción
Durante los últimos 4 años, los rendimientos históricos de GAL SA y del portfolio han sido:
Para estimar β se realizan los siguientes cálculos:
De modo que βGAL:
AÑO
1
2
3
4
rGAL
-10%
3%
20%
15%
rPORTFOLIO
-40%
-30%
10%
20%
AÑO
1
2
3
4
rGAL
-10%
3%
20%
15%
Prom.=7%
rPORTFOLIO
-40%
-30%
10%
20%
Prom.=-10%
∆ rGAL
-17%
-4%
13%
8%
∆ rPTF
-30%
-20%
20%
30%
COV
0,051
0,008
0,026
0,024
∑=0,109
δ2PTF
0,09
0,04
0,04
0,09
∑=0,260
Covarianza de rGAL respecto de rPTF =
(rGAL – Prom.rGAL) x (rPTF – Prom.rPTF)
Varianza del portfolio =
(rPTF – Prom.rPTF)2
Cov (rGAL, rPTF)
δ2 (rPTF)
βGAL =
0,109
0,260
= = 0,419
Cálculo del Beta: ejemplo
Security Market Line (SML)
Ahora tenemos una expresión simple para elrendimiento esperado de un activo o un portafolio:
Ri = Rf + i [E(RM) - Rf]
La prima por riesgo de mercado de un activoindividual es una función de la contribución de éste alriesgo del portafolio.
Para un activo individual mantenido en conjunto conotros activos, el único riesgo relevante es el riesgosistemático, que es medido por beta.
Prima de riesgo de mercado
Security Market Line (SML)
Rendimiento Esperado (%)
Portfolio de Mercado
Security Market Line (SML)
Rm
Rf
1
Risk Premium
CAPM
Que determina el rendimiento esperado de un activo?
1. El rendimiento libre de riesgo (que compensa el valortiempo del dinero)
2. El premio por el riesgo de mercado (que deberíacompensar el riesgo sistemático)
3. El beta del activo (que representa la medida delriesgo sistemático presente en el activo)
El Capital Asset Pricing Model (CAPM) es un modelo devaluación de activos de capital que plantea un tradeoffentre riesgo y rendimiento. El modelo busca encontrar elprecio justo de cada activo que asegure al inversor unretorno que compense el riesgo de dicho activo siempreque sea mantenido en una cartera bien diversificada.
Supuestos del CAPM
Este modelo se apoya en la Teoría de la Cartera deMarkowitz, pero agrega los siguientes supuestos:
1. Los inversores eligen sus carteras sobre la base delretorno esperado y el riesgo únicamente.
2. Los inversores son aversos al riesgo y buscanmaximizar el valor esperado de los rendimientos.
3. Todos los inversores tienden al mismo horizonte dedecisión en cuanto a las inversiones
Supuestos del CAPM
4. En el mercado hay competencia perfecta, noexisten costos de transacción ni impuestos a larenta, capitales y transferencia de títulos, todos losactivos son infinitamente divisibles, la informaciónes gratuita y esta al alcance de todos losinversores y estos pueden endeudarse y prestar a lamisma tasa sin limitaciones.
5. Existe homogeneidad en las expectativas y en elconjunto de inversiones factibles
CAPM dista de ser perfecto:
Los activos de empresas pequeñas y los activos con unprecio de mercado bajo en relación al valor de libros,parecen tener riesgos que el CAPM no capta
Está construido sobre la base de supuestossimplificadores.
En mercados emergentes, ciertos supuestos no sonsatisfechos
Muchos activos no son públicos, siendo necesario inferirsu contribución al riesgo del portfolio en función deactivos similares o comparables
Es por ello que surgen también varios métodos ajustados deCAPM ….. los cuales también presentan limitaciones
Limitaciones del CAPM
Existen teorías alternativas para vincular riesgo y rendimiento:
Teoría de Valoración por Arbitraje (TVA o APT) Supone que la rentabilidad depende de “factores”
macroeconómicos y de “ruidos” específicos de cadaempresa
Rendimiento = a + b1(rfactor1)+b2(rfactor2)+ ……..+ ruido
Alternativas de ajuste del CAPM
Valores comparables
Definición de los accionistas y/o gerentes
Intuición
Limitaciones del CAPM
En algunos casos el inversor cuenta con tasas de costo de capitaldisponibles por:
– Decisión del accionista– Experiencia en inversiones similares -Ej. multinacionales-
Buscamos tasas comparativas Tasas de retorno utilizadas en otras transacciones: conocidas,
tasas de retorno fijadas por marcos regulatorios validados por lacompetencia de ofertas (ej. Privatizaciones)
Bonos soberanos y quasi soberanos Bonos con cotización emitidos por empresas Préstamos bancarios
Analizamos riesgos involucrados en forma comparativa
Costo del capital en Argentina?